第七章無窮級(jí)數(shù)34009

1、第七章 無 窮 級(jí) 數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1概念與性質(zhì)（1）定義：（2）性質(zhì)1）若和分別收斂于，則收斂于.2)改變級(jí)數(shù)前有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.3)收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)仍收斂且和不變.4) 收斂2.判斂準(zhǔn)則(1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(,)基本定理：收斂上有界。1)比較判別法：設(shè),則收斂收斂.發(fā)散發(fā)散.2)比較法極限形式：設(shè)若,則與同斂散.若,則收斂收斂,發(fā)散發(fā)散.若,則發(fā)散發(fā)散,收斂收斂.3)比值法:設(shè),則4)根值法: 設(shè),則(2)交錯(cuò)級(jí)數(shù)()萊不尼茲準(zhǔn)則: 若：(1)單調(diào)減; (2) ,則收斂.(3)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)(,為任意實(shí)數(shù))1)絕對(duì)收斂與條件收斂概念2)絕對(duì)收斂和條件收斂的基本結(jié)論絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂,即

2、收斂收斂.條件收斂收斂的級(jí)數(shù)的所有正項(xiàng)(或負(fù)項(xiàng))構(gòu)成的級(jí)數(shù)一定發(fā)散.即:條件收斂和發(fā)散.題型一 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定例7.1判定下列級(jí)數(shù)的斂散性.1)2)3) 4) 解 1），則 （1）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂； （2）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。2） （1）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，但是單調(diào)增趨于的，則，即單調(diào)增，又，則，原級(jí)數(shù)發(fā)散。3）由于，而收斂，則原級(jí)數(shù)收斂.4）由于，而 ， 則原級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同斂散，故原級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，在時(shí)發(fā)散。例7.2 判定下列級(jí)數(shù)斂散性.1) 2) 3) 解 1）由于，而收斂，則原級(jí)數(shù)收斂.2）由于，故原級(jí)數(shù)收斂.3）方法1°

3、; 由泰勒公式知?jiǎng)t 而收斂，則原級(jí)數(shù)收斂.方法2° 由不等式知.而收斂，則原級(jí)數(shù)收斂.例7.3 設(shè)，試討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 由知，充分大時(shí)，且則與同斂散.而 ，則當(dāng)充分大時(shí)有，從而有. 而收斂，則級(jí)數(shù)收斂.例7.4設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),下列結(jié)論正確的是(A) 若,則收斂; (B) 若存在非零常數(shù),使,則發(fā)散.(C) 若收斂,則.(D) 若發(fā)散,則存在非零常數(shù),使得.解法1 直接法. 由知，由比較法的極限形式知，級(jí)數(shù)與同斂散，則發(fā)散，故應(yīng)選（B）.解法2排除法. 考慮，級(jí)數(shù)發(fā)散.但，則（A）和（D）都不正確.考慮，顯然級(jí)數(shù)收斂，但，則（C）不正確.故應(yīng)選（B）.題型二 交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判定例7.

4、5判定下列級(jí)數(shù)的斂散性(1) (2) 解（1）本題中的級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且，考慮函數(shù).由于又 ，故單調(diào)減且趨于零，由萊不尼茲準(zhǔn)則知原級(jí)數(shù)收斂.2）由于此時(shí)單調(diào)減且.由萊不尼茲準(zhǔn)則知原級(jí)數(shù)收斂.例7.6設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少,且發(fā)散,試問級(jí)數(shù)是否收斂?為什么?解 由于單調(diào)減，且，即下有界，則存在，設(shè)，則，若，由萊不尼茲準(zhǔn)則知級(jí)數(shù)收斂，這與題設(shè)矛盾，因此，此時(shí)，對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)用根值法，得，則級(jí)數(shù)收斂.題型三 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定例7.7判定的斂散性.解 因，又，則級(jí)數(shù)與同斂散.對(duì)級(jí)數(shù)用根值法得 .則收斂，則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂.例7.8討論是絕對(duì)收斂,條件收斂還是發(fā)散?解 先考絕對(duì)值級(jí)數(shù). 由于，1

5、）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.2）當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。由于，當(dāng)充分大時(shí)，則，從而，故級(jí)數(shù)發(fā)散.3）當(dāng)時(shí)，若，原級(jí)數(shù)為時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散. 若，原級(jí)數(shù)為.該級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)收斂；在時(shí)條件收斂，在時(shí)發(fā)散.例7.9設(shè)常數(shù),則級(jí)數(shù)（A）發(fā)散; (B)絕對(duì)收斂; (C)條件收斂; (D)斂散與發(fā)散與取值有關(guān).解，顯然絕對(duì)收斂，而條件收斂，則原級(jí)數(shù)條件收斂，故應(yīng)選（C）.7.10設(shè)常數(shù)，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù).(A)發(fā)散; (B)條件收斂; (C)絕對(duì)收斂; (D)斂散性與有關(guān). 解 由不等式知.而和都收斂，則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故應(yīng)選（C）.例7.11設(shè),(),則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是(A) ; (B) ; (C) ; (D)

6、 .解法1直接法. 由知，. 而收斂，則級(jí)數(shù)肯定收斂，故應(yīng)選（D）.解法2排除法. 1）取，顯然，但發(fā)散，發(fā)散，則（A）和（C）不正確.2）取顯然有，但，而收斂，發(fā)散，則發(fā)散，則（B）不正確.故應(yīng)選（D）.例7.12設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則必收斂的級(jí)數(shù)為(A); (B) ; (C); (D). 解法1直接法. 由于收斂，則也收斂. 從而有收斂，故應(yīng)選（D）.解法2排除法. 1）取，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊不尼茲準(zhǔn)則知收斂，但發(fā)散. 則（A）不正確.2）取，顯然收斂，發(fā)散，則（B）不正確，而，由于，而發(fā)散，則發(fā)散，（C）不正確，故應(yīng)選（D）.例7.13設(shè),且,則級(jí)數(shù).(A) 發(fā)散; (B) 絕對(duì)收斂; (C) 條件

7、收斂; (D) 斂散性不定.解 由，知，.令 ，則 .由級(jí)數(shù)定義知原級(jí)數(shù)收斂，但由于，而發(fā)散，則發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂.例7.14設(shè)收斂,則級(jí)數(shù).(A)條件收斂; (B) 絕對(duì)收斂; (C)發(fā)散; (D)斂散性不定. 解 由于級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知，則數(shù)列有界，即存在，對(duì)一切的有，從而有.而級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故應(yīng)選（B）.題型四 證明題與綜合題例7.15設(shè)級(jí)數(shù)收斂, 絕對(duì)收斂,證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證 由于級(jí)數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列有極限，從而數(shù)列收斂，由于收斂數(shù)列必有界，則存在，使，從而有 ，而絕對(duì)收斂，則收斂，即絕對(duì)收斂.例7.16 設(shè)極限存在,證明級(jí)數(shù)收斂.證法1由于極限存在

8、，則數(shù)列有界，即存在，使，從而有 因此. 而級(jí)數(shù)收斂，則收斂.證法2由于極限存在，不妨設(shè)為，則，從而有，即.由于級(jí)數(shù)收斂，則收斂.例7.17設(shè)在上可導(dǎo),且,對(duì)一切,有,令,其中,證明絕對(duì)收斂.證 由于，而級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例7.18設(shè),證明(1) 存在;(2) 收斂.證（1）因?yàn)?，則下有界.又，則單調(diào)減，由數(shù)列單調(diào)有界準(zhǔn)則知存在.（2）由（1）知，記，由于存在，存在，即級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂.例7.19設(shè)有方程,其中為正整數(shù),證明此方程存在唯一正實(shí)數(shù),并證明當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂.證 令，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)增，而，由此可知方程存在唯一正實(shí)根，由及知.當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂

9、.例7.20設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證法1由于，則，且.由泰勒公式可知.由題設(shè)可知在包含原點(diǎn)的某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，則存在，使，令，當(dāng)充分大時(shí)，有. 因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證法2 由于，則，且.加之的連續(xù)性，由洛必達(dá)法則知從而有. 由于級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂，即絕對(duì)收斂.第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)1.收斂半徑;收斂區(qū)間;收斂域.定理1(阿貝爾定理)(1) 若當(dāng)時(shí)收斂，則當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂.(2) 若當(dāng)時(shí)發(fā)散,則當(dāng)時(shí)，發(fā)散.定理2 如果,則.定理3 如果,則.2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì):(1)四則運(yùn)算性質(zhì): 和,差,積,商.(2)分析性質(zhì):連續(xù)性,可導(dǎo)性,可積性.3.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開.1

10、)定理:設(shè)在處任意階可導(dǎo),則收斂于.2)幾個(gè)常用的展開式（1）（2）（3）（4）（5）（6）題型一 求收斂域例7.21求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域(1) (2) (3) (4) 解（1），則.故原冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?（2）.或.則.當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由于發(fā)散，收斂，則原冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散.當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，則原冪級(jí)數(shù)在處收斂，故原冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?（3），由于該冪級(jí)數(shù)只有偶次項(xiàng)，則.當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散.則原冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?（4）不存在，而，由于，且，但不存在，則不存在. 因此，分別考慮冪級(jí)數(shù)和.容易求得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，而冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則原冪級(jí)數(shù)收斂半徑為.當(dāng)時(shí)，收斂，發(fā)散，則原冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故原冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?

11、例7.22 設(shè)冪級(jí)數(shù)在收斂,在發(fā)散,則該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?解 由于冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，由阿貝爾定理知當(dāng)，即，原冪級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)，即，原冪級(jí)數(shù)發(fā)散.則該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)槔?.23已知在處條件收斂，則在處(A) 絕對(duì)收斂 （B）條件收斂（C）必發(fā)散（D）斂散性由確定（A）題型二 將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)例7.24將下列函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù).(1); (2);(3)(4)(5) (6)(7)解（1）.（2）.（3）.，又，則.（4），則 .（5），.（6）.（7）.例7.25將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開為冪級(jí)數(shù).(1)在處; (2)在處;(3) 在處.解 （1）.（2）.（3）.例7.26將展開為的冪級(jí)數(shù),并求

12、. 解 ，則.于是項(xiàng)系數(shù) .從而有 .例7.27 設(shè),求解 由于，則.于是 ，從而.，從而.題型三 級(jí)數(shù)求和例7.27求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)(1) (2) (3) (4) 解 （1）易求得該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)? 令. 當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，故 （2），則. 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為 發(fā)散. 則原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?令 ， ，當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，故 .（3）.（4）易求得該級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?例7.29求下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.(1) (2) 解（1）令， ，則故 .注：這里用到，這是一個(gè)常用的結(jié)論.（2），.令 ，.故 .例7.30求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解法1 由于，則.從而有 .故 .解法2 令，則，.解一階線性微分方程 得.由知，. 則

13、.例7.31設(shè),求極限. 解 令 ，易求得 例7.32設(shè),試證在處必收斂,并求其和函數(shù). 解 由及知單調(diào)增，即.則 .從而有 .而級(jí)數(shù)在，即時(shí)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)在處收斂.令 ，則 .第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)1.傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù):2.收斂定理設(shè)在上連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),且只有有限個(gè)極值點(diǎn),則的傅里葉級(jí)數(shù)在上處處收斂,且收斂于i),當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn).ii),當(dāng)為的間斷點(diǎn).iii) ,當(dāng)3.周期為的函數(shù)的展開.(1)上展開.(2) 上奇偶函數(shù)的展開.i) 為奇函數(shù).ii) 為偶函數(shù).(3)在上展為正弦或展為余弦.i)展為正弦.ii)展為余弦.4.周期為的函數(shù)的展開.(1)上展開.(2) 上奇偶函數(shù)的展開.i) 為奇函數(shù).ii) 為偶函數(shù).(3)在上展為正弦或展為余弦.i)展為正弦.ii)展為余弦.題型一 有關(guān)收斂定理的問題例7.33函數(shù)在上展開為傅里級(jí)數(shù)的和函數(shù).解 由收斂定理知例7.34設(shè)則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于. 解由收斂定理知，在處收斂于例7.35設(shè)函數(shù),而其中,則為(A); (B); (C); (D).解 由題設(shè)知，原題是將在上作為奇延拓按周期2展開，則.故應(yīng)選（B）.例7.36設(shè),