第六章彎曲變形超靜定梁

1、F6-1 梁撓曲線近似微分方程梁撓曲線近似微分方程F6-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形F6-3 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形F6-4 梁的剛度校核梁的剛度校核F6-5 超靜定梁超靜定梁平面彎曲時(shí)梁軸線為一條光滑連續(xù)的曲線。 梁彎曲后的軸線稱為撓曲線撓曲線，見圖曲線AB。 xyxCAB CyCCBC取梁軸線上C，彎曲變形后，該點(diǎn)變成C。將梁軸線上的一點(diǎn)在垂直于梁變形前軸線方向的線位移稱為該點(diǎn)的撓度撓度。 由于小變形小變形，故不必考慮C點(diǎn)在x軸方向的位移而認(rèn)為CC垂直于其變形前的軸線AB。梁變形后，橫截面仍然與此時(shí)的軸線垂直。梁橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度稱為該截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角。 工

2、程中撓度和轉(zhuǎn)角是度量梁彎曲變形的兩個(gè)基本量。 若梁任一橫截面的位置用x表示，則： 撓度方程為： )(xyy 轉(zhuǎn)角方程為： dxxdyxx)()(tan)(梁任一橫截面的轉(zhuǎn)角等于該截面處撓度對橫截面位置的一階導(dǎo)數(shù)。 在梁處于純彎曲或剪應(yīng)力相對影響較小情況下，由教材P128(5-2)式知)()()()(1xIxExMxz在撓曲線中取微段)(xds)()()(xdxxds由于小變形， dxxds)(故xdyddxxdx22)()(1梁撓曲線近似微分方程梁撓曲線近似微分方程 )()()(22xIxExMxdydzxyxABBdx(x)d(x)ds(x)則(x)(x)d(x)上式中E(x)Iz(x)為梁

3、在x處的抗彎剛度抗彎剛度，適用于非均勻變截面梁。當(dāng)E(x)為常數(shù)時(shí)稱為均勻梁均勻梁；當(dāng)Iz(x)為常數(shù)時(shí)稱為等截面梁等截面梁；當(dāng)E(x)Iz(x)為常數(shù)時(shí)稱為等截面等截面均勻梁均勻梁。本章僅研究等截面均勻梁。 w轉(zhuǎn)角 dxxdyx)()(w彎矩 xdxydIExMz22)()(w剪力 xdxydIExQz33)()(w分布載荷 xdxydIExqz44)()(對該式積分后產(chǎn)生2個(gè)積分常數(shù)，在確定這些積分常數(shù)過程中，需靈活應(yīng)用邊值條件、連續(xù)條件和光滑條件等變形幾何條件。IExMxdxydz)()(22夾緊端：0y0dxdy簡支端：0y任一點(diǎn)的撓度值連續(xù)。任一點(diǎn)的轉(zhuǎn)角值連續(xù)。支承對撓度和轉(zhuǎn)角的限制

4、w求支座約束反力； w求彎矩方程M(x)，有時(shí)可能要分段； w(分段)求解微分方程 ；IExMxdxydz)()(22w由邊值條件、連續(xù)條件、光滑條件確定積分常數(shù)； w寫撓度方程 和轉(zhuǎn)角方程 ；)(xyy dxxdyx)()(w求最大撓度|y|max和最大轉(zhuǎn)角|max。 【例6-1】求圖示簡支梁的最大撓度|y|max和最大轉(zhuǎn)角|max 。 【解】1)求支座反力 lPaRPalRmBBiA0)(FlPbRlRPbmAAiB0)(F2) 分段寫彎矩方程,),(, 0,)(laxaxPlPbxaxlPbxxMRARBPabABCllIEPbxxdydz2123) 分段求解微分方程 DCxlIExPb

5、yClIExPbdxydzz623121, 0axIEaxPlIEPbxxdydzz)(2224)根據(jù)邊值條件、 連續(xù)條件、光滑條件確定積分常數(shù) 。0)0(1 Dy06)()(2FElIEblPablyzECdxayddxayd)()(21FEaDCaayay)()(21求解得0 FDlIEblPabECz6)( 5)求撓度和轉(zhuǎn)角方程 , 06)3(6)(222112221axlIEblxPbdxydlIEblxPbxyzz,)(33 6)()(622222222332laxblbaxlxlIEPbdxydxblbaxlxlIEPbyzzFExIEaxPlIExPbyEIEaxPlIExPbd

6、xydzzzz6)(62)(2332222,lax最大轉(zhuǎn)角僅可能發(fā)生在A、B端。6)求最大撓度|y|max和最大轉(zhuǎn)角|max 。lIEblPabz6)(| )0(|11 maxlIEalPablz6)(| )(|22 max顯然，當(dāng)ab時(shí)，最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在B端。lIEalPabz6)(|2 maxmax因A截面轉(zhuǎn)角為負(fù)，而當(dāng)ab時(shí)C截面轉(zhuǎn)角為正，故轉(zhuǎn)角為零即撓度取得極大值的截面發(fā)生在AC段。即：06)3(2221lIEblxPbdxydz于是： 3)(blaxlIEblaPbyyz27)(3|31 maxmax當(dāng)作用在梁上的載荷較多且比較復(fù)雜時(shí)，而梁在簡單載荷作用下的變形又易求得時(shí)，利用疊加法求

7、梁的變形比較簡單。 當(dāng)求梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角時(shí)，可先分別求出各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的撓度或轉(zhuǎn)角，然后分別求出它們的代數(shù)和，即得到這些載荷同時(shí)作用時(shí)梁的撓度或轉(zhuǎn)角。 【例6-2】求圖示懸臂梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。 xyaABaCqP=qaP=qayaABaCxq1=qq2=q【解】原懸臂梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角與圖示載荷情形下B端的撓度和轉(zhuǎn)角等效。 aaxyABCq1=qP=qaxyaABaCP、q1、q2單獨(dú)作用時(shí) B端的撓度和轉(zhuǎn)角為： P單獨(dú)作用時(shí)，由教材P172(圖2)，取 l=2a得：IEaqIEaPyzzB383)2()(43PIEaqIEaPzzB3222)2()(Pq1單獨(dú)作用時(shí)

8、，由教材P173(圖1)，取l=2a得： IEaqIEaqqyzzB441128)2()(IEaqIEaqqzzB346)2()(3311xyABaCaxyaABaCq2=qq2單獨(dú)作用時(shí)，由教材P173(圖1)，取l=a得： IEaqIEaqqqzzCB66)()(33222IEaqIEaaqIEaqqaqyqyzzzCCB24768)()()(43242222P、q1、q2同時(shí)作用時(shí)B端的撓度和轉(zhuǎn)角為其單獨(dú)作用時(shí)的代數(shù)和： IEaqqyqyyyzBBBB835)()()(421PIEaqqqzBBBB619)()()(321P C (q2)yC(q2)【例6-3】在簡支梁上作用有圖示集度為

9、q的均布載荷。求跨度中點(diǎn)C的撓度（設(shè)b l/2） 。ABll/2Cxdxbqqdx)2(62222xllEIllxqdxydC【解】在P174（圖2）的0 x a段撓度公式中，令F=qdx，b=x，x=l/2，可得到微元載荷qdx在C點(diǎn)引起的撓度dyC。boCEIdxxxlqy48)43(32EIdxxxlq48)43(32EIblbq96)23(222【例6-4】求圖示外伸梁A端的轉(zhuǎn)角 A和撓度yA。aABDFPllCDB2la2y2m=FaPBDllCa1y1【解】采用“逐段柔化,逐個(gè)加載，結(jié)果疊加”方法求1）求簡支梁BD在P作用下B端的轉(zhuǎn)角和撓度(P174圖1)：EIlPEIlP416)

10、2(221EIlPaay42112）求簡支梁BD在m作用下B端的轉(zhuǎn)角和撓度(P173圖2) ：EIFalEIlm323)2(2EIaFlay322223）求懸臂梁AB在F作用下A端的轉(zhuǎn)角和撓度(P172圖2) ：EIaF223EIaFy333Fy3aF3ABD4）求原外伸梁A端的轉(zhuǎn)角和撓度：EIaalFalPaEIaFEIaFlEIlFayyyyA12)2(43332422322321EIlPaalFEIaFEIFalEIlFA63)34(223242222321【例6-5】圖示結(jié)構(gòu)中剛架ABC的抗彎剛度為EI， 桿BD的拉壓剛度為EA，求C點(diǎn)的鉛垂位移。aaqCaABDaaCaABDly1y

11、2BBaaCaABDy3aCBq【解】1）求BD桿軸力02)(2aqNamBDiAF2qaNBD2）求y1:EAaqEANalyBD2213）求y2:Bay 24）求y3:yyyyC3215）求yC :EIaaqa322EIaq64EIaqEIaqEAaq862442EIaqEAaq247242EIaMae3EIaqy843Me|maxmaxyyy許用撓度 許用轉(zhuǎn)角，單位為弧度(rad)。 w改善構(gòu)件的截面形狀或尺寸，以增大截面慣性矩； w在條件允許情況下減少構(gòu)件的跨度或有關(guān)長度，如縮小支座距離、增加支座、合理安排載荷的作用位置等。 梁上作用的未知反力數(shù)目超過獨(dú)立的靜力平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，僅由平衡

12、方程不能求解的梁。未知約束反力個(gè)數(shù)與獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)之差。若該差值為一則為一次超靜定梁，為二則為二次超靜定梁等。在超靜定梁中，超過維持梁平衡所必須的約束。與多余約束對應(yīng)的反力。如果撤除超靜定梁上的多余約束后梁變?yōu)殪o定梁，則稱該靜定梁為原超靜定梁的一個(gè)靜定基。 P RAmA RB梁上作用的未知反力數(shù)目不超過獨(dú)立的靜力平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，僅由平衡方程能求解的梁。CBA選取適當(dāng)?shù)撵o定基，確定多余約束，設(shè)定多余反力； 利用疊加法和相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程，求出多余反力； 由靜力平衡方程求出其余支座反力。 【例6-5】求圖示超靜定梁的約束反力。 mRCA2aaaaCEBDyx【解】1)取支座C為多余

13、約束，則梁AE為靜定簡支梁，RC為多余反力。 梁在P、RC、m單獨(dú)作用下C點(diǎn)的撓度依次為 ：P由教材P174(2圖)，在axl段對應(yīng)的表達(dá)式中取l=5a，x=2a，b=4a得： IEaPaaaaaaaaIaEaPyzzC23)2(45)2(2)4()5(564)(33322P由教材P174(2圖)，在0 xa段對應(yīng)的表達(dá)式中取l=5a，x=2a，b=3a， P=-RC得： IEaRaaaIaEaaRyzCzCCC512)3()2()5( 5623)(3222RRCA3a2aCEyx由教材P173(3圖)，在0 xa段對應(yīng)的表達(dá)式取l=5a，x=2a，b=a得： mA2aaEDyxC2aPA3a

14、aaCEByxIEamaaaIaEammyzzC56)2(3)5( 562)(22222)梁在P、RC、m同時(shí)作用時(shí)的變形協(xié)調(diào)條件yC0 amPRIEaPIEamIEaRmyyyyCzzzCCCCCC28502356512)()()(323RP3)由靜力平衡方程求解RA、RE 2052052)(PamRRamRaaPmEECiAF4017100345)(PamRmaRaPaRmACAiEFPmRCA2aaaaCEBDyxRAREBCFAlDllRC【例6-6】已知長為L、抗彎剛度為EI的懸臂梁在端部作用一橫向集中載荷F時(shí)的撓曲線方程為 。設(shè)圖示梁AB的抗彎剛度為EI，拉桿CD的抗拉剛度為EA，求梁在A、C點(diǎn)的約束反力。 )-3(6-=2xLEIxFy【解】1）取CD桿為多余約束，則梁AB為靜定懸臂梁，CD桿的拉力RC為多余反力。該梁在F、RC單獨(dú)作用下C點(diǎn)的撓度依次為： EIlFllEIlFyC65-)-6(6-)(32FE