第六章鞅方法定價金融衍生品定價理論講義

1、第六章 鞅方法定價在上一章的二項樹模型下，我們證明了，當完備市場中不成在套利機會時，市場存在唯一概率等價鞅測度可以 用來給期權(quán)和期貨定價。在這一章，我們先在二項樹模型下詳細解釋等價鞅測度的含義。接著，我們討論一般結(jié)果。我們將證明，這個結(jié)果在比二項樹模型更復(fù)雜的經(jīng)濟系統(tǒng)中也成立。在許多背景下，我們并不需要利用市場均衡來給衍生資產(chǎn)定價，而是利用套利定價原理來進行定價如果證券市場不存在套利機會，則衍生證券的價格完全由別的長期證券的價格過程來決定。在這個定價的過程中，我們通常把一個長期證券集的價格過程視為給定而來進行定價。這樣就自然產(chǎn)生一個問題：如何確定被我們視為給定的價格過程不存在套利機會？價格過程

2、不存在套利機會的充分必要條件是，通過變換概率測度和對價格過程進行某種正規(guī)化之后，這些價格過程是鞅過程。無套利和鞅過程之間的這種特殊關(guān)系也可以直接用來對衍生證券進行定價。作為一個應(yīng)用，我們將用這種方法來對期權(quán)進行定價，得到期權(quán)定價的一種新的方法。1二項樹模型中的等價鞅測度在二項樹模型中模型圖1一期二項式生成過程這里=股票在時間的價格=股票價格上漲的概率=一期的無風(fēng)險利率=股票價格上漲的乘子=股票價格下跌的乘子在每一期末，股票價格或者以概率漲為，或者以概率跌為。每期的無風(fēng)險利率為。對的限制為，這是無套利條件。直觀地可以看出，無論是（這時，無風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率高）還是（這時，無風(fēng)險利率總比

3、股票的風(fēng)險回報率低），都存在套利機會。等價鞅測度的含義：等價的含義：當實際的概率為正時，也為正。條件期望直觀解釋：在某種條件下的期望值。例子：用密度函數(shù)來刻畫例子：在二項樹下的條件期望鞅的含義：即，和均是鞅過程。等價鞅測度存在性：定義，則從的定義可以看出，無套利條件成立當且僅當大于0而小于1（即，是概率）。等價鞅測度唯一性：上面定義的是使得下式成立（即股票和期權(quán)價格的折現(xiàn)值是鞅）的唯一概率。（Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In

4、 finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.）性質(zhì)：在一個二項樹模型中，股票和無風(fēng)險證券之間不存在套利機會的充分必要條件是存在唯一的等價鞅測度。證明：注：由上面的證明我們可以得到，即由證券形成的任何證券組合（自融資策略）的價值的現(xiàn)值也是鞅。這個式子僅僅在等價鞅測度下成立。當市場是完備的時候，任何交易的（無現(xiàn)金流支付）衍生證券都可以通過自融資策略來復(fù)制，由無套利條件，衍生證券的價值等于自融資策略的價值，從而衍生證券價格的現(xiàn)值

5、也是鞅，所以，新的價格系統(tǒng)也無套利。這給出了衍生證券等價鞅測度定價的方法：（1） 由原有價格系統(tǒng)求出等價鞅測度（2） 在該測度下求衍生證券的價格注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, th

6、eorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone.(2) The proposition can be generalized to economies more complex than the binomial model, which , in turn, implies that the risk neutral valuation procedure may also be gener

7、alized .推廣：(1) 利率是隨機的 ;(2) 別的衍生證券：利率衍生產(chǎn)品，以商品為標的物的衍生產(chǎn)品，外匯衍生產(chǎn)品。例子：無套利驗證例子：期貨合約的無套利定價例子：求等價鞅測度例子：不完備市場的等價鞅測度不唯一。例子：隨機利率下的期貨定價Using the equivalent martingale probabilities, futures prices follow a martingale. This statement usually causes some confusion because we stated that the relative asset price fo

8、llows a martingale. The source of the confusion lies within the terminology that is used to describe futures contracts. The terms futures price and the value of a futures contract refer to different concepts. When you enter into a futures contract, the futures price is set such that the value of the

9、 futures contract is zero. In proposition we are referring to the relative value of an asset. The futures price is just a contractual condition, the price agreed to today for future delivery. It does not correspond to the value of the futures contract.2一般經(jīng)濟系統(tǒng)2.1不確定性經(jīng)濟環(huán)境我們考慮一個具有唯一易腐消費品的證券市場經(jīng)濟。如果沒有特別地

10、強調(diào)，我們用表示不確定經(jīng)濟環(huán)境中具有有限狀態(tài)的狀態(tài)空間，用F=表示信息結(jié)構(gòu)，對任意。和第一章一樣，我們假設(shè)到時間，投資者就完全知道真實的狀態(tài)且Ø,。證券市場具有+1種長期證券，以作為指標。長期證券的特征由其紅利過程來刻畫，這里表示以消費品為單位，在時間支付的隨機紅利。紅利過程適應(yīng)于F。為使得分析簡化，我們不妨假設(shè)第0種長期證券直到時間才支付紅利，在時間，不管哪個狀態(tài)發(fā)生，支付的紅利均為一個單位的消費品。從這個假設(shè)我們可以看出，第0種證券事實上是一種期的面值為1的折現(xiàn)債券。第0種證券在時間的價格以表示，；而第（）種證券在時間的分紅后價格以表示。因為價格過程是分紅后的價格，所以有。自然地

11、，我們假設(shè)和是關(guān)于可測的。因為在經(jīng)濟均衡中能夠確定的只是證券的相對價格，所以不失一般性，我們假設(shè)長期證券的價格以唯一的消費品為單位，即消費品的價格為1。經(jīng)濟中有個個體，以作為指標。每個個體具有時間可加的效用函數(shù)，這些函數(shù)是單調(diào)增的、嚴格凹的、可微的。我們假設(shè)，這個假設(shè)保證所有個體都選擇嚴格正的消費。我們假設(shè)個體的主觀概率為，并且任意不確定狀態(tài)的概率大于0。我們假設(shè)個體擁有的稟賦是長期證券，份額為，表示個體在時間0擁有的第0種證券的份數(shù)。表示個體在時間0擁有的第種證券的份數(shù)。為了避免退化情形，我們假設(shè)對每個個體而言，³0，³0且存在某個使得>0。定義1：一個交易策略是一

12、個維過程,這里，和分別表示個體在時間的交易發(fā)生前，持有的從時間-1到時間的第0種證券和第證券的份數(shù)。一個交易過程一定是一個可料過程。我們引入記號定義2：一個消費計劃是一個適應(yīng)于F的過程：，這里表示以唯一消費品為計量單位，個體在時間的隨機消費。定義3：一個交易策略稱為可行的，如果它是可料的且存在一個消費計劃使得，對于任意有， （2-1）這里，。我們用H表示所有的可行的策略形成地集合。注：1. 關(guān)系（2-1）是一種自然的預(yù)算約束：在期收入（包括證券組合的市場值和紅利）用于消費和下一期的投資（購買下一期的證券組合）。2. 因為，且對所有的而言，所以（2-1）的左邊為0，從而（2-1）變成+即在期末，

13、所有的財富都用于消費。3. 在（1-24）中的消費計劃稱為是由交易策略融資的，以來表示。我們用C表示所有由可行交易策略融資的消費計劃的集合。4.因為一個長期證券是由它在每個時間的紅利來刻畫地，所以我們可以把由可行交易策略融資地消費計劃視為長期證券。2.2套利、狀態(tài)價格和鞅正如我們在前言中提到的一樣，本章的主要目的之一在于，給定價格系統(tǒng)，如何確定其余衍生資產(chǎn)的價格。因此，我們第一步就是驗證這個價格系統(tǒng)是否具有某種意義上的“合理性”，以及為了滿足這種合理性該價格系統(tǒng)應(yīng)該滿足的條件。因為對合理性的要求越弱，這種合理性的應(yīng)用也就越強，所以我們下面給出價格系統(tǒng)為了具有某種合理性應(yīng)該滿足的條件，并使得這個

14、條件盡可能地弱。從最理想的角度出發(fā)，這個價格系統(tǒng)具有的合理性也應(yīng)該是一個均衡價格系統(tǒng)應(yīng)該具有的。因為經(jīng)濟中的個體具有非滿足性，所以要使得一個價格系統(tǒng)是均衡的，這個價格系統(tǒng)就不能存在套利機會。因此我們把這個均衡價格系統(tǒng)具有的性質(zhì)作為價格系統(tǒng)必須滿足的合理性。下面給出目前經(jīng)濟環(huán)境中套利機會的嚴格定義。定義3：一個套利機會指的是由某個可行交易策略融資的消費計劃，滿足下列條件：1是非負的，且至少存在某個時間，使得>0的概率嚴格為正。2直觀上來說，一個套利機會就是不花錢就能進行消費。一個價格系統(tǒng)如果具有套利機會就不可能是一個均衡的價格系統(tǒng)，因為每個非滿足的個體都會利用這種套利機會，從而市場不可能是

15、出清的。在本節(jié)剩下的內(nèi)容里，我們?nèi)喂潭硞€個體的主觀概率，所有的計算都在這個概率之下得到的，為了記號簡單，我們簡記為。當證券市場不存在套利機會時，任意一種長期證券的價格過程和它的積累紅利，如果以第0種證券為單位，具有如下的性質(zhì)：在任意時間，它們在將來任意時間的和的條件期望等于它們在時間的和。這里的期望是某個概率下期望，這個概率不必等同于個體的主觀概率，但和個體的主觀概率有某種等價性。等價地，長期證券的價格和它的積累紅利之和，以第0種證券為單位，在一個新的概率之下是一個鞅過程。因為無套利條件是一個經(jīng)濟均衡的必要條件，所以每個均衡價格系統(tǒng)都具有這種鞅性質(zhì)。我們可以證明這種鞅性質(zhì)也是價格系統(tǒng)不具有套

16、利機會的充分條件。在具體討論這些性質(zhì)之前，我們先給出鞅的定義。定義4：一個過程是一個在概率之下適應(yīng)于F的鞅，如果對任意有，這里表示在概率之下關(guān)于的條件期望。如果C中兩個消費計劃，分別是由H中的可行策略和融資地，則對于任意常數(shù)a和b，消費計劃a+b可由策略融資，從而策略是可行的，而a+b屬于C，所以C是所有適應(yīng)過程形成的空間L的線性子空間。性質(zhì)1：價格系統(tǒng)無套利當且僅當存在一個嚴格增的線性函數(shù)R´L®R，使得對任意 C有。證明：我們設(shè)R+´L+=，M=C，由于C是線性空間，所以M也是線性空間。從而價格系統(tǒng)無套利當且僅當錐R+´L+與線性子空間M的交集是空集

17、。由分離超平面定理，存在一個非零的線性函數(shù)使得，對任意 M和任意非零的 R+´L+有。因為M是線性空間，所以對任意 M有，因此對任意非零的 R+´L+有，這說明是嚴格增的。反過來，如果存在由某個可行交易策略融資的套利機會，則對任意 C有，這導(dǎo)致矛盾。下面的結(jié)果給出了在空間R´L上的線性函數(shù)的Riesz表示定理。引理：對于每個線性函數(shù)R´L®R，存在唯一的Î R´L，使得對任意Î R´L有。如果是嚴格增的，則是嚴格正的。為了研究方便，我們把任何嚴格正的適應(yīng)過程稱為緊縮算子。一個緊縮算子稱為狀態(tài)-價格緊縮算子

18、，如果對任意有 （2-2） （2-3）當時，（2-2）的左、右兩邊均為0。我們能夠證明一個緊縮算子為狀態(tài)-價格緊縮算子當且僅當對任意交易策略有 （2-4）這說明一個交易策略在任何時間的市場值等于由它產(chǎn)生地將來消費的狀態(tài)價格期望折現(xiàn)值。價格系統(tǒng)的收益過程定義為；0，1。給定一個緊縮算子，緊縮收益過程為；0，1。我們可以把這種緊縮過程當作是一種計量單位變換。我們可以證明是狀態(tài)-價格緊縮算子當且僅當狀態(tài)-價格緊縮收益過程是一個鞅。定理1：價格系統(tǒng)不存在套利機會當且僅當存在一個狀態(tài)-價格緊縮算子。證明：假設(shè)不存在套利機會，則有性質(zhì)1知道，存在一個嚴格增的線性函數(shù)R´L®R，使得對任

19、意 C有。再由前面的引理有，存在一個緊縮算子使得對任意Î R´L有。從而對任意策略有0。我們證明（2-2）、（2-3），或者等價地，我們證明是一個鞅。顯然是一個鞅。我們下面考慮風(fēng)險證券。一個隨機過程是鞅當且僅當對于任意有限停時有。對于任意第種風(fēng)險證券和任意有限停時，考慮交易策略：；如果，則；如果，則=1，如果，則=0。因為對任意策略有0。所以0。這說明第種風(fēng)險證券的緊縮收益過程滿足。因為是任意的，所以是一個鞅。因此是一個鞅。這證明了無套利隱含著存在一個狀態(tài)-價格緊縮算子。反過來是顯然的。如果一個證券的價格僅僅是這種證券的紅利的期望折現(xiàn)值，則無論從計算方面還是從概念方面而言，

20、都會得到大大地簡化。當然，在一個具有風(fēng)險厭惡者的市場中，這一般是不可能的。但是，通過調(diào)整原有的概率測度，我們能夠接近這種刻畫證券價格的方法。下面我們引入等價鞅測度的概念。定義5：給定價格系統(tǒng)，我們稱概率測度等價于原概率測度，如果對于而言的所有零概率事件，對于而言也具有相同的零概率；一個等價概率測度稱為等價鞅測度，如果對于任意下式滿足， （2-5）這里，表示在概率測度下的條件期望。直觀上說，如果以第0種無風(fēng)險證券為計量單位，則在概率測度下，所有證券（顯然也包括第0種無風(fēng)險證券）的價格是鞅過程。我們很容易證明，是一個等價鞅測度當且僅當對于任意交易策略有：對于任意。 （2-6）由定義的緊縮算子g定義

21、了折現(xiàn)收益過程。術(shù)語“等價鞅測度”中“鞅”來源于下列的等價性。引理：一個等價于的概率測度是關(guān)于價格系統(tǒng)的等價鞅測度當且僅當折現(xiàn)收益過程對于概率測度而言是一個鞅。 我們下面證明價格系統(tǒng)無套利和存在等價鞅測度之間的等價性。由定理1我們知道，無套利等價于存在狀態(tài)-價格緊縮算子。設(shè)是由Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)定義的概率測度，即滿足，對于任意的隨機變量有。因為是嚴格正的，所以和等價。關(guān)于的密度過程定義為。從而對于任意時間和，任意的可測的隨機變量有. (2-7)（見Karatzas andShreve 1992, P193, Lemma 5.3）。固定任意時間，考慮交易策略：當時，。由（2-4）我們

22、有。 （2-8）由（2-7）和（2-8）以及狀態(tài)-價格緊縮算子的定義，我們得到（2-5）。所以我們證明了下面的定理。定理2：價格系統(tǒng)無套利當且僅當存在等價鞅測度。而且是狀態(tài)-價格緊縮算子當且僅當?shù)葍r鞅測度具有密度過程，由定義。我們已經(jīng)證明了等價鞅測度的存在性。下面的性質(zhì)給出了等價鞅測度的唯一性。性質(zhì)2：假設(shè)且市場不存在套利機會，則市場是完備的當且僅當存在唯一的等價鞅測度。證明：假設(shè)市場是完備的。設(shè)、是兩個等價鞅測度。我們必須證明=。設(shè)是任意事件。因為市場是完備的，所以存在交易策略使得其消費過程滿足，當0時，。由（2-6）我們有。因為是任意事件，所以我們證明了=。反過來，假設(shè)存在唯一的等價鞅測度

23、。設(shè)LH市場是完備的當且僅當I=J。由定理2我們知道，存在唯一的等價鞅測度當且僅當存在唯一的狀態(tài)-價格緊縮算子，使得=1。假設(shè)。因為I是J的線性子空間，所以在J中存在某個非零的y，在下訴意義下垂直于I：對任意有。設(shè) L定義為：對任意，這里的e>0充分小使得是嚴格正的。定義新的狀態(tài)-價格緊縮算子：，則由定理1的證明知道是一個不同于的狀態(tài)-價格緊縮算子，且滿足=1。這導(dǎo)致矛盾。所以，如果存在唯一的狀態(tài)-價格緊縮算子，使得=1，則市場必須是完備的。這種資產(chǎn)定價的鞅方法簡化了很多看起來非常復(fù)雜的資產(chǎn)定價問題，例如美式期權(quán)的定價。鞅方法還可以在比這里更一般的環(huán)境中得到廣泛地應(yīng)用，例如，這里假設(shè)存在

24、無風(fēng)險的債券只是為了研究的方便，我們可以以任意一種證券為計量單位來計算所有證券的價格及其積累紅利的折現(xiàn)值。2.3狀態(tài)-價格和等價鞅測度的顯示表示在上一節(jié)，我們證明了價格系統(tǒng)無套利當且僅當存在等價鞅測度和狀態(tài)-價格緊縮算子。這是關(guān)于等價鞅測度和狀態(tài)-價格緊縮算子的存在性問題。但在實際應(yīng)用中，僅僅知道存在性并不能解決問題，我們還必須能夠顯示地表示等價鞅測度和狀態(tài)-價格緊縮算子。在這一章中，我們利用個體的效用函數(shù)來研究這個問題。另外，在我們上面證明等價鞅測度的存在性時，我們?nèi)〉脑怕蕿槿我庖粋€個體的主觀概率，那么，當我們?nèi)〉脑饔^概率不同時，是否會得到不同的等價鞅測度，從而對同一衍生證券而言，不同的

25、個體是否會有不同的價格？我們會看到，盡管個體的原主觀概率不同，但當市場是完備時，他們得到的等價鞅測度卻相同，從而對同一衍生證券而言，不同的個體會得到相同的價格。至于市場不是完備的情形，我們將在第八章中討論。給定價格系統(tǒng)，經(jīng)濟中個體解決如下的最優(yōu)化問題：受約束于 （2-9）是由融資的這里表示在概率之下的期望。因為狀態(tài)數(shù)目是有限的且個體只選擇非負的消費計劃，所以我們可以證明價格系統(tǒng)無套利當且僅當最優(yōu)化問題（2-9）的解存在。定理3：價格系統(tǒng)無套利當且僅當最優(yōu)化問題（2-9）的解存在。證明：我們以H表示初始成本為的可行策略構(gòu)成的集合。定義集合Y=H。即，Y表示由稟賦出發(fā)的可行策略融資的消費集合，顯然

26、YÍ乘積空間。定義算子：®。如果在乘積空間上定義范數(shù)：對于任意xÎ, ，則是一個完備的度量空間。而算子是上的連續(xù)函數(shù)。當價格系統(tǒng)無套利時，Y有上界，顯然Y有下界。從而在Y上有最大值，即最優(yōu)化問題（2-9）的解存在。反過來，當最優(yōu)化問題（2-9）的解存在時，顯然不能存在套利機會。假設(shè)最優(yōu)化問題（2-9）的解為。設(shè)由融資的消費計劃為。由第一章的動態(tài)規(guī)劃方法我們得到，對任意有（2-10）因為在時間是已知的，（2-10）可以表示成（2-11）我們對（2-11）可以作如下的解釋：左邊是在時間少消費一份證券的邊際效用，右邊是在時間+1多一份證券帶來的邊際效用。在最優(yōu)消費路徑上

27、，左右應(yīng)該相等。注：由狀態(tài)-價格緊縮算子的定義（2-2），我們知道邊際效用函數(shù)就是狀態(tài)-價格緊縮算子。折現(xiàn)債券的價格也滿足類似（2-10）的關(guān)系，在任意時間有。重復(fù)疊代上述關(guān)系，我們得到，對任意有。（2-12）由（2-11）、（2-12）我們可以看出，在任意主觀概率之下，長期證券的價格過程一般來說不是鞅。使得價格過程加上積累紅利在某個主觀概率之下是鞅的一個充分條件是，該個體是風(fēng)險中性的，且沒有時間偏好。這時對于任意，=常數(shù)因此（2-11）、（2-12）變成，對于任意時間（2-13），（2-14）這里表示在概率之下的條件期望。由（2-14）知利率為零。定義證券的積累紅利為：對任意在（2-13）兩

28、邊同加上得到重復(fù)疊代上述關(guān)系，我們得到，對任意有。（2-15）從而在概率之下，價格過程加上積累紅利之和是鞅。當沒有個體是風(fēng)險中性者時，通過正規(guī)化和變換概率測度，長期證券的價格加上紅利仍舊與鞅有關(guān)。正規(guī)化使得以某種長期證券為單位的利率為零，而變換概率測度包容了風(fēng)險回避。這是我們下面將要討論的內(nèi)容。我們首先定義折現(xiàn)價格系統(tǒng)和積累紅利過程如果，；，這里。是嚴格正的，否則就存在套利機會，例如在為零的時候買進債券，一直持有到時間。所以上述的定義有意義。其次，我們定義新的概率測度如下對任意的，。（2-16）注：5我們注意這個定義只不過是定理1的一個應(yīng)用。6當市場是完備的時候，最優(yōu)化問題（2-9）可以變成第

29、一章的最優(yōu)化問題（1-9），從而最優(yōu)性一階條件變成（1-7）。由于（1-7）獨立于個體，所以由（2-16）知道，定義的新概率測度對所有個體均相同。從而這與性質(zhì)2一致。下面我們證明是一個定義在上的概率。我們必須證明：（1）對任意的有；（2）。因為邊際效用是嚴格正的，且，所以第一條是顯然的。其次， = =1，這里的第三個等式來源于（2-12）。下面我們證明在概率下，是鞅，即是等價鞅測度。首先我們給出當時，給定，在概率下事件的條件概率如果（2-17）類似地，我們定義給定，在概率之下事件的條件概率。當時，我們有 =，（2-18）這里表示個體在時間當事件發(fā)生時的最優(yōu)消費，表示在概率之下事件發(fā)生的概率。由

30、（2-12）我們知道當時，（2-19）這里表示在時間當事件發(fā)生時的債券價格。把（2-19）代入（2-18）我們有。（2-20）我們把（2-20）代入（2-10）得到，對所有，（2-21）這里表示在概率之下的條件期望。重新改寫（2-21）我們得到。（2-22）我們比較（2-13）和（2-22）可以看出，這兩個式子具有相同的形式，只不過前者以消費品為單位，期望在概率之下取得，而后者以折現(xiàn)債券為單位，期望在之下取得。采用由（2-13）得到（2-15）的方法，我們可以由（2-22）得到，對于任意的有。（2-23）我們證明了在概率下，是鞅。至于折現(xiàn)債券，在之下顯然為鞅。到此為此，我們證明了是等價鞅測度。

31、注：7.雖然我們只是利用某個個體的主觀概率和他的邊際效用來構(gòu)造等價鞅測度，但在這個等價鞅測度之下，對所有的個體而言，正規(guī)化的價格過程和正規(guī)化的紅利過程之和為鞅。2.4 無套利和存在等價鞅測度等價性的一個應(yīng)用我們在第一章里介紹多期證券市場的動態(tài)完備性的時候，我們給出一個價格系統(tǒng)的例子，當時只假設(shè)這個價格系統(tǒng)是無套利的?，F(xiàn)在我們利用無套利與存在等價鞅測度之間的等價性來證明這個價格系統(tǒng)確實不存在套利機會。為了討論方便，我們重新給出這個價格系統(tǒng)，見圖2-1。注意這三個證券直到時間3才支付紅利。在時間3給出的就是支付的紅利。事件樹中的每個分支都有一個嚴格正的概率。在時間1，當處于上面的結(jié)點時，設(shè)分別表示

32、的條件概率。因為證券0的價格過程加上積累紅利在所有的時間點均為1，所以折現(xiàn)價格系統(tǒng)仍為原系統(tǒng)。如果存在等價鞅測度，則必須滿足下面的線性方程：（2-24）第一個方程表示條件概率的和應(yīng)該為1。后三個方程表示各種證券在時間2的價格與積累紅利之和的條件期望值等于在時間1的上結(jié)點的價格與積累紅利之和。方程組（2-24）的唯一解為我們把這些概率記在相應(yīng)的分支上。同樣地，我們解下列方程組得到所有的條件期望。在時間1的下結(jié)點解為。在時間0解為。我們能夠證明這些條件概率是使得價格加上積累紅利為鞅的唯一概率，并且這些條件概率為嚴格正的。給出這些條件概率后，我們下面很容易計算等價鞅測度，它們?yōu)楦鱾€狀態(tài)的無條件概率=

33、，這個概率測度等價于原概率測度，且使得價格加上積累紅利為鞅。從而我們證明了由圖2-1給出的價格系統(tǒng)無套利。由于市場是完備的，所以等價鞅測度是唯一的。這點在我們求方程組解的過程中看得很明顯。反過來，如果價格系統(tǒng)在某個結(jié)點不滿足鞅性質(zhì)，則我們可以在這個結(jié)點構(gòu)造套利機會。為了說明這點，我們對圖2-1給出的價格系統(tǒng)作適當?shù)母淖?，見圖2-2，我們在時間1的上結(jié)點把第二種證券的價格改為3。在時間1的上結(jié)點，使得證券的價格加上積累紅利為鞅的條件概率滿足這個方程組的解不存在。所以不存在等價鞅測度。我們觀察這個價格系統(tǒng)馬上可以發(fā)現(xiàn)等價鞅測度不存在而存在套利機會的原因。在時間1的上結(jié)點，第二、三種證券的價格均為3

34、，而在時間2的三種可能狀態(tài)，第二種證券的支付均大于第三種證券，在狀態(tài)，第二種證券的支付還大于3，所以第二種證券占優(yōu)于第一、第三種證券，所以存在套利機會。例如，賣空第一種證券、買第二種證券的策略就是套利機會。2.5套利定價我們證明給定的價格系統(tǒng)無套利并找出等價鞅測度的一個主要目的是為了解決衍生資產(chǎn)的定價問題。給定一個價格系統(tǒng)，如果我們找出了該系統(tǒng)的等價鞅測度，則以這個價格系統(tǒng)為參照物給出衍生資產(chǎn)的價格就變得相當簡單。這里有兩種方法，第一種是套期保值的思想，利用存在的長期證券把待定價的衍生資產(chǎn)的支付復(fù)合出來，由無套利原理，衍生資產(chǎn)的價格等于復(fù)合證券組合的初始成本。第二種方法利用等價鞅測度的定義來給

35、出衍生資產(chǎn)的價格。這兩種方法都涉及到市場的完備性問題。因為一個長期證券是由它在每個時間-事件下的支付來刻畫的，所以一個長期證券等價于一個消費計劃，以后我們將交互使用這兩個名稱。我們在這一節(jié)將證明，當價格系統(tǒng)不存在套利機會時，我們能精確地給出任何可交易的消費計劃或者長期證券隨著時間而變化的價格。因為一種衍生證券就是一種消費計劃或者長期證券，所以當這種衍生證券是上市的且證券市場不存在套利機會時，我們也能給出這種衍生證券的價格。這時，我們稱衍生證券是由套利定價的。定理4：當證券市場不存在套利機會時，如果一種消費計劃或者長期證券是上市的，則這種消費計劃或者長期證券是可由套利定價的證明：我們首先證明上市長期證券在時間0具有唯一的分紅-前價格。設(shè)是可上市的，且由融資，由（2-1）我們知道動態(tài)交易的成本為。這是在時間0的分紅-前價格。當價格系統(tǒng)不存在套利機會時，這個價格是唯一的。如果價格不唯一，則存在另外一個可行的交易策略，使得由融資但具有不同的成本。不失一般性，假設(shè)我們?nèi)菀昨炞C是一個可行的交易策略，由這個策略融資的消費計劃在每期均為0，而該策略的初始成本為負，所以這就是一個套利機