知識點114 二元一次方程的應(yīng)用解答

1、1（2011湘潭）九年級某班組織班團活動，班委會準備買一些獎品班長王倩拿15元錢去商店全部用來購買鋼筆和筆記本兩種獎品，已知鋼筆2元/支，筆記本1元/本，且每樣?xùn)|西至少買一件（1）有多少種購買方案？請列舉所有可能的結(jié)果；（2）從上述方案中任選一種方案購買，求買到的鋼筆與筆記本數(shù)量相等的概率考點：二元一次方程的應(yīng)用；概率公式。專題：應(yīng)用題。分析：（1）應(yīng)設(shè)出兩種獎品的件數(shù)，由鋼筆和筆記本兩種獎品的價格為15元列出方程，根據(jù)整數(shù)值來確定購買方案；（2）根據(jù)概率公式P（A）=，求解即可解答：解：（1）設(shè)鋼筆和筆記本兩種獎品各a，b件則a1，b1，2a+b=15當a=1時，b=13；當a=2時，b=1

2、1；當a=3時，b=9；當a=4時，b=7；當a=5時，b=5；當a=6時，b=3；當a=7時，b=1故有7種購買方案；（2）買到的鋼筆與筆記本數(shù)量相等的購買方案有1種，共有7種購買方案1÷7=，買到的鋼筆與筆記本數(shù)量相等的概率為點評：考查了二元一次方程的應(yīng)用和概率公式解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系注意根據(jù)整數(shù)值來確定購買方案2（2009柳州）某校積極推進“陽光體育”工程，本學期在九年級11個班中開展籃球單循環(huán)比賽（每個班與其它班分別進行一場比賽，每班需進行10場比賽）比賽規(guī)則規(guī)定：每場比賽都要分出勝負，勝一場得3分，負一場得1分（1）如果某班在所有的比賽中只得14

3、分，那么該班勝負場數(shù)分別是多少？（2）假設(shè)比賽結(jié)束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班獲勝的場數(shù)不超過5場，且甲班獲勝的場數(shù)多于乙班，請你求出甲班、乙班各勝了幾場考點：二元一次方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用。專題：工程問題。分析：（1）設(shè)該班勝x場，則該班負（10x）場根據(jù)得分列方程求解；（2）設(shè)甲班勝了x場，乙班勝了y場，根據(jù)甲班得分是乙班的3倍，用x表示y再根據(jù)甲班獲勝的場數(shù)不超過5場，且甲班獲勝的場數(shù)多于乙班，列出不等式組求解解答：解：（1）設(shè)該班勝x場，則該班負（10x）場依題意得3x（10x）=14解之得x=6（3分）所以該班勝6場，負4場；（2）設(shè)甲班勝了x場，乙班勝了y場，依題意有：3

4、x（10x）=33y（10y），化簡，得3y=x+5，即y=由于x，y是非負整數(shù)，且0x5，xy，x=4，y=3所以甲班勝4場，乙班勝3場答：（1）該班勝6場，負4場（2）甲班勝4場，乙班勝3場點評：此題主要是根據(jù)得分列方程求解在（2）中列不等式組求得x，y的取值范圍求解3（探索題）某球迷協(xié)會組織36名球迷擬租乘汽車赴比賽場地，為中國國家男子足球隊吶喊助威，可利用的汽車有兩種：一種每輛可乘8人，另一種每輛可乘4人，要求租用的車子不留空座，也不超載（1）請你給出三種不同的租車方案；（2）若8個座位的車子租金是300元/天，4個座位的車子租金是200元/天，請你設(shè)計費用最小的租車方案，并簡述你的理

5、由考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：方案型。分析：通過理解題意可知球迷是36名，可租車有8座車和4座車，要求租用的車子不留空座，也不超載依此可列二元一次方程二元一次方程組在一般情況下有無數(shù)組解，但在實際問題中應(yīng)根據(jù)實際情況進行討論解答：解：（1）設(shè)8座車租x輛，4座車租y輛，則8x+4y=36，即2x+y=9，x，y為非負數(shù)，x可取0，1，2，3，4，則y依次為9，7，5，3，1，則租車方案有：8座車4輛，4座車1輛；8座車3輛，4座車3輛，8座車2輛，4座車5輛等（2）因8座車相對4座車的費用少，欲使費用最小，則必須多租8座車，所以符合要求的租車方案為：8座車4輛，4座車1輛，此時費用為：4&

6、#215;300+1×200=1400（元）點評：任意一個二元一次方程都有無數(shù)個解，但具體問題要具體分析，如本題中未知數(shù)的解都應(yīng)是整數(shù)4一根長20米的鋼管，剛好截成若干根長3米和2米的規(guī)格的鋼管，則共幾種不同的截法？考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：設(shè)截得的3米的鋼管有x根，2米的鋼管有y根，根據(jù)已知條件可以列出方程3x+2y=20，而x、y都是整數(shù)，由此即可求出結(jié)果解答：解：設(shè)截得的3米的鋼管有x根，2米的鋼管有y根，則3x+2y=20，2y=203x，而x、y都是正整數(shù)，x0，y0，0x，并且203x必須是偶數(shù)，x是偶數(shù)，所以共有3種不同的截法點評：此題主要考查的是二元一次方程的整

7、數(shù)解的問題，根據(jù)題意首先可以確定其中的未知數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)本身所具有的性質(zhì)即可確定方程的特殊解5某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貨款，有多少種不同的方法？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：設(shè)需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142分，可列出二元一次方程討論求解解答：解：設(shè)需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142，于是7x+5y=142所以y=28x+=28x由于7x142，所以x20，并且x，y為整數(shù)，從而x=1，6，11，16，的非負整數(shù)解為，所以，共有4種不同的支付方式點評：說明當方程的系數(shù)較小時，而且是求非負整數(shù)解或者是實際問題時，這時候的解的組數(shù)往

8、往較少，可以用整除的性質(zhì)加上枚舉，也能較容易地解出方程6在一次數(shù)學競賽中，組委會決定用NS公司贊助的款購買一批獎品，若以1臺NS計算器和3本數(shù)學競賽講座書為一份獎品，則可買100份獎品；若以1臺NS計算器和5本數(shù)學競賽講座書為一份獎品，則可買80份獎品，問這筆錢全部用來購買計算器或數(shù)學競賽講座書，可各買多少？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：設(shè)每臺計算器x元，每本數(shù)學競賽講座書y元，這筆錢為s元，根據(jù)題目的等量關(guān)系可列方程100（x+3y）=s=80（x+5y），求解解答：解：設(shè)每臺計算器x元，每本數(shù)學競賽講座書y元，這筆錢為s元則有100（x+3y）=s=80（x+5y）化簡得x

9、=5y解得s=800y則這筆款可買數(shù)學競賽講座800本又y=，s=160x則這筆款可買計算器160臺點評：本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系錢數(shù)不變，然后從方程的特點求解7小張帶了5角錢去買橡皮和鉛筆，橡皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問5角錢剛好買幾塊橡皮和幾支鉛筆？考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：通過理解題意，我們可以知道本題中存在一個等量關(guān)系，即錢數(shù)和買橡皮鉛筆花去的數(shù)目是相等的，根據(jù)這一等量關(guān)系，可以列出方程求解作答解答：解：設(shè)小張買了x塊橡皮，y支鉛筆，則根據(jù)題意得方程：3x+11y=50這個問題要求的是買橡皮的塊數(shù)和鉛筆的支數(shù)，橡皮的塊數(shù)與鉛筆的支數(shù)只能是正整數(shù)或零，所以從這個

10、問題的要求來說，我們只要求這個方程的非負整數(shù)解因為鉛筆每支1角（1分），所以5角錢最多只能買到4支鉛筆，因此，小張買鉛筆的支數(shù)只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4這五個若y=0，則x=，不是整數(shù)，不合題意；若y=1，則x=13，是整數(shù)，符合題意；若y=2，則x=，不是整數(shù)，不合題意；若y=3，則x=，不是整數(shù)，不合題意；若y=4，則x=2，符合題意所以，這個方程有兩組正整數(shù)解，即或；答：5角錢剛好能買2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡皮與1支鉛筆故答案為：2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡皮與1支鉛筆點評：本題解題的關(guān)鍵在于，找到題目中所給的等量關(guān)系，再根據(jù)這一等量關(guān)系，

11、列出方程求解作答，另外應(yīng)特別注意，實際問題實際分析8某山區(qū)有23名中小學生因貧困失學，一學校積極捐款幫助這23名學生失學兒童，已知捐助一名中學生要a元，一名小學生要b元下表是該學校各年級捐款數(shù)額與捐助貧困中小學生人數(shù)的部分情況：年級 捐款數(shù)額（元） 捐助中學生人數(shù)（名）捐助校學生人數(shù)（名） 初一 4000 2 4 初二 4200 3 3 初三 7400（1）求a，b的值；（2）請將初三年級捐助的貧困中小學生人數(shù)直接填入上表中（不需要寫出計算過程）考點：二元一次方程的應(yīng)用；統(tǒng)計表。專題：圖表型。分析：（1）根據(jù)初一年級捐款數(shù)額=捐助中學生的錢數(shù)+捐助小學生的錢數(shù)，初二年級捐款數(shù)額=捐助中學生的錢

12、數(shù)+捐助小學生的錢數(shù)的等量關(guān)系列出方程組求出a，b的值；（2）根據(jù)已知可知道九年級一共捐助了2312=11名學生，及九年級捐款數(shù)額=捐助中學生的錢數(shù)+捐助小學生的錢數(shù)的等量關(guān)系，列出方程組求出捐助小學生的人數(shù)和捐助在中學生的人數(shù)解答：解：（1）根據(jù)已知條件可以得可以得出a=800，b=600；（2）根據(jù)已知可知道九年級一共捐助了2312=11名學生設(shè)9年級捐助小學生為x人，捐助中學生為y人，就可以得出：就可以算出x=7，y=4年級 捐款數(shù)額（元） 捐助中學生人數(shù)（名）捐助校學生人數(shù)（名） 初一 4000 2 4 初二 4200 3 3 初三 7400 4 7點評：本題是一道利用統(tǒng)計知識解答實際

13、問題的重點考題考查從統(tǒng)計表中獲取信息的能力及二元一次方程組的解法9為了鼓勵節(jié)約用水，某供水公司對自來水的收費標準規(guī)定如下：每月每戶用水不超過10立方米部分按0.45元/立方米收費；超過10立方米而不超過20立方米部分按0.80元/立方米收費；超過20立方米部分按1.50元/立方米收費；某月份A戶比B戶多繳水費7.10元，B戶比C戶多繳水費3.75元問A、B、C當月三戶各繳水費多少元（自來水按整立方米數(shù)收費）？考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：通過理解題意可知，本題中存在兩個等量關(guān)系，即：A戶比B戶多繳水費7.10元，B戶比C戶多繳水費3.75元，結(jié)合本題實際情況，列出方程求解解答：解：由已知的數(shù)

14、據(jù)3.75元存在小數(shù)位可以判斷，C用戶的用水量不會超過10立方米，因此可設(shè)C用戶用水為x立方米（x為整數(shù)，且0x10），B戶用水（10+y）立方米（y為整數(shù)，且0y10），A戶用水為（20+z）立方米（z為整數(shù)，且0z），由第一組等量關(guān)系：B戶比C戶多繳水費3.75元，可列出方程：0.45x+3.75=0.8y+0.45×10，即9x16y=15因為3能整除9和15，但不能整除16，故3比能整除y，又y介于0到10之間，故y可取值3、6、9，經(jīng)驗證只有y=3時x才為整數(shù)即：x=7同理，因為A戶比B戶多繳水費7.10元，可列出方程：0.8y+0.45×10+7.10=1.5z

15、+0.8×10+0.45×10，即：8y15z=9，把y=3代入上式得：z=1，因此：A用戶當月交水費為：1.5×1+0.8×10+0.45×10=14（元），B用戶當月交水費為：0.8×3+0.45×10=6.9（元），C用戶當月交水費為：0.45×7=3.15（元）答：A用戶當月交水費為14元，B用戶當月交水費為6.9元，C用戶當月交水費為3.15元故答案為：A用戶當月交水費為14元，B用戶當月交水費為6.9元，C用戶當月交水費為3.15元點評：此題是一道緊密聯(lián)系生活實際的題，解題的關(guān)鍵在于找出題目中所給的等量

16、關(guān)系，根據(jù)這一等量關(guān)系列出方程作答10一隊旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的旅客人數(shù)相等起初每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下1人未上車；如果有一輛汽車空著開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：設(shè)起初有汽車m輛，開走一輛空車后，平均每輛車所乘旅客為n人由于m2，n32，依題意有22m+1=n（m1）解答：解：設(shè)起初有汽車m輛，開走一輛空車后，平均每輛車所乘旅客為n人由于m2，n32，依題意有22m+1=n（m1）所以n=22+因為n為自然數(shù)，所以23/m1為整數(shù)，因此m1=1，或m1=23

17、，即m=2或m=24當m=2時，n=45（不合題意，舍去）；當m=24時，n=23（符合題意）所以旅客人數(shù)為：n（m1）=23×（241）=529（人）答：起初有汽車24輛，有乘客529人點評：本題考查理解題意能力，并且注意解方程后所得結(jié)果必須代入原題檢驗根的合理性，并根據(jù)情況做具體討論11現(xiàn)有某物質(zhì)73噸，計劃用載重量分別為7噸和5噸的兩種卡車一次運走，且每輛車都要裝滿，已知載重量7噸的卡車每臺車運費65元，載重量5噸的卡車每臺車運費50元，問最省運費是多少元？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：要求最省運費，就要看看每噸運費用那輛車便宜，65÷7=9，50&#

18、247;5=10，可看出多用載重量7噸的卡車的運費最省解答：解：設(shè)用載重量7噸的卡車x輛，載重量5噸的卡車y輛7噸的卡車每噸的運費為65÷7=9，5噸的卡車每噸的運費為50÷5=10，故多用載重量7噸的卡車運費最省7x+5y=73x=x，y都為整數(shù)，故y=2時，x=965×9+50×2=685（元）答：最省運費為685元點評：本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是找到哪輛車運一噸最便宜，然后根據(jù)要多用運一噸運費便宜的車和未知數(shù)為整數(shù)的特點求解12兄弟二人養(yǎng)了一群羊，當每只羊的價錢（以元為單位）的數(shù)值恰等于這群羊的只數(shù)時，將這群羊全部賣出，兄弟二人平分賣羊得來的錢

19、：哥哥先取10元，弟弟再取10元；這樣依次反復(fù)進行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，這時哥哥將自己的一頂草帽給了弟弟，兄弟二人所得的錢數(shù)相等問這頂草帽值多少錢？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：設(shè)有x只羊，兄弟倆反復(fù)取10元錢y次，弟弟最后得到的錢z元，x220y=10+z草帽的錢數(shù)為，z為1，2，3，4，5，6，7，8，9解答：解：設(shè)有x只羊，兄弟倆反復(fù)取10元錢y次，弟弟最后得到的錢z元x220y=10+zy1，z為1，2，3，4，5，6，7，8，9x=6或14或16z=6草帽的錢數(shù)為=2故草帽的錢數(shù)為2元點評：本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是三個未知數(shù)，然后列方程求解

20、13一樓房內(nèi)有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有A、B、C、D、E、F六種報紙，已知每家至少訂有1種報紙，且趙、錢、孫、李、周分別訂了其中2、2、4、3、5種報紙，而A、B、C、D、E五種報紙在這幢樓里分別有1、4、2、2、2家訂戶，若吳姓住戶訂有x種報紙，報紙F在這幢樓里有y家訂戶，試寫出一個含有x、y的等式，并求出x、y的值考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：首先根據(jù)這幢樓內(nèi)訂閱的報紙總數(shù)是一定的，列出方程組：2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y找出x與y間的關(guān)系表達式根據(jù)題意找出隱含條件x1，y6，x、y均為正整數(shù)那么分y=0、1、2、3、4、5

21、、6七種情況討論，最終得出符合題意的x、y取值即可解答：解：根據(jù)題意有：2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y5+x=y，即yx=5又x1，y6，x、y均為正整數(shù)，當y=0、1、2、3、4、5時，不合題意舍去；當y=6時，x=1答：x=1，y=6點評：本題考查二元一次方程的應(yīng)用解決本類題目的關(guān)鍵是認真閱讀題目找到等量關(guān)系，列出方程；再根據(jù)隱含條件，盡量所求未知數(shù)的取值，討論得到最終結(jié)果14把一根lm長的金屬線材，截成長為23cm和13cm的兩種規(guī)格，用怎樣的方案截取材料利用率最高？求出最高利用率（利用率=，截口損耗不計）考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：優(yōu)選方案問題。分析：首先假設(shè)1m的

22、金屬線材截取長為23cm的線材x根，截取長為13cm的線材y根則材料的利用率=再根據(jù)題意列出關(guān)系式23x+13y100，x、y滿足的條件：1x4，1y7，x、y都是整數(shù)，且23x+13y即可能接近100最后就x=1、2、3、4時討論y、的取值情況，值最大者即為最佳方案解答：解：設(shè)1m的金屬線材截取長為23cm的線材x根，截取長為13cm的線材y根則材料的利用率=由題意得 23x+13y100，1x4，1y7，x、y都是整數(shù)，且23x+13y即可能接近100當x=1時，y=5，=88%；當x=2時，y=4，=98%；當x=3時，y=2，=95%；當x=4時，y=0不合題意舍去設(shè)1m的金屬線材截取

23、長為23cm的線材2根，截取長為13cm的線材4根則材料利用率最高，最高利用率為98%點評：本題考查了二元一次不等式的應(yīng)用解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的隱含條件確定x的取值，進而得到y(tǒng)、的取值15有一根長38米的鐵絲，全部分成5米和3米長的鐵絲，要求沒有剩余，問有多少種不同的分法？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題；分類討論。分析：設(shè)分成5米長的有x條，分成3米長的有y條，則有：5x+3y=38（稱之為不定方程），x，y為非負整數(shù)解，可討論求結(jié)果解答：解：設(shè)分成5米長的有x條，分成3米長的有y條，則有：5x+3y=38（稱之為不定方程）下面求此方程的非負整數(shù)解由得：y0x最大取0x7用x=0

24、，1，2，3，4，5，6，7代入式：當x=0時，不為整數(shù)，舍去當x=1時，y=11為非負整數(shù)，符合條件當x=2時，不為整數(shù)，舍去當x=3時，不為整數(shù)，舍去當x=4時，y=6為非負整數(shù)，符合條件當x=5時，不為整數(shù)，舍去當x=6時，不為整數(shù)，舍去當x=7時，y=1為非負整數(shù)，符合條件所以原不定方程的非負整數(shù)解為，故有3種不同的分法點評：本題根據(jù)題意列出方程，然后根據(jù)x，y都取非負整數(shù)，討論求解即可16有這樣的兩位數(shù)，交換該數(shù)數(shù)碼所得的兩位數(shù)與原數(shù)的和是一個完全平方數(shù)例如，29就是這樣的兩位數(shù)，因為29+92=121=112請你找出所有這樣的兩位數(shù)考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：數(shù)字問題。分析：設(shè)

25、十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，這個兩位數(shù)就為10a+b，交換位置后為10b+a，（10a+b）+（10b+a）=11a+11b=11（a+b），因而a+b是11的倍數(shù)，即a+b=11k，且k是完全平方數(shù)，根據(jù)a，b的取值討論k的取值，從而得到解解答：解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b10a+b）+（10b+a）=11a+11b=11（a+b）因而a+b是11的倍數(shù)，即a+b=11k，且k是完全平方數(shù)由a9，b9，即a+b18，所以k=1，a+b=11，符合條件的有8組，檢驗后，兩位數(shù)有8個，29.38，47，56，65，74，83，92點評：本題考查的是數(shù)字問題，關(guān)鍵是兩位數(shù)的十位數(shù)字是

26、a，個位數(shù)字是b，然后根據(jù)題意列方程求解17某布店的一頁賬簿上沾了墨水，如下表所示： 月 日 摘要數(shù)量（米） 單價（元/米） 金額（元） 1 13 全毛花呢XX 49.36 XXX7.28所賣呢料米數(shù)看不清楚了，但記得是賣了整數(shù)米；金額項目只看到后面3個數(shù)碼7.28，但前面的3個數(shù)碼看不清楚了，請你幫助查清這筆賬考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：首先假設(shè)所賣呢料數(shù)量為x米，金額前三位數(shù)為y，根據(jù)金額=單價×數(shù)量，金額數(shù)字的特點列出方程49.36x=10y+7.28根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷出x的取值范圍，為了取整數(shù)因而令，根據(jù)該式，可討論符合條件的t取值進而得到x取值，問題得解解

27、答：解：設(shè)所賣呢料數(shù)量為x米，金額前三位數(shù)為y則由題意得 49.36x=10y+7.28，即y=，1007.2849.36x9997.28，即21x203，令，則x=，必為整數(shù)，且21x203解得t=3，于是x=98，金額為49.36×98=4837.28元答：所賣呢料米數(shù)為98米，金額為4837.28元點評：本題考查二元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，充分運用題目中的隱含條件判斷x取值范圍，并引入了t未知數(shù)以確定x的具體取值，這是不定方程的典型題例18一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地

28、，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發(fā)點，試問：科學考察隊的生態(tài)區(qū)考察了多少天？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：行程問題。分析：設(shè)考察隊到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天則x+y+z=60，根據(jù)題目說明可列方程17x25y=2425，即25y17x=1這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè)法求出的一組合題意的解，然后計算出z的值為此，用輾轉(zhuǎn)相除法先求出的一組特殊解（x0，y0），（這里x0，y0可以是負整數(shù)）即x0=3，y0=2下面再求出的合題意的解再由不定方程的知識可知令x=3+25t，y=2+17t，則x+y=42t

29、5，t為整數(shù)按題意0x+y60，此時t可確定，x+y的值即可確定，那么z值就確定解答：解：設(shè)考察隊到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天則由題意得 x+y+z=60，17x25y=2425，即25y17x=1先求出的一組特殊解（x0，y0），（這里x0，y0可以是負整數(shù)）用輾轉(zhuǎn)相除法25=l×17+8，17=2×8+1，故1=172×8=172×（2517）=3×172×25與的左端比較可知，x0=3，y0=2由不定方程的知識可知，的一切整數(shù)解可表示為x=3+25t，y=2+17t，x+y=42t5，t為整數(shù)按題意0x+y60

30、，故僅當t=1時才合題意，這時x+y=425=37，z=60（x+y）=23答：考察隊在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天點評：本題考查二元一次方程的應(yīng)用本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希望學生仔細領(lǐng)會所用方法19一個家電維修中心有技術(shù)員工和輔助員工共15人，技術(shù)員工數(shù)是輔導(dǎo)員工數(shù)的2倍家電維修中心計劃對員工發(fā)放獎金共計20000元，按“技術(shù)員工個人獎金”A元和“輔導(dǎo)員工個人獎金”B元兩種標準發(fā)放，其中AB800，并且A，B都是100的整數(shù)倍（1）求該家電維修中心中技術(shù)員工和輔導(dǎo)員工的人數(shù)；（2）求本次獎金發(fā)放的具體方案？考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：（1）題中有兩個等量關(guān)系：技

31、術(shù)員工人數(shù)+輔助員工人數(shù)=15，技術(shù)員工人數(shù)=輔助員工人數(shù)×2，直接設(shè)未知數(shù)，列出二元一次方程組求解；（2）先由等量關(guān)系：技術(shù)員工人數(shù)×A+輔助員工人數(shù)×B=20000，可以得出A與B的一個關(guān)系式，又AB800，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組，求出A與B的取值范圍，再根據(jù)A，B都是100的整數(shù)倍，確定方案解答：解：（1）設(shè)該家電維修中心有技術(shù)員工x人、輔助員工y人則 ，解得 答：該家電維修中心有技術(shù)員工10人、輔助員工5人；（2）由10A+5B=20000，得2A+B=4000AB800，800BA1600，并且A，B都是100的整數(shù)倍，本次獎金發(fā)放的具體方案有3種：方案

32、一：技術(shù)員工每人1600元、輔助員工每人800元；方案二：技術(shù)員工每人1500元、輔助員工每人1000元；方案三：技術(shù)員工每人1400元、輔助員工每人1200元點評：此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用列方程組解應(yīng)用題時，關(guān)鍵是從題目中找到等量關(guān)系；解不等式時，如果有兩個未知數(shù)，需要先找到一個等量關(guān)系，用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式去表示另外一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式求解集20某項工程甲隊需12天完成，乙隊需9天完成，若允許兩隊同時按整日工作，試找出在時間上不超過一周（7天）的施工方案考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：本題需要分兩種情況討論，設(shè)甲乙合作x天，然后甲單獨做y天，設(shè)甲乙合作x天，然后乙

33、單獨做y天，根據(jù)完成總工作量為1及完工的天數(shù)不超過7天可得出兩個關(guān)系式，從而聯(lián)立討論即可得出答案解答：解：設(shè)甲乙合作x天，然后甲單獨做y天，且x、y為正整數(shù)由題意得， 此時解得y，又整日安排兩隊工作，沒有滿足題意的解；設(shè)甲乙合作x天，然后乙單獨做y天，且x、y為正整數(shù)此時解得：y，又整日安排兩隊工作，滿足題意的只有：x=4，y=2；綜上可得共有1種方案可以使這項工程完工的天數(shù)不超過7天點評：此題屬于應(yīng)用類題目，涉及了二元一次方程及二元一次不等式的知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程及不等式，難點在于根據(jù)關(guān)系組討論符合題意的x、y的組合，另外本題所分的兩種情況容易遺漏，同學們需細心思考21現(xiàn)有

34、1 克2克3克重的天平砝碼，要用10個砝碼稱出重20克的物體（1）在取出的砝碼中，設(shè)有3 個1克的，那么，3克重的砝碼應(yīng)有多少個？（2）除（1）的情況外，取出的砝碼還有哪幾種情況呢？（設(shè)任一種砝碼至少取一個）考點：二元一次方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用。分析：（1）設(shè)2克的砝碼用x個，則由已知3克的應(yīng)該用（103x）個，根據(jù)已知列方程求出x，從而求出3克重的砝碼應(yīng)有多少個；（2）設(shè)1克的砝碼有a個，2克的砝碼有b個，則3克的砝碼有（10ab）個，根據(jù)已知列出方程得出a、b的關(guān)系，從而解答：解：（1）由于20=3×1+17，故設(shè)2克的砝碼用x個，則3克的應(yīng)該用（103x）個故17=2x

35、+3（103x），則x=4，103x=3答：3克重的砝碼應(yīng)有3個；（2）設(shè)1克的砝碼有a個，2克的砝碼有b個，則3克的砝碼有（10ab）個20=a+2b+3（10ab）=a+2b+303a3b即b+2a=10則，數(shù)量 1克砝碼1242克砝碼8623克砝碼124點評：此題考查的知識點是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)已知列出方程和二元一次方程22學期即將結(jié)束，為了表彰優(yōu)秀，班主任王老師用W元錢購買獎品若以2支鋼筆和3本筆記本為一份獎品，則可買60份獎品；若以2支鋼筆和6本筆記本為一份獎品，則可以買40份獎品設(shè)鋼筆單價為x元/支，筆記本單價為y元/本（1）請用y的代數(shù)式表示x（2）若用這W元錢全部

36、購買筆記本，總共可以買幾本？（3）若王老師用這W元錢恰好能買30份同樣的獎品，可以選擇a支鋼筆和b本筆記本作為一份獎品（兩種獎品都要有）請求出所有可能的a，b值考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：方程思想。分析：根據(jù)題意可知：（1）本題中的相等關(guān)系是“以2支鋼筆和3本筆記本為一份獎品，則可買60份獎品”和“以2支鋼筆和6本筆記本為一份獎品，則可以買40份獎品”，列方程組求解即可；（2）由（1）把w元用y的代數(shù)式表示，再除以y即得（2）設(shè)可以選擇a支鋼筆和b本筆記本作為一份獎品列方程60（2x+3y）=30（ax+by），解出后分情況討論解答：解：（1）由題意得：60（2x+3y）=40（2x+6y

37、），（2分）化簡得：（1分）（2）60（2x+3y）÷y=360（本）（2分）答：總共可以買賣360本；（1分）（3）由題意得：60（2x+3y）=30（ax+by），把代入得：（1分）解得此方程的正整數(shù)解為，（3分）點評：此題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個等量關(guān)系，準確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵23閱讀下列材料，然后解答后面的問題：我們知道二元一次方程組的求解方法是消元法，即可將它化為一元一次方程來解，可求得方程組有唯一解我們也知道二

38、元一次方程2x+3y=12的解有無數(shù)個，而在實際問題中我們往往只需要求出其正整數(shù)解下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整數(shù)解的過程：由2x+3y=12得：y=x、y為正整數(shù)，則有0x6又y=4為正整數(shù)，則為正整數(shù)，所以x為3的倍數(shù)又因為0x6，從而x=3，代入：y=4=22x+3y=12的正整數(shù)解為問題：（1）若 為正整數(shù)，則滿足條件的x的值有幾個（）A、2 B、3 C、4 D、5 （2）九年級某班為了獎勵學習進步的學生，花費35元購買了筆記本和鋼筆兩種獎品，其中筆記本的單價為3元/本，鋼筆單價為5元/支，問有幾種購買方案？ （3）試求方程組 的正整數(shù)解考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：（1

39、）根據(jù)為正整數(shù)，即可得出x20，進而求出符合要求的答案；（2）根據(jù)3x+5y=35，得y=7x，進而分析得出即可；（3）利用（2）中計算方法，得出x，y的取值，進而求出即可解答：解：（1）為正整數(shù)，即可得出x20，且x2=1，或2，或3或6，滿足條件的x的值有4個故選C；（2）設(shè)購買了筆記本x本，鋼筆y支，根據(jù)題意得出：3x+5y=35，由題意可得：3x+5y=35，得y=7x，x，y為正整數(shù)，則有：0x，又y=7x，為正整數(shù)，則x為正整數(shù)，x為5的倍數(shù)，又0x，從而得出x=5或10，代入：y=4或1，有兩種購買方案：購買的筆記本5本，鋼筆4支，購買的筆記本10本，鋼筆1支；（3）兩式相加消去

40、z得5x+2y=22，由上題方法可得：或，將代入方程2x+y+z=10得出z=0（不合題意舍去）將，代入方程2x+y+z=10得出z=1，原方程組的解集為：點評：此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及多元方程組的解法，正確利用已知正整數(shù)解這一條件是解題關(guān)鍵24七年級一位小記者寫了如下一篇通訊稿：12月5日下午，我校隆重舉行了第八屆“呂道奎獎學金”頒獎典禮我校全體老師、2009年“呂道奎獎學金”獲得者以及近兩千名在校生均參加了這次的壽春盛典，部分學生家長也受邀出席本次獎學金獲獎?wù)哂?7位優(yōu)秀的上屆畢業(yè)生及一位九年級在校生，其中一等獎每人10000元，二等獎每人2000元，獎金總額達80000元（

41、1）你知道一等獎及二等獎各有多少人嗎？（請列方程或方程組解答）（2）看了這則報道你覺得你應(yīng)該怎樣努力學習，爭取榮譽？考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：（1）設(shè)獲得一等獎的學生有x人，那么二等獎的學生有（28x）人，而一等獎的獎金為每人10000元，二等獎的獎金為每人2000元，然后利用獎金總額為80000元即可列出方程，解方程就求出一等獎的學生人數(shù)（2）結(jié)合自身情況說明解答：解：（1）設(shè)獲得一等獎的學生有x人，那么二等獎的學生有（28x）人，依題意得：10000x+2000（28x）=80000，x=328x=25答：獲得一等獎的學生有3人，二等獎學金有25人（2）看了這則報道我應(yīng)該把各門功課學

42、好，做一名優(yōu)秀的學生，爭取獲得各項獎學金點評：本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解25王亮的爺爺今年（2012年）80周歲了，今年王亮的年齡恰好是他出生年份的各位數(shù)字之和，問王亮今年可能是多少周歲？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：此題王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前故應(yīng)分兩種情況，可設(shè)王亮出生年份的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y（x、y均為09的整數(shù)），根據(jù)已知列出二元一次方程，通過分析討論得出王亮今年可能是多少周歲解答：解：設(shè)王亮出生年份的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y（x、y均為09的

43、整數(shù)）王亮的爺爺今年80周歲了，王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前故應(yīng)分兩種情況：2分（1）若王亮出生年份為2000年后，則王亮的出生年份為2000+10x+y，依題意，得 2012（2000+10x+y）=2+0+x+y，整理，得 y= x、y均為09的整數(shù)，x=0，此時y=5，王亮的出生年份是2005年，今年7周歲8分（2）若王亮出生年份在2000年前，則王亮的出生年份為1900+10x+y，依題意，得 2012（1900+10x+y）=1+9+x+y，整理，得11x=1022y，故x為偶數(shù)，又y=，09，7x9，x=8，此時y=7，王亮的出生年份是1987年，今年25周

44、歲 14分綜上，王亮今年可能是7周歲，也可能是25周歲15分點評：此題考查的知識點是二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是分兩種情況得出二元一次方程，由整數(shù)得出結(jié)論26某農(nóng)戶家有900棵良種柑桔樹2006年收獲時，在柑桔樹林中先隨機采摘了四次進行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下表（單位：千克）：采摘的次數(shù)第一次采摘第二次采摘第三次采摘第四次采摘每次采摘的柑桔樹的棵數(shù)2433平均每棵柑桔樹上柑桔的重量17141816（1）根據(jù)樣本平均數(shù)估計該農(nóng)戶2006年的柑桔的總產(chǎn)量約是多少千克？（2）若市場上良種柑桔售價為每千克3元，則該農(nóng)戶2006年賣柑桔的收入將達多少元？（3）已知該農(nóng)戶2004年賣柑桔的收入為30000元，根據(jù)

45、以上估算，試求賣柑桔收入的年平均增長率？考點：二元一次方程的應(yīng)用；用樣本估計總體；加權(quán)平均數(shù)。分析：（1）首先利用圖表求出樣本平均數(shù)，再用900×樣本平均=總產(chǎn)量（2）總產(chǎn)量×3元/千克=收入，（3）設(shè)出平均增長率為x，則2005年柑桔的收入為：30000（1+x），2006年柑桔的收入為：30000（1+x）（1+x）=43200，解方程即可解答：解：（1）樣本平均數(shù)為=16kg，這年的柑桔的總產(chǎn)量為16×900=14400kg；（2）該農(nóng)戶這年賣柑桔的收入將達3×14400=43200元；（3）設(shè)該農(nóng)戶賣柑桔收入的年平均增長率為x，依題意得：3000

46、0（1+x）2=43200解之，得x1=20%，x2=2.2（舍去）答：該農(nóng)戶賣柑桔收入的年平均增長率為20%點評：此題主要考查了加權(quán)平均數(shù)，樣本估計總體，以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄懂題意，表示出每年的收入272008年春假期間，西子中學八（3）班48人春游時被安排劃船游杭州西湖班長首先去了解船只的租金情況，在管理處發(fā)現(xiàn)租金價格表如下：船型每船限載人數(shù)（人）租金（元/每小時）大船53小船32根據(jù)班主任規(guī)定每人劃船2小時下面兩個問題需要你幫助班長提前做好：（1）現(xiàn)要求同時租兩種船，請你寫出租船的方案；（2）選擇怎樣的方案時所付租金最少？考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：（1）設(shè)租大船x

47、艘，小船y艘，根據(jù)有48人去劃船可列出方程，且船數(shù)是整數(shù)，可列方程求解（2）然后根據(jù)大船小船的租金不同，根據(jù)方案求出錢數(shù)，選擇付租金少的方案解答：解：（1）設(shè)租大船x艘，小船y艘，5x+3y=48y=16，當x=3時，y=11，當x=6時，y=6，當x=9時，y=1，所以有3種租船方案（2）當x=3，y=11時，租金為：3×3+11×2=31元當x=6，y=6時，3×6+2×6=30元當x=9，y=1時，3×9+2×1=29元故當大船為9艘，小船為1艘時最省錢點評：本題考查二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出兩個未知數(shù)，列出方程，根據(jù)方程的

48、解是整數(shù)求出方案，然后根據(jù)方案求出錢數(shù)，然后求出最省錢的方案28劉老師裝飾廚房需用 480 塊某品牌的同一種規(guī)格的瓷磚，我市盛世商貿(mào)城裝飾材料商場出售的這種瓷磚有大、小兩種包裝，大包裝每包50片，價格為30元；小包裝每包30片，價格為20元，若大、小包裝均不拆開零售，請你幫助劉老師制定一種購買方案，使購買瓷磚所付費用最少考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題；方案型。分析：求支付費用最少，要先考慮各種有可能的購買方案，然后進行對比解題規(guī)律：實際問題中的包數(shù)應(yīng)為整數(shù)解答：解：設(shè)購買大包裝x包，小包裝y包，根據(jù)題意，得50x+30y=480 因為x、y為非負整數(shù)，所以方程的解為或 或或當x=0，y

49、=16時，所付費用為：0×30+16×20=320（元）；當x=3，y=11時，所付費用為：3×30+11×20=310（元）；當x=6，y=6時，所付費用為：6×30+6×20=300（元）；當x=9，y=1 時，所付費用為：9×30+1×20=290（元）所以購買大包裝9包，小包裝1包所付費用最少，費用為290元點評：本題考查的是二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵注意用多種方案考慮問題，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學思想聯(lián)系，讀懂題目不等式之間的關(guān)系即可解要注意：實際問題中的包數(shù)應(yīng)為整數(shù)29為節(jié)約用水，某地對民用水收費作如下規(guī)

50、定：每月用戶不超過24度的按9角收費；超過24度時，超過部分按每度2元收費同時，為了結(jié)算方便，規(guī)定水費按整度收取某月，該地按此規(guī)定收費，甲戶比乙戶多交水費9元6角，問該月甲、乙兩戶各交水費多少錢？考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：根據(jù)9.6不能被0.9和2.0整除，可以得出所以甲必超過24度，乙不到24度，進而得出符合要求的方程，求出方程組的解即可解答：解：因為最終甲戶比乙戶多交電費9角6分，而用電度數(shù)按整數(shù)計算，9.6不能被0.9和2.0整除，所以甲必超過24度，乙不到24度，設(shè)甲用電（24+x）度，乙用電（24y）度 2x+0.9y=9.6（x，y必須是整數(shù)） 只有x=3 時y=4 符合要求

51、，所以：甲 27度 27.6元 乙 20度 18元，答：該月甲、乙兩戶各交水費是27.6元，18元點評：此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，得出甲必超過24度，乙不到24度，進而設(shè)出甲用電（24+x）度，乙用電（24y）度 是解決問題的關(guān)鍵30甲、乙分別自A、B兩地同時相向步行，2小時后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時，當甲到達B地后立刻按原路向A地返行，當乙到達A地后也立刻按原路向B地返行，甲、乙二人在第一次相遇后3小時36分又再次相遇，則A、B兩地的距離是多少？考點：二元一次方程的應(yīng)用。專題：行程問題。分析：從題意可知按原來的速度4小時可走兩個來回，都提高速度后個小時

52、可走兩個來回，可列出方程求解解答：解：設(shè)甲的速度為x千米/時，乙的速度為y千米/時，由題意可得：可得：x+y=18A、B兩地的距離=2（x+y）=2×18=36答：A、B兩地的距離是36千米點評：本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是看出提高速度前兩個來回所用的時間，和提高速度后兩個來回所用的時間，做為等量關(guān)系列出方程求解31已知長方形ABCD中，點E在AB邊上且AE=BC，F(xiàn)為EB的中點，M為AD邊的一個三等分點（1）畫出相應(yīng)圖形，并求出圖中線段的條數(shù)；（2）若圖中所有線段的長均為整數(shù)，且這些長度之和為39，求長方形ABCD的面積；（3）若點G、H在邊DC上，N在BC上，且BN=AM，DG=

53、AE，CH=BF，分別連接MN、EG、FH求所得圖形中所有長方形的面積的和考點：二元一次方程的應(yīng)用；比較線段的長短。專題：幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合。分析：（1）任意兩點都可以組成一條線段，所以n條線段可以組成條線段（2）根據(jù)題意列出二元一次方程組，再根據(jù)求二元一次方程的正整數(shù)解解答（3）根據(jù)圖形，把長方形的長和寬分別計算出來，然后計算出所求長方形的面積解答：解：（1）AB邊上共有4個點，AB邊上共有6條線段；AD邊上共有3個點，AB邊上共有3條線段，DC邊上共有1條線段，BC邊上共有1條線段，6+3+1+1=11（條），故共11條線段（2）根據(jù)題意設(shè)AE=BC=x，EF=FB=y，AB邊上共有6條

54、線段，長度和AE+AF+AB+EF+EB+FB=3x+7y，AD邊上共有3條線段，長度和為AM+AD+MD=2x，BC=x，DC=x+2y，以上11條線段的長度和為7x+9y，得，7x+9y=39，因為所有線段的長均為整數(shù)，解得：x=3，y=2，ABCD的面積為7×3=21（3）所有長的和為3+5+7+2+4+2=23，所有寬的和1+2+3=6，所有長方形的面積和為6×23=138點評：本題主要考查二元一次方程整數(shù)解的求法，數(shù)形結(jié)合的方法經(jīng)常是解決一些幾何問題的常用方法32長春至吉林現(xiàn)有鐵路長為128千米，為了加快長春與吉林的經(jīng)濟一體化發(fā)展，有關(guān)部門決定新修建一條長春至吉林的城際鐵路，城際鐵路全長96千米開通后，城際列車的平均速度將為現(xiàn)有列車平均速度的2.25倍，運行時間將比現(xiàn)有列車運行時間縮短小時求城際列車的平均速度考點：二元一次方程的應(yīng)用。分析：設(shè)現(xiàn)有列車的平均速度為x千米/小時，那么城際列車的平均速度2.25千米/小時，設(shè)現(xiàn)在列車的運行時間為y小時，那么城際列車的運行時間為（y）小時，根據(jù)路程=速度×時間，可列方程組求解解答：解：設(shè)現(xiàn)有列車的平均速度為x千米/小時，現(xiàn)在列車的運行時間為y小時，解得64×2.25=144千