因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用

1、攻讀博士、碩士學位研究生試卷（作業(yè)）封面（2008至 2009學年度第 1學期）題 目 因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用 科 目 高級心理統(tǒng)計 姓 名 楊梅 專 業(yè) 應(yīng)用心理學 入學年月 2007年9月 簡短評語成績：授課教師簽字：因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用楊梅【摘要】：因子分析是多元統(tǒng)計分析技術(shù)的一個分支，其主要目的是濃縮數(shù)據(jù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個假想變量來表示基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。因子分析就是研究如何以最少的信息丟失把眾多的觀測變量濃縮為少數(shù)幾個因子。并通過實例了解因子分析的具體應(yīng)用，熟練因子分析在SPSS上的具體操作以及掌握數(shù)據(jù)解釋。關(guān)鍵詞

2、：因子分析法 理論基礎(chǔ) 數(shù)據(jù)濃縮 SPSS1、因子分析的起源因子分析是由心理學家發(fā)展起來的，最初心理學家借助因子分析模型來解釋人類的行為和能力，1904年Charles Spearman在美國心理學雜志上發(fā)表了第一篇有關(guān)因子分析的文章，在以后的三四十年里，因子分析的理論和數(shù)學基礎(chǔ)逐步得到了發(fā)展和完善。50年代以來，隨著計算機的普及和各種統(tǒng)計軟件的出現(xiàn)，因子分析在社會學、經(jīng)濟學、醫(yī)學等越來越多的領(lǐng)域得到應(yīng)用。2、因子分析的原理2.1因子分析模型因子分析模型在形式上和多元回歸模型相似，每個觀測變量由一組因子的線性組合來表示。因子模型的一般表達式為： 在該模型中：(1)叫做公因子，它們是各個觀測變量

3、所共有的因子，解釋了變量之間的相關(guān)。（2）稱為特殊因子，它是每個觀測變量所特有的因子，表示該變量不能被公因子所解釋的部分。（3）稱為因子負載，它是第個變量在第個公因子上的負載，相當于多元回歸分析中的標準回歸系數(shù)（）。2.2因子分析的有關(guān)概念（1）因子負載：是因子分析模型中最重要的一個統(tǒng)計量，它是連接觀測變量和公因子之間的紐帶。當分因子之間完全不相關(guān)時，很容易證明因子負載等于第個變量和第個因子之間的相關(guān)系數(shù)。因子負載不僅表示了觀測變量是如何由因子線性表示的，而且反應(yīng)了因子和變量之間的相關(guān)程度，的絕對值越大，表示公因子與變量關(guān)系越密切。（2）公因子方差：也叫共同度，指觀測變量方差中由公因子決定的比

4、例。變量的公因子方差記做。當公因子之間彼此正交時，公因子方差等于和該變量有關(guān)的因子負載的平方和，用公式表示為：(3)因子的貢獻：每個公因子 對數(shù)據(jù)的解釋能力，可以用該因子所解釋的總方差來衡量，通常稱為該因子的貢獻，它等于和該因子有關(guān)的因子負載的平方和。3、因子分析的具體步驟3.1計算所有變量的相關(guān)矩陣相關(guān)矩陣是因子分析直接要用的數(shù)據(jù) ，根據(jù)計算出的相關(guān)矩陣還應(yīng)該進一步判斷應(yīng)用因子分析方法是否合適。因子分析的目的是簡化數(shù)據(jù)或者找出基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因此使用因子分析的前提條件是觀測變量之間應(yīng)該有較強的相關(guān)關(guān)系。如果變量之間的相關(guān)程度很小的話，它們不可能共享公因子 。所以，計算出相關(guān)矩陣之后在進行下面

5、的步驟之前應(yīng)該對相關(guān)矩陣進行檢驗，如果相關(guān)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)都小于0.3，則不適合做因子 分析。一般用KMO測度和巴特利特球體檢驗來判斷觀測數(shù)據(jù) 是否適合做因子分析。一般情況KMO測度在0.6以上巴特利特球體檢驗顯著，則觀測數(shù)據(jù)適合做因子分析。3.2提取因子3.2.1主成分分析法主成分分析是一種數(shù)學變換的方法，它把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)換成一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學變換中保持變量的總方差不變，使第一個變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二個變量的方差次大，并且和第一個變量不相關(guān)，稱為第二主成分，依次類推，K個變量就有K個主成分，最后一個主成

6、分具有的方差最小，并且和前面的主成分不相關(guān)。因子個數(shù)的確定：（1）特征值準則：取特征值大于等于1的主成分作為初始因子，放棄特征值小于1的主成分。（2）碎石檢驗準則：按照因子被提取的順序，畫出因子的特征值隨因子個數(shù)變化的散點圖，根據(jù)圖的形狀來判斷因子的個數(shù) 。該圖的形狀像一個山峰，從第一個因子開始，曲線迅速下降 ，然后下降變的平緩，最后變成近似一條直線，曲線變平開始的前一點認為是提取的最大因子個數(shù)。3.2.2公因子分析法公因子模型是從解釋變量之間的相關(guān)關(guān)系出發(fā)的，假設(shè)觀測變量之間的相關(guān)能完全被公因子解釋，變量的方差不一定能完全被公因子解釋，這樣每個變量被公因子所解釋的方差不再是1，而是公因子方差

7、。所以公因子模型在求因子解時，指考慮公因子方差。3.3進行因子旋轉(zhuǎn)初始因子解達到了數(shù)據(jù)化簡的目的，在求初始因子解這一步中，確定了公因子數(shù)，確定了每個變量的公因子方差。但是根據(jù)初始因子解，往往很難解釋 因子的意義，大多數(shù)因子都和很多變量有關(guān)。因子是通過數(shù)學方法求解得到的，但研究人員往往很關(guān)心每個因子 的實際意義是什么，否則就很難理解和把握因子 分析的結(jié)果 。因子 旋轉(zhuǎn)是尋求這一實際意義的有效工具，因子旋轉(zhuǎn)的目的是通過改變坐標軸的位置，重新分配各個因子所解釋的方差的比例，使因子結(jié)構(gòu)更簡單，更易于解釋。因子旋轉(zhuǎn)不改變模型對數(shù)據(jù) 的擬合程度，不改變每個變量的公因子方差。3.3.1正交旋轉(zhuǎn)正交旋轉(zhuǎn)是使因

8、子軸之間仍然保持90度角，即因子之間是不相關(guān)的。正交旋轉(zhuǎn)方法主要有三種：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。最常用的是方差最大法，它從簡化因子負載矩陣的每一列出發(fā)，使和每個因子有關(guān)的負載平方的方差最大。當只有少數(shù)幾個變量在某個因子上有較高的負載時，對因子的解釋是最簡單的，和某個因子有關(guān)負載平方的方差最大時，因子具有最大的可解釋性。3.3.2斜交旋轉(zhuǎn)方法斜交旋轉(zhuǎn)中，因子之間的夾角可以是任意的，即因子之間不一定是正交的，所以用斜交因子描述變量會使因子結(jié)構(gòu)更為簡潔。在斜交旋轉(zhuǎn)中，因子負載不再等于因子和變量之間的相關(guān)系數(shù)，因子結(jié)構(gòu)和因子模型之間是有區(qū)別的。3.4計算因子值如果我們要使用所提取的因子做

9、其它研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析對樣本進行分類或評價，這些都需要對因子進行測度，給出因子對應(yīng)每個樣本案例上的值，這些值稱為因子值。因子分析模型中，是用因子的線性組合來表示一個觀測變量，因子負載實際是該線性組合的權(quán)數(shù)。求因子值的過程是通過觀測變量的線性組合來表示因子，因子是觀測變量的加權(quán)平均。因為各個變量在因子上的負載不同，所以不能把變量簡單的相加，權(quán)數(shù)是我大小表示了變量對因子的重要程度。對于主成份分析法得到的因子解，可以直接得到因子值系數(shù)，對于其他方法得到的因子解，只能得到因子值系數(shù)的估計值，通常用回歸方法得到因子值系數(shù)的估計值。4、案例分析4.1案例 調(diào)查20個地區(qū)小學生輟學

10、率的影響因素，包括家庭經(jīng)濟狀況、當?shù)亟?jīng)濟狀況、自身心理素質(zhì)、家庭成員素質(zhì)、師資力量、社會文化趨向、身體健康狀況、宏觀教育背景、國家教育政策等指標、具體調(diào)查數(shù)據(jù)如下，根據(jù)這9項內(nèi)容經(jīng)行因子分析，得到維度較少的因子。4.2結(jié)果分析從上表可以得出，KMO是Kaiser-meyer-Olkin的取樣適當性量數(shù)，當KMO值愈大時，表示變量的共同因素愈多，愈適合進行因素分析，根據(jù)學者Kaiser觀點，如果KMO的值小于0.5時較不宜進行因素分析，此處的KMO值為.427,不太適合因子分析。巴特利特球行檢驗給出的相伴概率為0.000，小于顯著性水平0.05，因此拒絕其零假設(shè)，認為可以做因子分析。提取方法：主

11、成份分析法，最右邊一欄為題項的共通性。表三中，第一列是因子序號。第二列是因子變量的方差貢獻（特征值），它是衡量因子重要程序的指標。第三列是各因子變量的方差貢獻率，表示該因子描述的方差占原有變量的總方差的比例。第四列是各因子變量的累計方差貢獻率。第五到第七是旋轉(zhuǎn)以后得到的因子對原變量總體的刻畫情況。第八到第十列是從初始解上按照一定標準提取了四個公因子后對原變量總體的描述情況。從上表可以得出,其中前四個因子的特征值大于1，可見提取四個因子后，它們反映了原變量的大部分信息。從碎石圖可以看出，第四個因子之后，碎石圖的變化比較平緩，這和表三分析的結(jié)果一致。所以確定取四個因子。此表表示的是，在沒有進行因子

12、旋轉(zhuǎn)時因子的載荷情況，但此時的載荷不能明顯的表明各個因子在因變量上的負荷情況。表五中題項在其所屬之因素層面順序，是按照因素負荷量的高低排列。轉(zhuǎn)軸的主要目的，在于重新安排題項在每個共同因素上的因素負荷量，轉(zhuǎn)軸后，使原先轉(zhuǎn)軸前較大因素負荷量變得更大，而轉(zhuǎn)軸前較小的因素負荷量變得更小。轉(zhuǎn)軸后題項在每個共同因素之因素負荷量的平方總和不變。此表表示的是，在進行了因子旋轉(zhuǎn)后，因子的載荷情況，此時的載荷能明顯的表明各個因子在因變量上的負荷情況。表六表示的是因子旋轉(zhuǎn)矩陣，標明了因子提取的方法是主成分分析法，旋轉(zhuǎn)的方法是方差極大法。表七是因子變量的協(xié)方差矩陣。從協(xié)方差矩陣看不同因子之間的差距為零，因而證實了四個因子變量之間是不相關(guān)的。4.3因素命名根據(jù)因素所涵括的題項內(nèi)容，將因素加以命名。第一個因素包括的題項有：家庭經(jīng)濟狀況、當?shù)亟?jīng)濟狀況、自身心理素質(zhì)、家庭成員素質(zhì)四項，綜合這四項所反映的內(nèi)容，將第一個因素命名為第二個因素包括的題項有：社會文化趨向、宏觀教育背景、國家教育政策，綜合這四項所反