因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用

1、攻讀博士、碩士學(xué)位研究生試卷（作業(yè)）封面（2008至 2009學(xué)年度第 1學(xué)期）題 目 因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用 科 目 高級心理統(tǒng)計(jì) 姓 名 楊梅 專 業(yè) 應(yīng)用心理學(xué) 入學(xué)年月 2007年9月 簡短評語成績：授課教師簽字：因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用楊梅【摘要】：因子分析是多元統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的一個(gè)分支，其主要目的是濃縮數(shù)據(jù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)假想變量來表示基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。因子分析就是研究如何以最少的信息丟失把眾多的觀測變量濃縮為少數(shù)幾個(gè)因子。并通過實(shí)例了解因子分析的具體應(yīng)用，熟練因子分析在SPSS上的具體操作以及掌握數(shù)據(jù)解釋。關(guān)鍵詞

2、：因子分析法 理論基礎(chǔ) 數(shù)據(jù)濃縮 SPSS1、因子分析的起源因子分析是由心理學(xué)家發(fā)展起來的，最初心理學(xué)家借助因子分析模型來解釋人類的行為和能力，1904年Charles Spearman在美國心理學(xué)雜志上發(fā)表了第一篇有關(guān)因子分析的文章，在以后的三四十年里，因子分析的理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)逐步得到了發(fā)展和完善。50年代以來，隨著計(jì)算機(jī)的普及和各種統(tǒng)計(jì)軟件的出現(xiàn)，因子分析在社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等越來越多的領(lǐng)域得到應(yīng)用。2、因子分析的原理2.1因子分析模型因子分析模型在形式上和多元回歸模型相似，每個(gè)觀測變量由一組因子的線性組合來表示。因子模型的一般表達(dá)式為： 在該模型中：(1)叫做公因子，它們是各個(gè)觀測變量

3、所共有的因子，解釋了變量之間的相關(guān)。（2）稱為特殊因子，它是每個(gè)觀測變量所特有的因子，表示該變量不能被公因子所解釋的部分。（3）稱為因子負(fù)載，它是第個(gè)變量在第個(gè)公因子上的負(fù)載，相當(dāng)于多元回歸分析中的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)（）。2.2因子分析的有關(guān)概念（1）因子負(fù)載：是因子分析模型中最重要的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它是連接觀測變量和公因子之間的紐帶。當(dāng)分因子之間完全不相關(guān)時(shí)，很容易證明因子負(fù)載等于第個(gè)變量和第個(gè)因子之間的相關(guān)系數(shù)。因子負(fù)載不僅表示了觀測變量是如何由因子線性表示的，而且反應(yīng)了因子和變量之間的相關(guān)程度，的絕對值越大，表示公因子與變量關(guān)系越密切。（2）公因子方差：也叫共同度，指觀測變量方差中由公因子決定的比

4、例。變量的公因子方差記做。當(dāng)公因子之間彼此正交時(shí)，公因子方差等于和該變量有關(guān)的因子負(fù)載的平方和，用公式表示為：(3)因子的貢獻(xiàn)：每個(gè)公因子 對數(shù)據(jù)的解釋能力，可以用該因子所解釋的總方差來衡量，通常稱為該因子的貢獻(xiàn)，它等于和該因子有關(guān)的因子負(fù)載的平方和。3、因子分析的具體步驟3.1計(jì)算所有變量的相關(guān)矩陣相關(guān)矩陣是因子分析直接要用的數(shù)據(jù) ，根據(jù)計(jì)算出的相關(guān)矩陣還應(yīng)該進(jìn)一步判斷應(yīng)用因子分析方法是否合適。因子分析的目的是簡化數(shù)據(jù)或者找出基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因此使用因子分析的前提條件是觀測變量之間應(yīng)該有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。如果變量之間的相關(guān)程度很小的話，它們不可能共享公因子 。所以，計(jì)算出相關(guān)矩陣之后在進(jìn)行下面

5、的步驟之前應(yīng)該對相關(guān)矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，如果相關(guān)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)都小于0.3，則不適合做因子 分析。一般用KMO測度和巴特利特球體檢驗(yàn)來判斷觀測數(shù)據(jù) 是否適合做因子分析。一般情況KMO測度在0.6以上巴特利特球體檢驗(yàn)顯著，則觀測數(shù)據(jù)適合做因子分析。3.2提取因子3.2.1主成分分析法主成分分析是一種數(shù)學(xué)變換的方法，它把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)換成一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一個(gè)變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二個(gè)變量的方差次大，并且和第一個(gè)變量不相關(guān)，稱為第二主成分，依次類推，K個(gè)變量就有K個(gè)主成分，最后一個(gè)主成

6、分具有的方差最小，并且和前面的主成分不相關(guān)。因子個(gè)數(shù)的確定：（1）特征值準(zhǔn)則：取特征值大于等于1的主成分作為初始因子，放棄特征值小于1的主成分。（2）碎石檢驗(yàn)準(zhǔn)則：按照因子被提取的順序，畫出因子的特征值隨因子個(gè)數(shù)變化的散點(diǎn)圖，根據(jù)圖的形狀來判斷因子的個(gè)數(shù) 。該圖的形狀像一個(gè)山峰，從第一個(gè)因子開始，曲線迅速下降 ，然后下降變的平緩，最后變成近似一條直線，曲線變平開始的前一點(diǎn)認(rèn)為是提取的最大因子個(gè)數(shù)。3.2.2公因子分析法公因子模型是從解釋變量之間的相關(guān)關(guān)系出發(fā)的，假設(shè)觀測變量之間的相關(guān)能完全被公因子解釋，變量的方差不一定能完全被公因子解釋，這樣每個(gè)變量被公因子所解釋的方差不再是1，而是公因子方差

7、。所以公因子模型在求因子解時(shí)，指考慮公因子方差。3.3進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)初始因子解達(dá)到了數(shù)據(jù)化簡的目的，在求初始因子解這一步中，確定了公因子數(shù)，確定了每個(gè)變量的公因子方差。但是根據(jù)初始因子解，往往很難解釋 因子的意義，大多數(shù)因子都和很多變量有關(guān)。因子是通過數(shù)學(xué)方法求解得到的，但研究人員往往很關(guān)心每個(gè)因子 的實(shí)際意義是什么，否則就很難理解和把握因子 分析的結(jié)果 。因子 旋轉(zhuǎn)是尋求這一實(shí)際意義的有效工具，因子旋轉(zhuǎn)的目的是通過改變坐標(biāo)軸的位置，重新分配各個(gè)因子所解釋的方差的比例，使因子結(jié)構(gòu)更簡單，更易于解釋。因子旋轉(zhuǎn)不改變模型對數(shù)據(jù) 的擬合程度，不改變每個(gè)變量的公因子方差。3.3.1正交旋轉(zhuǎn)正交旋轉(zhuǎn)是使因

8、子軸之間仍然保持90度角，即因子之間是不相關(guān)的。正交旋轉(zhuǎn)方法主要有三種：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。最常用的是方差最大法，它從簡化因子負(fù)載矩陣的每一列出發(fā)，使和每個(gè)因子有關(guān)的負(fù)載平方的方差最大。當(dāng)只有少數(shù)幾個(gè)變量在某個(gè)因子上有較高的負(fù)載時(shí)，對因子的解釋是最簡單的，和某個(gè)因子有關(guān)負(fù)載平方的方差最大時(shí)，因子具有最大的可解釋性。3.3.2斜交旋轉(zhuǎn)方法斜交旋轉(zhuǎn)中，因子之間的夾角可以是任意的，即因子之間不一定是正交的，所以用斜交因子描述變量會使因子結(jié)構(gòu)更為簡潔。在斜交旋轉(zhuǎn)中，因子負(fù)載不再等于因子和變量之間的相關(guān)系數(shù)，因子結(jié)構(gòu)和因子模型之間是有區(qū)別的。3.4計(jì)算因子值如果我們要使用所提取的因子做

9、其它研究，比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析對樣本進(jìn)行分類或評價(jià)，這些都需要對因子進(jìn)行測度，給出因子對應(yīng)每個(gè)樣本案例上的值，這些值稱為因子值。因子分析模型中，是用因子的線性組合來表示一個(gè)觀測變量，因子負(fù)載實(shí)際是該線性組合的權(quán)數(shù)。求因子值的過程是通過觀測變量的線性組合來表示因子，因子是觀測變量的加權(quán)平均。因?yàn)楦鱾€(gè)變量在因子上的負(fù)載不同，所以不能把變量簡單的相加，權(quán)數(shù)是我大小表示了變量對因子的重要程度。對于主成份分析法得到的因子解，可以直接得到因子值系數(shù)，對于其他方法得到的因子解，只能得到因子值系數(shù)的估計(jì)值，通常用回歸方法得到因子值系數(shù)的估計(jì)值。4、案例分析4.1案例 調(diào)查20個(gè)地區(qū)小學(xué)生輟學(xué)

10、率的影響因素，包括家庭經(jīng)濟(jì)狀況、當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)狀況、自身心理素質(zhì)、家庭成員素質(zhì)、師資力量、社會文化趨向、身體健康狀況、宏觀教育背景、國家教育政策等指標(biāo)、具體調(diào)查數(shù)據(jù)如下，根據(jù)這9項(xiàng)內(nèi)容經(jīng)行因子分析，得到維度較少的因子。4.2結(jié)果分析從上表可以得出，KMO是Kaiser-meyer-Olkin的取樣適當(dāng)性量數(shù)，當(dāng)KMO值愈大時(shí)，表示變量的共同因素愈多，愈適合進(jìn)行因素分析，根據(jù)學(xué)者Kaiser觀點(diǎn)，如果KMO的值小于0.5時(shí)較不宜進(jìn)行因素分析，此處的KMO值為.427,不太適合因子分析。巴特利特球行檢驗(yàn)給出的相伴概率為0.000，小于顯著性水平0.05，因此拒絕其零假設(shè)，認(rèn)為可以做因子分析。提取方法：主

11、成份分析法，最右邊一欄為題項(xiàng)的共通性。表三中，第一列是因子序號。第二列是因子變量的方差貢獻(xiàn)（特征值），它是衡量因子重要程序的指標(biāo)。第三列是各因子變量的方差貢獻(xiàn)率，表示該因子描述的方差占原有變量的總方差的比例。第四列是各因子變量的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率。第五到第七是旋轉(zhuǎn)以后得到的因子對原變量總體的刻畫情況。第八到第十列是從初始解上按照一定標(biāo)準(zhǔn)提取了四個(gè)公因子后對原變量總體的描述情況。從上表可以得出,其中前四個(gè)因子的特征值大于1，可見提取四個(gè)因子后，它們反映了原變量的大部分信息。從碎石圖可以看出，第四個(gè)因子之后，碎石圖的變化比較平緩，這和表三分析的結(jié)果一致。所以確定取四個(gè)因子。此表表示的是，在沒有進(jìn)行因子

12、旋轉(zhuǎn)時(shí)因子的載荷情況，但此時(shí)的載荷不能明顯的表明各個(gè)因子在因變量上的負(fù)荷情況。表五中題項(xiàng)在其所屬之因素層面順序，是按照因素負(fù)荷量的高低排列。轉(zhuǎn)軸的主要目的，在于重新安排題項(xiàng)在每個(gè)共同因素上的因素負(fù)荷量，轉(zhuǎn)軸后，使原先轉(zhuǎn)軸前較大因素負(fù)荷量變得更大，而轉(zhuǎn)軸前較小的因素負(fù)荷量變得更小。轉(zhuǎn)軸后題項(xiàng)在每個(gè)共同因素之因素負(fù)荷量的平方總和不變。此表表示的是，在進(jìn)行了因子旋轉(zhuǎn)后，因子的載荷情況，此時(shí)的載荷能明顯的表明各個(gè)因子在因變量上的負(fù)荷情況。表六表示的是因子旋轉(zhuǎn)矩陣，標(biāo)明了因子提取的方法是主成分分析法，旋轉(zhuǎn)的方法是方差極大法。表七是因子變量的協(xié)方差矩陣。從協(xié)方差矩陣看不同因子之間的差距為零，因而證實(shí)了四個(gè)因子變量之間是不相關(guān)的。4.3因素命名根據(jù)因素所涵括的題項(xiàng)內(nèi)容，將因素加以命名。第一個(gè)因素包括的題項(xiàng)有：家庭經(jīng)濟(jì)狀況、當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)狀況、自身心理素質(zhì)、家庭成員素質(zhì)四項(xiàng)，綜合這四項(xiàng)所反映的內(nèi)容，將第一個(gè)因素命名為第二個(gè)因素包括的題項(xiàng)有：社會文化趨向、宏觀教育背景、國家教育政策，綜合這四項(xiàng)所反