第二節(jié)牛頓的微積分

1、第二節(jié)牛頓的微積分一流數(shù)簡(jiǎn)論流數(shù)簡(jiǎn)論表明，牛頓微積分的來源是運(yùn)動(dòng)學(xué)1666年，他在坐標(biāo)系中通過速度分量來研究切線，既促使了流數(shù)法的產(chǎn)生，又提供了它的幾何應(yīng)用的關(guān)鍵牛頓把曲線f(x，y)0看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x，y是時(shí)間的函數(shù)，而動(dòng)點(diǎn)的水平速度分量和垂直速度和垂直速度為邊的矩形對(duì)角線，所以曲線f(x，y)0的切線斜率所以牛頓便在后來稱它們?yōu)榱鲾?shù)，實(shí)際上就是x和y對(duì)t的導(dǎo)數(shù)：而它們的比就是y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)布尼茨發(fā)明的，我們這里采用它們是為了敘述方便牛頓考慮的第一個(gè)問題是：給定x和y的關(guān)系f(x，y)0，求的次數(shù)令這些乘積的總和等于零這個(gè)方程就給出速度(流數(shù))之間的關(guān)系若用子表示，則為它是牛頓用來

2、計(jì)算流數(shù)之比(即求導(dǎo))的基本法則實(shí)際上，這個(gè)式子牛頓是用“無(wú)窮小”概念和他一年前發(fā)明的二項(xiàng)式定理來證明(1)式的他認(rèn)為，作非勻速運(yùn)動(dòng)的物體在無(wú)窮小時(shí)間間隔o中的運(yùn)動(dòng)情況同作勻速運(yùn)動(dòng)的物體在有限時(shí)間間隔中的情況相同，“因此，如果到某一時(shí)刻，它們已描繪的線段為x和y，那么到下一時(shí)刻所描繪的線段就是xxo和yyo”牛頓用xxo和yyo代替f(x，y)0中的x和y，于是有按二項(xiàng)式展開并略去o的二次以上(含二次)的項(xiàng)，得除以o后便得到(1)式作為一個(gè)實(shí)例，可把yxn寫成f(x，y)yxn的形式，由(1)式推出的代數(shù)式)他對(duì)這一問題的研究導(dǎo)致了微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)，即：其中A表示曲線y=f(x)下的面積從

3、流數(shù)簡(jiǎn)論可以看出，他是用如下方法推導(dǎo)這一重要定理的：設(shè)y表示曲線f(x)下的面積abc(圖1113)，并把它看作垂平行移動(dòng)，描繪出面積x和y，它們隨時(shí)間而增加的速度是be和bc，”顯然，be1而bc=f(x)因此，牛頓認(rèn)為面積y隨時(shí)間的變化率是這顯然等價(jià)于(2)式，就是說函數(shù)曲線下的面積的變化率等于曲線的縱坐標(biāo)他把求積問題看作求變化率的逆過程，即把y看作f(x)的積分(不定積分)牛頓的工作可以清楚地說明切線及面積的互逆關(guān)系如果面積y在解決了基本的微積分問題后，牛頓又進(jìn)一步提出變量代換法，它變量z1xn，其流數(shù)比為這便是我們熟知的冪函數(shù)微分公式，它的現(xiàn)代形式為類似地，牛頓在積分中也采用了代換法，

4、并在稍后的著作中總結(jié)出代換積分公式這個(gè)問題將在下面討論流數(shù)簡(jiǎn)論中，牛頓還導(dǎo)出函數(shù)的積和商的微分法則設(shè)y=u(x)·v(x)，則由計(jì)算流數(shù)之比的基本法則得到至于函數(shù)和的微分，牛頓認(rèn)為是顯然的，沒有作為公式列出由于牛頓首次引入“流數(shù)”和“變化率”的概念，明確提出一般性的微積分算法，特別是提出微積分基本定理，所以說他“發(fā)明”了微積分不過，他當(dāng)時(shí)只是觀察到這一重要定理，至于定理的證明則是在他的第二本微積分著作中才出現(xiàn)的二、運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)(下簡(jiǎn)稱分析學(xué))在這本書中，牛頓假定曲線下的面積為zaxm，其中m是有理數(shù)他把x的無(wú)窮小增量叫x的瞬，用o表示由曲線、x軸、y軸及xo處縱坐標(biāo)所圍成

5、的面積用zoy表示(圖1114)，其中oy是面積的瞬，于是有z+oya(xo)m根據(jù)二項(xiàng)式定理考慮到zaxm，并用o去除等式兩邊，得略去仍然含o的項(xiàng)，得xy=maxm-1這就是相應(yīng)于面積z的縱坐標(biāo)y的表達(dá)式，或者說是面積z在點(diǎn)的變化率線為y=maxm-1；反之，若曲線是ymaxm-1，則它下面的面積是z=axm在這里，牛頓不僅給出了求變化率的普遍方法，而且證明了微積分基本定理從計(jì)算角度來說，他實(shí)際上給出了兩個(gè)基本的求導(dǎo)和積分公式(用現(xiàn)代符號(hào)表出)(axm)maxm-1；在證明了面積的導(dǎo)數(shù)是y值，并斷言逆過程是正確的以后，牛頓給出下面的法則：若y值是若干項(xiàng)的和，則面積是由每一項(xiàng)得到的面積的和，用

6、現(xiàn)在的話來說，就是函數(shù)之和的積分等于各函數(shù)的積分的和：f1(x)+f2(x)+fn(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx+fn(x)dx他對(duì)如下的積分性質(zhì)也有明確認(rèn)識(shí)：af(x)dx af(x)dx他利用上述知識(shí)得到各種曲線下的面積，解決了許多能表成和式的問題在此基礎(chǔ)上，牛頓提出了利用無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行逐項(xiàng)積分的方法例如然后對(duì)這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，得他說，只要b是x的倍數(shù)，取最初幾項(xiàng)就可以了y1-x2x4x6x8 (1)yx-2x-4x-6-x-8 (2)他說，當(dāng)x很小時(shí)，應(yīng)該用(1)式，若x較大就必須用(2)式了可見他已意識(shí)到級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的區(qū)別，不過還沒有提出收斂的概念同流數(shù)簡(jiǎn)論相比，分析學(xué)的

7、另一項(xiàng)理論進(jìn)展表現(xiàn)在定積分上牛頓把曲線下的面積看作無(wú)窮多個(gè)面積為無(wú)限小的面積之和，這種觀念與現(xiàn)代是接近的為了求某一個(gè)區(qū)間的確定的面積即定積分，牛頓提出如下方法：先求出原函數(shù)，再將上下限分別代入原函數(shù)而取其差這就是著名的牛頓萊布尼茨公式，是他與萊布尼茨各自獨(dú)立發(fā)明的若采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)，該公式可表述為：若F(x)是f(x)在區(qū)間a，b中應(yīng)用極廣的定積分計(jì)算問題便轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)問題，所以它是十分重要的分析學(xué)中還有其他一些出色的成果，例如，書中給出求高次方程近似根的方法(即牛頓法)，導(dǎo)出正弦級(jí)數(shù)及余弦級(jí)數(shù)，等等到此為止，牛頓已經(jīng)建立起比較系統(tǒng)的微積分理論及算法不過他在概念上仍有不清楚的地方第一，他的無(wú)

8、窮小增量o是不是0？牛頓認(rèn)為不是既然這樣，運(yùn)算中為什么可以略去含o的項(xiàng)呢？牛頓沒有給出合乎邏輯的論證第二，牛頓雖然提出變化率的概念，但沒有提出一個(gè)普遍適用的定義，只是把它想象成“流動(dòng)的”速度牛頓自己也認(rèn)為，他的工作主要是建立有效的計(jì)算方法，而不是澄清概念，他對(duì)這些方法僅僅作了“簡(jiǎn)略的說明而不是準(zhǔn)確的論證”牛頓的態(tài)度是實(shí)事求是的三、流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)(下簡(jiǎn)稱流數(shù)法)這是一部?jī)?nèi)容廣泛的微積分專著，是牛頓在數(shù)學(xué)方面的代表作在前兩部書的基礎(chǔ)上，牛頓提出了更加完整的理論從書中可以看出，牛頓的流數(shù)概念已發(fā)展到成熟的階段他把隨時(shí)間變化的量，即以時(shí)間為自變量的函數(shù)稱為流量，以字母表的后幾個(gè)字母v，x，y，z來表

9、示；把流量的變化速度，即變化率稱為流數(shù)，以表保留，并且仍用o表示他在書中明確表述了他的流數(shù)法的理論依據(jù)，說：“流數(shù)法賴以建立的主要原理，乃是取自理論力學(xué)中的一個(gè)非常簡(jiǎn)單的原理，這就是：數(shù)學(xué)量，特別是外延量，都可以看成是由連續(xù)軌跡運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的；而且所有不管什么量，都可以認(rèn)為是在同樣方式下產(chǎn)生的”又說：“本人是靠另一個(gè)同樣清楚的原理來解決這個(gè)問題的，這就是假定一個(gè)量可以無(wú)限分割，或者可以(至少在理論上說)使之連續(xù)減小，直至比任何一個(gè)指定的量都小”牛頓在這里提出的“連續(xù)”思想及使一個(gè)量小到“比任何一個(gè)指定的量都小”的思想是極其深刻的，他正是在這種思想的主導(dǎo)下解決了如下兩類基本問題第一類：已知流量的關(guān)系

10、求它們的流數(shù)之比，即已知yf(x)或例如書中的問題1：如果流量x和y之間的關(guān)系是x3ax2+axyy3=0，求它們的流數(shù)之比程中的x和y，得展開后利用x3ax2axyy30這一事實(shí)再把余下的項(xiàng)除以o，得至此牛頓說：“我們已假定o是無(wú)限微小，它可以代表流動(dòng)量的瞬，所以與它相乘的諸項(xiàng)相對(duì)于其他諸項(xiàng)來說等于沒有因此我把它們丟掉，而剩下從表面看，這種方法與流數(shù)簡(jiǎn)論中的方法一致所不同的是，數(shù)簡(jiǎn)論中求流數(shù)之比的基本法則也被牛頓賦予一般的意義 例如，假定y=xn，牛頓首先建立然后用二項(xiàng)式定理展開右邊，消去yxn，用o除兩邊，略去仍含o的項(xiàng)，結(jié)果得當(dāng)然，在對(duì)具體函數(shù)微分時(shí)，不必采用無(wú)窮小而可直接代入公式第二類

11、：已知一個(gè)含流數(shù)的方程，求流量，即積分(x)，則數(shù)簡(jiǎn)論中，牛頓在具體積分中已經(jīng)采用了這種方法，只是到這時(shí)才明確總結(jié)出公式從簡(jiǎn)論及流數(shù)法兩書來看，他推導(dǎo)此式的思路大致如下：由(2)，(3)得由微積分基本定理，得牛頓在書中還推出分部積分公式，即uvdx=uv-vudx 其中u和v都是x的函數(shù)若求uvdx有困難而求vudx 比較容易時(shí)，就可利用分部積分公式求積分牛頓總結(jié)了他的積分研究成果，列成兩個(gè)積分表，一個(gè)是“與直線圖形有關(guān)的曲線一覽表”，另一個(gè)是“與圓錐曲線有關(guān)的曲線一覽表”這兩個(gè)表為積分工作提供了許多方便至此，牛頓已建立起比較完整的微分和積分算法，他當(dāng)時(shí)統(tǒng)稱為流數(shù)法他充分認(rèn)識(shí)到這種方法的意義，

12、說流數(shù)法(即微積分)是一種“普遍方法”，它“不僅可以用來畫出任何曲線的切線而且還可以用來解決其他關(guān)于曲度、面積、曲線的長(zhǎng)度、重心的各種深?yuàn)W問題”流數(shù)法一書便充分體現(xiàn)了微積分的用途，下面略舉幾例例1，在“問題3極大值和極小值的確定”中，牛頓給出了通過解方程f(x)0來求f(x)極值的方法他寫道：“當(dāng)一個(gè)量取極大值或極小值時(shí)，它的流數(shù)既不增加也不減少，因?yàn)槿绻黾?，就說明它的流數(shù)還是較小的，并且即將變大；反之，如果減少，則情況恰好相反所以求出它的流數(shù)，并且令這個(gè)流數(shù)等于0”他用這種方法解出了九個(gè)問題其中之一是求方程x3ax2axyy3=0中x的最大值他先求出x和y的流數(shù)之比，得即 3y2ax把上式

13、代入原方程后，就很容易求得相應(yīng)的x值和y值了例2，已知曲線方程為x3ax2axy y30，AB和BD分別為曲線上D點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，求作過D點(diǎn)的切線(圖1115)牛頓先求得流數(shù)之間的關(guān)系由此得出因BDy，所以牛頓說：“給定D點(diǎn)后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的長(zhǎng)度也就給定，由此可確定切線TD”例3，在“問題12曲線長(zhǎng)度的確定”中，牛頓采用流數(shù)法計(jì)算弧長(zhǎng)設(shè)QR是給定曲線，RNMN，牛頓分別記MNsNRt，QRv(圖1116)，它們的流數(shù)分別為s，t，v，然后“想象直線NR向右移動(dòng)到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂線RS，則MN，NR和QR分別增加RS，Sr和Rr”牛頓說：“因?yàn)镽S，Sr

14、和Rr相互之比是這些線段的流數(shù)之間的若換成現(xiàn)在通用的坐標(biāo)x，y和弧長(zhǎng)s，則牛頓的結(jié)果為只要對(duì)t積分，就可求出弧長(zhǎng)s了綜上所述，流數(shù)法不僅在基本思想上比分析學(xué)有了發(fā)展，而且提供了更加有效的計(jì)算方法但牛頓的基本方法仍是棄去無(wú)窮小，因而同分析學(xué)一樣出現(xiàn)邏輯困難他嘗試建立沒有無(wú)窮小的微積分，于是有曲線求積術(shù)(下簡(jiǎn)稱求積術(shù))之作四、牛頓的極限理論牛頓的四部微積分專著中，曲線求積術(shù)是最后寫成(1693)但最早出版(1704)的一部在書中，導(dǎo)數(shù)概念已被引出，而且把考察對(duì)象由二個(gè)變量構(gòu)成的方程轉(zhuǎn)向關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)牛頓的流數(shù)演算已相當(dāng)熟練和靈活了，他算出許多復(fù)雜圖形的面積阿達(dá)瑪(JHadamard，18651

15、963)稱贊說，該書“論述的有理函數(shù)積分法，幾乎不亞于目前的水平”值得注意的是，在求積術(shù)中，牛頓認(rèn)為沒有必要把無(wú)窮小量引入微積分他在序言中明確指出：“數(shù)學(xué)的量并不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來描述的直線不是一部分一部分的連接，而是由點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)畫出的，因而是這樣生成的；面是由線的運(yùn)動(dòng)，體是由面的運(yùn)動(dòng)，角是由邊的旋轉(zhuǎn)，時(shí)間段落是由連續(xù)的流動(dòng)生成的”在這種思想指導(dǎo)下，他放棄了無(wú)窮小的概念，代之以最初比和最后比的新概念為了求函數(shù)y=xn的導(dǎo)數(shù)，牛頓讓x“由流動(dòng)”而成為xo，于是xn變?yōu)榈淖詈蟊鹊扔?比nxn-1所以量x的流數(shù)與量xn的流數(shù)之比等于1比nxn-1”牛頓認(rèn)為這個(gè)比即增量的最初

16、比，可見最初比與最后比的實(shí)質(zhì)是一樣的，都表示y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，或者說是y對(duì)于x的變化率用現(xiàn)在的符號(hào)可寫成y=nxn-1牛頓還對(duì)他的最后比作出下面的幾何解釋：如圖1117，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于CET的各邊之比，即把這些增量看作初生量的最初比”他說，“只有點(diǎn)C與c完全重合了，直線CK才會(huì)與切線(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出”顯然，他是把切線CH當(dāng)作割線CK的極限位置實(shí)際上，早在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理(下簡(jiǎn)稱原理)一書中，牛頓就表述了明確的極限思想他說：“消失量的最后比嚴(yán)格地說并不是最后量的比，而是這些量無(wú)限減小時(shí)它們的比所趨近的極限它們與這個(gè)極限之差雖然可以比任何給定的差更小，但這些量在