彈性力學(xué)有限元位移法原理

1、一、課程論文：彈性力學(xué)有限元位移法原理（30分）主要針對一維（直桿）問題，撰寫一篇論文，對有限元位移法的原理作一般性概括和論述。要求論文論及但不限于下列內(nèi)容：1）彈性力學(xué)有限元位移法的數(shù)學(xué)、力學(xué)基礎(chǔ)和基本思想；2）有限元法求解的原理和過程，推導(dǎo)所有計算列式；對基本概念和符號進(jìn)行解釋和討論；3）收斂性、收斂準(zhǔn)則及其數(shù)學(xué)、力學(xué)意義的討論。彈性力學(xué)有限元位移法原理一、 有限單元法的起源有限單元法的形成可以追溯到20世紀(jì)50年代甚至更早些時間，基本思路來源于固體力學(xué)中矩陣位移法的發(fā)展和工程師對結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。對不同結(jié)構(gòu)的桿系、不同的載荷，用矩陣位移法求解都可以得到統(tǒng)一的公式。在1952-1953

2、年期間，R·W·Clough和M·J·Turner在分析飛機(jī)三角翼振動問題時，提出了把平面應(yīng)力三角形或矩形板組合起來表達(dá)機(jī)翼剛度的方法，當(dāng)時被稱為直接剛度法。1956年M·J·Turner，R·W·Clough，H·C·Martin，L·J·Topp在紐約舉行的航空學(xué)會年會上發(fā)表論文Stiffness and deflection analysis of complex structures(復(fù)雜結(jié)構(gòu)的剛度和變形分析)介紹了這種新的計算方法，從而將矩陣位移法推廣推廣到求解彈性

3、力學(xué)平面應(yīng)力問題。它們把平面板殼結(jié)構(gòu)劃分為一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點力與結(jié)點位移關(guān)系的單元剛度矩陣。1960年，R·W·Clough在論文The finite element in plane stress analysis(平面應(yīng)力分析的有限元法)中首次提出了有限單元（Finite Element）這一術(shù)語，他也因此被稱為“有限單元之父”二、 有限元法的基本思想有限元法是一種結(jié)構(gòu)分析的方法，正如O·C·Zienkiewicz所說的：“人類思維的限制在于不能通過一步運算就掌握復(fù)雜環(huán)境和事物的行為。因此，先把所有系統(tǒng)

4、分解為它們的元件或單元，這些元件的行為已經(jīng)被充分的了解，再把元件重新組裝成原來的系統(tǒng)來研究系統(tǒng)的行為”。可以看出有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組由有限個單元組成并按一定方式相互連接在一起的單元組合體來加以分析。三、 有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)當(dāng)有限單元法成功的應(yīng)用于求解彈性力學(xué)平面問題之后，下一步要解決的問題就是能否把這種方法應(yīng)用于求解其他連續(xù)介質(zhì)問題。在尋找連續(xù)介質(zhì)問題近似算法的時候，數(shù)學(xué)家們發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。四、 有限元分析的基本步驟 建立研究對象的近似模型 將研究對象分割成有限數(shù)量的單元 用標(biāo)準(zhǔn)方法對每一個單元提出一個近似解 將所有

5、單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng) 用數(shù)值方法求解這個近似系統(tǒng) 計算結(jié)果處理與結(jié)構(gòu)驗證五、 一維桿的有限位移法分析本文以一維直桿的分析為例子，研究有限元位移法基本原理和求解過程。 虛位移原理推到一維直桿單元的剛度方程如下圖所示一維直桿，已知直桿桿長為L，橫截面積為A，材料彈性模量為E，所受軸向分布載荷集度為q(x)。桿端位移分別記為ui，uj，桿端力分別記為Si，Sj。Aq(x)ijSiSjuiujxa設(shè)局部坐標(biāo)系下桿中A點的坐標(biāo)為xa，因為只有兩個邊界條件ui，uj，因此桿軸任意一點（例如A點）的位移可假設(shè)為 式中 a，b為待定常數(shù)。它們可由桿端位移條件來確定： 將式代入式可得：

6、若引入無量綱變量： 則式（3）可改寫成： 式中稱為形函數(shù)，矩陣N稱作形函數(shù)矩陣；矩陣ue稱為桿端位移矩陣或節(jié)點位移矩陣。由式（4）可以看出，形函數(shù)具有如下性質(zhì)：1、 本端為1，它端為零 2、 任意一點總和為1 現(xiàn)采用虛位移原理給出該桿單元的特性公式，設(shè)桿端i，j分別產(chǎn)生虛位移，由此引起的單元內(nèi)任意一點的虛位移為：又式中 B為應(yīng)變矩陣。由此可得 又根據(jù)虛位移原理：對任意虛位移，外力所做的總虛功恒等于變形體所接受的總虛變形功，即 所以有由 可得：即若記稱為該桿單元等效節(jié)點載荷；局部坐標(biāo)單元剛度矩陣。所以可得單元剛度方程：式中單元剛度矩陣的顯式為：可見單元剛度矩陣具有對稱性。即單元剛度矩陣的每一個元

7、素可寫成 將一維直桿離散為三個單元進(jìn)行分析現(xiàn)考慮下圖所示一維直桿：長度為L，分為三個單元，每個單元長度為h1，h2，h3；對于單元，節(jié)點位移分別為u1，u2，對應(yīng)形函數(shù)為N1，N2；由得：又對于單元、，形函數(shù)N1=0；對單元，形函數(shù)N2=0；對單元，形函數(shù)N3=0；對于單元、，形函數(shù)N4=0。因此可得：式中分別對應(yīng)于單元，。且對于單元，對于單元，對于單元，所以所以單元整體剛度矩陣整體單元剛度矩陣元素的物理意義為：j節(jié)點在x方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i上需施加的節(jié)點力。又由單元等效節(jié)點載荷可得：每一節(jié)點等效載荷分別為：又對于單元、，形函數(shù)N1=0；對單元，形函數(shù)N2=0；對單元，形函數(shù)N3=0；

8、對于單元、，形函數(shù)N4=0。所以有：以上四式可寫為：式中：，表示單元e的形函數(shù)；在本例子中，e=1、2、3，k=1、2；而且有he 表示單元長度。所以有由單元剛度方程可得：例：假設(shè)A, E, L, a, 和 R 都等于1。且，則有，x1 = 0, x2 = 1 / 3, x3 = 2 / 3, x4 = 1,由整體單元剛度方程得：對于單元e（e=、）可寫出其位移函數(shù)：應(yīng)變?yōu)椋河?得每個單元的應(yīng)力：下圖1和圖2分別表示有限元解和精確解的比較：圖1 位移對比圖2 應(yīng)力對比二、分析與計算（40分）1、圖示兩個結(jié)構(gòu)和單元相似，方位相同的平面應(yīng)力有限元模型，兩模型的單元厚度和材料相同。兩個模型右端單元邊

9、上受均勻剪切面力。對于下列2種情況，試根據(jù)有限元法和力學(xué)有關(guān)知識來分析兩個模型求解后對應(yīng)節(jié)點的位移值和對應(yīng)單元的應(yīng)力值之間的關(guān)系：1）兩個模型面力的合力相等；2）兩個模型面力的集度相等。（10分）解：建立坐標(biāo)系如圖所示，對（a）圖，各節(jié)點坐標(biāo)點號x坐標(biāo)y坐標(biāo)點號x坐標(biāo)y坐標(biāo)1400420202402050032006020單元節(jié)點信息數(shù)組可記為單元，面積，由式 （a）可得 由式（b），單元幾何矩陣為為了計算簡便，可設(shè)=0且為單位厚度，彈性矩陣大為簡化，由式，可得由式（c），得單元的應(yīng)力矩陣由式（d），單元的單元剛度矩陣為根據(jù)單元剛度矩陣的性質(zhì)可得對（b）各節(jié)點坐標(biāo)點號x坐標(biāo)y坐標(biāo)點號x坐標(biāo)y坐

10、標(biāo)1200410102201050031006010單元節(jié)點信息數(shù)組可記為：單元，面積，由式（a）可計算出由式（b），單元幾何矩陣為由式（c）得單元的應(yīng)力矩陣由式（d）得單元的單元剛度矩陣同理由單元剛度矩陣的性質(zhì)可得綜上可知，兩個模型中的單元剛度矩陣均相同，所以它們的總剛度矩陣也相同，即 當(dāng)兩個模型面力的合力相等，它們的載荷列陣都為位移列陣為形成整體平衡方程 K=F位移約束條件為，將此約束條件引入整體剛度方程，對其用“化一置零法”處理。即由上式可知在這種情況下，兩種模型求解后對應(yīng)節(jié)點的位移相等。有整體節(jié)點位移獲取單元節(jié)點位移，所以對應(yīng)的單元節(jié)點位移也相等。以單元為例，兩種模型應(yīng)力矩陣的關(guān)系，又

11、由可得，模型（b）中單元的應(yīng)力是模型（a）的2倍，其它單元可得到類似的結(jié)論。當(dāng)兩個模型面力的集度相等，可設(shè)模型（a）右端受剪力的合力為2P，模型（b）右端受剪力的合力為P，則兩種模型的載荷列陣分別為由上述內(nèi)容可得，進(jìn)而可知（a）模型中對應(yīng)節(jié)點的位移是（b）模型的2倍。在單元中，所以由可知模型（a）和模型（b）中單元的應(yīng)力相等，其他單元可類似說明。2、證明平面問題三節(jié)點三角形單元發(fā)生剛體位移（小位移平動和轉(zhuǎn)動）時，單元中將不產(chǎn)生應(yīng)力。（10分）證明：三節(jié)點三角形單元位移模式選取一次多項式： （1）在（1）的1式中帶入節(jié)點的坐標(biāo)得到節(jié)點i在x向的位移，同理可得， （2）解（2）式可得到廣義坐標(biāo)由節(jié)

12、點位移表示的表達(dá)式： （3） 將求解的廣義坐標(biāo)（3）式代入（1）式，可將位移函數(shù)表示成節(jié)點位移的函數(shù) （4） 式中 （5）上式中式（4）寫成矩陣形式為 確定了剛體位移后，可以很方便的求得單元的應(yīng)變和應(yīng)力。由此可知，單元應(yīng)變 （7）稱為應(yīng)變矩陣，L是平面問題的微分算子。應(yīng)變矩陣B的分塊矩陣 （8） 對（5）式求導(dǎo)得： （9）代入（8）式得到： （10）三節(jié)點單元應(yīng)變矩陣是 （11） 式中是單元形狀的參數(shù)。當(dāng)單元節(jié)點坐標(biāo)確定后，這些參數(shù)都是常數(shù)，因此B是常量陣。當(dāng)單元的節(jié)點位移確定后，由B轉(zhuǎn)換求得的單位應(yīng)變都是常數(shù)，也就是說在載荷作用下單元中各節(jié)點具有同一的值，值及值。因此，三節(jié)點三角形單元稱為常

13、應(yīng)變單元。應(yīng)變應(yīng)力可根據(jù)物理方程求得： （12） 其中成為應(yīng)力矩陣。將平面應(yīng)力彈性矩陣及式（11）代入式（12）可以得到計算平面應(yīng)力問題的單元應(yīng)力矩陣。的分塊矩陣為 （13） 其中為材料常數(shù)。對于平面應(yīng)力問題與應(yīng)變矩陣B相同，應(yīng)力矩陣S也是常量陣，即三節(jié)點三角形單元中各節(jié)點的應(yīng)力是相同的。因此，平面問題三節(jié)點三角形單元發(fā)生剛體位移（小位移平動和轉(zhuǎn)動）時，單元中將不產(chǎn)生應(yīng)力。3、證明20節(jié)點六面體等參元在Jacobi行列式為常數(shù)條件下的完全（精確）高斯積分方案是3×3×3階。（10分）證明：單元剛度矩陣形式 （a）式中的微分體積dV用d,d，d表示。將dV取為三個微分矢量d,

14、d和d所成平行六面體的體積。在整體坐標(biāo)系中，各微分矢量表示為 于是上式可記為式中，是Jacobi矩陣J行列式，即于是單元剛度矩陣（a）改寫為對于三維數(shù)值積分，則有n階高斯積分公式對（2n-1）次多項式被積函數(shù)可求得精確積分。保證單元剛度矩陣精確積分的積分階選擇，基本考慮是保證被積函數(shù)所有項次精確積分，這種積分方案稱為完全積分。所以如果，且，則上式給出精確的積分結(jié)果。對于20節(jié)點六面體等參單元，在d,d，d和各個不同方向上，選取2個積分點，即得到精確高斯積分方案是3×3×3。4、圖示一個一維直桿問題，桿的截面積為A,彈性模量為E。桿受線性變化的軸向線分布力。試構(gòu)造一種三次桿單

15、元（單元有4個節(jié)點，節(jié)點間隔均勻，形函數(shù)可以由形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造或采用拉格朗日插值多項式）求解該問題，整個桿用1個單元離散化。解出節(jié)點位移后，由單元有關(guān)方程導(dǎo)出單元上位移和應(yīng)力的分布函數(shù)，并將有限元解與精確解作比較。（10分）考慮題圖中的結(jié)構(gòu)，由要求用4節(jié)點一維桿單元求解，單元的自由度為4。應(yīng)用里茲法假設(shè)位移場，在單元內(nèi)假設(shè)位移場應(yīng)是二次多項式，即：（）其中，為待定參數(shù)（稱為廣義坐標(biāo)）。為方便計算，采用題圖所示的局部坐標(biāo)系，則有單元（）對單元來說，在上面的式中分別代入節(jié)點1、2、3、4的坐標(biāo)，可得節(jié)點1、2、3、4在方向上的位移、，即：其中，。用局部坐標(biāo)系表示為：其中，,。于是有： 解得：將上

16、面求得的廣義坐標(biāo)代入原來假設(shè)的位移場，可將單元的位移函數(shù)表示成節(jié)點位移的函數(shù)，即整理得：將上式寫成矩陣形式為其中，插值函數(shù)矩陣，或稱形函數(shù)矩陣；單元的節(jié)點位移列陣（單元自由度）。顯然，整個桿上，由各單元上假設(shè)的位移場拼接而成的位移試探函數(shù)是連續(xù)的，只要我們記住，得到的就是全域可能位移場。這樣的位移場已經(jīng)把節(jié)點位移自由度作為廣義坐標(biāo)。在單元上進(jìn)行總勢能計算：首先計算應(yīng)變在單元內(nèi)有式中，應(yīng)變矩陣：所以單元內(nèi)的應(yīng)變能為：由于節(jié)點位移列陣與無關(guān)，故有：式中，單元剛度矩陣：載荷為，則載荷在單元內(nèi)表達(dá)為： 帶入外力功積分式，對單元計算外力功。單元外力功為：系統(tǒng)總勢能是單元的總應(yīng)變能減去單元外力功，則系統(tǒng)總

17、勢能表達(dá)為：上式簡寫為：應(yīng)用駐值條件：，得到節(jié)點平衡方程：，即解得：由此得到的位移場在節(jié)點處為精確解，而一般位置上均為近似值（小于精確解）。根據(jù)幾何方程求單元應(yīng)變，再利用物理方程求單元應(yīng)力。對單元有：于是可得單元節(jié)點處的應(yīng)力近似解如下：，該問題的位移和應(yīng)力的精確解分別為：于是可得單元節(jié)點處的應(yīng)力精確解如下：， 位移和應(yīng)力的計算結(jié)果與精確解的比較如圖2.1所示：圖2.1 受軸向力桿的精確結(jié)果和有限元結(jié)果由圖中可以看出，由于在求得結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移后，要通過導(dǎo)數(shù)的運算來求單元的應(yīng)變和應(yīng)力，導(dǎo)致了精度的下降，因此位移的近似程度比應(yīng)力的近似程度更好。三、上機(jī)實驗（30分）1、圖示一個簡支梁平面應(yīng)力模型。梁

18、截面為矩形，高度h=160mm，長度L=1000mm，厚度t=10mm。上邊承受均布壓力q =1N/mm2，材料E=206GPa，=0.29。X方向正應(yīng)力彈性力學(xué)理論解為：分別應(yīng)用3節(jié)點三角形單元、4節(jié)點線性等參元（完全積分、減縮積分、非協(xié)調(diào)模式）、8節(jié)點二次等參元進(jìn)行下列數(shù)值實驗：1）用較粗單元網(wǎng)格求解梁中部應(yīng)力分量的最大值和上下邊法向應(yīng)力分量，并對計算精度進(jìn)行比較；2）用密網(wǎng)格進(jìn)行上述計算并比較計算精度；3）對粗網(wǎng)格下梁中部最大位移進(jìn)行對比和分析?？偨Y(jié)出研究結(jié)論，撰寫實驗報告。（10分） 實驗題目：簡支梁平面應(yīng)力的數(shù)值實驗 實驗?zāi)康模翰煌瑔卧愋汀⒉煌W(wǎng)格密度對數(shù)值實驗精度的影響建模概述：

19、（1）設(shè)置單元類型：選擇平面4節(jié)點四邊形單元，如圖1.1所示： 圖1.1 定義單元（2）設(shè)置材料屬性，取彈性模量，泊松比，如圖1.2所示：圖1.2 設(shè)置材料彈性常數(shù)(3)建立幾何模型：通過創(chuàng)建關(guān)鍵點，生成1個矩形，如圖1.3所示：圖1.3 梁的幾何模型（4）設(shè)置單元尺寸并劃分網(wǎng)格：劃分時選擇三角形單元劃分，如圖1.4所示： 圖1.4有限元網(wǎng)格圖（5）施加約束、載荷并求解：對模型左端線約束所有自由度，右端線約束Y方向自由度，并在梁的上端施加的均布載荷，求解后如圖1.5所示： 圖1.5 施加載荷與約束的有限元模型 圖1.6 X方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖 圖1.7 Y方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖 圖1.8 y方向節(jié)點位移

20、云圖（7）當(dāng)選擇4節(jié)點線性等參單元時，大體步驟與上面相同，選擇單元類型和設(shè)置單元選項如下圖1.9、圖1.10所示：圖1.9 定義單元圖1.10 設(shè)置單元為完全積分劃分網(wǎng)格、施加約束、載荷并求解，如下圖1.11所示：圖1.11 完整的有限元模型圖1.12 X方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.13 Y方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.14 Y方向節(jié)點位移云圖（8）當(dāng)選擇8節(jié)點二次等參時，選擇單元類型如下圖1.15所示： 圖1.15 定義單元圖1.16 X方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.17 Y方向應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.18 簡支梁的撓度云圖（9）用更密的網(wǎng)格對簡支梁重新進(jìn)行仿真計算，步驟與上面相同，當(dāng)應(yīng)用3節(jié)點三角形單元時，施加約束、

21、載荷并求解，求解后如圖1.19所示：圖1.19 完整的有限元模型所示：圖1.20 X方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.21 Y方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖（10）當(dāng)應(yīng)用4節(jié)點線性等參單元時，對梁面網(wǎng)格劃分，施加約束、載荷并求解，求解后如圖1.22所示：圖1.22 完整的有限元模型所示：圖1.23 X方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.24 Y方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖（11）當(dāng)應(yīng)用8節(jié)點二次等參單元時，對梁面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，施加約束、載荷并求解，求解后如圖1.25所示：圖1.25 完整的有限元模型所示：圖1.26 X方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖圖1.27Y方向的應(yīng)力強(qiáng)度云圖計算結(jié)果分析與結(jié)論：由理論計算公式可得，梁中部上邊（即，此時為壓應(yīng)力），

22、下邊（即，此時為拉應(yīng)力），中間（即）。對照上面幾種單元的仿真結(jié)果可知，單元結(jié)點數(shù)越多，網(wǎng)格密度越大，求解出的結(jié)果越精準(zhǔn)。分析可知，3節(jié)點三角形粗網(wǎng)格的精度最低，8節(jié)點二次等參單元密網(wǎng)格的精度最高，實驗結(jié)果與此相符。在粗網(wǎng)格下，梁中部最大位移隨著單元結(jié)點數(shù)的增多而增大，越來越接近精確解，8節(jié)點單元得出的位移最精確為。實驗體會與總結(jié)：通過的簡支梁的數(shù)值實驗，可知：（1） 不同單元類型，不同的網(wǎng)格密度將對計算精度產(chǎn)生直接的影響。（2） 等參元選擇數(shù)值積分階次的重要性。它將直接影響計算的精度和計算工作量。（3） 要保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的非奇異性。2、一個空心球的外半徑，內(nèi)半徑。內(nèi)壁受均勻壓力。試用有限元

23、法計算該空心球體的應(yīng)力分布規(guī)律。要求分別應(yīng)用軸對稱二次單元建立軸對稱模型、應(yīng)用二次六面體單元建立三維模型求解。注意利用對稱面方便與簡化建模。撰寫實驗報告。（10分）實驗題目：有限元法計算該空心球體的應(yīng)力分布規(guī)律 實驗?zāi)康模和ㄟ^空心球體的應(yīng)力分布實驗說明對稱性在建行模型和縮減計算量上的重要性建模概述：1、 應(yīng)用軸對稱二次單元建立軸對稱模型求解（1）設(shè)置有限元分析的單元類型。如圖所示選擇單元，如下圖2.1所示： 圖2.1 設(shè)置單元類型（2）設(shè)置單元選項，設(shè)置K3為Axisymmetric（軸對稱單元），如圖2.2所示： 圖2.2 定義軸對稱單元對話框（3）設(shè)置材料屬性：取彈性模量E=，泊松比，如圖

24、2.3所示： 圖2.3定義材料屬性（4）建立幾何模型：由于空心球的對稱性，在默認(rèn)的工作平面（坐標(biāo)系）內(nèi)，建立一個外徑150mm、內(nèi)徑120mm、的1/4圓環(huán)面。如圖2.4所示： 圖2.4 創(chuàng)建圓環(huán)形截面（5）對環(huán)面進(jìn)行網(wǎng)格的劃分：厚度方向單元劃分?jǐn)?shù)為4，圓環(huán)面周向單元劃分?jǐn)?shù)為30，劃分后如圖2.5所示： 圖2.5 劃分網(wǎng)格（6）施加對稱約束和球內(nèi)的均勻載荷：對左邊豎直邊界和下邊界實行對稱約束，球內(nèi)壁施加壓力P=10MP。如圖2.6所示：圖2.6 施加約束和載荷（7）計算結(jié)果分析與結(jié)論進(jìn)行計算并進(jìn)行后處理：顯示球內(nèi)的應(yīng)力強(qiáng)度云圖，如圖2.7所示：圖2.7 空心球的應(yīng)力強(qiáng)度云圖從圖上可以看出，在均

25、勻載荷的作用下，空心球類的應(yīng)力呈層狀分布，最大應(yīng)力出現(xiàn)在球的內(nèi)表面為30.7 MP，最小應(yīng)力出現(xiàn)在球的外表面為15.7 MP，符合我們理論分析的結(jié)果，該計算是準(zhǔn)確的。2、 應(yīng)用二次六面體單元建立三維模型求解（1） 設(shè)置有限元分析的單元類型。如圖所示選擇實體類型的20節(jié)點六面體單元，如下圖2.8所示：（2）圖2.8 設(shè)置單元類型（2）設(shè)置材料屬性同上一種情況。（3）建立幾何模型：由于空心球關(guān)于3個坐標(biāo)面對稱，在默認(rèn)的工作平面（坐標(biāo)系）內(nèi)，建立一個外徑150mm、內(nèi)徑120mm、的1/4空心球。如圖2.9所示： 圖2.9 創(chuàng)建空心球（4）對實體進(jìn)行網(wǎng)格的劃分：厚度方向單元劃分?jǐn)?shù)為4，空心球周向單元

26、劃分?jǐn)?shù)為30，劃分后如圖2.10所示： 圖2.10 劃分網(wǎng)格（6）施加對稱約束和球內(nèi)的均勻載荷：對左邊界面、右邊界面和下邊界面實行對稱約束，球內(nèi)壁施加壓力P=10MP。如圖2.11所示： 圖2.11 施加約束和載荷（7）進(jìn)行計算并進(jìn)行后處理：顯示球內(nèi)的應(yīng)力強(qiáng)度云圖，如圖2.12所示： 圖2.12空心球的應(yīng)力強(qiáng)度云圖從圖上可以看出，在均勻載荷的作用下，空心球類的應(yīng)力呈層狀分布，最大應(yīng)力出現(xiàn)在球的內(nèi)表面為30.7 MP，最小應(yīng)力出現(xiàn)在球的外表面為15.7 MP，與上一種情況相符。實驗體會與總結(jié)：通過空心球體的受力分析，當(dāng)實驗對象為對稱的規(guī)則模型時，而且載荷也是對稱的，可以通過對稱性創(chuàng)建模型，進(jìn)而減

27、小計算規(guī)模，提高效率。3、一個矩形平板，長1000mm,寬100mm，厚度10mm。材料的E=200GPa， 。板的一對短邊簡支。進(jìn)行下列計算分析并撰寫實驗報告。1) 在相同的粗網(wǎng)格（厚度方向1層單元）下，分別用線性六面體全積分等參元和二次六面體等參元計算其前三階自由振動頻率和振型，對計算結(jié)果作對比和分析。2) 采用適當(dāng)網(wǎng)格密度的8節(jié)點六面體非協(xié)調(diào)元，用隱式直接積分法對該平板進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)研究。板的上表面受對稱三角形脈沖均布壓力，最大值0.05MPa 。要求：（1）分別在載荷脈沖寬度為1毫秒、10毫秒、100毫秒、1秒情況下，選擇適當(dāng)時間步長和求解時間，計算獲得平板下表面中心沿長邊方向的正應(yīng)力分

28、量響應(yīng)曲線和最大值，再計算靜載荷下的該應(yīng)力值，探索該最大應(yīng)力隨載荷脈寬變化的規(guī)律；（2）板的厚度改為50mm，考察上述規(guī)律的變化，并進(jìn)行歸納和討論。（10分）實驗題目：平板中部動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)規(guī)律研究 實驗?zāi)康模浩桨逯胁縿討B(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大值隨載荷脈寬變化（0.1毫秒1000毫秒）的規(guī)律研究建模概述：1） 建立1×0.1×0.01m矩形平板，如圖3.1所示：圖3.1 矩形平板實體模型 定義單元類型：線性單元8節(jié)點的六面體單元選擇Brick-8node-45；二次單元20結(jié)點的六面體單元選擇Brick-20node-95，如圖3.2所示： 圖3.2 單元定義 添加材料屬性：取彈性模量

29、，泊松比，密度，如圖3.3所示：圖3.3 定義材料屬性圖3.4 定義材料密度 劃分網(wǎng)格：對平板進(jìn)行100×10×1六面體網(wǎng)格劃分，如圖3.5所示：圖3.5 平板六面體網(wǎng)格圖 分析類型選擇模態(tài)分析，并在板的兩個側(cè)邊施加全約束。圖3.6 設(shè)置模態(tài)分析圖 3.7 設(shè)置“Block Lanczos”圖3.8 “Bloce Lanczos Method”設(shè)置 計算結(jié)果分析與結(jié)論A、求解并輸出各階自振頻率圖3.9 一次線性振動頻率圖3.10 二次非線性振動頻率開始計算結(jié)果并輸出，計算完成后可以輸出各階自振頻率和各階振型圖。（共兩種分析方法，每種分析方法有各自的振動頻率和振型圖）。為了更

30、直觀的看到不同階次的板的應(yīng)力及變形圖，下面分別列出了三階線性和非線性的應(yīng)力圖，便于觀察外形變化，又可以觀察到應(yīng)力分布情況。 圖3.11 一階線性振動型態(tài) 圖3.12 一階二次振動型態(tài) 圖3.13 二階線性振動型態(tài) 圖3.14 二階二次振動型態(tài) 圖3.15 三階線性振動型態(tài) 圖3.16 三階二次振動型態(tài)B、 結(jié)論：從線性和二次的自由振動的各階型態(tài)的數(shù)值來看，各階相對應(yīng)的頻率相差很小，二次的等參單元的形態(tài)更接近于實際。2） 改變板的厚度，研究平板中部動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大值隨載荷脈寬變化（1毫秒1秒）的規(guī)律。 建模概述 首先，建立1000×100×10mm矩形平板。 定義單元類型：線

31、性非協(xié)調(diào)單元8節(jié)點的六面體單元選擇Brick-8node-45。 添加材料定義：取彈性模量EX=，泊松比，密度。 劃分網(wǎng)格：對平板進(jìn)行100×10×1六面體網(wǎng)格劃分。 選擇分析類型和積分方法：選擇瞬態(tài)動力分析，跳出的選項框選擇全積分。圖3.17 選擇分析類型圖3.18 選擇全積分方法 施加邊界約束：兩邊簡支約束。 設(shè)置分析步長及施加載荷：施加載荷時間分別設(shè)為0.2s、0.4s、1s、2s的時間進(jìn)行計算。首先要先設(shè)置一半的時間的加載斜坡載荷，最大值為50000Pa，這個區(qū)間設(shè)為5步計算就可以了，設(shè)置好后點擊“write LS file”，記為第一步；然后再設(shè)置后一半時間的卸載

32、斜坡載荷到0，這個區(qū)間也設(shè)為5步計算，設(shè)置好后點擊write LS file，記為第二步，最后開始分析計算。（將幾個脈寬變化分別計算得到數(shù)據(jù)）圖3.19 a)圖3.19 b)圖3.3 c)圖3.20 施加三角載荷 計算結(jié)果分析與結(jié)論：后處理及結(jié)果分析：一個脈寬的情況下，都是在載荷最大的時刻同時出現(xiàn)應(yīng)力的最大值，所以，下面我們主要分析在載荷最大的時刻的應(yīng)力云圖。圖3.21，板中部的動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大為232MPa。圖3.22脈寬為0.4s的0.2s時，板中部的動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大為223MPa。圖3.23 脈寬為1 s的0.5s時的應(yīng)力云圖脈寬為1s的0.5s時，板中部的動態(tài)應(yīng)力響應(yīng)最大為219MPa。圖3.24 脈寬為2s的1s時的應(yīng)力云圖脈寬為2s的1s時，板中部的動態(tài)