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1、_系_專業(yè)_班級(jí) 姓名_ 學(xué)號(hào)_(密)(封)(線)密 封 線 內(nèi) 答 題 無 效 20092010學(xué)年第一學(xué)期期末考試線性代數(shù)試卷 答卷說明:1、本試卷共6頁,五個(gè)大題,滿分100分,120分鐘完卷。 2、閉卷考試。 題號(hào)一二三四五總分分?jǐn)?shù) 評(píng)閱人:_ 總分人:_得分一、單項(xiàng)選擇題。(每小題3分,共24分)【 】1.行列式(A) (B) (C) (D) 【 】2.設(shè)為階方陣,數(shù),則(A) (B) (C) (D) 【 】3.已知為階方陣,則下列式子一定正確的是(A) (B) (C) (D) 【 】4.設(shè)為階方陣, ,則 (A) (B) (C) (D) 【 】5.設(shè)矩陣與等價(jià),則有(A) (B)
2、(C) (D) 不能確定和的大小【 】6.設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,則有非零解的充分必要條件是(A) (B) (C) (D) 【 】7. 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是(A) 中至少有一個(gè)零向量 (B) 中至少有兩個(gè)向量成比例 (C) 中每個(gè)向量都能由其余個(gè)向量線性表示(D) 中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示【 】8. 階方陣與對(duì)角陣相似的充分必要條件是(A) (B)有個(gè)互不相同的特征值 (C)有個(gè)線性無關(guān)的特征向量 (D)一定是對(duì)稱陣得分二、填空題。(每小題3分,共15分)1.已知階行列式的第行元素分別為,它們的余子式分別為,則 。2.設(shè)矩陣方程,則 。3.設(shè)是非齊次線性方程
3、組的一個(gè)特解,為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,則非齊次線性方程組的通解為 .4.設(shè)矩陣的秩,則元齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組的秩 。5.設(shè)是方陣的特征值,則 是的特征值得分三、計(jì)算題(每小題8分,共40分).1計(jì)算行列式。2.已知矩陣,求其逆矩陣。3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,已知是它的三個(gè)解向量且,求該方程組的通解。4.求矩陣的特征值和特征向量。5.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型。得分四、綜合體(每小題8分,共16分)1. 解下列非齊次線性方程組 2. 已知向量組 求向量組的秩;向量組的一個(gè)最大無關(guān)組,并把不屬于最大無關(guān)組的向量用該最大無關(guān)組線性表示。得分五、證明題(5分)證明:
4、設(shè)階方陣滿足,證明及都可逆,并 求及。一、單項(xiàng)選擇題。(每小題3分,共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空題。(每小題3分,共15分)1. 2. 3. 4. 5. 三、計(jì)算題(每小題8分,共40分).1.解:=(2分)=(2分)=(2分)=0(2分)2.已知矩陣,求其逆矩陣。 解: (2分) (4分) 則(2分)3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,已知是它的三個(gè)解向量且,求該方程組的通解。 解:由已知可得:對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解集的秩為,因此齊次線性方程組的任意非零解即為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。(3分) 令則所以為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。(3分
5、)由此可得非齊次線性方程組的通解為:(2分)4.求矩陣的特征值和特征向量。 解:的特征多項(xiàng)式為: 所以的特征值為。(4分)(1)當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量滿足,解得:則對(duì)應(yīng)的特征向量可?。?分)(2)當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量滿足,解得:則對(duì)應(yīng)的特征向量可?。?分)5.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型。解: (4分) 令則把化成標(biāo)準(zhǔn)型得:(4分)四綜合題(每小題8分,共16分)1.解下列非齊次線性方程組 解:對(duì)增廣矩陣作初等行變換(5分)由上式可寫出原方程組的通解為:(3分)2.已知向量組 求向量組的秩;向量組的一個(gè)最大無關(guān)組,并把不屬于最大無關(guān)組的向量用該最大無關(guān)組線性表示。 解:(2分) 則,(2分)故向量組的最大無關(guān)組有2個(gè)向量,知為向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。(2
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