線性規(guī)劃與幾何概型

1、線性規(guī)劃與幾何概型【線性規(guī)劃】一、基本概念1.約束條件：關(guān)于變量的不等式（或方程）組。2.線性約束條件：關(guān)于變量的一次不等式（或方程）組。3.目標(biāo)函數(shù)：求最值的關(guān)于變量的函數(shù)解析式。4.線性目標(biāo)函數(shù)：求最值的關(guān)于變量的一次解析式。5.線性規(guī)劃：一般的，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。6.可行解、可行域、最優(yōu)解滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解；由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。二、基本題型類型一、求線性目標(biāo)函數(shù)的最值方法總結(jié)：在確定約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟為：（

2、1）根據(jù)約束條件作出可行域；（2）將目標(biāo)函數(shù)變形為將求的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線在軸上的截距的最值問(wèn)題；（3）畫出直線并平行移動(dòng)，一般地，平移過(guò)程中最先或最后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為最優(yōu)解；（4）求出最優(yōu)解并代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.注意：最優(yōu)解一般在可行域頂點(diǎn)或邊界取得.把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為某一直線,其斜率與可行域邊界所在直線斜率的大小關(guān)系一定要弄清楚。例1（1）如果實(shí)數(shù)滿足條件， 那么的最大值為（ ） A B C D（2）設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A B C D練習(xí)：1.設(shè)滿足則( )A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最大值3，無(wú)最小值 D.既無(wú)最小值，也無(wú)最

3、大值 2設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A B C D類型二、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例2（1）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大；在這個(gè)問(wèn)題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤(rùn)總額為元，那么，用于求使總利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（ ）（A） （B）（C） （D）（2）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）(A) (B) (C) (D)（3）已知點(diǎn) P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件

4、點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。練習(xí)：1.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B 原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是 （ ( )A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元 2某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千

5、克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過(guò)480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為 （ ）（A）甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱（B）甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱（C）甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱KS*5U.C#O（D）甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱類型三、非線性目標(biāo)函數(shù)的最值方法總結(jié)：（1）對(duì)于形如型的目標(biāo)函數(shù)均可化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)與間的距離的平方的最值問(wèn)題；（2）對(duì)于形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線斜率的倍的最值問(wèn)題；（一）

6、距離型例3已知實(shí)數(shù)對(duì)滿足不等式組，求的最大值。例4已知滿足不等式組，求的最大值。 練習(xí)： 1.已知滿足約束條件,則的最小值是（ ）A B C D2.已知點(diǎn)在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則的值域?yàn)?。（二）斜率型：例5若滿足約束條件，求的取值范圍.練習(xí)：滿足約束條件，求的范圍.（三）約束條件含有參數(shù)型1. 若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）A B1 C D2練習(xí)：若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）A B1 C D2【幾何概型】一、要點(diǎn)精講1隨機(jī)數(shù)的概念隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的。2隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法（1）利用函數(shù)計(jì)算

7、器可以得到01之間的隨機(jī)數(shù)；（2）在Scilab語(yǔ)言中，應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生01或ab之間的隨機(jī)數(shù)。3幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；4幾何概型的概率公式：P（A）=。5幾種常見(jiàn)的幾何概型（1）設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點(diǎn).若落在線段l上的點(diǎn)數(shù)與線段L的長(zhǎng)度成正比,而與線段l在線段l上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在線段l上的概率為：P=l的長(zhǎng)度/L的長(zhǎng)度（2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點(diǎn),若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域

8、g上概率為：P=g的面積/G的面積（3）設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對(duì)位置無(wú)關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為：P=v的體積/V的體積二典例解析題型1：線長(zhǎng)問(wèn)題例1一個(gè)實(shí)驗(yàn)是這樣做的，將一條5米長(zhǎng)的繩子隨機(jī)地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，考慮事件T發(fā)生的概率。例2（磁帶問(wèn)題）喬和摩進(jìn)行了一次關(guān)于他們前一天夜里進(jìn)行的活動(dòng)的談話。然而談話卻被監(jiān)聽(tīng)錄音機(jī)記錄了下來(lái)，聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作

9、人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，并從即刻起往后的所有內(nèi)容都被榛掉了試問(wèn)如果這10秒鐘長(zhǎng)的談話記錄開(kāi)始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？例3假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問(wèn)等車時(shí)間不超過(guò) 3 分鐘的概率 ？ 題型2：面積問(wèn)題例4投鏢游戲中的靶子由邊長(zhǎng)為1米的四方板構(gòu)成，并將此板分成四個(gè)邊長(zhǎng)為1/2米的小方塊。實(shí)驗(yàn)是向板中投鏢，事件A表示投中陰影部分為成功，考慮事件A發(fā)生的概率。例5（CB對(duì)講機(jī)問(wèn)題）（CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫）兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)

10、的接收范圍為25公里，在下午3:0O時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問(wèn)在下午3：0O時(shí)他們能夠通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？例6(意大利餡餅問(wèn)題)山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶 該靶為正方形板邊長(zhǎng)為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會(huì)贏得一種意大利餡餅中的一個(gè)，投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓，圓心在靶的中心，當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí)可得到一個(gè)大餡餅；當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設(shè)每一個(gè)顧客都能投鏢中靶，并假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒(méi)有寬度，即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上，試求一顧客將嬴得：（a）一張大餡餅，（b）一張中餡餅，（c）一張小餡餅，（d）沒(méi)得到餡餅的概率。題型3：體積問(wèn)題例7（1）在400毫升自來(lái)水中有