應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算

1、第三章 應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算一.內(nèi)容提要本章介紹了桿件發(fā)生基本變形時(shí)的應(yīng)力計(jì)算，材料的力學(xué)性能，以及基本變形的強(qiáng)度計(jì)算。1拉伸與壓縮變形1.1 拉（壓）桿的應(yīng)力1.1.1拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計(jì)算公式為 (3-1)式中為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。公式（3-1）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角時(shí)，可應(yīng)用

2、式（3-1）計(jì)算，所得結(jié)果的誤差約為3%。1.1.2拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力（如圖3-1）圖3-1拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計(jì)算公式為全應(yīng)力 (3-2)正應(yīng)力 （3-3）切應(yīng)力 （3-4）式中為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論：（1）當(dāng)時(shí)，即橫截面上，達(dá)到最大值，即。當(dāng)=時(shí)，即縱截面上，=0。（2）當(dāng)時(shí)，即與桿軸成的斜截面上，達(dá)到最大值，即。12 拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律（1）變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；受到軸向

3、壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。如圖3-2。圖3-2軸向變形 軸向線應(yīng)變 橫向變形 橫向線應(yīng)變 正負(fù)號(hào)規(guī)定 伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。（2）胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即 （3-5）或用軸力及桿件的變形量表示為 (3-6)式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即；(b)在計(jì)算時(shí)，l長(zhǎng)度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算，求其代數(shù)和得總變形。即 (3-7)(3)泊松比 當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值。即 (3-8)1.3 材料在拉（壓）時(shí)的

4、力學(xué)性能1.3.1低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-3所示。圖3-3 低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線卸載定律:在卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化。如圖3-3中dd直線。冷作硬化：材料拉伸到強(qiáng)化階段后，卸除荷載，再次加載時(shí)，材料的比例極限升高，而塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。如圖3-3中ddef曲線。圖3-3中，of 為未經(jīng)冷作硬化，拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。df 為經(jīng)冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。四個(gè)階段四個(gè)特征點(diǎn)，見表1-1。表1-1 低碳鋼拉伸過(guò)程的四個(gè)階段階 段圖1-5中線段特征點(diǎn)說(shuō) 明彈性階段oab比例極限彈性極限為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力屈服

5、階段bc屈服極限為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時(shí)的最低應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-1主要性能指標(biāo)，見表1-2。表1-2 主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說(shuō)明彈性性能彈性模量E當(dāng)強(qiáng)度性能屈服極限材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度材料的最大承載能力塑性性能延伸率材料拉斷時(shí)的塑性變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度1.3.2 低碳鋼在壓縮時(shí)的力學(xué)性能圖3-4 低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-4中實(shí)線所示。低碳鋼壓縮時(shí)的比例極限、屈服極限、彈性模量E與拉伸時(shí)基本相同，但側(cè)不出抗壓強(qiáng)度1.3.3鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能圖3-5 鑄鐵

6、拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-5所示。應(yīng)力與應(yīng)變無(wú)明顯的線性關(guān)系，拉斷前的應(yīng)變很小，試驗(yàn)時(shí)只能側(cè)得抗拉強(qiáng)度。彈性模量E以總應(yīng)變?yōu)?.1%時(shí)的割線斜率來(lái)度量。1.3.3鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-6所示。圖3-6 鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線鑄鐵壓縮時(shí)的抗壓強(qiáng)度比拉伸時(shí)大45倍，破壞時(shí)破裂面與軸線成。宜于做抗壓構(gòu)件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率5%的材料稱為塑性材料。延伸率5%的材料稱為脆性材料。1.3.5屈服強(qiáng)度對(duì)于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生0.2%的殘余應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服強(qiáng)度，并以表示。1.4 強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力 材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，

7、由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料 = ； 脆性材料 =其中稱為安全系數(shù)，且大于1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。對(duì)軸向拉伸（壓縮）桿件 （3-9）按式（1-4）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計(jì)算。2扭轉(zhuǎn)變形2.1 切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對(duì)產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無(wú)關(guān)。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4 剪切胡克定律在

8、材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即 (3-10)式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比）,其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。對(duì)各向同性材料,E、 、G有下列關(guān)系 (3-11)2.5 圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和強(qiáng)度條件2.5.1 橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律和大小。需通過(guò)平面假設(shè)，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應(yīng)力分布規(guī)律和大小。(1)沿半徑成線性分布，圓心處，最大切應(yīng)力在圓截面周邊上。TT(2)切應(yīng)力方向垂直半徑，圓截面上切應(yīng)力形成的流向與該截面上扭矩轉(zhuǎn)向相等，圖3-7。圖3-72.5.2切應(yīng)力計(jì)

9、算公式橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為 (3-12)式中為該截面對(duì)圓心的極慣性矩，為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為 (3-13)式中稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。2.5.3 切應(yīng)力公式討論（1） 切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓截面直桿；對(duì)小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。（2） 極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)是截面幾何特征量，計(jì)算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。 表3-3實(shí)心圓（外徑為d）空心圓（外徑為D，內(nèi)徑

10、為d） 2.5.4強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，全軸中最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條件為 (3-14)對(duì)等圓截面直桿 （3-15）式中為材料的許用切應(yīng)力。3彎曲變形的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算3.1 梁橫截面上正應(yīng)力3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系 (3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；是橫截面對(duì)中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式 (3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離。由式(3-17)可見，正應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力。在實(shí)際計(jì)算

11、中，正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)可根據(jù)梁的變形情況來(lái)確定，位于中性軸凸向一側(cè)的各點(diǎn)均為拉應(yīng)力，而位于中性軸凹向一側(cè)的各點(diǎn)均為壓應(yīng)力。最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處 （3-18）式中，稱為抗彎截面系數(shù)。對(duì)于的矩形截面，；對(duì)于直徑為D的圓形截面，；對(duì)于內(nèi)外徑之比為的環(huán)形截面，。若中性軸是橫截面的對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為 （3-19）由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可進(jìn)行三方面的計(jì)算：（1）校核強(qiáng)度 即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應(yīng)力以及所受載荷，校核正應(yīng)力是否超過(guò)容許值，從而檢驗(yàn)梁是否

12、安全。（2）設(shè)計(jì)截面 即已知載荷及容許應(yīng)力，可由式確定截面的尺寸（3）求許可載荷 即已知截面的幾何尺寸及容許應(yīng)力，按式確定許可載荷。對(duì)于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對(duì)稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為 （3-20a） （3-20b）式中，分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；分別是最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)距中性軸的距離。若梁上同時(shí)存在有正、負(fù)彎矩，在最大正、負(fù)彎矩的橫截面上均要進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。3.3梁的切應(yīng)力 （3-21）式中，Q是橫截面上的剪力；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對(duì)中性軸的靜矩；是整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面

13、寬度。3.3.1矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計(jì)算公式 （3-22）最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處，。3.3.2工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來(lái)承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計(jì)算公式為 (3-23)式中各符號(hào)可參看。另外，沿翼緣水平方向也有不大的切應(yīng)力，計(jì)算公式為 （3-24）翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，并與腹板部分的豎向剪切應(yīng)力形成所謂的剪應(yīng)力流。由于這部分切應(yīng)力較小，一般不予考慮，只是在開口薄壁截面梁的彎曲中才用到它。3.3.3圓形截面梁橫截面上同一

14、高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為 （3-25）圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即 (3-26)式中，是梁上的最大切應(yīng)力值；是中性軸一側(cè)面積對(duì)中性軸的靜矩；是橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是處截面的寬度。對(duì)于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上，對(duì)于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。切應(yīng)力強(qiáng)度條件同樣可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面和求許可載荷三方面的計(jì)算。在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意下述二個(gè)問題。（1） 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強(qiáng)度條件是主要的，剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

15、是次要的。一般僅需考慮正應(yīng)力強(qiáng)度條件。對(duì)于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時(shí)，截面上剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時(shí)，需要校核切應(yīng)力強(qiáng)度。（2） 正應(yīng)力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，該處的切應(yīng)力為零；切應(yīng)力的最大值一般發(fā)生在中性軸上，該處的正應(yīng)力為零。對(duì)于橫截面上其余各點(diǎn)，將同時(shí)存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，這些點(diǎn)的強(qiáng)度計(jì)算，應(yīng)按強(qiáng)度理論計(jì)算公式進(jìn)行。 3.5提高彎曲強(qiáng)度的主要措施3.5.1選擇合理的截面形式由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)成正比。在截面面積相同的情況下，改變截面形狀以增大抗彎截面系數(shù)，從而達(dá)到提高彎曲強(qiáng)度的目的。為了比較各種截面的合理程度，可用抗彎截面系數(shù)與截面

16、面積的比值來(lái)衡量，比值愈大，截面就愈合理。在選擇截面形狀時(shí)，還要考慮材料的性能。對(duì)于由塑料材料制成的梁，因拉伸與壓縮的容許應(yīng)力相同，以采用中性軸為對(duì)稱軸的截面。對(duì)于由脆性材料制成的梁，因容許拉應(yīng)力遠(yuǎn)小于容許壓應(yīng)力，宜采用T字形或II形等中性軸為非對(duì)稱軸的截面，并使最大拉應(yīng)力發(fā)生在離中性軸較近的的邊緣處。3.5.2用變截面梁一般的強(qiáng)度計(jì)算是以危險(xiǎn)截面的最大彎矩為依據(jù)的，按等截面梁來(lái)設(shè)計(jì)截面尺寸，這顯然是不經(jīng)濟(jì)的。如果在彎矩較大的截面采用較大的尺寸，在彎矩較小的截面采用較小的尺寸，使每個(gè)截面上的最大正應(yīng)力都達(dá)到容許應(yīng)力，據(jù)此設(shè)計(jì)的變截面梁是最合理的，稱為等強(qiáng)度梁。3.5.3改善梁的受力狀況合理布置

17、梁上的載荷和調(diào)整梁的支座位置，使梁的最大彎矩變小，也可達(dá)到提高彎曲強(qiáng)度的目的。4.剪切及其實(shí)用計(jì)算4.1剪切的概念剪切定義為相距很近的兩個(gè)平行平面內(nèi)，分別作用著大小相等、方向相對(duì)（相反）的兩個(gè)力，當(dāng)這兩個(gè)力相互平行錯(cuò)動(dòng)并保持間距不變地作用在構(gòu)件上時(shí)，構(gòu)件在這兩個(gè)平行面間的任一（平行）橫截面將只有剪力作用，并產(chǎn)生剪切變形。4.2剪切的實(shí)用計(jì)算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的 ，則名義切應(yīng)力為 （3-27）剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的 許用切應(yīng)力,即 （3-28）利用式（3-28）對(duì)構(gòu)件進(jìn)行剪切強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和許可載荷的計(jì)算。5.擠壓及其實(shí)用計(jì)算5.1擠壓的概念擠

18、壓 兩構(gòu)件接觸面上產(chǎn)生的局部承壓作用。擠壓面 相互接觸壓緊的面。擠壓力 承壓接觸面上的總壓力，用表示。5.2擠壓的實(shí)用計(jì)算名義擠壓應(yīng)力 假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則 （3-29）式中，表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)為接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)為設(shè)計(jì)承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的 投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用擠壓應(yīng)力 （3-30）利用式（3-29）對(duì)構(gòu)件進(jìn)行擠壓強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和許可載荷的計(jì)算。二基本要求1.拉伸與壓縮變形1.1熟練掌握應(yīng)力的計(jì)算，理解胡克定律。1.2了解常用材料在拉伸和壓縮時(shí)

19、的機(jī)械性質(zhì)及其測(cè)量方法。1.3理解許用應(yīng)力、安全系數(shù)和 強(qiáng)度條件，熟練計(jì)算強(qiáng)度問題。2.扭轉(zhuǎn)變形2.1理解純剪切的概念、切應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律。2.2理解圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力公式推導(dǎo)方法，并熟練計(jì)算扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。2.3理解圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件的建立方法，并熟練計(jì)算強(qiáng)度問題。3.彎曲變形3.1理解彎曲正應(yīng)力的概念及其公式推導(dǎo)方法，熟練掌握彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度問題。3.2理解彎曲切應(yīng)力的概念及其公式推導(dǎo)方法，掌握簡(jiǎn)單截面梁彎曲切應(yīng)力的計(jì)算及彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。4.剪切與擠壓變形：了解剪切和擠壓的概念，熟練掌握剪切和擠壓的實(shí)用計(jì)算方法。5.熟練掌握常用截面的形心、靜矩、慣性矩的計(jì)算及平行移軸公式。三補(bǔ)充例題例1桿系結(jié)構(gòu)如圖所示，已知桿AB、AC材料相同，MPa，橫截面積分別為mm2，mm2，試確定此結(jié)構(gòu)許可載荷P。 解：（1）由平衡條件計(jì)算實(shí)際軸力，設(shè)AB桿軸力為，AC桿軸力為。對(duì)于節(jié)點(diǎn)A，由得 （a）由得 （b）由強(qiáng)度條件計(jì)算各桿容許軸力 kN （c） kN （d）由于AB、AC桿不能同時(shí)達(dá)到容許軸力，如果將，代入（2）式，解得kN顯然是錯(cuò)誤的。正確的解應(yīng)由（a）、（b）式解得各桿軸力與結(jié)構(gòu)載荷P應(yīng)滿足的關(guān)系 （e） （f）（2）根據(jù)各桿各自的強(qiáng)度條件，即，計(jì)算所對(duì)應(yīng)的載荷，由（c）、（e）有kNkN kN （g）由（d）、（f）有kNkN kN