高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)大全_______：空間向量與立體幾何

1、WORD格式高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)空間向量與立體幾何一、考點概要：1、空間向量及其運算（ 1空間向量的根本知識：定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向一樣、長度相等的有向線段表示一樣向量或相等的向量?？臻g向量根本定理：專業(yè)資料整理WORD格式定理：如果三個向量不共面，那么對于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、專業(yè)資料整理WORD格式y(tǒng)、 z，使。且把叫做空間的一個基底，都叫基向量。正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個基底叫正交基底。 單位正交基底：當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單位正交基

2、底，通常用表示。專業(yè)資料整理WORD格式 空間四點共面：設(shè)O、A、B、C 是不共面的四點，那么對空間中任意一點P，都存在唯一的有專業(yè)資料整理WORD格式序?qū)崝?shù)組 x、y、z，使共線向量平行向量 ：。專業(yè)資料整理WORD格式定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量，記作。規(guī)定：零向量與任意向量共線；共線向量定理：對空間任意兩個向量平行的充要條件是：存在實數(shù)，使。共面向量：定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個向量都是共面向量。專業(yè)資料整理WORD格式向量與平面平行：如果直線 OA平行于平面或在 內(nèi)，那么說向量平行于平

3、面 ，記作。專業(yè)資料整理WORD格式平行于同一平面的向量，也是共面向量。專業(yè)資料整理WORD格式共面向量定理：如果兩個向量、不共線，那么向量與向量、共面的充要條件是： 存在實數(shù)對 x、y，使?？臻g的三個向量共面的條件：當(dāng)、都是非零向量時，共面向量定理實際上也是、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。專業(yè)資料整理WORD格式共面向量定理的推論：空間一點P 在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使得專業(yè)資料整理WORD格式，或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有。專業(yè)資料整理WORD格式空間兩向量的夾角：兩個非零向量、，在空間任取一點

4、O，作，兩個向量的起點一定要一樣，那么叫做向量與的夾角，記作，且。兩個向量的數(shù)量積：定義：空間兩個非零向量、，那么叫做向量、的數(shù)量積，記作，即：。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。注意：兩個向量的數(shù)量積也叫向量、的點積或內(nèi)積，它的結(jié)果是一個實數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影其中為向量和的夾角。即：數(shù)量積等于向量的模與向量在方向上的投影的乘積。根本性質(zhì)：運算律：2空間向量的線性運算：定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下：加法：減法：專業(yè)資料整理WORD格式數(shù)乘向量：運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：專業(yè)資料整理WORD格式

5、數(shù)乘分配律：二、復(fù)習(xí)點睛：1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量那么側(cè)重于定量研究。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具。2、根據(jù)空間向量的根本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循 “三步 ：一化向量問題，二進(jìn)展向量運算，三回到圖形問題。其實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價轉(zhuǎn)化思想的運用。3、實數(shù)的運算與向量的運算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進(jìn)展數(shù)量積相關(guān)運算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適

6、用，數(shù)量積的運算在許多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括號就顯得更為突出，下面兩個公式較為常用，請務(wù)必記住并學(xué)會應(yīng)用：。2、空間向量的坐標(biāo)表示：1空間直角坐標(biāo)系：專業(yè)資料整理WORD格式空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點O 和一個單位正交基底，以點O 為原點，分專業(yè)資料整理WORD格式別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點O 叫做原點，向?qū)I(yè)資料整理WORD格式量叫做坐標(biāo)向量， 通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz 平面，zOx專業(yè)資料整理WORD格式平面。右手直角坐標(biāo)系：右手握住 z 軸，當(dāng)右手的四指從正向 x 軸以

7、 90角度轉(zhuǎn)向正向 y 軸時，大拇指的指向就是 z 軸的正向；構(gòu)成元素：點原點 、線 x、y、z 軸、面 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面；空間直角坐標(biāo)系的畫法：作空間直角坐標(biāo)系 O-xyz 時，一般使 xOy=135(或 45), yOz=90， z 軸垂直于 y 軸， z 軸、 y 軸的單位長度一樣， x 軸上的單位長度為 y 軸或 z 軸的一半； 2空間向量的坐標(biāo)表示：空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量如圖，專業(yè)資料整理WORD格式由空間向量根本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。在空間直角坐標(biāo)系O-xyz 中，對于空間任一點A，對應(yīng)一個向量，

8、假設(shè)，那么有序數(shù)組 (x，y，z)叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y， z)，其中 x 叫做點 A 的橫坐標(biāo)，y 叫做點 A 的縱坐標(biāo)， z 叫做點 A 的豎坐標(biāo)，寫點的坐標(biāo)時，三個坐標(biāo)間的順序不能變?？臻g任一點的坐標(biāo)確實定：過 P 分別作三個與坐標(biāo)平面平行的平面或垂面，分別交坐標(biāo)軸于A、B、C 三點， x = OA， y = OB， z = OC，當(dāng)與的方向一樣時， x 0，當(dāng)與的方向相反時， x 0，同理可確 y、z如圖。規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標(biāo)系原點，于是，空間任意一個向量與它的終點坐標(biāo)一一對應(yīng)。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去

9、起點的坐標(biāo)。設(shè)，那么：3空間向量的直角坐標(biāo)運算：專業(yè)資料整理WORD格式空間兩點間距離：；專業(yè)資料整理WORD格式空間線段的中點 M x，y，z的坐標(biāo)：；球面方程：二、復(fù)習(xí)點睛：4、過定點 O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè) 為原點且一般具有一樣的長度單位。這三條軸分別叫做 z 軸橫軸、y 軸縱軸、z 軸豎軸；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把 x 軸和 y 軸配置在水平面上，而 z 軸那么是鉛垂線； 它們的正方向要符合右手規(guī)那么， 即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點 O 叫做坐標(biāo)原點。5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點:（ 1點原點的坐標(biāo)： (0,0,0)；（ 2線坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)： x 軸上

10、的坐標(biāo)為 (x,0,0)，y 軸上的坐標(biāo)為 (0,y,0)， z 軸上的坐標(biāo)為(0,0,z)；3面 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面內(nèi)的點的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為 (x,0,z)6、要使向量 與 z 軸垂直，只要 z=0 即可。事實上，要使向量 與哪一個坐標(biāo)軸垂直，只要向量 的相應(yīng)坐標(biāo)為 0 即可。7、空間直角坐標(biāo)系中，方程 x=0 表示 yOz 平面、方程 y=0 表示 zOx 平面、方程 z=0 表示 xOy 平面，方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、方程 y=b 表示平行于平面 zOx 的平面、方程 z=c

11、表示平行于平面 xOy 平面；8、只要將和代入，即可證明空間向量的運算法那么與平面向量一樣；9、由空間向量根本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成任意不共面的三專業(yè)資料整理WORD格式個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，此定理是空間向量分解的根底。立體幾何中的向量方法專業(yè)資料整理WORD格式1空間向量的坐標(biāo)表示及運算(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運算設(shè) a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，那么 ab (a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè) a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，那么 ab ab

12、 a1b1，a2b2， a3b3( R)，a b ab0 a1b1a2b2a3b30(a，b 均為非零向量 )(3)模、夾角和距離公式設(shè) a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，那么|a| aa a21 a22a23，專業(yè)資料整理WORD格式11a22a33a bbba b222222.cos a， b|a|b|1a2a31b2b3ab設(shè) A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，222那么 dAB|AB a2a1 b2b1 c2 c1.|2立體幾何中的向量方法(1)直線的方向向量與平面的法向量確實定直線的方向向量： l 是空間一直線， A，B 是直線 l 上任意兩點，那么稱 A

13、B為直線 l 的方向向量， 與AB平行的任意非零向量也是直線l 的方向向量平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b 是平面內(nèi)兩不共線向量， n 為平面的法向量，那么求法na0，向量的方程組為nb0.(2)用向量證明空間中的平行關(guān)系設(shè)直線 l1和 l2的方向向量分別為v1和 v2，那么l1l2(或l1與l2重合) v 1v 2.設(shè)直線 l 的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，那么 l或 l存在兩個實數(shù)x， y，使vxv1yv2.設(shè)直線 l 的方向向量為v，平面的法向量為 u，那么 l或 l v u.設(shè)平面 和 的法向量分別為 u1，u2，那么 u1 u2.(3)用向量證明空間中的

14、垂直關(guān)系設(shè)直線 l1和 l2的方向向量分別為v1和 v2，那么l1l2 v 1 v2 v 1v20.設(shè)直線 l 的方向向量為v，平面的法向量為 u，那么 l v u.設(shè)平面 和 的法向量分別為 u1和 u2，那么 u1u2 u1u2 0.(4)點面距的求法|ABn|如圖，設(shè) AB 為平面的一條斜線段， n 為平面的法向量，那么 B 到平面的距離 d|n|.一種思想向量是既有大小又有方向的量， 而用坐標(biāo)表示向量是對共線向量定理、 共面向量定理和空間向量根本定理的進(jìn)一步深化和標(biāo)準(zhǔn)，是對向量大小和方向的量化：(1)以原點為起點的向量，其終點坐標(biāo)即向量坐標(biāo)；(2)向量坐標(biāo)等于向量的終點坐標(biāo)減去其起點坐

15、標(biāo)得到向量坐標(biāo)后，可通過向量的坐標(biāo)運算解決平行、垂直等位置關(guān)系，計算空間成角和距離等問題專業(yè)資料整理WORD格式三種方法主要利用直線的方向向量和平面的法向量解決以下問題：直線與直線平行(1)平行直線與平面平行平面與平面平行直線與直線垂直(2)垂直直線與平面垂直平面與平面垂直(3)點到平面的距離求點到平面距離是向量數(shù)量積運算(求投影 )的具體應(yīng)用，也是求異面直線之間距離，直線與平面距離和平面與平面距離的根底雙基自測兩不重合直線l1 和l2 的方向向量分別為v 1(1,0，1)，v2(2,0,2)，那么l1 與l2 的位置關(guān)系是()1A平行B相交C垂直D不確定解析 v 22v1， v 1 v2.答

16、案A2平面 內(nèi)有一個點 M(1， 1,2)，平面的一個法向量是n(6， 3,6)，那么以下點 P 中在平面內(nèi)的是 ()專業(yè)資料整理WORD格式AP(2,3,3)BP( 2,0,1)CP(4,4,0)DP(3， 3,4)解析 n (6， 3,6)是平面的法向量，0.答案 AnMP ，在選項A 中， MP (1,4,1)， nMP*月考 點， ， 平面 ，點，那么 0 0的(0，且AP是 AP3 (2021)A BCPAP ABACBCA充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件 0解析由AP AB ，得 AP AC 0(AB)0AP AC 0，即AP0，亦即 AP 0，反之，

17、假設(shè) APCBBCBC ，未必等于 0.那么APABAP(AC)0 AP ABAC答案A4(人教 A 版教材習(xí)題改編 ) a (2， 3,1)，b (2,0,4)，c(4， 6,2)，那么以下結(jié)論正確的選項是 ()專業(yè)資料整理WORD格式Aa c， b cBa b， a c專業(yè)資料整理WORD格式Ca c， a bD以上都不對專業(yè)資料整理WORD格式解析 c ( 4， 6,2)2( 2， 3,1)2a， ac，專業(yè)資料整理WORD格式又 ab 2 2 ( 3) 0 1 4 0， a b.答案C*調(diào)研AB(2,2,1)， AC(4,5,3)，那么平面 ABC 的單位法向量是 _5 (2021)解

18、析設(shè)平面 ABC 的法向量 n (x， y， z)ABn 0，2x 2yz0，那么即4x 5y3z 0.ACn 0，1x2，1，平面n122令，得， 1，1ABC的單位法向量為 ， ，3 .z1n2|n|33y 1，122答案3，3，3考向一利用空間向量證明平行問題【例 1】如下列圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中， M 、N 分別是 C1C、 B1C1的中點求證： MN 平面 A1BD.審題視點 直接用線面平行定理不易證明，考慮用向量方法證明證明法一如下列圖，以D 為原點， DA、 DC、 DD 1所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，1 1則

19、 M 0， 1，2，N 2， 1， 1 ，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，11，于是 MN，0，22設(shè)平面 A1的法向量是n ， ，BD(x y z)x z 0，那么 nDA1 0，且 nDB 0，得x y 0.取 x1，得 y 1， z 1.n(1， 1， 1)專業(yè)資料整理WORD格式又1，0，1， ，MN 22n(111)0MN n，又 MN 平面 A1BD，MN 平面 A1BD.11 1 1 法二MN C1NC1M2C1B12C1C2(D1A1D1D)2DA1，MN DA1，又 MN 與 DA1不共線， MN DA1，又MN 平面 A1，1D平面1， MN平面1B

20、DAA BDA BD.【訓(xùn)練 1】 如下列圖，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 為正方形， PAD 是直角三角形，且PA AD2，E、F 、G 分別是線段 PA、PD、CD 的中點求證： PB平面 EFG .證明平面 PAD平面 ABCD 且 ABCD 為正方形，AB、AP、AD 兩兩垂直，以 A 為坐標(biāo)原點，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，那么 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)PB(2,0， 2)，F(xiàn)E (0， 1,0)，F(xiàn)G (1,1， 1)，設(shè)PBsFEtFG ，即

21、(2,0， 2)s(0， 1,0) t(1,1， 1)，t 2， ts 0，解得 2.s t t 2， PB2FE 2FG ，又 FE 與FG 不共線， PB、 FE 與 FG 共面PB平面 EFG ， PB平面 EFG .專業(yè)資料整理WORD格式考向二利用空間向量證明垂直問題專業(yè)資料整理WORD格式【例 2】如下列圖，在棱長為1 的正方體 OABC-O1A1B1C1中， E， F 分別是棱 AB，BC 上的動點，且AE BF x，其中 0 x 1，以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.(1)求證 A1FC1E；1 (2)假設(shè) A1，E，F(xiàn)，C1四點共面 ,求證： A1F2A1C1A1E

22、.審題視點 此題已建好空間直角坐標(biāo)系，故可用向量法求解，要注意找準(zhǔn)點的坐標(biāo)證明(1)由條件專業(yè)資料整理WORD格式A1(1,0,1)， F(1x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1， x,0)，(1，x1， 1)，1( x,1， 1)，C1EA F x(x 1) 10，那么A1F 1C E，即 A11A1C1EFFC E.1 (x,1， 1)，A1 1( 1,1,0)，(2)A FC1(0，x， 1)，A Ex，1x，設(shè)A1FA1C1A1E1，1解得2，1.1 A1F2A1C1A1E.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直

23、證明【訓(xùn)練 2】 如下列圖，在四棱錐P-ABCD 中， PA底面 ABCD， AB AD，ACCD， ABC60，PAAB BC， E 是 PC 的中點證明：(1)AECD；(2)PD平面 ABE.證明AB、 AD、 AP 兩兩垂直，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA ABBC1，那么 P(0,0,1)(1) ABC 60，ABC 為正三角形C 12，23，0 ，E 14，43，12 .設(shè) D(0， y,0)，由 AC CD，得 ACCD 0，即 y233，那么 D 0，233，0 ，13131，CD，0.又 AE4， ，2264 1133AE 0，CD2464專業(yè)資料整理WORD格式AEC

24、D，即 AECD.(2)法一 P(0,0,1)， ，2 3，1 .PD03 323 1又AE (1) 0，PD432 0，PDAE，即 PD AE.AB(1,0,0)， PDABPDAB，又 AB AE A， PD平面 AEB.131法二AB (1,0,0)，AE4，4，2，設(shè)平面 ABE 的一個法向量為 n (x， y， z)，x 0，那么1314x4 y2z 0，令 y2，那么 z 3， n(0,2， 3)2 3，3PD，1，顯然 PDn.033PDn， PD平面 ABE，即 PD平面 ABE.考向三利用向量求空間距離【例 3】在三棱錐 SABC 中， ABC 是邊長為 4 的正三角形，平

25、面 SAC平面 ABC，SA SC 2 3， M 、N 分別為 AB、 SB 的中點，如下列圖，求點 B 到平面 CMN 的距離審題視點 考慮用向量法求距離，距離公式不要記錯解取 AC 的中點 O，連接 OS、OB.SA SC， AB BC，ACSO，ACBO.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC，SO平面 ABC， SOBO.如下列圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B(0,2 3，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2 2)，M(1， 3，0)，N(0，3， 2)2)，CM(3，3， 0)，MN (1,0，3， 0)MB(1，設(shè) n(x， y， z)為平面 CMN 的一

26、個法向量，專業(yè)資料整理WORD格式3y0，CM n3x那么取 z 1，MN n x2z 0，則 x 2，y 6， n ( 2， 6，1)點 B 到平面 CMN 的距離|nMB |4 2d|n| 3.點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如此題，事實上，作 ，BH 平面 CMN 于 H.由BHBMMH 及BHnn BM ，得|BH n|n BM |BH | |n|nBM |nBM |所以 |BH |n|，即 d|n| .【訓(xùn)練 3】 (2021* )如圖， BCD 與 MCD 都是邊長為 2 的正三角形，平面MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3.(1)求點

27、 A 到平面 MBC 的距離；(2)求平面 ACM 與平面 BCD 所成二面角的正弦值解取 CD 中點 O，連 OB，OM，那么 OBCD，OMCD.又平面 MCD 平面 BCD，那么 MO 平面 BCD.取 O 為原點，直線 OC、BO、OM 為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖OB OM 3，那么各點坐標(biāo)分別為 C(1,0,0)，M(0,0，3)， B(0， 3， 0)，A(0，3，2 3)設(shè) ，是平面的法向量，那么(1，3，3)，(1)MBCBC0)，BM (0， 3，n(x yz)3y3z0.由 nBC得 x3y0；由 n BM 得232 15|BAn|取 n(3，

28、1,1)，BA(0,0,23)，那么d|n| 55 .(2)CM (1,0，3)， CA (1， 3， 2 3)設(shè)平面 ACM 的法向量為 n1(x， y， z)， x3z0，解得 x3z，yz，取 n1(3， 1,1)由 n1 CM ，n1 CA得 x 3y2 3z0，又平面 BCD 的法向量為 n2 (0,0,1)n n12 5所以 cos n1，n212.設(shè)所求二面角為，那么 sin .5|n1|n2|5專業(yè)資料整理WORD格式標(biāo)準(zhǔn)解答 15立體幾何中的探索性問題【問題研究】高考中立體幾何局部在對有關(guān)的點、線、面位置關(guān)系考察的同時，往往也會考察一些探索性問題，主要是對一些點的位置、線段的

29、長度，空間角的X圍和體積的X圍的探究，對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究， 這類題目往往難度都比較大， 設(shè)問的方式一般是 “是否存在？存在給出證明，不存在說明理由 .【解決方案】解決存在與否類的探索性問題一般有兩個思路：一是直接去找存在的點、線、面或是一些其他的量；二是首先假設(shè)其存在，然后通過推理論證或是計算，如果得出了一個合理的結(jié)果，就說明其存在；如果得出了一個矛盾的結(jié)果，就說明其不存在.【例如】 (本小題總分值14分) (2021福建)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD.四邊形ABCD中，AB AD， AB AD4，CD2， CDA45.(1)求證：平面 PAB平面 PAD；(2

30、)設(shè) ABAP.()假設(shè)直線 PB 與平面 PCD 所成的角為 30，求線段 AB 的長；()在線段 AD 上是否存在一個點G，使得點 G 到點 P、B、C、D 的距離都相等？解答示X (1)因為 PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PAAB.又 ABAD，PAADA， 所以 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(4 分)(2)以 A 為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz(如圖 )在平面 ABCD 內(nèi)，作 CEAB 交 AD 于點 E，則 CEAD.在 Rt CDE 中， DE CDcos 451，CECD sin 45 1.設(shè) ABAPt，那么

31、B(t,0,0)， P(0,0，t)由 ABAD4 得， AD4t， (0,4t， t)(6 分)所以 E(0,3 t,0)，C(1,3 t,0)，D(0,4 t,0)， C D (1,1,0)， PD()設(shè)平面 PCD 的法向量為 n (x，y， z)， xy0，由 nCD， n PD，得4 t ytz0.取 xt，得平面 PCD 的一個法向量 n(t，t,4t)又 P B (t,0， t)，24t|故由直線 PB 與平面PCD 所成的角為 30得 cos 60，即|2t1，n P B22222|n| |P B |t t 4t 2t專業(yè)資料整理WORD格式解得4t5或 t 4(舍去 )，因為AD 4 t 0，所以4AB5.(9 分 )專業(yè)資料整理WORD格式()法一假設(shè)在線段 AD 上存在一個點 G，使得點 G 到 P， B， C，D 的距離都相等，設(shè) G(0， m,0)(其中 0m 4 t)， (0， m， t)那么 G C (1,3tm,0)， GD(0,4 tm,0)，G P得222即 t 3 m；(1)由|G C|1(3tm)(4 tm) ，|GD|得 222由|G D|m)m t.(2)|GP |(4t由(1)、(2)消去 t，化簡得 m23m40.(3)(12 分 )由于方程 (3)沒有實數(shù)根，所以在線段AD 上不存