數(shù)值分析綜述報告

1、WORD格式*工學院專業(yè)資料整理WORD格式"數(shù)值分析"考試基于 Matlab 的方法綜合應(yīng)用報告班級：金融 1121姓名：姚婷婷學號： 1124104129成績：數(shù)理學院2021年6月7日專業(yè)資料整理WORD格式"數(shù)值分析"課程綜述報告前言：數(shù)值分析也稱計算方法， 它與計算工具的開展密切相關(guān)。 數(shù)值分析是一門為科學計算提供必需的理論根底和有效、 實用方法的數(shù)學課程， 它的任務(wù)是研究求解各類數(shù)學問題的數(shù)值方法和有關(guān)的理論。正文：第一章近似計算與誤差分析1、產(chǎn)生誤差的原因：模型誤差；觀測誤差；截斷誤差；舍入誤差。2、四那么運算的誤差：加減法運算x*y*x*

2、y*乘法運算xyx * y *xyxy *xy *x * y *xyy *y *xx *x * y *x *y *y *x * 除法運算：xx *xy*x *yyy *yy*xy *x * y *x * y *x * yyy*xx *y *y *yx *yy*x *x *y *y *x *y *y *23、科學表示法、有效數(shù)字、近似值的精度任何一個實數(shù)都可以表示成如下的形式：其中： 是正整數(shù)，是整數(shù)，如果是數(shù)的近似值并且專業(yè)資料整理WORD格式那么稱該近似值具有位有效數(shù)字significant digit。專業(yè)資料整理WORD格式此時，該近似值的相對誤差為專業(yè)資料整理WORD格式另一方面，假設(shè)

3、r x*1101 n2 a11那么，x x*x*rx*10m 1a .aa1 n12n 102 a11110 m n2即： x* 至少有 n位有效數(shù)字。例：3.141592653589793.取其近似值如下：x*=3.14x* =3.14159x*=3.1415x*=3.141x*100.314x*0.0016. 0.005 110 21101322x*100.314159x*0.0000026.0.0000051 1051101 622x*100.31415x*0.000092.0.0001 110 31101422x*100.3141x*0.00059.0.001110 21101 322

4、第二章線性方程組在科學計算中， 問題的本身就是求解線性方程組， 許多問題的求解需要最后也歸結(jié)為線性方程組的求解，所以線性方程組的求解是科學計算中最常見的問題。對于線性方程組的求解一般有兩種方法： 1) 直接法：高斯消去法； 2) 間接法： 各種迭代法。(1) 高斯消去法：專業(yè)資料整理WORD格式求解思路：先消元，即按一定的規(guī)律逐步消去未知量，將方程組AxB 化為等價的上或下三角形方程組；然后進展回代，即由上三角形方程組逐個求出；高斯列、全主元素消去法, 及在消元的每一步選取列主元素列中絕對值最大的元取做主元素，計算步驟： 消元過程： 按列選主元、 行交換、消元計算； 回代過程；高斯列主元素消去

5、法的 MATLAB實現(xiàn)：。第三章解線性方程組的迭代法通常逆矩陣不易求得，特別是對于大型的線性方程組，需要用迭代法求解。用迭代法求解線性方程組，要把線性方程組寫成等價的形式，右邊寫為迭代格式，如：Axbx Mx bx Ax x b ( A E ) x b Mx bkx Ax kx b ( A k En) x b1kEn) xbxk ( Ak2、關(guān)于迭代法收斂性的兩個重要結(jié)論：充分必要條件是：矩陣的譜半徑M；1充分條件是：矩陣 M 的某個算子X數(shù)M。13、線性方程組的迭代法主要有Jacobian迭代法， Gauss-Seidel迭代法。Jacobian 迭代法 :AxbDLUxbADLUDxLUx

6、bxk1D1LUkD1 bxM1LUDfD1 bGauss-Seidel 迭代法 :AxbDLxUxbADLUx k1D1Ux kDL1LbMDL1U1(3.7)fDLbJacobian迭代法與 G-S 迭代法比較：專業(yè)資料整理WORD格式x1k 1000x1k 1k 1a2100k1x2D 1x2k 1an1ann 10k1xnxn0a12a1nx1k3.8 D1 00x2k1an 1nD b000kxn式 3.7 和 (3.8)說明：Gauss-Seidel迭代法在計算第k次迭代的第i個分量k 1 時，1xi及時地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：k 1，j1,2,i 1，由于第 k1步

7、的迭x j代值通常比第 k 步的迭代值更接近方程組的準確解，所以， 在 Jacobian迭代法和 GS迭代法都收斂的情況下，Gauss-Seidel迭代法的收斂速度比Jacobian迭代法的收斂速度高。例題：用 MATLAB函數(shù) normrdn生成5 階矩陣M和向量b分別構(gòu)造線性方程組Axb 的Jacobi 迭代格式和 G-S 迭代格式，并判斷收斂性。Jacobian 迭代法和GS迭代法程序如下：clc;clear all;%1、生成 M和 bM=normrnd(1,2,5)b=normrnd(1,2,5,1)%Jacobian迭代法M1=D(L+U)f1=Dbrho=max(abs(eig(

8、M1);R=1e-08;%設(shè)定的一個收斂標準switch sign(1-rho)case -1disp('the Jocobian method is not applicable')otherwisex(:,1)=normrnd(0,9,5,1);k=1while k<=50*5x(:,k+1)=M1*x(:,k)+f1;if norm(x(:,k+1)-x(:,k)>=Rk=k+1;elseX=x(:,k+1);disp('Jacobian迭代法迭代次數(shù)為：')IterN=k%Jacobian迭代法迭代次數(shù)breakendendend%Causs

9、-Seidel迭代法M2=(D-L)Uf2=(D-L)brho=max(abs(eig(M2);R=1e-08;switch sign(1-rho)case -1disp('the auss-seidel method is not applicable')專業(yè)資料整理WORD格式otherwisex(:,1)=normrnd(0,9,5,1);k=1while k<=50*5x(:,k+1)=M2*x(:,k)+f2;if norm(x(:,k+1)-x(:,k)>=Rk=k+1;elseX=x(:,k+1)disp('Causs-Seidel迭代法迭代次

10、數(shù)為：')IterN=kbreakendendend第四章非線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法：一、二分法：首先要確定適當?shù)陌膮^(qū)間，這可以依據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理來確定，例如該方程：f xx3x20.8 x 0.75 02Solve to algebraic equation by The Bisection Method1.510.5)x0(f-0.5-1-1.5-2-0.500.511.522.5-1x對于該方程f120.80.750f00.750所以該方程至少有一個實根位于區(qū)間，圖像說明該區(qū)間中只含有一個實根；用 x* 表示方程在區(qū)間a, b上的準確解， 對于給定的精度要求0，

11、取區(qū)間f x 0a , b的中點，并按下式進展判斷：專業(yè)資料整理WORD格式xab2fx0xx *fxf a0* a ,x xfxf b0x * x ,b 專業(yè)資料整理WORD格式（ 1專業(yè)資料整理WORD格式以 f x f a 0為例，如果, 沒有到達精度要求，令xb ，并重復(fù)1的迭代過程；b a2如果 ba，那么，必有 xx*, x a, x2，因為x*a,x。即區(qū)間 a, x內(nèi)的任何一點都可以作為方程f x 0的近根，特別地，可取 x做為近似解。二、牛頓迭代法：任取初始值x0 a,b, yf (x) 上過點x0, f (x0)的切線方程為：y f (x0) f (x0)(*0)與專業(yè)資料

12、整理WORD格式x 軸交于點x，1x1x0f ( x0 ) ，過點(x1, f (x1)的切線方程為y f (x1)f ( x0)f (x1)(x x1)與x軸交于點x2，專業(yè)資料整理WORD格式f ( x )1x2x1f (x1)，,，如此下去得牛頓迭代公式：f ( xn)xn 1xn f ( xn)專業(yè)資料整理WORD格式例題：考慮如下三階非線性方程組：ì2"x 2 + y 2 + az 2 = a2"2"íx + y = a"222"+ a(z - b ) = 0"(2x - a)+(2 y - a)&quo

13、t;4其中T取適當?shù)牡踔?x0, y0, z0 ) ，用Newton迭代法求方程組的數(shù)值解程序：%Newton 迭代法求解x=sym('x', 'clear');y=sym('y', 'clear');symsz ;F=x2+y2+a2*z2/2-a2;x+y-a;(2*x-a)2+(2*y-a)2+a2*(z-b)/4;Fx=diff(F,x,1);Fy=diff(F,y,1);Fz=diff(F,z,1);DF=Fx Fy Fz;專業(yè)資料整理WORD格式F=(x,y,z)x2+y2+a2*z2/2-a2;x+y-a;(2*

14、x-a)2+(2*y-a)2+a2*(z-b)/4;%Newton 迭代法求解過程Fr=10-10;Er=10-10;x0=-a/4;-a;-a/2;x0=-a/4;-a;a/2;k=1;X(:,1)=x0;whilenorm(F(X(1,k),X(2,k),X(3,k)-0;0;0,2)>=Frtic;f(:,k)=F(X(1,k),X(2,k),X(3,k);J=subs(DF,'x',X(1,k);J=subs(J,'y',X(2,k);J=subs(J,'z',X(3,k);X(:,k+1)=X(:,k)-Jf(:,k);t(k)=

15、toc;ifnorm(X(:,k+1)-X(:,k),2)<Erbreakendk=k+1;enddisp('Newton迭代法結(jié)果為：' );disp(X(:,end);運行結(jié)果：Newton 迭代法結(jié)果為：3.42910.46580.6535第五章插值一、插值：插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值。二、常用差值法：拉格朗日Lagrange 插值法、牛頓Newton插值法1、拉格朗日 Lagrange 插值法：拉格朗日插值多項式nL xLk x ykk0專業(yè)資料整理WORD格式簡單的證明因為拉格朗日插值多項式

16、的基函數(shù)有如下的性質(zhì)：專業(yè)資料整理WORD格式k0,1,2,nnxxj1x xkLk xx j0x xj , j kj 0 xkj k所以拉格朗日插值多項式nL xkL j xk y jLk xk yk ykj0k 0,1,2, , n滿足插值的條件。n插值多項式L xLk x ykk 0拉格朗日插值法的缺乏在實際問題中，觀測的數(shù)據(jù)可能會不斷增加，如果用拉格朗日插值公式構(gòu)造插值多項式，那么，每當增加數(shù)據(jù)就要重新計算多項式的系數(shù)，由此增加許多不必要的計算工作量。2、三次樣條Spline 插值插值條件要求要求所求的插值多項式S x 三次樣條函數(shù) 在每個區(qū)間xk 1, xk， k 0,1,2, n，

17、是次數(shù)不超過三次的多項式； S xk yk，k0,1,2, n；S x在區(qū)間 . 上具有二階連續(xù)導數(shù)。例題： 在夏季， 較大湖泊的水體按深度被躍變層 分為上部的 變溫層 和下部的 均溫層 。水體的分層化對環(huán)境工程中污染問題的研究具有重要的意義，例如，有機物的分解將導致被躍變層隔離的底部水體中氧急劇減少。按溫度隨水深的變化曲線TT x ，躍變層位于水深處：x0maxd T x0x bottomdx現(xiàn)有美國普拉特湖Platte Lake 的一組數(shù)據(jù)：深度 ( m ):x02.34.99.113.718.322.927.2溫度( 0C):T22.822.822.820.613.911.711.111

18、.11. 試利用Lagrange 差值方法求溫度隨水深近似變化函數(shù)T Tlx 表達式；2. 試利用三次樣條差值方法應(yīng)用Matlab 函數(shù) csape求溫度隨水深近似變化函數(shù)T Ts x 表達式；3.畫出插值函數(shù)TTlx 和T Tsx曲線，并與原始插值數(shù)據(jù)圖像作比較專業(yè)資料整理WORD格式程序代碼：專業(yè)資料整理WORD格式函數(shù)文件程序：functionLn = my_Fun(x, XI, YI)ifisa(x,'sym') = 1;n = length(XI) - 1;Ln = 0;Pn = sym(ones(n + 1, 1);fork = 1 : n + 1fori = 1

19、: n + 1ifi = kPn(k) = Pn(k)*(x - XI(i)/(XI(k) - XI(i);elsePn(k) = Pn(k);endendLn = Ln + Pn(k)*YI(k);endelsen = length(XI) - 1;L = ones(n + 1, length(x);Ln = zeros(size(x);fork = 1 : n + 1fori = 1 : n + 1ifi = kL(k,:) = L(k,:).*(x - XI(i)./(XI(k) - XI(i);elseL(k,:) = L(k,:);endendLn = Ln + L(k, :).*Y

20、I(k);endEnd主文件程序：clc;clearall;closeall;%問題 1.用Lagrange 差值方法求溫度隨水深近似變化圖像t = sym('t' ,'real');x=0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2;T=22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1;X=linspace(0,27.2,275);Ln=my_Fun(X,x,T);figure(1)plot(x,T,'r*', 'markersize',15)xlabel('深度 x&#

21、39;);專業(yè)資料整理WORD格式y(tǒng)label(' 溫度T');title('原始的散點圖 ' );pause(3)holdonplot(X,Ln,'b-', 'linewidth',3);xlabel(' 深度 x');ylabel(' 溫度T');title('Lagrange差值圖 ' );%求出溫度隨水深近似變化函數(shù)表達式I_poly = my_Fun(t, x, T);I_poly = simple(I_poly)I_poly = sym2poly(I_poly)%2. 用

22、三次樣條差值方法求溫度隨水深近似變化函數(shù)表達式figure(2)holdony=interp1(x,T,X,'spline');plot(X,y,'b-', 'linewidth',3);%用三次樣條插值方法畫出圖像xlabel(' 深度 x' );ylabel(' 溫度T' );title('三次樣條法差值圖 ' );PP=csape(x,T,2,2,0,0);Coefs = PP.coefs%3. 兩種差值函數(shù)圖象比較figure(3)plot(X,Ln,'-', 'co

23、lor',1, 0, 0,'LineWidth', 3)xlabel(' 深度 x');ylabel(' 溫度T');title('Lagrange差值圖 ' );holdonpause(3)fnplt(PP,'b' ,3,0,28)%函數(shù)作圖xlabel(' 深度 x');ylabel(' 溫度T');title('三次樣條法差值圖 ' );pause(3)plot(x,T,'-', 'linewidth',3, 'm

24、arkersize',10)運行結(jié)果 :I_poly =(11156832321404503197312500000*t7-942692507666801544174224450000*t6+29858157926737187739430003070000*t5-433725749060135044183186809635000*t4+2850751947133625442244870404829250*t3-專業(yè)資料整理WORD格式8285950923799759686915051372346805*t2 + 8477820217617239232740036583612328*t

25、+ 512657632901869980094703083834211328)/22484983899204823688364170343605760I_poly =Columns 1 through 60.0000-0.00000.0013-0.01930.1268-0.3685Columns 7 through 80.377022.8000Coefs =0.0022-0.0000-0.011522.8000-0.00920.01500.023022.8000-0.0114-0.0565-0.085022.80000.0297-0.2004-1.164020.6000-0.01530.209

26、9-1.120013.90000.0017-0.0014-0.160511.7000-0.00170.0223-0.064011.1000圖示如下：原始的散點圖24222018T度溫專業(yè)資料整理WORD格式T16141210051015202530深 度 x三次樣條法差值圖24222018專業(yè)資料整理WORD格式度溫16141210051015202530深 度 x專業(yè)資料整理WORD格式Lagrange 差值 圖24222018T度 16溫1412108051015202530深度 x三次樣條法差值比照圖24222018T度 16溫1412108051015202530深 度 x第六章最小二

27、乘擬合與最正確逼近一、最小二乘擬合加權(quán)最小二乘法逼近準那么：min d f , Pmin N21PP2if xiP xii 0最小二乘逼近多項式Pn*x 必須滿足如下必要條件：a 0a12Tf2Ta0aa n專業(yè)資料整理WORD格式即滿足 法方程組 :專業(yè)資料整理WORD格式TaTfa1TTf專業(yè)資料整理WORD格式例題：下面是一處地質(zhì)巖層斷面高程深度的測量數(shù)據(jù)。水平距離00.201.002.103.505.006.807.509.0011.212.0( km ): x高度 ( m ):h1.641.581.681.841.580.860.390.310.390.770.86試利用最小二乘法求

28、滿足N1Pn*22f2minf xkPnxk0.5mPn xk 0即誤差不超過0.5m 的最低次數(shù)的擬合多項式Pn*x, 寫出該多項式的表達式; 畫出數(shù)據(jù)散點圖和該多項式曲線.程序：clc;clearall;closeall;x=linspace(0,12,12);x=0 200 1000 2100 3500 5000 6800 7500 9000 11200 12000;h=1.64 1.58 1.68 1.84 1.58 0.86 0.39 0.31 0.39 0.77 0.86;plot(x,h,'*' , 'markersize',8) % 畫出給出數(shù)據(jù)

29、的散點圖xlabel('水平距離 x');ylabel('高度 h');title(' 巖層斷面水平距離 x 和高度 h的散點圖 ');figure(1)%1. 最小二乘法擬合n=3;P, S = polyfit(x, h, n)Pm = polyval(P, x)R = sqrt(sum(h - Pm).2)%誤差t = linspace(x(1), x(end), 12);Poly = polyval(P, t);figure(2)plot(x, h,'ro', t, Poly,'LineWidth', 3,&

30、#39;markersize', 8)set(gca,'FontSize',18)legend('The Data', 'The Fitting Curve',1)title('Curve Fitting by Least Square Approximation', 'fontsize', 18)專業(yè)資料整理WORD格式巖 層 斷 面 水 平 距 離 x和 高 度 h 的 散 點 圖21.81.61.4h1.2度高10.80.60.40.2020004000600080001000012000水 平 距

31、離 xCurve Fitting by Least Square Approximation2The DataThe Fitting Curve1.510.50050001000015000第七章 微積分的數(shù)值方法一、數(shù)值微分如果給定函數(shù)的關(guān)系式比較復(fù)雜或者未知，而僅僅知道在 n1個相異點xk，k 0,1, ,n處的函數(shù)值，那么，我們可以利用函數(shù)的插值多項式的導數(shù)作為函數(shù)導數(shù)的近似值nf x Ln xl k x f xkk 0因而有fx Ln x這里需要說明一點的是，盡管和的函數(shù)值可能相差不多，但是它們的導數(shù)有可能相差很大。二、數(shù)值積分數(shù)值積分方法最大的優(yōu)點是將復(fù)雜的函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為相對簡單的加

32、、減、乘、除運算。對于給定的函數(shù)， 如果的函數(shù)關(guān)系式比較復(fù)雜或. 未知，而僅僅知道該函數(shù)在n1個點處的函數(shù)值yk，那么可以利用函數(shù)的插值多項式的積分作為函數(shù)在a,b上的定積分的近似值。1、 Newton-Cotes 求積公式根據(jù) Lagrange 插值多項式專業(yè)資料整理WORD格式nLn xlkx fxkk 0有bIfx dxabaLnx dxnbal kx dx fxkk 0令b0knAka lkx dx得 Newton-Cotes 求積公式bbf x dxLnxdxaanbfxklk x dxk 0anAk fxkk 0特別地，當取插值節(jié)點為xkakh,k0,1,n專業(yè)資料整理WORD格式

33、h時有兩點公式梯形公式：banbbfx dxLnx dxaanAk fxkk0baf af b2專業(yè)資料整理WORD格式三點公式 Simpson 公式：bbx dxf x dxLnaab af a 4 f a bf b62例題：下面是一處地質(zhì)巖層斷面上部邊緣的深度測量數(shù)據(jù)。水平距離 00.201.002.103.505.006.807.509.0011.212.0專業(yè)資料整理WORD格式x( km ):深度1.641.581.681.841.580.860.390.310.390.770.86y ( m ):表 1試利用復(fù)化的梯形求積法求該組數(shù)據(jù)所在曲線與基準線x 軸在X圍0,12 內(nèi)所圍成圖

34、形面積 . 畫出數(shù)據(jù)散點圖和圖形的示意圖.試利用復(fù)化的Simpson 求積法求該組數(shù)據(jù)所在曲線與基準線x 軸在X圍0,9 內(nèi)所圍成圖形面積 . 畫出數(shù)據(jù)散點圖和圖形的示意圖.解答如下：程序：% 題目給出的數(shù)據(jù)YI = -1.64 1.58 1.68 1.84 1.58 0.86 0.39 0.31 0.39 0.77 0.86;n = length(XI) - 1;%此時 n=10M=60;x = linspace(XI(1), XI(end), M +1);%設(shè)置線性空間% 問題 1.1T1 = 0;%初值%將圖像分成假設(shè)干個小區(qū)間，在每個區(qū)間內(nèi)，求小梯形的面積，并累加起來，就是題目所要求的

35、面積for k = 2 : n + 1T1 = T1 + (YI(k) + YI(k-1)*(XI(k) - XI(k-1)/2;enddisp( '復(fù)化的梯形求積法求得的圖形面積：')T_Trape = T1%累加后的圖形面積figure(1)%畫出函數(shù)圖像set(gca,'FontSize', 20)patch(XI(1), XI, XI(end), 0, YI, 0,0.5 1 0.5)%顏色的填充hold onplot(XI, YI,'o-', XI, 0*XI,'k','LineWidth', 3,

36、9;markersize', 8)title(' 復(fù)化的梯形求積法求圍成圖形面積 ' )xlabel(' 水平距離 x' )ylabel(' 深度 y' )運行結(jié)果：復(fù)化的梯形求積法求得的圖形面積：T_Trape =-11.6090圖像：專業(yè)資料整理WORD格式復(fù)化的梯形求積法求圍成圖形面積0-0.5y度 -1深-1.5-2246810120水平距離 x程序：函數(shù) M文件：functionLn = Lagrange_Fun_01(x, XI, YI)ifisa(x,'sym') = 1;n = length(XI) - 1

37、;Ln = 0;Pn = sym(ones(n + 1, 1);fork = 1 : n + 1fori = 1 : n + 1ifi = kPn(k) = Pn(k)*(x - XI(i)/(XI(k) - XI(i);elsePn(k) = Pn(k);endendLn = Ln + Pn(k)*YI(k);endelsen = length(XI) - 1;L = ones(n + 1, length(x);Ln = zeros(size(x);fork = 1 : n + 1fori = 1 : n + 1ifi = kL(k,:) = L(k,:).*(x - XI(i)./(XI(k) - XI(i);elseL(k,:) = L(k,:);endendLn = Ln + L(k, :).*YI(k);endend主程序：% 問題 1.2和 1.3專業(yè)資料整