函數(shù)、導(dǎo)數(shù)習(xí)題

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)一、考查內(nèi)容主要為以下幾個(gè)方面：函數(shù)的定義域、值域極值、 最值函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、周期性、函數(shù)的圖象、零 點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)與方程、恒成立問(wèn)題函數(shù)與不等式、函數(shù)最值、 函數(shù)與方程不等式間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的 應(yīng)用.二、研究函數(shù)問(wèn)題的思想方法數(shù)形結(jié)合畫(huà)函數(shù)圖象需掌握的三種類(lèi)型：1. 根本初等函數(shù)及由根本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)等變換得到的 函數(shù)的圖象；2. 可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，勾畫(huà)出草圖的函數(shù)圖象；3. 對(duì)于某些抽象函數(shù)，可根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)，勾畫(huà)出反映該函 數(shù)性質(zhì)的草圖或示意圖的函數(shù)圖象.練習(xí)：11直線y=2x + b是曲線y= In xx>0的

2、一條切線，那么實(shí)數(shù) b解: y'=1 nx 丨111 /曰門(mén)=一,=一得 x=2,xx 2切點(diǎn)為2, In2，代入直線方程y=11x+b,. 1 n2= x 2+b,. b=ln2-1 .22故答案為：In2-12. f (x) = ax3 3x+ 1 對(duì)于 x 1, 1總有 f (x) >0 成立，那么 a解：假設(shè)x=0,那么不管a取何值，f x?0都成立;當(dāng) x > 0 即 x 0, 1時(shí)，f x=ax3-3x+1 > 0 可化為：a >gx在區(qū)間0，1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1，1上單調(diào)遞減，22所以設(shè) gX=3-13x x，那么 g，x=3(1 42x),x1

3、因此 gxmax=g 一=4,從而 a?4 ；2當(dāng) x v 0 即 x -1 , 0時(shí)，f x=ax3-3x+1 > 0 可化為：a<31gx=3-有在區(qū)間卜1 , 0上單調(diào)遞增,x x答案為:因此 g xmin=g -1=4，從而 a < 4，綜上 a=4.3.設(shè)函數(shù)f (x)=x( ex + ae-x)( x R)是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=解：gx=ex+ae-x為奇函數(shù)由g0=0，得a=-1 .故答案是-14. 將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,(梯形的周長(zhǎng))2 梯形的面積，那么S的最小值是先設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為 x表示出S的解

4、析式，然后求S的最小值，方法一：對(duì)函數(shù)S進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于 0求岀x的值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確 定最小值；方法二：令3-x=t，代入整理根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值.解答：解：設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x，那么：2 2c(3 x)4(3 x),八S=x呂= L .2(0 v x v 1)1331 x尹 1)y(1 x)方法一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值.S(x)=4 . (3 x)V31 xs' (x)=2 24 (2x 6) (1 x )(3 x) ( 2x) = 42(3x 1)(x 3)i3(1 x2)23(1 x2)22 2(1 x )S' (x)=0

5、，0v xv 1, x=1，3當(dāng) x (0 ,1 時(shí)，S， xv 0,3遞減；當(dāng)x 1，1)時(shí)，s'x 0,遞增;3故當(dāng)x= 1時(shí),3S的最小值是3233方法二利用函數(shù)的方法求最小值令3-x=t , t (2 ,3)，- (-，-)， t 32那么:s= 4 ?t2= 4t2 6t 83161t8t21 3故當(dāng)=，t 8x= 1時(shí)，s的最小值是 B23335.實(shí)數(shù)az0,函數(shù)f (x)=2x + a, xv 1x 2a, x> 1，假設(shè)f (1 a) = f (1 + a)，那么a的值為6.設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1, 1 上,f(x)=ax +1, 1&l

6、t; XV0,13bx + 2 0wxw 1其中 a，b R.假設(shè) fq = fq，貝y a+ 3b的值為,例題 例1.偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0 , +X)單調(diào)遞增，那么滿(mǎn)足1f(2x-1) <f(3)的x取值范圍是.例2.設(shè)函數(shù)f (x)=-x,r帀(X R),區(qū)間M= a,b(a<b)，集合N=y| y=f(x), xM，那么使 M N 成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a, b)有A. 0 個(gè) B . 1 個(gè) C().2個(gè) D .無(wú)數(shù)個(gè)=-fX解：t x R, f-x=1 + |x|f x為奇函數(shù),x/ x>0 時(shí)，fx=1 x-x1+x11+x-1 ,當(dāng) x< 0 時(shí)，fx=-x1-

7、x=1-1 1-x/ fx丨在R上單調(diào)遞減t函數(shù)在區(qū)間a , b上的值域也為a , b，貝U fa=b, f b=a即a1+|a|=b，b=a解得 a=0，b=0/ a< b使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)a, b有0對(duì)應(yīng)選A例 3. a, b 是實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x) = x3+ ax, g(x) = x2+ bx, f ' (x)和 g ' (x)是 f (x), g(x)的導(dǎo)函數(shù)，假設(shè) f ' (x)g ' (x) >0在區(qū)間I上恒成立，那么稱(chēng)f(x)和g(x)在區(qū)間I上單調(diào)性一致.1設(shè)a>0,假設(shè)函數(shù)f (x)和g( x)在區(qū)間1,+x)上單調(diào)性

8、一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；2設(shè)a< 0,且b,假設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)在以a, b為端點(diǎn)的 開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a b|的最大值.因?yàn)閒 x=0 有唯一解，因此這個(gè)解一定是x=0，即卩f 0=0，即a-1 a+3=0.解得a=1或a=-3 .當(dāng) a=1 時(shí)，fx=x2+2log 2x 2+2-2 > 0+2log 22-2=0，當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)取等號(hào)，因此關(guān) 于 x 的方程 x +2alog 2x +2+a -3=0 有唯一解 x=0 .當(dāng) a=-3 時(shí)，f x=x2-6log 2x 2+2+6 ,因?yàn)?f . 30=30-6 X 5+6=6> 0, f14=14

9、-6 X 4+6=-4 V 0,因此f x=0至少有三個(gè)根，不滿(mǎn)足題意，故把a(bǔ)=-3舍去.所以，假設(shè)方程有唯一解，那么a=1 .故答案為1 .例5.假設(shè)不等式I ax3 ln x l> 1對(duì)任意x 0 , 1都成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是解：顯然 x=1 時(shí)，有 |a| > 1, a <-1 或 a > 1.令 g x=ax3-lnx , g' (x)=3ax1 3ax'1x當(dāng) a< -1 時(shí)，對(duì)任意 x 0, 1 , g' (x)=3ax3V 0, gx在0, 1上遞減,當(dāng)a> 1時(shí)，對(duì)任意x 0, 1,g' (x)=3ax

10、3 1g (x)=u,xx=3；gxmin=g 1=a<-1，此時(shí) gx a ,+®，|g x|的最小值為0,不適合題意.2 e3例6、設(shè)f(x)In xx 1 ,證明：(I )當(dāng)x> 1時(shí)，f(x)V 3 x 12(n)當(dāng)1x 3時(shí)，f(x)9(x 1)x 5例六*(21 j 11)(證建一記gU) - blHd石一 1 -£( 一 f) * 那么加 A 1 時(shí)113M = v+<(KX(l)-譏右衛(wèi)匕)v也R IfM <2( !)(證 H-)由均值產(chǎn)等式 空A1吋，2衣。+ 11)= lnx-z + 1,那么 k(Z) - G,心小二 了 1&l

11、t;A< oT 即Inx < 1 - 1 .5)m衛(wèi) x> 1 時(shí)，g +H工丿V 3U I耳式=> M 逅=H 0富 X 謹(jǐn)購(gòu)事昭-sa二假設(shè)宀八s:;a 13>g 十 MT E.f Hs士i二二于一一曲 VMVLrsH Ii6 ><?+ 3 L嚴(yán)H以恒】Ldr+ic¥ EJ ;一一 ： X > 一汽二芒6 - d/L esv ffichpvr 豊s V 3!/dV9匯| 二5 十ArnJTw VHV一 還曇 5S I.5?+An s L-t-Hr 耳洛"二S +二 二 s+i羊寸5 S十XB +IA雋 h芷 號(hào)十|±22貨戲-壬一“ §丄言0u Rf