無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、 第第6章章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 6.5 數(shù)字高通、數(shù)字高通、 帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，過數(shù)值

2、運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。因此，數(shù)字濾因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方波的概念和模擬濾波相同，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。正因?yàn)榉ú煌?。正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波數(shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號(hào)，可通過濾波功能。如果要

3、處理的是模擬信號(hào)，可通過A/DC和和D/AC，在信號(hào)形式上進(jìn)行匹配轉(zhuǎn)換，同樣可以使用數(shù)字，在信號(hào)形式上進(jìn)行匹配轉(zhuǎn)換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。 1數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來(lái)可以分成兩大類：但總起來(lái)可以分成兩大類： 經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。器。 經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干

4、擾，得到純凈信號(hào)，過一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。達(dá)到濾波的目的。 例如，輸入信號(hào)例如，輸入信號(hào)x(t)中含有干擾，其時(shí)域波形和中含有干擾，其時(shí)域波形和頻譜圖分別如圖頻譜圖分別如圖6.1.1(a)、(b)所示，由圖可見，信號(hào)所示，由圖可見，信號(hào)和干擾的頻帶互不重疊，可用圖和干擾的頻帶互不重疊，可用圖6.1.1(c)所示低通濾所示低通濾波器濾除干擾波器濾除干擾, 得到純信號(hào)，如圖得到純信號(hào)，如圖6.1.1(d)所示。所示。 圖圖6.1.1 用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號(hào)用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號(hào) 但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互

5、重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復(fù)信典濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復(fù)信號(hào)，這時(shí)就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡號(hào)，這時(shí)就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。 現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地恢復(fù)信號(hào)，從而達(dá)到最佳濾波的目的。大限度地恢復(fù)信號(hào)，從而達(dá)到最佳濾波的目的。 本書僅介紹經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)分析與實(shí)現(xiàn)方法，本書僅介紹經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)分析與實(shí)現(xiàn)方法

6、，而現(xiàn)代濾波器屬于隨機(jī)信號(hào)處理范疇，已超出本書而現(xiàn)代濾波器屬于隨機(jī)信號(hào)處理范疇，已超出本書學(xué)習(xí)范圍。學(xué)習(xí)范圍。 經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分成低經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。通、高通、帶通和帶阻等濾波器。它們的理想幅頻特它們的理想幅頻特性如圖性如圖6.1.2所示。所示。 這種理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯芜@種理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果且無(wú)限長(zhǎng)的，我們只能按照某位脈沖響應(yīng)均是非因果且無(wú)限長(zhǎng)的，我們只能按照某些準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器，使之在誤差容限內(nèi)逼近理想濾波些準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器，使之在誤差容限內(nèi)逼近理想濾波器，理想

7、濾波器可作為逼近的標(biāo)準(zhǔn)。器，理想濾波器可作為逼近的標(biāo)準(zhǔn)。 另外，需要注意的是另外，需要注意的是, 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)都是以都是以2為周期的為周期的，低通濾波器的通頻帶中心位，低通濾波器的通頻帶中心位于于2的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶中心位于的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶中心位于的的奇數(shù)倍處。奇數(shù)倍處。一般在數(shù)字頻率的主值區(qū)一般在數(shù)字頻率的主值區(qū), 描述描述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。 圖圖6.1.2 理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性 數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)

8、長(zhǎng)數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度分類，可以分成度分類，可以分成無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器濾波器和和有有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： (6.1.1)式中的式中的H(z)稱為稱為N階階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù); (6.1.2)式中的式中的H(z)稱為稱為N1階階FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。這兩種。這兩種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法不同，因此下面分成兩章分別進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法不同，因此下面分成兩章分別進(jìn)行學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)。(6.1.1)NkkkMjrjzaz

9、bzH101)(6.1.2)10)()(NnnznhzH 根據(jù)濾波器對(duì)信號(hào)的處理作用又將其分為選頻根據(jù)濾波器對(duì)信號(hào)的處理作用又將其分為選頻濾波器和其他濾波器。濾波器和其他濾波器。上述低通、高通、帶通和帶上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻濾波器，其他濾波器有微分器、阻濾波器均屬于選頻濾波器，其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。濾波器可用于波形形成、調(diào)制解調(diào)器、從噪聲濾波器可用于波形形成、調(diào)制解調(diào)器、從噪聲中提取信號(hào)中提取信號(hào)(見圖見圖6.1.1)、信號(hào)分離和信道均衡等。所、信號(hào)分離和信道均衡等。所以學(xué)習(xí)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)是必不可少的。以

10、學(xué)習(xí)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)是必不可少的。 2 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)用下式表示：用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，式中，|H(ej)|稱為幅頻特性函數(shù)稱為幅頻特性函數(shù); ()稱為相頻特性函稱為相頻特性函數(shù)。數(shù)。幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分振幅頻特性表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。后在時(shí)間上的延時(shí)情況

11、。因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對(duì)相同的輸入，濾波器特性相同，而相頻特性不同，對(duì)相同的輸入，濾波器輸出的信號(hào)波形也是不一樣的。輸出的信號(hào)波形也是不一樣的。 一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出，對(duì)幾種，對(duì)幾種 典型濾波器典型濾波器(如巴特沃斯濾波器如巴特沃斯濾波器)，其相頻特性是確定，其相頻特性是確定 的，所以設(shè)計(jì)過程中，對(duì)相頻特性一般不作要求。的，所以設(shè)計(jì)過程中，對(duì)相頻特性一般不作要求。但如果對(duì)輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技但如果對(duì)輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技 術(shù)指標(biāo)，例如波形傳輸、圖像信號(hào)

12、處理等。術(shù)指標(biāo)，例如波形傳輸、圖像信號(hào)處理等。本章主要研究針對(duì)幅頻特性指標(biāo)的選頻濾波器設(shè)計(jì)。本章主要研究針對(duì)幅頻特性指標(biāo)的選頻濾波器設(shè)計(jì)。 對(duì)于圖對(duì)于圖6.1.2所示的各種理想濾波器，我們必須設(shè)所示的各種理想濾波器，我們必須設(shè)計(jì)一個(gè)因果可實(shí)現(xiàn)的濾波器去近似實(shí)現(xiàn)。另外，也要計(jì)一個(gè)因果可實(shí)現(xiàn)的濾波器去近似實(shí)現(xiàn)。另外，也要考慮復(fù)雜性與成本問題，因此實(shí)用中通帶和阻帶中都考慮復(fù)雜性與成本問題，因此實(shí)用中通帶和阻帶中都允許一定的誤差容限，即允許一定的誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對(duì)衰減到零不是絕對(duì)衰減到零。此外，按照要求，在通帶與阻帶。此外，按照要求，在通帶與阻帶之間還

13、應(yīng)設(shè)置一定寬度的之間還應(yīng)設(shè)置一定寬度的過渡帶過渡帶。 圖表示低通濾波器的幅頻特性，圖表示低通濾波器的幅頻特性，p和和s分別稱為通帶分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為邊界頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為0|p，在通在通帶中要求帶中要求(11)|H(ej)|1，阻帶頻率范圍為阻帶頻率范圍為s|，在，在阻帶中要求阻帶中要求|H(ej)|2。從從p到到s稱為過渡帶稱為過渡帶，過渡帶上的，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的。頻響一般是單調(diào)下降的。 (6.1.3a)pjjp0,dB| )e (|min| )e (|maxlg20HH通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通常，通帶內(nèi)

14、和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用通帶內(nèi)允許的最大衰減用 p表示，阻帶內(nèi)允許的最小表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用衰減用 s表示。對(duì)低通濾波器，表示。對(duì)低通濾波器， p和和 s分別定義為：分別定義為：(6.1.4a)jsjmax |(e )|20lgdBmax |(e )|HH通帶中阻帶中 顯然，顯然， p 越小越小, 通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越?。煌◣Рy越小，通帶逼近誤差就越小； s越大越大, 阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越?。蛔鑾Рy越小，阻帶逼近誤差就越小； p與與s間間距越小距越小, 過渡帶就越窄。過渡帶就越窄。 所以低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由通帶邊界頻率所以

15、低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由通帶邊界頻率p、通帶、通帶最大衰減最大衰減 p 阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率s和阻帶最小衰減和阻帶最小衰減 s確定。確定。 片段常數(shù)特性片段常數(shù)特性： 對(duì)于選頻型濾波器，一般對(duì)通帶和對(duì)于選頻型濾波器，一般對(duì)通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波只要求其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱為紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)片段常數(shù)特性特性”。所謂片段，是指所謂片段，是指“通帶通帶”和和“阻帶阻帶”，常數(shù)是常數(shù)是指指“通帶波紋幅度通帶波紋幅度1”和和“阻帶波紋幅度阻帶波紋幅度2”，而通帶最，而通帶最大衰減

16、大衰減 p和阻帶最小衰減和阻帶最小衰減 s是與是與1和和2完全等價(jià)的兩個(gè)常完全等價(jià)的兩個(gè)常數(shù)。數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計(jì)中很重要，片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計(jì)中很重要，尤其有助于理解尤其有助于理解IIR數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計(jì)思想。數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計(jì)思想。 圖圖6.1.3所示的單調(diào)下降幅頻特性，所示的單調(diào)下降幅頻特性， p和和 s別可以表別可以表示為示為如果將如果將|H(ej0)|歸一化為歸一化為1，(6.1.3b)和和(6.1.4b)式則表示為：式則表示為：dB| )e (| )e (|lg20pj0 jpHH(6.1.3b)(6.1.4b)dB| )e (| )

17、e (|lg20sj0 jsHH(6.1.5)dB| )e (|lg20pjpH(6.1.6)dB| )e (|lg20sjsH 當(dāng)幅度下降到當(dāng)幅度下降到 時(shí)，標(biāo)記時(shí)，標(biāo)記=c，此時(shí)，此時(shí) dB，稱，稱c為為3 dB通帶截止頻率。通帶截止頻率。p、c和和s統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設(shè)計(jì)中統(tǒng)稱為邊界頻率，它們是濾波器設(shè)計(jì)中 所涉及到的很重要的參數(shù)。所涉及到的很重要的參數(shù)。對(duì)其他類型的濾波器，對(duì)其他類型的濾波器，(6.1.3b)式和式和(6.1.4b)式中的式中的 H(ej0)應(yīng)改成應(yīng)改成 ，0為濾波器通帶中心頻率。為濾波器通帶中心頻率。2/23)(0jeH 圖圖6.1.3 低通濾波器的幅頻特性

18、指標(biāo)示意圖低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖 IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法完全不同。濾波器的設(shè)計(jì)方法完全不同。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法；濾波器設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法；（1）間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其。其 設(shè)計(jì)步驟是：設(shè)計(jì)步驟是： 先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后將，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。（2）直接法：直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，由）直接法：直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，由

19、 于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。FIR濾波器濾波器不能采用間接法不能采用間接法，常用的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、，常用的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、 頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。 本章只介紹本章只介紹IIR濾波器的間接設(shè)計(jì)方法。濾波器的間接設(shè)計(jì)方法。為此，為此， 我們先介紹模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)，這是因?yàn)榈臀覀兿冉榻B模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)，這是因?yàn)榈?通濾波器的設(shè)計(jì)是設(shè)計(jì)其他濾波器的基礎(chǔ)。通濾波器的設(shè)計(jì)是設(shè)計(jì)其他濾波器的基礎(chǔ)。模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)過程是：模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)過程是： 先將希望設(shè)計(jì)

20、的各種濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低先將希望設(shè)計(jì)的各種濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低 通濾波器技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通濾波器通濾波器技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通濾波器 最后采用最后采用頻率轉(zhuǎn)換法頻率轉(zhuǎn)換法將低通濾波器轉(zhuǎn)換成所希望將低通濾波器轉(zhuǎn)換成所希望 的各種濾波器。的各種濾波器。 6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢濾波器、橢圓圓

21、(Ellipse)濾波器、貝塞爾濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。這些濾波濾波器等。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。使用，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。 這些這些典型的濾波器各有特點(diǎn)典型的濾波器各有特點(diǎn)： 巴特沃斯濾波器具巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；有單調(diào)下降的幅頻特性； 切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性。在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性。設(shè)設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。計(jì)時(shí)，

22、根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。選頻型模擬濾波器按幅頻特性可分成選頻型模擬濾波器按幅頻特性可分成低通、高低通、高通、帶通和帶阻濾波器通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅頻特性如圖，它們的理想幅頻特性如圖6.2.1所示。但設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波所示。但設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。下面先介紹低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和逼的濾波器。下面先介紹低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法。濾波器的設(shè)計(jì)方法。 圖圖6.2

23、.1 各種理想模擬濾波器幅頻特性各種理想模擬濾波器幅頻特性 6.2.1 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法信號(hào)中講過，分別用信號(hào)中講過，分別用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模擬表示模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三濾波器的單位沖激響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系如下：者的關(guān)系如下： 可以用可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)中任一個(gè)描述模擬濾波中任一個(gè)描述模擬濾波 器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，但是設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函設(shè)

24、計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函 數(shù)數(shù)|Ha(j)|給出給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指 標(biāo)，標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt 工程實(shí)際中通常用所謂的損耗函數(shù)（也稱為衰工程實(shí)際中通常用所謂的損耗函數(shù)（也稱為衰減函數(shù)）減函數(shù)）A()來(lái)描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性，來(lái)描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性， 對(duì)歸對(duì)歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù)一化幅頻響應(yīng)函數(shù)A()定義如下（其單位是分貝，定義如下（其單位是分貝，用用dB表示）：表示）： 2aa()20lg(j)10lg(j) dBAHH（6.

25、2.1）應(yīng)當(dāng)注意，應(yīng)當(dāng)注意，損耗函數(shù)損耗函數(shù)A()和幅頻特性函數(shù)和幅頻特性函數(shù)|H(j)|只是只是 濾波器幅頻響應(yīng)特性的兩種描述方法。濾波器幅頻響應(yīng)特性的兩種描述方法。損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)幅頻響應(yīng)損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)幅頻響應(yīng)|Ha(j)|的取值，放大了的取值，放大了 小的幅度，從而可以同時(shí)觀察通帶和阻帶頻響特性的變小的幅度，從而可以同時(shí)觀察通帶和阻帶頻響特性的變 化情況?；闆r。 二者的特點(diǎn)如圖二者的特點(diǎn)如圖6.2.2所示。圖所示。圖6.2.2(a)所示的幅頻響所示的幅頻響 應(yīng)函數(shù)完全看不清阻帶內(nèi)取值較?。☉?yīng)函數(shù)完全看不清阻帶內(nèi)取值較?。?.001以下）的以下）的 波紋，而圖波紋，而圖6.2.2(

26、b)所示的同一個(gè)濾波器的損耗函數(shù)所示的同一個(gè)濾波器的損耗函數(shù) 則能很清楚地顯示出阻帶則能很清楚地顯示出阻帶60 dB以下的波紋變化曲以下的波紋變化曲 線。線。另外，另外，直接畫出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲直接畫出的損耗函數(shù)曲線圖正好與幅頻特性曲 線形狀相反線形狀相反，所以，所以，習(xí)慣將習(xí)慣將A()曲線稱為損耗函數(shù)曲線稱為損耗函數(shù) 如圖如圖6.2.2（b）所示。）所示。 圖圖6.2.2 幅頻響應(yīng)與損耗函數(shù)曲線的比較幅頻響應(yīng)與損耗函數(shù)曲線的比較 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有 p、p、 s和和 s。其中。其中p和和s分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截分別稱為通帶邊界頻

27、率和阻帶截 止頻率，止頻率， p稱為通帶最大衰減（即通帶稱為通帶最大衰減（即通帶0，p 中允許中允許A()的最大值），的最大值）， s稱為阻帶最小衰減（即稱為阻帶最小衰減（即 阻帶阻帶s上允許上允許A()的最小值），的最小值）， p和和 s的單的單 位為位為dB。以上技術(shù)指標(biāo)如圖以上技術(shù)指標(biāo)如圖6.2.3所示所示, 圖圖(a)以幅頻特性描述以幅頻特性描述, 圖圖(b)以損耗函數(shù)描述。以損耗函數(shù)描述。 圖圖6.2.3 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)示意圖模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)示意圖 由圖由圖6.2.3可見，對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可見，對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性， p和和 s可表示成：可表示成：

28、 因?yàn)閳D6.2.3中 ，所以c稱為3 dB截止頻率。1和2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度，容易得到關(guān)系式： (6.2.4)1lg(201p(6.2.5)2slg202pap10lg|(j)|H (6.2.2)2sas10lg|(j)|H (6.2.3)2/ 1| )j (|caHac20lg|()| 3HjdB 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)。一般，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)。一般 濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)，因此濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)，因此如果能由如果能由 p、p、 s和和s求出

29、求出|Ha(j)|2，那么就，那么就 可以求出可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。2*aaaaaj|(j )|(j )(j )( )()|sHHHH s Hs (6.2.6) Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的必須是因果穩(wěn)定的，因此極點(diǎn)必須落在，因此極點(diǎn)必須落在s平面平面的左半平面，相應(yīng)的的左半平面，相應(yīng)的Ha(s)的極點(diǎn)必然落在右半的極點(diǎn)必然落在右半平面。這就是平面。這就是由由Ha(s)Ha(s)求所需要的求所需要的Ha(s)的具的具體原則，即模擬低通濾波器的逼近方法。體原則，即模擬低通濾波器的逼近方法。 因此幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起著很重因此幅

30、度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起著很重 要的作用。對(duì)于上面介紹的五種典型濾波器，其幅要的作用。對(duì)于上面介紹的五種典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有確知表達(dá)式，可以直接引用。度平方函數(shù)都有確知表達(dá)式，可以直接引用。 6.2.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)1 巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通模擬濾波器設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通濾波器的巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下用下式表示：式表示： 式中，式中，N稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，時(shí)，|Ha(j)|=1； =c時(shí)，時(shí)， ，c是是3 dB截止頻率。在截止頻率。在 =c附近，隨附近

31、，隨加大，幅度迅速下降。加大，幅度迅速下降。 2/1| )(|jHaNH2c2a11| )j (|(6.2.7) 幅度特性與幅度特性與和和N的關(guān)系如圖的關(guān)系如圖6.2.4所示。幅度下降的所示。幅度下降的 速度與階數(shù)速度與階數(shù)N有關(guān)，有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈 窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快, 總的頻響特總的頻響特 性與理想低通濾波器的誤差愈小。性與理想低通濾波器的誤差愈小。 圖圖6.2.4 巴特沃斯低通濾波器幅度特性與巴特沃斯低通濾波器幅度特性與 和和N的關(guān)系的關(guān)系 以以s替換替換j，將幅度平方函數(shù)，將幅度平方函數(shù)|Ha(

32、j)|2寫成寫成s的函數(shù)：的函數(shù)： 復(fù)變量復(fù)變量s=+j，此式表明幅度平方函數(shù)有，此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極個(gè)極 點(diǎn)，極點(diǎn)點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：用下式表示： 式中，式中，k=0，1，2，2N-1。2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布個(gè)極點(diǎn)等間隔分布 在半徑為在半徑為c的圓上的圓上(該圓成為巴特沃斯圓該圓成為巴特沃斯圓)，間隔是間隔是 /Nrad。例如。例如N=3，極點(diǎn)間隔為，極點(diǎn)間隔為/3rad，如圖，如圖 6.2.5所示。所示。NssHsH2caaj11)()(6.2.8)21221(jcc21e)j () 1(NkNks（6.2.9） 圖圖6.2.5 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布圖三階巴特沃斯濾波器極

33、點(diǎn)分布圖 為形成為形成因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定的濾波器，的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中個(gè)極點(diǎn)中只取只取s平面左平面左 半平面的半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn) 構(gòu)成構(gòu)成Ha(s)。Ha(s)的表達(dá)式為的表達(dá)式為 設(shè)設(shè)N=3，極點(diǎn)有，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為個(gè)，它們分別為22jj 330c1c2c11j j 333c4c5ce , , ee , , essssss 10ca)()(NkkNsssH（6.2.10）121j()22cekNks 取取s平面左半平面的極點(diǎn)平面左半平面的極點(diǎn)s0、s1、s2組成系統(tǒng)函數(shù)組成系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)，即，即 由于不同的技術(shù)指標(biāo)對(duì)

34、應(yīng)的邊界頻率和濾波器幅頻特由于不同的技術(shù)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的邊界頻率和濾波器幅頻特 性不同，為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。性不同，為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。 巴特沃斯濾波器采用對(duì)巴特沃斯濾波器采用對(duì)3 dB截止頻率截止頻率c歸一化歸一化，歸一，歸一 化后的系統(tǒng)函數(shù)為化后的系統(tǒng)函數(shù)為)e)(e)()(32jc32jcc3cassssH 令令p=+j=s/c，=/c，稱為歸一化頻率，稱為歸一化頻率， p稱為歸稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為 (6.2.11) a1c0cc1NkksGss10a)(1)(

35、NkkpppG（6.2.12）式中，式中，pk=sk/c, 為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：為歸一化極點(diǎn)，用下式表示： 顯然顯然, 這樣，這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，按照，按照(6.2.13)式求式求出出N個(gè)極點(diǎn)，再按照個(gè)極點(diǎn)，再按照(6.2.12)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)Ga(p)，如果給定，如果給定c，再去歸一化，即將，再去歸一化，即將p=s/c代入代入Ga(p)中中(或由或由(6.2.14)式求出式求出sk=cpk)，便得到期望設(shè)計(jì)的便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。ckksp(6.2.14)110 e21221j,N,

36、,kpNkk（6.2.13） 將極點(diǎn)表示式將極點(diǎn)表示式(6.2.13)代入代入(6.2.12)式，得到式，得到Ga(p)的分的分 母是母是p的的N階多項(xiàng)式，用下式表示：階多項(xiàng)式，用下式表示： 歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)的系數(shù)bk，k=0，1，N 1，以及極點(diǎn)，以及極點(diǎn)pk，可以由表，可以由表6.2.1得到。得到。另外，表中還另外，表中還 給出了給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求 出階數(shù)出階數(shù)N，查表可得到，查表可得到Ga(p)及各極點(diǎn)及各極點(diǎn), 而且可以選擇而且可以選擇 級(jí)聯(lián)型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了

37、因級(jí)聯(lián)型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因 式分解運(yùn)算工作。式分解運(yùn)算工作。a1212101( )NNNNNGppbpbpb pb(6.2.15) 表表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 由由(6.2.9)式和式和(6.2.10)式可知式可知, 只要求出巴特沃斯濾波只要求出巴特沃斯濾波 器的階數(shù)器的階數(shù)N和和3 dB截止頻率截止頻率c，就可以求出濾波器的，就可以求出濾波器的 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。所以，。所以，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上 就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和和3 dB截止頻率截止頻率c的過程。的

38、過程。下面先介紹階數(shù)下面先介紹階數(shù)N的確定方法的確定方法。 階數(shù)階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過 渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)p、 p、 s和和 s確定。將確定。將=p代入幅度平方函數(shù)代入幅度平方函數(shù)(6.2.7)式式 中，再將幅度平方函數(shù)中，再將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2代入代入(6.2.2)式，得到：式，得到： (6.2.16) 10/2cpp101N 將將=s代入代入(6.2.7)式中，再將式中，再將|Ha(j)|2代入代入(6.2.3) 式中，得到：式中，得到： 由由(6.2.16)

39、和和(6.2.17)式得到：式得到： sp/10s/10p101101N10/2css101N（6.2.17） 令令 (6.2.18a) sspp(6.2.18b) sp/10sp/10101101k則則N由下式表示：由下式表示： (6.2.18c) spsplglgkN 用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等于應(yīng)取大于或等于N的的最小整數(shù)最小整數(shù)。 關(guān)于關(guān)于3 dB截止頻率截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出 可以按照可以按照(6.2.16)式或式或(6.2.17)式求出。由式求出。由(6.2.16)式式 得到：得到： (6.2.19)

40、N211 . 0pc) 110(p由由(6.2.17)式得到：式得到：(6.2.20)N211 . 0sc) 110(s請(qǐng)注意，如果采用請(qǐng)注意，如果采用(6.2.19)式確定式確定c，則通帶指標(biāo)剛，則通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余；好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余； 如果采用如果采用(6.2.20)式式確定確定c，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余。，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余。 (1) 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p、 p、s和和 s，用，用(6.2.18)式求式求 出濾波器的階數(shù)出濾波器的階數(shù)N。 (2) 按照按照(6.2.13)式，求出歸一化極點(diǎn)式，求出歸一化極點(diǎn)pk，將，將

41、pk代入代入 (6.2.12)式，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)式，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。 也可以根據(jù)階數(shù)也可以根據(jù)階數(shù)N直接查表直接查表6.2.1得到得到pk和和Ga(p)。 (3) 將將Ga(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ga(p)，得到實(shí)，得到實(shí) 際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù) c| )()(asppGsH這里這里c為為3 dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出c， 可以按照可以按照(6.2.19)式或式或(6.2.20)式求出。式求出。 【例例6.2.1】 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶最大，通帶最大

42、衰減衰減 p=2 dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最，阻帶最 小衰減小衰減 s=30 dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃 斯低通濾波器。斯低通濾波器。解解：(1) 確定階數(shù)確定階數(shù)Nsp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN取取N=5 (2) 按照按照(6.2.13)式，其極點(diǎn)為式，其極點(diǎn)為 按照按照(6.2.12)式，式，歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 上式分母可以展開成五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放上式分母可以展開成五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放 在一起，形成因

43、式分解式。這里不如直接查表在一起，形成因式分解式。這里不如直接查表6.2.1簡(jiǎn)簡(jiǎn) 單，由單，由N=5直接查表得到：直接查表得到： 57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG 極點(diǎn)：極點(diǎn)： 0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式為分母因式分解形式為 以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點(diǎn)后四位。以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點(diǎn)后四位。012233445a1)(

44、bpbpbpbpbppG) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG (3) 為將為將Ga(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3 dB截止頻率截止頻率c。按照按照 (6.2.19)式，得到：式，得到： 將將c代入代入(6.2.20)的變換式，得到的變換式，得到:s10.12sc(101)2 10.525 krad/sN此時(shí)算出的此時(shí)算出的比題目中給的比題目中給的s小，因此，過渡帶小小，因此，過渡帶小 于指標(biāo)要求?；蛘哒f(shuō)，在于指標(biāo)要求?；蛘哒f(shuō)，在s=212 krad/s時(shí)衰減時(shí)衰減 大于大于30 dB，所以說(shuō)阻帶指標(biāo)有富余量。，所以說(shuō)阻帶指標(biāo)有富余量。 將將p=s/c

45、代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH10.12cp(101)2 5.2755 krad/spN 6.2.3 切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)1 切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)原理巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無(wú)論在通帶還是巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無(wú)論在通帶還是阻帶都是頻率的單調(diào)減函數(shù)。阻帶都是頻率的單調(diào)減函數(shù)。因此，當(dāng)通帶邊界處滿足因此，當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有較大富余量。指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有較大富余量。因此，更有因此，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將逼近精確度均勻地分布效的

46、設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將逼近精確度均勻地分布在整個(gè)通在整個(gè)通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)均勻分布帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)均勻分布在兩者之內(nèi)。在兩者之內(nèi)。這樣，就可以使濾波器階數(shù)大大降低。這這樣，就可以使濾波器階數(shù)大大降低。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來(lái)達(dá)到?？赏ㄟ^選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來(lái)達(dá)到。 切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形式：它有兩種形式： 振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的切比雪夫內(nèi)是單調(diào)下降的切比雪夫型濾波器；型濾波器； 振幅特性在通帶

47、振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫內(nèi)是單調(diào)下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫型濾波型濾波器。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。器。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。圖圖6.2.7(a)和和(b)分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫型和型和型濾波器幅頻特性。型濾波器幅頻特性。 圖圖6.2.7 不同階數(shù)的切比雪夫不同階數(shù)的切比雪夫型和型和型濾波器幅頻特性型濾波器幅頻特性 我們這里僅介紹我們這里僅介紹切比雪夫切比雪夫型濾波器的設(shè)計(jì)方法型濾波器的設(shè)計(jì)方法。其幅。其幅度平方函數(shù)用度平方函數(shù)用|Ha(j)|2表示：表示： 式中，式中，為小于為小于1的正

48、數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，愈大，波動(dòng)幅度也愈大愈大，波動(dòng)幅度也愈大; p稱為通帶邊界頻率。稱為通帶邊界頻率。令令=/p，稱為對(duì)，稱為對(duì)p的歸一化頻率。的歸一化頻率。CN(x)稱為稱為N階切比階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為雪夫多項(xiàng)式，定義為2a22p1|(j)|1NHC1|)arch(ch1|)arccoscos()(xxNxxNxCN， 當(dāng)當(dāng)N=0時(shí)，時(shí)，C0(x)=1； 當(dāng)當(dāng)N=1時(shí)，時(shí)，C1(x)=x； 當(dāng)當(dāng)N=2時(shí)，時(shí)，C2(x)=2x21； 當(dāng)當(dāng)N=3 時(shí)，時(shí)，C3(x)=4x33x。由此可歸納。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為出高階切比雪夫多

49、項(xiàng)式的遞推公式為切比雪夫多項(xiàng)式的特性：切比雪夫多項(xiàng)式的特性： (1) 切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在|x|1的范圍內(nèi)；的范圍內(nèi)； (2) 當(dāng)當(dāng)|x|1時(shí)，時(shí)，|CN(x)|1，在，在|x|1時(shí)，時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。單調(diào)上升。)()(2)(11xCxxCxCNNN(6.2.25) 這樣，當(dāng)這樣，當(dāng)|x|1時(shí)，時(shí)， 在在0至至2之間波動(dòng)，函數(shù)之間波動(dòng)，函數(shù) 的倒數(shù)即是幅度平方函數(shù)的倒數(shù)即是幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2。所以。所以 |Ha(j)|2在在0，p上有等波紋波動(dòng)，最大值為上有等波紋波動(dòng)，最大值為1， 最小值為最小值為1/(1+2)。當(dāng)

50、。當(dāng)p時(shí)，時(shí)，|Ha(j)|2隨隨加加 大，很快接近于零。大，很快接近于零。圖圖6.2.8分別畫出了四階切比雪夫分別畫出了四階切比雪夫型和巴特沃斯低通型和巴特沃斯低通 濾波器的幅頻特性，濾波器的幅頻特性，顯然顯然, 切比雪夫?yàn)V波器比巴特沃斯切比雪夫?yàn)V波器比巴特沃斯 濾波器有較窄的過渡帶。濾波器有較窄的過渡帶。)(22xCN221( )NCx 圖圖6.2.8 四階切比雪夫四階切比雪夫型和巴特沃斯低通濾波器的幅頻型和巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性比較特性比較 按照按照(6.2.24)式，幅度平方函數(shù)與三個(gè)參數(shù)（式，幅度平方函數(shù)與三個(gè)參數(shù)（、p、 N）有關(guān)。其中）有關(guān)。其中與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)幅度有關(guān)，

51、定與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)幅度有關(guān)，定 義允許的通帶內(nèi)最大衰減義允許的通帶內(nèi)最大衰減 p用下式表示：用下式表示：2app2amax(j)10lg |min(j)HH式中式中22aa21max()1 min()1HjHj因此因此(6.2.26)1lg(102p(6.2.27)110p1 . 02 這樣，根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減這樣，根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減 p，可以求出參數(shù)，可以求出參數(shù)。 階數(shù)階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時(shí)也影響通帶內(nèi)波動(dòng)的影響過渡帶的寬度，同時(shí)也影響通帶內(nèi)波動(dòng)的 疏密，因?yàn)槭杳?，因?yàn)镹等于通帶內(nèi)最大值與最小值的總個(gè)數(shù)。等于通帶內(nèi)最大值與最小值的總個(gè)數(shù)。設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截

52、止頻率阻帶截止頻率)用用s表示，在表示，在 s處的處的|Ha(j)|2用用(6.2.24)式確定：式確定： (6.2.28) 2as22s1()1NpHjC令令s=s/p，由，由s1，有，有ss2as11()ch arch()1()NCNH 可以解出可以解出(6.2.29)2ass11arch1(j)arch()HN(6.2.30)sp2as111charch1(j)NH3 dB截止頻率用截止頻率用c表示，表示，2ac1(j)2H按照按照(6.2.24)式，有式，有pccc221)( ，NC 通常取通常取c1，因此，因此上式中僅取正號(hào)，得到上式中僅取正號(hào)，得到3 dB截止頻率計(jì)算公式：截止頻率

53、計(jì)算公式： cc1()ch arch()NCN 1arch1chpcN（6.2.31）p通常是設(shè)計(jì)指標(biāo)給定的，由通常是設(shè)計(jì)指標(biāo)給定的，由(6.2.27)和和(6.2.29)式式求出求出 和和N后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定歸一化系統(tǒng)后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定歸一化系統(tǒng) 函數(shù)函數(shù)Ga(p)，p=s/p。下面略去繁雜的求解過程，下面略去繁雜的求解過程， 僅介紹一些有用的結(jié)論。僅介紹一些有用的結(jié)論。 設(shè)設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為si=i+ji，可以證明：，可以證明： 式中式中（6.2.33）1arsh1N(6.2.34)1chsh22p222p2iiNiNiNiii, 3 , 2 , 1

54、212cosch212sinchpp(6.2.32)(6.2.33)式是一個(gè)橢圓方程，長(zhǎng)半軸為式是一個(gè)橢圓方程，長(zhǎng)半軸為pch(在虛軸上在虛軸上)，短半軸為短半軸為psh(在實(shí)軸上在實(shí)軸上)。 令令bp和和ap分別表示長(zhǎng)半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：分別表示長(zhǎng)半軸和短半軸，可推導(dǎo)出： 式中式中(6.2.35)NNa1121(6.2.36)NNb1121(6.2.37)1112因此切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)就是一組分布在因此切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)就是一組分布在bp為長(zhǎng)半軸、為長(zhǎng)半軸、ap為短半軸的橢圓上的點(diǎn)。為短半軸的橢圓上的點(diǎn)。 為因果穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成為因果穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ga(p)，即

55、，即式中式中, c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.24)式可導(dǎo)式可導(dǎo)出：出：c=2N1，代入，代入(6.2.38)式，得到歸一化的系統(tǒng)函數(shù)式，得到歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為為(6.2.39)NiiNpppG11a)(21)(NiippcpG1a)(1)(6.2.38)去歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為去歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為 (1) 確定技術(shù)指標(biāo)參數(shù)確定技術(shù)指標(biāo)參數(shù) p、p、 s和和s。 p是是 =p時(shí)的衰減，時(shí)的衰減， s是是 =s時(shí)的衰減，它們滿足時(shí)的衰減，它們滿足ppaa1p1( )( )2()NsNpNiiHsGpsp(6.2.40)(6.2.41)p2ap110lg|(j

56、)|Hs2as110lg|(j)|H(6.2.42)這里這里 p就是前面定義的通帶最大衰減，見就是前面定義的通帶最大衰減，見(6.2.26)式。式。 (2) 求濾波器階數(shù)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)和參數(shù)。歸一化邊界頻率為。歸一化邊界頻率為p=1, s=s/p。由由(6.2.24)式得到：式得到： 將以上兩式代入將以上兩式代入(6.2.41)和和(6.2.42)式，得到：式，得到： 22p2ap22s2as11()(j)11()(j)NNCHCH pssp0.122222p0.12222ss0.12s0.1101()1cos (arccos1)1101()1ch ( arch)101ch ( arch

57、)101NNCNCNN 令令(6.2.43)110110ps1 . 01 . 011k則則11chrchsNak，因此，因此)(arch)(archs11kN（6.2.44）這樣，先由這樣，先由(6.2.43)式求出式求出 ，代入，代入(6.2.44)式，求出階數(shù)式，求出階數(shù)N，最后取大于或等于最后取大于或等于N的最小整數(shù)。的最小整數(shù)。11k按照按照(6.2.27)式求式求： p0.12101（6.2.45） (3) 求歸一化系統(tǒng)函數(shù)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。為求。為求Ga(p)，先按照，先按照(6.2.32) 式求出歸一化極點(diǎn)式求出歸一化極點(diǎn)pk, k=1，2，N。 將極點(diǎn)將極點(diǎn)pk代入代

58、入(6.2.39)式，得到：式，得到： a1i11( )2()NNiGpppNkNkpk2) 12(coschj2) 12(sinch（6.2.46）(4) 將將Ga(p)去歸一化，得到實(shí)際的去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s)，即，即paa/( )( )|p sHsGp(6.2.47)11arshN 【例【例6.2.2】 設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止 頻率頻率fp=3 kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減 p=0.1 dB，阻帶截止頻，阻帶截止頻 率率fs=12 kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s=60 dB。解解： (1) 濾波器的技術(shù)要求：濾波器的

59、技術(shù)要求： pppsssspsp0.1dB,26krad/s60dB,224krad/s1,4ffff (2) 由由(6.2.44)和和 (6.2.45)式求階數(shù)式求階數(shù)N和和：1526. 011011056 . 406. 247. 9)4()6553(6553110110)()(01. 01 . 01 . 01 . 011s11ppsNArchArchNkArchkArchN，取(3) 將極點(diǎn)將極點(diǎn)pk、N和和代入代入(6.2.39)式求式求Ga(p)：51i) 15(a)(21526. 01)(ipppG 由由(6.2.46)式求出式求出N=5時(shí)的極點(diǎn)時(shí)的極點(diǎn)pi，代入上式，得到：，代入上

60、式，得到： (4) 將將Ga(p)去歸一化，得到：去歸一化，得到：)6359. 08720. 0)(1949. 13331. 0)(5389. 0(442. 21)(22appppppG147214627/aa102595. 2106437. 11 )102459. 4102788. 6)(100158. 1(1| )()(pssssspGsHsp 6.2.4 橢圓濾波器的設(shè)計(jì)橢圓濾波器的設(shè)計(jì)橢圓（橢圓（Elliptic）濾波器在）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應(yīng)特性紋幅頻響應(yīng)特性。由于其極點(diǎn)位置與經(jīng)典場(chǎng)論中的橢圓。由于其極點(diǎn)位置與經(jīng)典場(chǎng)論中的橢圓函數(shù)有關(guān)，所以由