一次函數(shù)及相關(guān)典型例題

1、一次函數(shù)及相關(guān)典型例題 一次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念假設(shè)兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+bk，b為常數(shù)，k0的形式，那么稱y是x的一次函數(shù)x為自變量，特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3，y=-x+2，y=11x等都是一次函數(shù)，y=x，22y=-x都是正比例函數(shù).【說(shuō)明】 1一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來(lái)確定.2一次函數(shù)y=kx+bk，b為常數(shù)，b0中的“一次和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).3當(dāng)b=0，k0

2、時(shí)，y= kx仍是一次函數(shù).4當(dāng)b=0，k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2 函數(shù)的圖象把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對(duì)應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系一次函數(shù)y=kx+bk，b為常數(shù)，k0的性質(zhì)1k的正負(fù)決定直線的傾斜方向；k0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；kO時(shí)，y的值隨x值的增大而減小2|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大直線陡，|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越小直線緩；3b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)4由于k，b的符號(hào)不同，直

3、線所經(jīng)過(guò)的象限也不同； 如圖1118l所示，當(dāng)k0，b0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限直線不經(jīng)過(guò)第四象限；如圖11182所示，當(dāng)k0，bO時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限直線不經(jīng)過(guò)第二象限；如圖11183所示，當(dāng)kO，b0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限直線不經(jīng)過(guò)第三象限；如圖11184所示，當(dāng)kO，bO時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限直線不經(jīng)過(guò)第一象限5由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說(shuō)明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的知識(shí)點(diǎn)3 正比例函數(shù)y=kxk0的性質(zhì)1正比例函數(shù)

4、y=kx的圖象必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；2當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,y隨x的增大而增大；3當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,y隨x的增大而減小 知識(shí)點(diǎn)4 點(diǎn)Px0，y0與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系1如果點(diǎn)Px0，y0在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；2如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點(diǎn)P1，2必在函數(shù)的圖象上例如：點(diǎn)P1，2滿足直線y=x+1，即x=1時(shí)，y=2，那么點(diǎn)P1，2在直線y=x+l的圖象上；點(diǎn)P2，1不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=3，所以點(diǎn)P2，1不在直線y=x+l的圖象上知識(shí)點(diǎn)5 確定正比例函數(shù)及一次

5、函數(shù)表達(dá)式的條件1由于正比例函數(shù)y=kxk0中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)就可求得k的值2由于一次函數(shù)y=kx+bk0中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值知識(shí)點(diǎn)6 待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式其中含有未知常數(shù)系數(shù)，再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出 未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)知識(shí)點(diǎn)7 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟1設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b；2將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程組；3

6、求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式例如：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，1和-1，-3求此一次函數(shù)的關(guān)系式解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為ykx+bk0，由題意可知，ì1=2k+b, í-3=-k+b,î4ìk=,ïï3解íïb=-5.ï3î此函數(shù)的關(guān)系式為y=45x- 33【說(shuō)明】 此題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下：第一步，設(shè)根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0；第二步，代根據(jù)題目中的條件，列出方程或方程組，解這個(gè)方程或方程組，求出待定系數(shù)k，b；第三步，求把

7、求得的k，b的值代回到“設(shè)的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中；第四步，寫(xiě)寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式.思想方法小結(jié) 1函數(shù)方法函數(shù)方法就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題的方法函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，靈活運(yùn)用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題2數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，能起到事半功倍的作用知識(shí)規(guī)律小結(jié) 1常數(shù)k，b對(duì)直線y=kx+b(k0位置的影響 當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交 當(dāng)k，b異號(hào)時(shí)，即-當(dāng)b=0時(shí)，即-b

8、0時(shí)，直線與x軸正半軸相交； kb=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； kb當(dāng)k，b同號(hào)時(shí)，即-0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交 k當(dāng)kO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)k0，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)bO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；當(dāng)kO，b0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；當(dāng)kO，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限；當(dāng)bO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限2直線y=kx+bk0與直線y=kx(k0)的位置關(guān)系 直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0)當(dāng)b0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b； 當(dāng)bO時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線y=kx+b3直

9、線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2k10 ，k20的位置關(guān)系 k1k2Ûy1與y2相交；ìk1¹k2í； Ûy1與y2相交于y軸上同一點(diǎn)0，b1或0，b2b=b2î1íìk1=k2,Ûy1與y2平行； b¹b2î1ìk1=k2,íÛy1與y2重合. b=b2î1 典例講解基此題本節(jié)有關(guān)根本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件例1 以下函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？12

10、x； 2y=-； 3y=-3-5x； 2x1224y=-5x； 5y=6x- 6y=x(x-4)-x. 21y=-分析 此題主要考查對(duì)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的概念的理解 解：1356是一次函數(shù)，l6是正比例函數(shù)例2 當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=-m-2xm2-3+m-4是一次函數(shù)？分析 某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件k0 解：函數(shù)y=m-2xm2-3+m-4是一次函數(shù)，ìm2-3=1,ím=-2.î-(m-2)¹0,當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)y=m-2xm2-3+m-4是一次函數(shù)小結(jié) 某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(xiàng)或自變量的指數(shù)為1，系數(shù)

11、不為0而某函數(shù)假設(shè)是正比例函數(shù)，那么還需添加一個(gè)條件：常數(shù)項(xiàng)為0根底應(yīng)用題本節(jié)根底知識(shí)的應(yīng)用主要包括：1會(huì)確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；2會(huì)畫(huà)一次函數(shù)正比例函數(shù)圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；3利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；4利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式例3 一根彈簧長(zhǎng)15cm，它所掛物體的質(zhì)量不能超過(guò)18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長(zhǎng)05cm，寫(xiě)出掛上物體后，彈簧的長(zhǎng)度ycm與所掛物體的質(zhì)量x(kg之間的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù)分析 1彈簧每掛1kg的物體后，伸長(zhǎng)05cm，那么掛xkg的物體后，彈簧的長(zhǎng)度y為l5+05xcm，即y=15+05x

12、2自變量x的取值范圍就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的x的值，即0x18(3)由y=15+05x可知，y是x的一次函數(shù)解：ly=15+05x2自變量x的取值范圍是0x183y是x的一次函數(shù)學(xué)生做一做 烏魯木齊至庫(kù)爾勒的鐵路長(zhǎng)約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米時(shí)，那么火車離庫(kù)爾勒的距離s千米與行駛時(shí)間t時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系式是 .老師評(píng)一評(píng) 研究此題可采用線段圖示法，如圖1119所示 火車從烏魯木齊出發(fā)，t小時(shí)所走路程為58t千米，此時(shí)，距離庫(kù)爾勒的距離為s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t例4 某物體從上午7時(shí)至下午4時(shí)的溫度M是時(shí)間t時(shí)的函2數(shù)：M=t-5t+100

13、其中t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí)，那么上午10時(shí)此物體的溫度為 分析 此題給出了函數(shù)關(guān)系式，欲求函數(shù)值，但沒(méi)有直接給出t的具體值從題中可以知道，t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí)，那么上午310時(shí)應(yīng)表示成t=-2，當(dāng)t=-2時(shí)，M=-2-5×-2+100=102答案：102例5 y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.1寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；3當(dāng)y=4時(shí)，求x的值分析 由y-3與x成正比例，那么可設(shè)y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，那么可以寫(xiě)出關(guān)系式解：1由于y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx把x=2，y=7代入y-3=kx

14、中，得7-32k，k2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x，即y=2x+32當(dāng)x=4時(shí)，y=2×4+3=113當(dāng)y4時(shí)，4=2x+3，x=1. 2學(xué)生做一做 y與x+1成正比例，當(dāng)x=5時(shí)，y=12，那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是 .老師評(píng)一評(píng) 由y與x+1成正比例，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+1.再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+1.當(dāng)x=5時(shí)，y=12，12=5+1k，k=2y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2【注意】 y與x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要誤認(rèn)為y=kx+1.例6 假設(shè)正比例函數(shù)y=1-

15、2mx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ax1，y1和點(diǎn)Bx2，y2，當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2，那么m的取值范圍是 AmO Bm0 Cm1 2 DmM分析 此題考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，因?yàn)楫?dāng)x1x2時(shí)，y1y2，說(shuō)明y隨x的增大而減小，所以1-2mO,m1，故正確答案為D項(xiàng) 2學(xué)生做一做 某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬(wàn)元，方案今后每年增加2萬(wàn)元1寫(xiě)出年產(chǎn)值y萬(wàn)元與年數(shù)x年之間的函數(shù)關(guān)系式；2畫(huà)出函數(shù)的圖象；3求5年后的產(chǎn)值老師評(píng)一評(píng) 1年產(chǎn)值y萬(wàn)元與年數(shù)x年之間的函數(shù)關(guān)系式為y=15+2x2畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)要特別注意到該函數(shù)的自變量取值范圍為x0，因此，函數(shù)y=15+2x的圖象應(yīng)為一條射線畫(huà)函數(shù)y=12+5x的圖象如

16、圖1121所示 3當(dāng)x=5時(shí)，y15+2×5=25萬(wàn)元5年后的產(chǎn)值是25萬(wàn)元例7 一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數(shù)表達(dá)式 分析 從圖象上可以看出，它與x軸交于點(diǎn)-1，0，與y軸交于點(diǎn)0，-3，代入關(guān)系式中，求出k為即可解：由圖象可知，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)-1，0和0，-3兩點(diǎn)，代入到y(tǒng)=kx+b中，得ì0=-k+b,ìk=-3,í í-3=0+b,b=-3.îî此函數(shù)的表達(dá)式為y=-3x-3.例8 求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，-1，且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式分析 圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為

17、2，那么可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b，再將點(diǎn)2，-1代入，求出b即可解：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b， 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，-1，-l=2×2+bb=-5，所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-5.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用包括：1與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用；2與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用；3與實(shí)際生活相聯(lián)系，通過(guò)函數(shù)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題例8 y+a與x+ba，b為是常數(shù)成正比例1y是x的一次函數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；2在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？分析 判斷某函數(shù)是一次函數(shù)，只要符合y=kx+bk，b中為常數(shù)，且k0即可；判斷某函數(shù)是正比例函數(shù)，只要符合y=kx(k為常數(shù)，且k0)即可解：1y是x

18、的一次函數(shù)y+a與x+b是正比例函數(shù)，設(shè)y+a=k(x+b)k為常數(shù)，且k0整理得y=kx+kb-ak0，k，a，b為常數(shù)，y=kx+(kb-a)是一次函數(shù)2當(dāng)kb-a=0，即a=kb時(shí)，y是x的正比例函數(shù)例9 某移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通使用者先交50元月租費(fèi)，然后每通話1分，再付 費(fèi)04元；“神州行使用者不交月租費(fèi)，每通話1分，付話費(fèi)06元均指市內(nèi)通話假設(shè)1個(gè)月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元1寫(xiě)出y1，y2與x之間的關(guān)系；2一個(gè)月內(nèi)通話多少分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？3某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，那么選擇哪種通訊方式較合算？ 分析 這是一道實(shí)際生活

19、中的應(yīng)用題，解題時(shí)必須對(duì)兩種不同的收費(fèi)方式仔細(xì)分析、比擬、計(jì)算，方可得出正確結(jié)論解：1y1=50+04x其中x0，且x是整數(shù)y2=06x其中x0，且x是整數(shù)(2)兩種通訊費(fèi)用相同，y1=y2，即50+04x=06xx250一個(gè)月內(nèi)通話250分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同3當(dāng)y1=200時(shí)，有200=50+04x， x=375分“全球通可通話375分當(dāng)y2=200時(shí)，有200=06x，x=3331分 31分 3“神州行可通話3333753331， 3選擇“全球通較合算例10 y+2與x成正比例，且x=-2時(shí)，y=01求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2畫(huà)出函數(shù)的圖象；3觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y0？4假設(shè)

20、點(diǎn)m，6在該函數(shù)的圖象上，求m的值；5設(shè)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，2中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且SABP=4，求P點(diǎn)的坐標(biāo)分析 由y+2與x成正比例，可設(shè)y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，這樣即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)進(jìn)行分析，點(diǎn)m，6在該函數(shù)的圖象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值解：1y+2與x成正比例，設(shè)y+2=kxk是常數(shù)，且k0當(dāng)x=-2時(shí)，y=00+2k·-2，k-1函數(shù)關(guān)系式為x+2=-x，即y=-x-22列表；描點(diǎn)、連線，圖象如圖1123所示 3由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x-2時(shí)，y0當(dāng)x-2時(shí)，y0(4)點(diǎn)m，6在該函數(shù)

21、的圖象上，6=-m-2, m-85函數(shù)y=-x-2分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，A-2，0，B0，-2SABP=1·|AP|·|OA|=4， 288=4. |OA|2|BP|=點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離為4又B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2),且P在y軸負(fù)半軸上，P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-6).2例11 一次函數(shù)y=3-kx-2k+18.1k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？2k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，-2?3k為何值時(shí)，它的圖象平行于直線y=-x？4k為何值時(shí)，y隨x的增大而減?。糠治?函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)某點(diǎn)，說(shuō)明該點(diǎn)坐標(biāo)適合方程；圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸上方，說(shuō)明常數(shù)項(xiàng)bO；兩函數(shù)圖象平行，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)相等

22、；y隨x的增大而減小，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)小于0解：1圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么它是正比例函數(shù)ì-2k2+18=0,ík-2î3-k¹0,當(dāng)k=-3時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)2該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，-2.2-2=-2k+18，且3-k0，k=±當(dāng)k=±時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-2)3函數(shù)圖象平行于直線y=-x，3-k=-1，k4當(dāng)k4時(shí)，它的圖象平行于直線x=-x4隨x的增大而減小，3-kOk3當(dāng)k3時(shí)，y隨x的增大而減小 例12 判斷三點(diǎn)A3，1，B0，-2，C4，2是否在同一條直線上分析 由于兩點(diǎn)確定一條直線，應(yīng)選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的函數(shù)表

23、達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，假設(shè)成立，說(shuō)明在此直線上；假設(shè)不成立，說(shuō)明不在此直線上解：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b由題意可知，ì1=3k+b,ìk=1, ííî-2=0+b,îb=-2.過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2當(dāng)x=4時(shí)，y=4-2=2點(diǎn)C4，2在直線y=x-2上三點(diǎn)A3，1， B0，-2，C4，2在同一條直線上學(xué)生做一做 判斷三點(diǎn)A3，5，B0，-1，C1，3是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性和創(chuàng)新性，表達(dá)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用例13 老師講完

24、“一次函數(shù)這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論以下問(wèn)題：1x從0開(kāi)始逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先到達(dá)30？這說(shuō)明了什么？2直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說(shuō)：“y=6x的函數(shù)值先到達(dá)30，說(shuō)明y=6x比y=2x+8的值增長(zhǎng)得快 乙生說(shuō)：“直線y=-x與y=-x+6是互相平行的你認(rèn)為這兩個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？分析 1可先畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x2時(shí)，6x2x+8，所以，y=6x的函數(shù)值先到達(dá)302直線y=-x與y=-x+6中的一次項(xiàng)系數(shù)相同，都是-1，故它們是平行的，所以這兩位同學(xué)的說(shuō)法都是正確的解：這兩位同學(xué)的說(shuō)法都正確例14 某校一名老師將在假期帶著學(xué)生去

25、北京旅游，用旅行社說(shuō)：“如果老師買(mǎi)全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠乙旅行社說(shuō)：“所有人按全票價(jià)的6折優(yōu)惠全票價(jià)為240元1設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社的收費(fèi)為y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費(fèi)；2就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠分析 先求出甲、乙兩旅行社的收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式， 再通過(guò)比擬，探究結(jié)論解：1甲旅行社的收費(fèi)y甲元與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y甲=240+1×240x=240+120x. 2乙旅行社的收費(fèi)y乙元與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=240×60×x+1=144x+1442當(dāng)y甲=y乙時(shí)，有240+120x=144x+1

26、44，24x96，x=4當(dāng)x=4時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)相同，去哪家都可以當(dāng)y甲y乙時(shí)，240+120x144x+144，24x96，x4當(dāng)x4時(shí)，去乙旅行社更優(yōu)惠當(dāng)y甲y乙時(shí)，有240+120x140x+144，24x96，x4當(dāng)x4時(shí)，去甲旅行社更優(yōu)惠小結(jié) 此題的創(chuàng)新之處在于先通過(guò)計(jì)算進(jìn)行討論，再作出決策，另外，這兩個(gè)函數(shù)都是一次函數(shù)，利用圖象來(lái)研究此題也不失為一種很好的方法學(xué)生做一做 某公司到果園基地購(gòu)置某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問(wèn)醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對(duì)購(gòu)置量在3000千克以上含3000千克的有兩種銷售方案甲方案：每千克9元，由基地送貨上門(mén)；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運(yùn)回，該公司租車從基地到公

27、司的運(yùn)輸費(fèi)為5000元1分別寫(xiě)出該公司兩種購(gòu)置方案的付款y元與所購(gòu)置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量X的取值范圍；2當(dāng)購(gòu)置量在什么范圍時(shí)，選擇哪種購(gòu)置方案付款少？并說(shuō)明理由 老師評(píng)一評(píng) 先求出兩種購(gòu)置方案的付款y元與所購(gòu)置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)比擬，探索出結(jié)論1甲方案的付款y甲元與所購(gòu)置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=9xx3000；乙方案的付款y乙元與所購(gòu)置的水果量x千克之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=8x+500Ox30002有兩種解法：解法1：當(dāng)y甲=y乙時(shí)，有9x=8x+5000，x=5000當(dāng)x=5000時(shí)，兩種方案付款一樣，按哪種方案都可以當(dāng)y甲y乙時(shí)，有

28、9x8x+5000，x5000 又x3000，當(dāng)3000x5000時(shí)，甲方案付款少，故采用甲方案當(dāng)y甲y乙時(shí)，有9x8x+5000，x5000當(dāng)x500O時(shí)，乙方案付款少，故采用乙方案解法2：圖象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函數(shù)圖象，如圖1124所示，由圖象可得：當(dāng)購(gòu)置量大于或等于3000千克且小于5000千克時(shí)，y甲y乙,即選擇甲方案付款少；當(dāng)購(gòu)置量為5000千克時(shí)，y甲y乙即兩種方案付款一樣；當(dāng)購(gòu)置量大于5000千克時(shí)，y甲y乙，即選擇乙方案付款最少 【說(shuō)明】 圖象法是解決問(wèn)題的重要方法，也是考查學(xué)生讀圖能力的有效途徑.例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3x

29、6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5y-2，那么這個(gè)函數(shù)的解析式為 .分析 此題分兩種情況討論：當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大，那么有：當(dāng)x=-3，y=-5；當(dāng)x=6時(shí)，y=-2，把它們代入y=kx+b中可得ì-5=-3k+b, íî-2=6k+b,1ì1ïk=,í3函數(shù)解析式為y=-x-4 3ïb=-4,î當(dāng)kO時(shí)那么隨x的增大而減小，那么有：當(dāng)x=-3時(shí)，y=-2；當(dāng)x=6時(shí)，y=-5，把它們代入y=kxb中可得1ìì-2=-3b+b,ïk=-,1í3函數(shù)解析式為y=-x-3.

30、í3î-5=6k+b,ïb=-3,î11x-4，或y=-x-3. 3311答案：y=x-4或y=-x-3. 33函數(shù)解析式為y=【注意】此題充分表達(dá)了分類討論思想，方程思想在一次函數(shù)中的應(yīng) 用，切忌考慮問(wèn)題不全面.中考試題預(yù)測(cè)例1 某地舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y元包括兩局部：一局部是租用比賽場(chǎng)地等固定不變的費(fèi)用b元，另一局部與參加比賽的人數(shù)x人成正比例，當(dāng)x=20時(shí)y=160O；當(dāng)x=3O時(shí)，y=200O1求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2動(dòng)果有50名運(yùn)發(fā)動(dòng)參加比賽，且全部費(fèi)用由運(yùn)發(fā)動(dòng)分?jǐn)?，那么每名運(yùn)發(fā)動(dòng)需要支付多少元？分析 設(shè)舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y元與租用比賽場(chǎng)

31、地等固定不變的費(fèi)用b元和參加比賽的人數(shù)x人的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+bk0.把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函數(shù)關(guān)系式，求出k，b的值，進(jìn)而求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x=50時(shí)，求出y的值，再求得y÷50的值即可解：1設(shè)y1=b，y2=kxk0，x0，y=kx+b又當(dāng)x=20時(shí)，y=1600；當(dāng)x=30時(shí),y=2000，ì1600=20k+b,ìk=40,íí 2000=30k+b,b=800.îîy與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=40x+800x0.2當(dāng)x=50時(shí)，y=40×50+800=2800

32、元每名運(yùn)發(fā)動(dòng)需支付2800÷50=56元答：每名運(yùn)發(fā)動(dòng)需支付56元例2 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=-4時(shí)，y的值為9；當(dāng)x=2時(shí)，y的值為-31求這個(gè)函數(shù)的解析式。2在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象分析 求函數(shù)的解析式，需要兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值，把它們代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出這個(gè)函數(shù)的解析式，進(jìn)而畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象解：1由題意可知ì9=-4k+b,ìk=-2í íb=1.-3=2k+b,îî這個(gè)函數(shù)的解析式為x=-2x+1.(2) 描點(diǎn)、的圖象 例3 如圖1127所示，大拇指與小拇指盡量張開(kāi)時(shí)，兩指

33、尖的距離稱為指距某項(xiàng)研究說(shuō)明，一般情況下人的身高h(yuǎn)是指距d的一次函數(shù)，下表是測(cè)得的指距與身高的一組數(shù)據(jù)1求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；不要求寫(xiě)出自變量d的取值范圍2某人身高為196cm，一般情況下他的指距應(yīng)是多少？分析 設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=kd+bk0當(dāng)d20時(shí)，h=160；當(dāng)d=21時(shí),h=169把這兩對(duì)d,h值代人h=kd+b得ì160=20k+b,ìk=9,í í169=21k+b,b=-20.îî所以得出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)h=196時(shí)，即可求出d 解：1設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式為h=kd+b(k0)由題中圖表可

34、知當(dāng)d=2O時(shí),h=16O；當(dāng)d=21時(shí)，h=169.把它們代入函數(shù)關(guān)系式，得ì160=20k+b,ìk=9,í íî169=21k+b,îb=-20.h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=9d-202當(dāng)h=196時(shí)，有196=9d-20d24當(dāng)某人的身高為196cm時(shí)，一般情況下他的指距是24cm 例4 汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是100千米時(shí)，那么汽車距成都的路程s千米與行駛時(shí)間t時(shí)的函數(shù)關(guān)系用圖象如圖1128所示表示應(yīng)為 分析 此題主要考查函數(shù)關(guān)系式的表達(dá)及函數(shù)圖象的知識(shí)，由題意可知,汽車距成都的路程s千米與行

35、駛時(shí)間t時(shí)的函數(shù)關(guān)系式是s=400-100t，其中自變量t的取值范圍是0t4，所以有0s400，因此這個(gè)函數(shù)圖象應(yīng)為一條線段，故淘汰掉D又因?yàn)樵赟=400-100t中的k=-1000，s隨t的增大而減小，所以正確答案應(yīng)該是C答案：C小結(jié) 畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)，要注意自變量的取值范圍，尤其是對(duì)實(shí)際問(wèn)題 例5 函數(shù)：1圖象不經(jīng)過(guò)第二象限；2圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，-5.請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足1和2的函數(shù)關(guān)系式： 分析 這是一個(gè)開(kāi)放性試題，答案是不惟一的，因?yàn)辄c(diǎn)2，-5在第四象限，而圖象又不經(jīng)過(guò)第二象限，所以這個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一點(diǎn)，就可以確定出函數(shù)的解析式設(shè)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限

36、的直線解析式為y=kx+bkO，另外的一點(diǎn)為4，3，把這兩個(gè)點(diǎn)代入解析式中即可求出k，b.ì3=4k+b,ìk=4, y=4x-13. ííî-5=2k+b,îb=-13.答案：y4x-13【注意】 后面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)二次函數(shù)后可另行分析.例6 人在運(yùn)動(dòng)時(shí)的心跳速率通常和人的年齡有關(guān)如果用a表示一個(gè)人的年齡，用b表示正常情況下這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=08220-a1正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是多少？2一個(gè)50歲的人運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)心跳的次數(shù)為20次，他有危險(xiǎn)嗎？分析 1只需

37、求出當(dāng)a=16時(shí)b的值即可 2求出當(dāng)a=50時(shí)b的值，再用b和20×60=120次相比擬即可 10解：1當(dāng)a=16時(shí)，b=08220-161632次正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是1632次2當(dāng)a=50時(shí)，b=08220-50=08×170=136次，表示他最大能承受每分136次而20×60=120136，所以他沒(méi)有危險(xiǎn) 10一個(gè)50歲的人運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)心跳的次數(shù)為20次，他沒(méi)有危險(xiǎn) 例7 某市的A縣和B縣春季育苗，急需化肥分別為90噸和60噸，該市的C縣和D縣分別儲(chǔ)存化肥100噸和50噸，全部調(diào)配給A縣和B縣C，D兩縣運(yùn)化肥到A，

38、B兩縣的運(yùn)費(fèi)元噸如下表所示 1設(shè)C縣運(yùn)到A縣的化肥為x噸，求總運(yùn)費(fèi)W元與x噸的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；2求最低總運(yùn)費(fèi)，并說(shuō)明總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)的運(yùn)送方案分析 利用表格來(lái)分析C，D兩縣運(yùn)到A，B兩縣的化肥情況如下表 那么總運(yùn)費(fèi)W元與x噸的函數(shù)關(guān)系式為W=35x+4090-x+30100-x+4560-100-x=10x+4800 自變量x的取值范圍是40x90解：1由C縣運(yùn)往A縣的化肥為x噸，那么C縣運(yùn)往B縣的化肥為100-x 噸D縣運(yùn)往A縣的化肥為90-x噸，D縣運(yùn)往B縣的化肥為x-40噸 由題意可知W35x+4090-x+30100-x+45x-4010x+4800自變量x的取值范圍

39、為40x90總運(yùn)費(fèi)W元與x噸之間的函數(shù)關(guān)系式為w1Ox+480O40x9O2100，W隨x的增大而增大當(dāng)x=40時(shí)，W最小值=10×40+4800=5200元運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，x=40，90-x=50噸，x-40=0噸當(dāng)總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，運(yùn)送方案是：C縣的100噸化肥40噸運(yùn)往A縣，60噸運(yùn)往B縣，D縣的50噸化肥全部運(yùn)往A縣例8 2006年夏天，某省由于持續(xù)高溫和連日無(wú)雨，水庫(kù)蓄水量普遍下2降，圖1129是某水庫(kù)的蓄水量V萬(wàn)米與干旱持續(xù)時(shí)間t天之問(wèn)的關(guān)系圖，請(qǐng)根據(jù)此圖答復(fù)以下問(wèn)題21該水庫(kù)原蓄水量為多少萬(wàn)米？持續(xù)干3旱10天后水庫(kù)蓄水量為多少萬(wàn)米？32假設(shè)水庫(kù)存的蓄水量小于400萬(wàn)米時(shí)，將發(fā)

40、出嚴(yán)重干旱警報(bào)，請(qǐng)問(wèn)：持續(xù)干旱多少天后，將發(fā)生嚴(yán)重干旱警報(bào)？3按此規(guī)律，持續(xù)干旱多少天時(shí)，水庫(kù)將干涸？2分析 由函數(shù)圖象可知，水庫(kù)的蓄水量V萬(wàn)米與干旱時(shí)間t天之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)的解析式是V=kt+bk，b是常數(shù)，且k0.由圖象求得這個(gè)函數(shù)解析式，進(jìn)而求出此題123問(wèn)即可3解：設(shè)水庫(kù)的蓄水量V萬(wàn)米與干旱時(shí)間t天之間的函數(shù)關(guān)系式是V=kt+bk，b是常數(shù)，且k=0由圖象可知，當(dāng)t=10時(shí)，V=800；當(dāng)t=30時(shí)，V=400把它們代入V=kt+b中，得ì800=10k+b,ìk=-20,í íî400=30k+b,îb=1000.V=-20t+10000t5021當(dāng)t=0時(shí)，V=-20×0+1000=1000萬(wàn)米； 當(dāng)t=10時(shí)，V=-20×10+1000=800萬(wàn)米3該水庫(kù)原蓄水量為1000萬(wàn)米，持續(xù)干旱10天后，水庫(kù)蓄水量為8003萬(wàn)米2當(dāng)V400時(shí)，有-20t+1000400，t30，當(dāng)持續(xù)干旱30天后，將發(fā)生嚴(yán)重干旱警報(bào)3當(dāng)V=0時(shí)，有-20t+1000=0，t50，按此規(guī)律，持續(xù)干旱50天時(shí)，水庫(kù)將干涸【說(shuō)明】解決此題的關(guān)鍵是求出V與t之間的函數(shù)關(guān)系式.例9 圖1130表示甲、乙兩名選手在一次自行