2020年山東省新高考數(shù)學(xué)試卷

1、2020年山東省新高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）設(shè)集合，則ABCD2（5分）A1BCD3（5分）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有A120種B90種C60種D30種4（5分）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間把地球看成一個球（球心記為，地球上一點的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點處的水平面是指過點且與垂直的平面在點處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點處的

2、緯度為北緯，則晷針與點處的水平面所成角為ABCD5（5分）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有的學(xué)生喜歡足球或游泳，的學(xué)生喜歡足球，的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是ABCD6（5分）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天7（5分）

3、已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是ABCD8（5分）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且（2），則滿足的的取值范圍是A，B，C，D，二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9（5分）已知曲線A若，則是橢圓，其焦點在軸上B若，則是圓，其半徑為C若，則是雙曲線，其漸近線方程為D若，則是兩條直線10（5分）如圖是函數(shù)的部分圖象，則ABCD11（5分）已知，且，則ABCD12（5分）信息熵是信息論中的一個重要概念設(shè)隨機變量所有可能的取值為1，2，且，2，定義的信息熵A若，則B若，則隨著的增大而

4、增大C若，2，則隨著的增大而增大D若，隨機變量所有可能的取值為1，2，且，2，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）斜率為的直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，則14（5分）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前項和為15（5分）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，是圓弧與直線的切點，是圓弧與直線的切點，四邊形為矩形，垂足為，到直線和的距離均為，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為 16（5分）已知直四棱柱的棱長均為2，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證

5、明過程或演算步驟。17（10分）在，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由問題：是否存在，它的內(nèi)角，的對邊分別為，且，_？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18（12分）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間，中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前100項和19（12分）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的和濃度（單位：，得下表：，32184，6812，3710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)

6、據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：，（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面設(shè)平面與平面的交線為（1）證明：平面；（2）已知，為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值21（12分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍22（12分）已知橢圓的離心率為，且過點（1）求的方程；（2）點，在上，且，為垂足證明：存在定點，使得為定值2020年山東省新高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每

7、小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1【解答】解：集合，故選：2【解答】解：，故選：3【解答】解：因為每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，甲場館從6人中挑一人有：種結(jié)果；乙場館從余下的5人中挑2人有：種結(jié)果；余下的3人去丙場館；故共有：種安排方法；故選：4【解答】解：可設(shè)所在的緯線圈的圓心為，垂直于緯線所在的圓面，由圖可得為晷針與點處的水平面所成角，又為且，在中，另解：畫出截面圖，如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線是點處的水平面的截線，由題意可得，是晷針所在直線是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面

8、平行的性質(zhì)定理可得，根據(jù)線面垂直的定義可得，由于，所以，由于，所以，也即晷針與處的水平面所成角為，故選：5【解答】解：設(shè)只喜歡足球的百分比為，只喜歡游泳的百分比為，兩個項目都喜歡的百分比為，由題意，可得，解得該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是故選：6【解答】解：把，代入，可得，當時，則，兩邊取對數(shù)得，解得故選：7【解答】解：畫出圖形如圖，它的幾何意義是的長度與在向量的投影的乘積，顯然，在處時，取得最大值，可得，最大值為6，在處取得最小值，最小值為，是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，所以的取值范圍是故選：8【解答】解：定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且（2），的大致圖象如圖：在上單調(diào)

9、遞減，且；故；當時，不等式成立，當時，不等式成立，當或時，即或時，不等式成立，當時，不等式等價為，此時，此時，當時，不等式等價為，即，得，綜上或，即實數(shù)的取值范圍是，故選：二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9【解答】解：若，則，則根據(jù)橢圓定義，知表示焦點在軸上的橢圓，故正確；若，則方程為，表示半徑為的圓，故錯誤；若，則方程為，表示焦點在軸的雙曲線，故此時漸近線方程為，若，則方程為，表示焦點在軸的雙曲線，故此時漸近線方程為，故正確；當，時，則方程為表示兩條直線，故正確；故選：10【解答】解

10、：由圖象知函數(shù)的周期，即，即，當時，由五點作圖法，得，所以，則，當時，由五點作圖法，得，所以，所以故選：11【解答】解：已知，且，所以，則，故正確利用分析法：要證，只需證明即可，即，由于，且，所以：，故正確，故錯誤由于，且，利用分析法：要證成立，只需對關(guān)系式進行平方，整理得，即，故，當且僅當時，等號成立故正確故選：12【解答】解：若，則，故，故正確；若，則，設(shè)，則，令，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，令，解得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故錯誤；若，則，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，隨著的增大而增大，故正確；依題意知，又，又，故錯誤故選：三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解答】解：由題意可得拋物線

11、焦點，直線的方程為，代入并化簡得，設(shè)，則；，由拋物線的定義可得故答案為：14【解答】解：將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則是以1為首項、以6為公差的等差數(shù)列，故它的前項和為，故答案為：15【解答】解：作垂直于，交、于、，垂足為，過點作垂直于，垂足為，到直線和的距離均為，又，由于是圓弧的切線，設(shè)大圓的半徑為，則，解得，圖中陰影部分面積分為扇形和直角的面積減去小半圓的面積，所以故答案為：16【解答】解：由題意直四棱柱的棱長均為2，可知：，上下底面是菱形，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)為半徑的球面上的點，過作垂直的垂直，為垂足，則由題意可知可得：即，所以在側(cè)面的軌跡是以的中點為圓心，半徑為的

12、圓弧以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為：故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17【解答】解：中，即，中，即，即，又，與已知條件相矛盾，所以問題中的三角形不存在18【解答】解：（1），解得或（舍去），（2）記為在區(qū)間，中的項的個數(shù)，故，可知0在數(shù)列中有1項，1在數(shù)列中有2項，2在數(shù)列中有4項，由，可知，數(shù)列的前100項和19【解答】解：（1）用頻率估計概率，從而得到“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，由，；故有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)，20

13、【解答】解：（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，又，平面，平面；（2）如圖，以為坐標原點，直線，所在的直線為，軸，建立空間直角坐標系，則，0，0，1，0，1，設(shè)，0，0，1，1，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，0，與平面所成角的正弦值為，當且僅當取等號，與平面所成角的正弦值的最大值為21【解答】解：（1）當時，（1），（1），曲線在點，（1）處的切線方程為，當時，當時，曲線在點，（1）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積（2）方法一：由，可得，即，即，令，則，在上單調(diào)遞增，即，令，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），故的范圍為，方法二：由可得，

14、即，設(shè)，恒成立，在單調(diào)遞增，即，再設(shè)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），即，則，此時只需要證，即證，當時，恒成立，當時，此時不成立，綜上所述的取值范圍為，方法三：由題意可得，易知在上為增函數(shù)，當時，（1），存在使得，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，當時，令，易知在上為增函數(shù)，（1），當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），即，綜上所述的取值范圍為，方法四：，易知在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在0，上為減函數(shù)，與在0，上有交點，存在，使得，則，則，即，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當，時，函數(shù)單調(diào)遞增，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（1），當，時，時，設(shè)，恒成立，在，上單調(diào)遞減，（1），當時，方法五：等價于，該不等式恒成立當時，有，其中設(shè)（a），則（a），則（a）單調(diào)遞增，且（1）所以若成立，則必有下面證明當時，成立設(shè)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即，把換成得到，當時等號成立綜上，22【解答】解：（1）離心率，又，把點代入橢圓方程得，解得，故橢圓的方程為（2）當直線的斜率存在