第五章_密度矩陣與量子統(tǒng)計(jì)

1、高等量子力學(xué) 高一波第五章 密度矩陣與量子統(tǒng)計(jì)能夠統(tǒng)一描寫(xiě)混合系綜和純粹系綜的方法是1927年Von Neumann提出的密度算符方法。大量觀測(cè)后的平均值為 可觀察量A=Tr AA()為密度算符，Tr( )為對(duì)矩陣求跡。 式中，=，且=Cnn可對(duì)一組基n展開(kāi) 通常，n*=CnCm則，和 nmnm=CnCmn,m=Tr=n=n=n=CC*mAAAmmAAnnnmmAnmnnn,mn,mn,m()+=-簡(jiǎn)單證明！ 密度算符為厄密算符，)=1（證明過(guò)程！滿足歸一化條件，Tr(?。?.1D 二態(tài)體系的密度矩陣與極化 10 取基矢為+= ,-= 0 1，由密度算符的厄密性，可知密度矩陣中含有3個(gè)獨(dú)立實(shí)參

2、數(shù)。簡(jiǎn)單說(shuō)明！ 密度算符可寫(xiě)成下面的形式1=1+P 2()其中，P為極化矢量。P=Tr()利用公式，AB=AB+i(AB)，可證：21 1=1+P=1+2P+PP441=1+2P+P2+i(PP)41=1+2P+P2， 41=2+2P+P2-141+P2-1=42()()()()()高等量子力學(xué) 高一波P=1-(純粹系綜)-下面舉例說(shuō)明： P<1-(混合系綜)110=+= （1） 完全極化的密度矩陣，()10= 0 00 10120110101 00=2 00=2 01+1 0-1=2(1+Pz)P=1 =（2） 完全非極化，11110+-= P=0 22201（3） 在z表象看x軸的完

3、全極化，1(+-=Sx+Sx+=2)1111101Px=1 (+-)= = 1+ 2112102（4） 部分極化?；旌舷稻C有75%的z和25%的x組成， W(Sz+)=0.75,W(Sx+)=0.25， 1173101 22 8= + 1114004 2281313 4=1+ 44=1+ 4113 - 044418=181414 10 03101014+ =1+ 0-1+4 103 14- 04471 4 2 1 4=則7 41 4315可得，Pz=,Px=P=Px2+Pz2=-極化度 448任一個(gè)2維矩陣可以分解為Pauli矩陣之和。§5.2 密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程在Schroding

4、er表象中，密度算符=初始時(shí)刻，(0)=(0(0)t時(shí)刻，(t)=(t(t),=H-master equation或Liouville equation t與Heisenberg方程的相似性？在自旋1/2的電子二態(tài)體系中， 運(yùn)動(dòng)方程，i 高等量子力學(xué) 高一波1 H=-B=gBB2 1=-gB2 1=1+P，則運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)椋?令2 1P ,=H,i =i i tt2t1 11=gBB,P=gBBP-PB=igBBPH,442 BP=BP+i(BP) PB=PB+i(PB)=PB-i(BP) dPgB =BPdt ()()()()()()x'' 連續(xù)本征值下的密度矩陣，x'

5、§5.3極化和散射5.3A 散射的S矩陣依賴(lài)于自旋的情形自旋1/2的入射粒子波函數(shù)（二分量形式）：C1+eikzinc=eikz ,inc=1,inc C2， C1 C=C1+C22可以推測(cè)，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程在無(wú)限遠(yuǎn)的漸進(jìn)解形式為， ikzeikrS11S12 S。 e+rSinc,S= S2221這里，散射振幅S依賴(lài)于角度(,)和動(dòng)量k。通解的形式為：C11+C22分析過(guò)程：ikzeikrS11S12C1 e+ rS21S22C2CeikrS11S12C1ikz1=e C+r S CS222221ikreS11C1+S12C2+S21C1+S22C2=eikz(C1+C2)+rikz

6、ikzeikreikr ()()=C1 e+S+S+Ce+S+S11212 1222 rr高等量子力學(xué) 高一波從上式分析可知，兩個(gè)特解為：eikr1e+(S11+S21)r ikre2eikz+(S12+S22)rikz則方程的通解為，C11+C22，通過(guò)對(duì)稱(chēng)性分析，確定常數(shù)。假設(shè)能夠產(chǎn)生與自旋有關(guān)的散射的哈密頓量為，p2H=+V(r)+W(r)L 2式中，第二項(xiàng)為中心勢(shì)，第三項(xiàng)為“自旋-軌道耦合”與J=L+ 假設(shè)散射勢(shì)存在球?qū)ΨQ(chēng)性，則H的各個(gè)分量都對(duì)易。 2則1,2為Jz的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為,-（這里，2個(gè)基決定了本征值只22有兩個(gè)，則Jz的本征態(tài)只能有2個(gè)，量子數(shù)只有2個(gè)）。 注意：J

7、z改變轉(zhuǎn)動(dòng)，不影響徑向運(yùn)動(dòng)。本征方程為,11 Jz1=1= Lz+z1= i+2z22Jz2=-2211ikzeikr i+2z e+(S11+S21)r= 1ikzeikr e+(S11+S21) 2r1S11eikr1eikr1S21eikr1eikrikz1left=+e+S11+-S21ir22rir2r1ikz1eikr1eikrright=e+S11+S2122r2r1S11=0S11S11()S22S2()i1S21=S21S21=eiS12=e-ii以上可知，S的對(duì)角項(xiàng)只是的函數(shù)，與無(wú)關(guān)。高等量子力學(xué) 高一波考慮體系H在空間反演下保持不變：對(duì)y-z平面的空間反演算符是Pxx，

8、規(guī)則，Px:x-x,x:。eikr則空間反演不變要求，在Pxx作用下，12。經(jīng)分析，ee,不rikzikz變，Px:,-，則可得S11=S22=g(),S21(-,)=-S12(,)=e-ih()g()綜合以上討論，S矩陣為S= -h()eih()e-i=g()I+ih()(ycos-xsin) g()引入單位矢量，kikfn=(-sincos0),ki=(00k),kf=(ksincoskikf推導(dǎo)過(guò)程如下，S=g()I+ih()ng()= -h()ei0h()e-i=g()I+h() -cos-ising()0-i01 ()=g()I+ih() cos-ih i0 10sin=g()I+i

9、h()(-xsin+ycos)n=(-sin,cos,0)kikf=k2i0j0sincos kikfkikfksinsinkcos)cos-isin0，=g()I+ih()ycos-ih()xsinj1coscos0)=k2sinn0)=k2sin(-sincossinsin這里，=k2(-sinsinkkn=2if=ksin上式表明，入射的非極化束流經(jīng)散射后的極化束流方向?yàn)閚方向，這是宇稱(chēng)守恒定律的結(jié)果。由上面的討論可知，給定散射振幅S，可計(jì)算給定方向(,)上散射束流的強(qiáng)度，并由漸近解給出微分散射截面，即 d+=(Sinc)Sinc=incS+Sinc-有自旋。 dd2=f()-無(wú)自旋。

10、d高等量子力學(xué) 高一波d+22=incS+Sinc=g()+h()-與極化方向n無(wú)關(guān)。 d解Schrodinger方程，則可得g(),h()的具體形式。 散射后束流的極化方向在微分散射截面中沒(méi)有顯示。5.3B 極化束流引起散射的左右不對(duì)稱(chēng)+密度矩陣，inc=incinc d+=incS+Sinc=TrincincS+S=TrincS+S d 1采用極化矢量的記法，則有inc=1+Po。 2微分散射截面，()()d11=Tr 1+PoS+S=TrS+S+PoS+S d22()(),kk()這里，P的縱向極化分量為Pkkiz-axis， 0iiioki橫向極化分量為P0-(P0ki)kiy-axi

11、s，則，P0=0(P0-(P0ki)ki) (P0ki)ki+(Pk)kP0=P0-(P0ki)kiy0iizS=(gI+ihn) S+=g*I-ih*n22 S+S=gI+ig*h(n)-igh*(n)+h(n)(n)22 =gI+h(n)(n)+ig*h-gh*(n) 22 =gI+h(nn+i(nn)+ig*h-gh*(n)22=g+hI+ig*h-gh*(n)()(Tr(SS)=2g+()2+h2)+ 2 2*PoSS=gIPo+h+igh-ghPo(n) 2 2*=gPo+h+igh-ghPon+iPon()()()()高等量子力學(xué) 高一波cosP0n=P0-(P0ki)kiP0n=

12、i0-sinjP0-(P0ki)kicosk(P0ki)kcos-sin(Pk)ksinP-(Pk)k =-(P0ki)k0i00ii(Pk)kP0=0P0-(P0ki)ki0iin=(-sincos0)()P0=0(P0-(P0ki)ki) (P0ki)kid22cos =g+h+ig*h-gh*P0-(P0ki)kid從這里可以看出，散射強(qiáng)度對(duì)角度的依賴(lài)關(guān)系， )(I(,)=a()+b()cos這是實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)的極化粒子束流被散射后呈現(xiàn)左右不對(duì)稱(chēng)的表示，2當(dāng)極化矢量P0=0,b()=0,I(,)a()=f()，就退回到無(wú)自旋粒子散射的情況。2009-11-11上課內(nèi)容§5.4 量子

13、統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)介用“熵”刻畫(huà)純粹系綜和混合系綜間的深刻區(qū)別。S=-kBTr(ln)這里，ln=ln1-(1-)=-n(1-) nn=11當(dāng)=(diag)為對(duì)角矩陣時(shí)，S=-kB所以S0是半正定的。對(duì)于純粹系統(tǒng)，S=1。 對(duì)于混合系綜，S=-kBnnnlnnn。每一個(gè)矩陣元均為0nn1的數(shù)，=kNln Nn=1N11BlnN-體系狀態(tài)的混亂程度。純粹系綜-所有成員均處于同一個(gè)量子態(tài)，熵取最小值0。完全混亂的系綜-每一個(gè)量子態(tài)等幾率被占據(jù)，熵取最大值S=kBlnN。物理上，在給定Hamiltonian下，體系的熵將單調(diào)上升，達(dá)到熱平衡。-=0 t有密度算符運(yùn)動(dòng)方程可知，,H=0-可同時(shí)對(duì)角化，取H的本征

14、態(tài)為基。 7高等量子力學(xué) 高一波Hn=Enn,nn表示在能量En的本征態(tài)中體系得占據(jù)幾率。 取熵的極值，S=0,(nnlnnn)=(lnnn+1)nn=0 =TrH=E,Tr()=兩個(gè)約束條件，H()nn=1nn=Lagrange不定乘子法，取變分，HEn=0,Tr()=nn=0。則+Tr()=0(nnlnnn)+H(lnnn+1)+En+=0nn=ex(p-En-1)由歸一化條件， (ln(lnnnnn+1)nn+nnEn+nn=0+1)+En+nn=0nnnn=1,nn=exp(-En-1)nexp(-E-1)=1exp(-1)exp(-En)=1nexp(-1)=1exp-Ennnn=e

15、xp(-En)exp-Enn利用上式和完備性關(guān)系，可得=nnmm=nnmm=nnnnmm=nnnnn,mn,mn,mn11-Enenn=ZnZ1=e-HZ=Z=e-En=Tre-Hn-Henn=n1-HennZn ()式中，=1。 kBT111=，表0，則上式變?yōu)閚n=kBT1Nn當(dāng)體系處在高溫極限下，存在T=示此時(shí)的體系處于完全混亂的狀態(tài)，不同的本征態(tài)被等幾率地占據(jù)。高等量子力學(xué) 高一波5.4B 配分函數(shù)Z=Tre-He-F式中，F(xiàn)=-kBTlnz定義為Helmholtz自由能。則相應(yīng)的密度矩陣可以寫(xiě)為，()=e(F-H)一般情況，可觀察量的系綜平均值為-H=1Tre-H=1n=1e-Enn

16、An=1e-EnA AAneAnZZnZnZn()體系的內(nèi)能，1lnZe-H=-1TrH=-Z=-ZZeBz=cSz 例子：電子在z軸磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，體系的Hamiltonian為H=-B=2mc-H11ee-H=-Tr HU=E=TrHZZ ()()1-H=e選取Sz的本征態(tài)為體系的基，則密度矩陣為，Z配分函數(shù)Z=Tre經(jīng)計(jì)算，c- 21 = eZ 00 c e2(-H)=e- c2 c+e2Sx=Sy=0,Sz=e1-c2c+e2 -e 2 c2-e2 c22 e-e c=- c c=-tanh-222e2+e22 c- c定義單電子的磁化強(qiáng)度，-單電子的磁化率，=eSz=B mce ctan

17、h 2mcB2 c2在高溫極限下，0,e1+ c，則2T c c c1+- 1-2e e e2 21222= 2mcB c c2mcB24m2c2BkBTkBT1+ 1-221,2，-居里定律。 T此時(shí)，磁化率為>0,高等量子力學(xué) 高一波5.4C 巨配分函數(shù)（體系粒子數(shù)不守恒）體系粒子數(shù)算符N的系綜平均為，N=Tr(N)=-約束。巨正則系綜：體系與周?chē)h(huán)境交換能量和粒子。取熵的極值方程，S=0Tr(ln)=0，加上約束，+TrH-N=0(nnlnnn)+H()(lnnn+1)+En+=0nn=exp(-En-1)Tr(ln+H+-N)=0(ln+H+-N)=0ln+ln+H+-N=0ln

18、+ +H+-N=0(ln+1+H+-N)=0ln+1+H+-N=0ln=-1-H-+N=exp(-(H-N)-1)=1exp(-(H-N)ZG1(ln(lnnnnn+1)nn+nnEn+nn-N=0+1)+En+nn=0式中，ZG=Tre-(H-N)-巨配分函數(shù)。定義熱力學(xué)勢(shì)，=-kBTlnZG密度矩陣為=exp(-H+N)（通常稱(chēng)為化學(xué)勢(shì)）玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)：這里考慮全同玻色子組成“理想氣體”，體系Hamiltonian為 ()H=iai+ai=iniii式中，ai,aj=ij-玻色子體系總粒子數(shù)，N=則巨配分函數(shù)為， +n。 ii高等量子力學(xué) 高一波()ZG=Tre-(H-N)=Tr exp-nii ii)= exp-(i-)ni=Tri(exp-(i-)n i=1i=1ni=0()=1-e-(i-)i=1()-1計(jì)算理想氣體的熱力學(xué)勢(shì)，=-kBTlnZG=kBTln1-e-(i-)i=1能級(jí)i上的平均粒子數(shù)，()-(i-) =kTln1-eBi=1()i=ai+ai=-n1(B)1 lnZG=0=i-iie-11ei-11eii=高溫極限，ni-kBT1e1 T對(duì)于相同的溫度，能量越高，平均粒子數(shù)越大。 i=低溫極限，n-1i=e-(i-)對(duì)于相同的溫度，能量越低，平均粒子數(shù)越大。費(fèi)米子情況：服從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)。 反對(duì)易關(guān)系，ai,