模糊緊場的拓撲度

1、模糊緊場的拓撲度語數(shù)教研室 陳文亞摘要：拓撲度理論式研究非線性問題的有力工具，利用它可以得到許多不動點定理。本文的目的是要把拓撲度理論推廣到模糊數(shù)學領域，針對一類模糊映射建立模糊拓撲度。 首先，本文提出模糊緊場和模糊緊映射的概念，討論一個模糊映射成為模糊緊映射的條件，并舉出模糊緊映射的實例。其次，給定單值函數(shù)，用水平集方法把模糊緊場轉(zhuǎn)化為集值緊場，用集值緊場的拓撲度來定義模糊拓撲度，證明模糊拓撲度與單值函數(shù)的取法無關，還討論模糊拓撲度的正規(guī)性、可加性等性質(zhì)。 最后，本文給出模糊緊映射的不動點指數(shù)定義，并討論它的性質(zhì)，利用模糊拓撲度的定義，證明了模糊不動點定理，并且舉例計算了一個模糊緊映射的拓撲

2、度。關鍵詞：模糊集，模糊緊場，拓撲度11模糊集合定義11設是線性賦范空間，是的映射，則稱為上的模糊集，上的模糊集全體記為.定義12設是線性賦范空間，由到的映射稱為模糊映射。如果是模糊映射，則是模糊集，簡記為，表示的隸屬度。定義13設是線性賦范空間，模糊映射稱為凸的，如果對任意的，模糊集是凸的，即對任意的及，有.設，集稱為的截集。模糊映射稱為閉的，如果作為上的二元函數(shù)是上半連續(xù)的。12模糊緊場和模糊緊映射的相關定義121模糊緊場和緊映射的定義定義14設是線性賦范空間，模糊映射稱為模糊緊的，如果存在單值函數(shù)，使得是集值緊的，稱為關于單值函數(shù)的對應映射，在不混淆的情況下，簡記為定義15設是線性賦范空

3、間，模糊映射稱為模糊緊場，如果存在單值函數(shù)，使得是集值緊場，稱為關于單值函數(shù)的對應映射，在不混淆的情況下，簡記為13模糊緊映射131模糊緊映射的充要條件設是線性賦范空間， 為模糊映射。下面我們來討論當滿足什么條件時，能推導出是模糊緊映射。命題11設是線性賦范空間，模糊映射是閉的，若存在下半連續(xù)的單值函數(shù)，使得是非空的，則是閉圖象，其中是關于函數(shù)的對應映射。證明 設其中是關于函數(shù)的對應映射，并且當，有于是對任意的整數(shù)，有又因為作為的二元函數(shù)是上半連續(xù)的，且是下半連續(xù)的，所以有此即表明因此是閉圖象。命題12設是線性賦范空間，模糊映射是凸的，若存在單值函數(shù)，使得是非空的，則是凸的。 證明 任取，則有

4、。因為是凸的，所以有從而有，此即表明是凸的。定義15設是線性賦范空間，用來表示在中的閉包。假如，而且是的緊子集，那么記作。如果是定義在上的函數(shù)，我們把定義為的支集。我們說在中具有緊支集，即。命題13設是線性賦范空間，作為的二元函數(shù)，具有緊支集時，若存在單值函數(shù)，使得是非空的，則是相對緊的，其中是關于函數(shù)的對應映射。證明 設是二元函數(shù)的緊支集，即是中的緊集，且，其中是在上的投影（即），是中的相對緊集。這是因為，任取，則存在，使得，即，故，從而，由的任意性，知，所以是相對緊的。 由以上討論，我們知道，當是閉的、凸的，且作為二元函數(shù)具有緊支集，若對任意給定的單值下半連續(xù)函數(shù),使得非空，故的對應映射是

5、上半連續(xù)的，從而是模糊緊映射。132模糊緊映射的例子設是定義在上的二元函數(shù)，則是連續(xù)的，當把限制在上，還是連續(xù)函數(shù)。令則在上連續(xù)，并且事實上，任取，當時，在區(qū)域上的最大值為，即此即表明連續(xù)，顯然。接下來，我們利用上述函數(shù)來構(gòu)造模糊緊映射，取，則，其中其中。具有以下性質(zhì)： 1 是上的連續(xù)函數(shù)；2 是凸的；3 具有緊支集； 4 是非空的。 事實上，性質(zhì)1，性質(zhì)3顯然，我們只需證明性質(zhì)2和性質(zhì)4。要證明模糊映射是凸的，只需證明任意的，有 （1）當時，則，（1）式顯然成立。當，有，且的值介于兩者之間，從而（1）式成立。當兩者中一個大于，一個小于時，中必有一個為零，所以（1）式成立。綜上所述，是凸的。

6、接下來，我們證明性質(zhì)4，任取，作為二元函數(shù)在處取得最大值1，所以，此即表明非空。 由上述討論知，映射是模糊緊的。14 模糊緊場的拓撲度141模糊緊場的拓撲度定義 討論完模糊緊映射的充要條件，接下來我們定義線性賦范空間中模糊緊場的拓撲度，討論模糊拓撲度的性質(zhì)。定義16設線性賦范空間，是中的非空開集，模糊緊場屬于，則存在單值函數(shù)，使得是中給出的集值緊場的拓撲度定義知，的拓撲度存在，記為。我們把模糊緊場的拓撲度，記作，定義為定理11定義16中的拓撲度的值與的對應映射的選擇無關。證明 設是兩個單值函數(shù)，使得都是中的集值緊場，則集值緊場在中是同倫的。事實上，令顯然是集值緊場，且。設不然，則存在，使得，其

7、中。因為都屬于，于是有,即。又因為是凸集，故矛盾，結(jié)論成立。所以由集值緊場的同倫不變性得，此即表明模糊緊場的拓撲度與對應映射的選擇無關，定義合理。142模糊緊場的拓撲度的性質(zhì) 性質(zhì)11（正規(guī)性）設是線性賦范空間，是中的非空開集，如果是模糊恒等映射，則。 證明 任取單值函數(shù)，則是普通得恒等映射,由集值緊場的拓撲度定義，得，又由模糊緊場拓撲度的定義，得，聯(lián)立等式即得。性質(zhì)12（同倫不變性）設是線性賦范空間，是中的非空開集，模糊緊場在中同倫，則 。 證明 因為同倫，故存在中得模糊緊場，使得，其中。從而存在單值函數(shù)使得 是集值緊場，且，記，則都是中的集值緊場，且使得在中同倫。 由集值緊場的同倫不變性得

8、又由模糊緊場拓撲度定義知把所有等式聯(lián)立即得性質(zhì)13（區(qū)域可加性）設是線性賦范空間，是中的非空開集，是中互不相交得開集族， 是中的模糊緊場，則 ，其中等式右邊僅有有限項不為零。 證明 因為是模糊緊場，故存在單值函數(shù)，使得的對應映射是集值緊場，關于的限制的對應映射為，且屬于，由集值緊場得區(qū)域可加性，得，其中等式右邊僅有有限項不為零。又由模糊緊場得拓撲度定義知把所有等式聯(lián)立即得。推論11（切除性）設是線性賦范空間，是中的非空開集，開集是中的模糊緊場，則性質(zhì)14（平移不變性）設是線性賦范空間，是中的非空開集，是中的模糊緊場，如果把看作是模糊點，可以定義模糊映射，其中，則是中的模糊緊場，且，其中是中的零

9、元。 證明 由模糊集的加法運算，得 （2）任意給定單值函數(shù)，設分別是模糊映射關于函數(shù)的對應映射。 當是空集時，即對任意的，都有，由（2）式，得，此即表明是空集。同理可證，當是空集時，也是空集。當是非空時，任取，有此即表明，非空，且，由的任意性，得。同理可證，當是非空時，非空，且。綜上所述，或者同為空集，或者同時非空；并且當非空時，有 因此映射是中得模糊緊場。由集值緊場得平移不變性得又由模糊緊場的拓撲度定義有，。把所有等式聯(lián)立即得。性質(zhì)15（可解性）設是線性賦范空間，是中的非空開集，是中的模糊緊場，若，則存在單值函數(shù)及，使得。證明 因是模糊緊場，則存在，使得是的對應映射，且屬于，由模糊緊場的拓撲

10、度定義得由集值緊場得可解性，知存在使得所以。第二章 模糊映射得不動點指數(shù)21 模糊不動點指數(shù)的定義定義21設是線性賦范空間，若存在連續(xù)算子，使得當時，恒有，則稱是的一個收縮核，算子稱為是一個保核收縮。引理21 實空間中任何非空凸閉集都是的收縮核，并且，存在保核收縮，使，其中表示點到集的距離。定義22設是實空間，是中的閉凸集，是中的開集，表示中的模糊集，是模糊緊映射，且屬于，是一個保核收縮。定義在上關于的不動點指數(shù)為， （3）其中為模糊恒等映射，表示模糊映射與保核收縮的復合映射，（3）式右端為模糊拓撲度。定理21 定義22中的模糊映射不動點指數(shù)定義合理。證明 要證明模糊映射不動點指數(shù)定義合理性，

11、也就是要證明（3）式右端有意義，且其值與保核收縮的選取無關。因為是模糊緊映射，故存在單值函數(shù)，使得關于函數(shù)的對應映射是集值緊的。對于單值函數(shù)，記的對應映射為，則有 即有，易知是集值緊的，故也是集值緊的，從而是模糊緊的。接下來證明屬于。事實上，任意給定單值函數(shù)，使得關于函數(shù)的對應映射為集值緊的，由于，所以關于函數(shù)在上的限制的對應映射為集值緊的，并且在上，事實上，有，又，故，從而，由的任意性，得。同理可證，從而結(jié)論得證。接下來，我們項證明一個有用得命題。命題21的不動點均屬于，且為的不動點，其中，分別是，關于函數(shù)和它的限制的對應映射。證明 設并且。因為所以從而，且。由于屬于，由假設，知在上沒有不動

12、點，故，命題得證。接下來我們繼續(xù)證明上述定理。由連續(xù)，知是中的開集。易知在上沒有不動點。事實上，設存在，使得，由上述命題2.1，知。由于，故是開集的內(nèi)點，與矛盾。因此屬于，由的任意性，得屬于，綜上所述，知（3）式右端的模糊拓撲度有意義。 我們接著證明（3）式右端的值不隨保核收縮的選取而改變。設是另一個保核收縮，要證 （4）令，則，且，由命題2.1，知屬于，屬于，由模糊拓撲度的切除性，得令其中是對應于函數(shù)的緊映射。 則是模糊緊的，且屬于。事實上，令于是，則 （5）事實上，當或時，（5）式顯然成立；當時，任取于是有，由定義，知存在，使得此即表明。由的任意性，得任取，于是存在，使得從而即由的任意性，

13、得。下證且屬于。任取單值函數(shù)，使得關于函數(shù)的對應映射是集值緊的。設存在，使得，于是。由于，都屬于，故，從而存在，使得即故，從而，由假定，知在上沒有不動點，故，這與矛盾，結(jié)論得證。 綜上所述，可得是中的模糊同倫映射。由模糊同倫不變性，得從而按（3）式定義得不動點指數(shù)是由唯一確定，不隨保核收縮的選取改變。22 模糊映射不動點指數(shù)的性質(zhì)現(xiàn)在，我們討論模糊緊映射的不動點指數(shù)的性質(zhì)。性質(zhì)21（正規(guī)性）設是實空間，是中的閉凸集，是中的開集是模糊緊映射，且，其中是以為承點，1為高度的模糊點，則證明 因為對任意給定的，都有，所以。任取單值函數(shù)，則關于的對應映射是集值緊的，且屬于，從而也屬于，由模糊拓撲度的正規(guī)

14、性，得性質(zhì)22（區(qū)域可加性）設是實空間，是中的閉凸集，是中的開集，是中互不相交的兩開子集，是模糊緊映射，且屬于，則證明 任取單值函數(shù)，使得關于的對應映射是集值緊的。設，且，由命題2.1，知，且（其中是關于的限制的對應集值緊映射）。因為屬于，故，從而由此可知由的任意性，知屬于，由模糊拓撲度的區(qū)域可加性，得即性質(zhì)23（同倫不變性）設是實空間，是中的閉凸集，是中的開集，是模糊緊映射，且屬于，則證明 考察模糊映射，因為是模糊緊的，故存在單值函數(shù)，使得關于的對應映射是集值緊的。對于，記的對應映射為，則有從而是模糊緊的。下證屬于，任意給定單值函數(shù)，則關于的對應映射是集值緊的。對于的限制，記的對應映射為，則

15、有其中表示在上的限制，從而是集值緊的。設存在，使得由于，故且從而，由假定，知矛盾，結(jié)論成立。從而是模糊緊的，且屬于，由模糊拓撲度的同倫不變性，得性質(zhì)24（可解性）設是實空間，是中的閉凸集，是中的開集，是模糊緊映射，且，則存在單值函數(shù)及，使得證明 由于，由模糊拓撲度得可解性，存在單值函數(shù)及使得是集值緊，且由于即，由命題2.1，知，且，即取，即得結(jié)論。性質(zhì)25（保持性）設是實空間，是中的閉凸集，是中的開集，是中的非空閉凸集，是模糊緊映射，則其中證明 設是保核收縮，則是保核收縮。令，則是開集。由命題2.1，知屬于，由模糊拓撲度的切除性，可得同理可知屬于，故下證，在中模糊同倫。令其中是關于的緊映射。易

16、知是模糊緊的。 現(xiàn)在證明屬于，設是任一使得的對應映射是集值緊的單值函數(shù)。若存在，使得，即由假定，知且，故從而所以。由假定，知矛盾，結(jié)論成立。由模糊拓撲度的同倫不變性，得從而第三章 應 用第一章、第二章分別討論了模糊緊場的拓撲度和模糊緊映射的不動點指數(shù)?，F(xiàn)在，我們運用模糊拓撲度定義，證明一個模糊不動點定理，并且計算第二章給出的模糊緊映射的模糊拓撲度。定義31 設是實空間，是模糊映射，若對任意的，總有，則稱是的不動點。設是完備的線性賦范空間，表示中的非空閉凸集，表示中這樣的模糊子集族，對每一，由下式定義的集合，其中定理31設是模糊映射，存在，使得對任意的，有，且是相對緊的，其中，是度量，即對任意的非空有界閉集，定義其中是由的范數(shù)導出的距離，則在中有不動點。證明 令，則?，F(xiàn)證明是集值緊的，因是相對緊的，故只需證明是上半連續(xù)。，設是包含的開鄰域，因令有即，此即表明在點上半連續(xù)，由的任意性，得是上半連續(xù)的。令其中則與模糊同倫，從而有由模糊拓撲度的可解性，得對于，存在，使得故，此即表明是的不動點。注 當時，結(jié)論成立。現(xiàn)在我們計算例1中模糊緊映射的拓撲度。由上述討論，知是模糊緊映射，接下來證明屬于。任取單值函數(shù)，使得的對應映射是集值緊的，因為，所以，從而屬于。由模糊拓撲度的定義，知的模糊拓撲度存在。由于的拓撲度與單值函數(shù)的選擇無關，我們?nèi)?，則模糊映射關于的對應映射，由定義，知