西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第五章一維隨機(jī)變量2

1、二、隨機(jī)變量的概念二、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的引入一、隨機(jī)變量的引入第五章第五章 一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)四、分布函數(shù)的性質(zhì)四、分布函數(shù)的性質(zhì) 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究數(shù)學(xué)分析的方法來研究， 因此為了便于數(shù)學(xué)上的因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化當(dāng)當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時， 就建立

2、起了隨機(jī)變量的概念就建立起了隨機(jī)變量的概念1. 為什么引入隨機(jī)變量為什么引入隨機(jī)變量?一、隨機(jī)變量的引入一、隨機(jī)變量的引入2. 隨機(jī)變量的引入隨機(jī)變量的引入實(shí)例實(shí)例1 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色觀察摸出球的顏色.S=紅色、白色紅色、白色 非數(shù)量非數(shù)量將將 S 數(shù)量化數(shù)量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S紅色紅色 白色白色)(eR10即有即有 (紅色紅色)=1 , ., 0, 1)(白色紅色eee (白色白色)=0.這樣便將非數(shù)量的這樣便將非數(shù)量的 S=紅色，白色紅色，白色 數(shù)量化了數(shù)量化了.實(shí)例實(shí)例2 考察考察“燈泡的壽命燈泡的壽

3、命”.)., 0 則則 的取值范圍為的取值范圍為.)(),(,)(,. , 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量稱稱上的單值實(shí)值函數(shù)上的單值實(shí)值函數(shù)這樣就得到一個定義在這樣就得到一個定義在與之對應(yīng)與之對應(yīng)有一個實(shí)數(shù)有一個實(shí)數(shù)果對于每一個果對于每一個如如它的樣本空間是它的樣本空間是是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè)eeSeSeeSE二、隨機(jī)變量的概念二、隨機(jī)變量的概念1.定義定義 而表示隨機(jī)變量所取的值而表示隨機(jī)變量所取的值時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.隨機(jī)變量通常用大寫字母隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)

4、果不同而取不同的值, 由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量是一個函數(shù)隨機(jī)變量是一個函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別著本質(zhì)的差別 ,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)素不一定是實(shí)數(shù)).2.說明說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)事件

5、包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi)念之內(nèi).或者說或者說 : 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象機(jī)現(xiàn)象.(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系實(shí)例實(shí)例3 擲一個硬幣擲一個硬幣, 觀察出現(xiàn)的面觀察出現(xiàn)的面 , 共有兩個共有兩個結(jié)果結(jié)果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù), 則有則有)(e)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e1

6、00)(1e1)(2e即即 (e) 是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量.實(shí)例實(shí)例4 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了現(xiàn)該射手射了30次次, 則則,)(射射中中目目標(biāo)標(biāo)的的次次數(shù)數(shù)e是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量.且且 (e) 的所有可能取值為的所有可能取值為:.30, , 3, 2, 1, 0實(shí)例實(shí)例5 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊 , 直到擊中目標(biāo)為止直到擊中目標(biāo)為止,則則,)(所所需需射射擊擊次次數(shù)數(shù)e是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量.且且 (e) 的所有可能取值

7、為的所有可能取值為:., 3, 2, 1實(shí)例實(shí)例6 某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通分鐘有一輛汽車通過過, 如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的, 則則,)(此此人人的的等等車車時時間間e是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量.且且 (e) 的所有可的所有可能取值為能取值為:.5 , 0實(shí)例實(shí)例7 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 為為“測量某零件尺寸時的測量測量某零件尺寸時的測量誤差誤差”.則則 的取值范圍為的取值范圍為 (a, b) .實(shí)例實(shí)例8 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 為為“射擊時偏離靶心的距離射擊時偏離靶心的距離”.則則的取值范圍為的取值范圍為 0, +) .3.隨機(jī)

8、變量的分類隨機(jī)變量的分類離散型離散型(1)離散型離散型 隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或無限可列個無限可列個, 叫做離散型隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量隨機(jī)變量連續(xù)型連續(xù)型非離散型非離散型其它其它(2)連續(xù)型連續(xù)型 隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.概念的概念的引入引入21xxP 12xPxP )(2xF)(1xF21xxP 分布分布函數(shù)函數(shù) ).()(12xFxF ?例如例如.),內(nèi)內(nèi)的的概概率率落落在在區(qū)區(qū)間間求求隨

9、隨機(jī)機(jī)變變量量21xx 2.分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義說明說明(1) 分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況的概率情況.)(,的分布函數(shù)的分布函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù)是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù)是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量設(shè)設(shè)定義定義 xPxFx .)()2(的一個普通實(shí)函數(shù)的一個普通實(shí)函數(shù)是是分布函數(shù)分布函數(shù)xxF例例9 9 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例1010 在一個均勻陀螺的圓周上均勻地刻上區(qū)間在一個均勻陀螺的圓周上均勻地刻上區(qū)間0,1)上的諸值。旋

10、轉(zhuǎn)該陀螺記停下時圓周上觸及上的諸值。旋轉(zhuǎn)該陀螺記停下時圓周上觸及桌面的點(diǎn)刻度為桌面的點(diǎn)刻度為，求其分布函數(shù)。，求其分布函數(shù)。);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 四、分布函數(shù)的性質(zhì)四、分布函數(shù)的性質(zhì), 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函數(shù)處處即任一分布函數(shù)處處左連續(xù)左連續(xù).重要公式重要公式),()()(aFbFbaP 1).()(aFaP 12 說明說明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp.,),(的分布律的分布律稱此為離散型隨機(jī)變量稱此為離

11、散型隨機(jī)變量為為的概率的概率即事件即事件取各個可能值的概率取各個可能值的概率所有可能取的值為所有可能取的值為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 2121 kpxPxkxkkkk五、離散型隨機(jī)變量的分布律五、離散型隨機(jī)變量的分布律定義定義離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為 nnpppxxx2121 kpnxxx21nppp21.),(,.的的分分布布律律求求相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的設(shè)設(shè)各各組組信信號號燈燈的的工工作作是是號號燈燈的的組組數(shù)數(shù)它它已已通通過過的的信信表表示示汽汽車車首首次次停停下下時時以以車車通通過過的的概概率率允允許許或或禁禁止止汽汽每每組組信信號號燈燈以

12、以組組信信號號燈燈的的道道路路上上需需經(jīng)經(jīng)過過四四設(shè)設(shè)一一汽汽車車在在開開往往目目的的地地 21,例例11 kp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0六、小結(jié)六、小結(jié)2. 隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類: 離散型離散型、連續(xù)型連續(xù)型.1. 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的律性的，因此為了方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象因此為了方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象， 就就需將隨機(jī)事件數(shù)量化需將隨機(jī)事件數(shù)量化，把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字表示時事件用數(shù)字表示時， 就建立起了隨機(jī)變量的概就建立起了隨機(jī)變量的概念念 因

13、此因此隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一種特隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)殊的函數(shù) 一、問題的思考一、問題的思考例例1 1（一個著名的古典概率問題（一個著名的古典概率問題賭金分配問題）賭金分配問題） 假如在一個比賽中贏假如在一個比賽中贏6 6次才算贏，賭徒甲已經(jīng)贏次才算贏，賭徒甲已經(jīng)贏5 5次，而賭徒乙贏次，而賭徒乙贏2 2次，這時中斷賭博，問總的賭金應(yīng)次，這時中斷賭博，問總的賭金應(yīng)該如何分配？該如何分配？1.1.試驗(yàn)背景試驗(yàn)背景貝努里試驗(yàn)：貝努里試驗(yàn)：只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。 n重貝努里試驗(yàn)：重貝努里試驗(yàn)：重復(fù)獨(dú)立進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立進(jìn)行n次貝努里試驗(yàn)次貝努里

14、試驗(yàn)（n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)）次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)）。 需要考察的問題：需要考察的問題： 在在n重貝努里試驗(yàn)中某事件重貝努里試驗(yàn)中某事件 恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的次的概率應(yīng)如何計(jì)算？概率應(yīng)如何計(jì)算？一、問題的思考一、問題的思考2.2.分布特性分布特性貝努里試驗(yàn)貝努里試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E E的兩個可能結(jié)果為：和的兩個可能結(jié)果為：和，用隨機(jī)變量表示貝努里試驗(yàn)的結(jié)果，不，用隨機(jī)變量表示貝努里試驗(yàn)的結(jié)果，不妨設(shè)為妨設(shè)為0 0或或1 1，即，即則的分布律為則的分布律為一、問題的思考一、問題的思考AAX 不不發(fā)發(fā)生生事事件件發(fā)發(fā)生生事事件件AAeX, 0, 1)(X稱服從稱服從兩點(diǎn)分布或兩點(diǎn)分布或0-10-1分布分布。

15、2.2.分布特性分布特性n重貝努里試驗(yàn)：重貝努里試驗(yàn)：隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量表示n次重復(fù)獨(dú)立次重復(fù)獨(dú)立貝努里試驗(yàn)中事件貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。設(shè)每次試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)。設(shè)每次試驗(yàn)中事件中事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p（q=1-p）一、問題的思考一、問題的思考X則稱服從二項(xiàng)分布則稱服從二項(xiàng)分布, ,記為記為kXp nkqpCknkkn, 1 , 0, ),(pnBXX1)(0nkkXP（2 2）不難驗(yàn)證：不難驗(yàn)證：0)( kXP（1 1）2.2.分布特性分布特性二項(xiàng)分布的曲線特點(diǎn)：二項(xiàng)分布的曲線特點(diǎn)：一、問題的思考一、問題的思考n=30n=30，p=0.2 p=0.2 n=10n=10，p=0

16、.3p=0.3n=200n=200，p=0.05p=0.05當(dāng)當(dāng)k k增加時，概率增加時，概率kXp 先增加至最大值，隨后單調(diào)減少先增加至最大值，隨后單調(diào)減少 當(dāng)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時，二項(xiàng)概率不為整數(shù)時，二項(xiàng)概率P(X=k)在在k=(n+1)p達(dá)到最大值；達(dá)到最大值；( x 表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)). . .n=10,p=0.7nPk02.2.分布特性分布特性一、問題的思考一、問題的思考當(dāng)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時，二項(xiàng)概率為整數(shù)時，二項(xiàng)概率P(X=k)在在k=(n +1)p和和k =(n+1)p-1處達(dá)到最大值處達(dá)到最大值.n=13,p=0.5Pkn.03.3.二項(xiàng)分

17、布與兩點(diǎn)分布的關(guān)系二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的關(guān)系（1 1）兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，即）兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，即n=1n=1時的情形。時的情形。 一、問題的思考一、問題的思考（2 2）進(jìn)一步的關(guān)系）進(jìn)一步的關(guān)系 , ), 1(), 1(1pBYpBYn nYYX 1),(pnBX若若，且相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立， ，則，則 結(jié)論：結(jié)論：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可以表示成獨(dú)立的服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可以表示成獨(dú)立的兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量之和。兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量之和。二項(xiàng)分布描述的是二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功成功”次數(shù)次數(shù)X的概率分布。的概率分布。二、二項(xiàng)分布的計(jì)算二、二項(xiàng)分

18、布的計(jì)算（續(xù)）對例（續(xù)）對例1 1的解答：的解答： 設(shè)賭徒甲和賭徒乙，他們贏一局的概率分別為設(shè)賭徒甲和賭徒乙，他們贏一局的概率分別為p p和和q=1-pq=1-p；X X表示賭徒甲在表示賭徒甲在4 4次試驗(yàn)中贏的次數(shù)，次試驗(yàn)中贏的次數(shù)，Y Y表示賭表示賭徒乙在徒乙在4 4次試驗(yàn)中贏的次數(shù)，則次試驗(yàn)中贏的次數(shù)，則1615212110114004 CXpXp161212140444 CYp故賭金應(yīng)按故賭金應(yīng)按1515：1 1進(jìn)行分配。進(jìn)行分配。二、二項(xiàng)分布的計(jì)算二、二項(xiàng)分布的計(jì)算進(jìn)一步的思考：（更一般的情形）進(jìn)一步的思考：（更一般的情形） 假設(shè)在某個時刻中斷賭博，這時要贏全局，甲還需假設(shè)在某個時刻

19、中斷賭博，這時要贏全局，甲還需要再贏要再贏r次，乙還需要再贏次，乙還需要再贏s次，那么應(yīng)該如何分配賭金？次，那么應(yīng)該如何分配賭金？二、二項(xiàng)分布的計(jì)算二、二項(xiàng)分布的計(jì)算例例2 2 某人進(jìn)行射擊某人進(jìn)行射擊, ,每次射擊的命中率為每次射擊的命中率為0.02,0.02,獨(dú)立獨(dú)立射擊射擊400400次次, ,試求試求: :至少擊中兩次的概率。至少擊中兩次的概率。解：設(shè)擊中的次數(shù)為解：設(shè)擊中的次數(shù)為X，則，則，X的分布律為的分布律為(400,0.02)XB400400(0.02) (0.98),0,1,2,400kkP Xkkk于是所求概率為于是所求概率為40039921011(0.98)400(0.0

20、2)(0.98)0.9972P XP XP X 1.1.泊松（泊松（PoissonPoisson）定理）定理 三、二項(xiàng)分布的泊松逼近三、二項(xiàng)分布的泊松逼近 設(shè)設(shè)=np0是常數(shù)，是常數(shù)，n是任意正整數(shù)。則對于任是任意正整數(shù)。則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)一固定的非負(fù)整數(shù)k，有，有!)1(limkeppCkknkknn 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)1 1：泊松（：泊松（PoissonPoisson）逼近（）逼近（1 1） 三、二項(xiàng)分布的泊松逼近三、二項(xiàng)分布的泊松逼近實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康? :固定固定 的值，觀察隨的值，觀察隨n n增大的泊松逼近。增大的泊松逼近。 =5=5，n=10n=10，p=0.5 p=0.5 =5=5，

21、n=100n=100，p=0.05p=0.05 =5=5， n=1000n=1000，p=0.005p=0.005實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2 2：泊松（：泊松（PoissonPoisson）逼近（）逼近（2 2） 三、二項(xiàng)分布的泊松逼近三、二項(xiàng)分布的泊松逼近實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康? :固定較大的固定較大的p p，觀察泊松逼近是否成立。，觀察泊松逼近是否成立。 n=1000n=1000，p=0.5p=0.5n=2000n=2000，p=0.5p=0.51.1.泊松（泊松（PoissonPoisson）定理）定理 三、二項(xiàng)分布的泊松逼近三、二項(xiàng)分布的泊松逼近觀察結(jié)論觀察結(jié)論: :!kek 當(dāng)當(dāng)p很小時，隨著很小時，隨著

22、n增大，二項(xiàng)概率計(jì)算值與增大，二項(xiàng)概率計(jì)算值與越來越接近；越來越接近； 當(dāng)當(dāng)p較大時，隨著較大時，隨著n增大，兩者的結(jié)果差異仍較大。增大，兩者的結(jié)果差異仍較大。 適用范圍：適用范圍： 當(dāng)當(dāng)n n很大，很大，p p很小，一般很小，一般np=np= 100 是常數(shù)是常數(shù),則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布,記作記作XP( ).四、泊松分布四、泊松分布1. 1. 泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)泊松分布的定義及圖形特點(diǎn) 歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于18371837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 . . 近數(shù)十年來，近

23、數(shù)十年來，泊松分布泊松分布日益顯示日益顯示其其重要性重要性, ,成為概率論中最重要的幾個分成為概率論中最重要的幾個分布之一布之一. . 在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布從泊松分布. .四、泊松分布四、泊松分布2. 2. 泊松分布背景泊松分布背景二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時, ,他他們做了們做了2608次觀察次觀察( (每次時間為每次時間為7.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi)性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi), , 其

24、放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 四、泊松分布四、泊松分布2. 2. 泊松分布背景泊松分布背景都可以看作泊松流都可以看作泊松流. .某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù)；某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù)；到某機(jī)場降落的飛機(jī)數(shù)到某機(jī)場降落的飛機(jī)數(shù); ;一個售貨員接待的顧客數(shù)一個售貨員接待的顧客數(shù); ;一臺紡紗機(jī)的斷頭數(shù)一臺紡紗機(jī)的斷頭數(shù); ; 一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子數(shù)；粒子數(shù)；例如例如四、泊松分布四、泊松分布四、泊松分布四、泊松分布公共汽車客流統(tǒng)計(jì)公共汽車客流統(tǒng)計(jì)來到批數(shù)來到批數(shù)i01234總共總共頻數(shù)頻數(shù)ni100813496230頻率頻率fi=ni/n0.

25、430.350.150.040.03Pi= ie- /i!0.420.360.160.050.01 =0.87 例例4在隨機(jī)時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列在隨機(jī)時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列, ,叫做叫做隨機(jī)事件流隨機(jī)事件流. . 若事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱若事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松事件流該事件流為泊松事件流（泊松流）（泊松流）. .四、泊松分布四、泊松分布3. 3. 泊松分布產(chǎn)生的一般條件泊松分布產(chǎn)生的一般條件 對泊松流，在任意時間間隔對泊松流，在任意時間間隔(0,t)內(nèi)內(nèi),事件事件(如交通事故如交通事故)出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為

26、 的泊松的泊松分布分布, 稱為泊松流的強(qiáng)度。稱為泊松流的強(qiáng)度。t 平穩(wěn)性平穩(wěn)性: : 在任意時間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生在任意時間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生k k次次( (k k0)0)的的概率只依賴于區(qū)間長度而與區(qū)間端點(diǎn)無關(guān)概率只依賴于區(qū)間長度而與區(qū)間端點(diǎn)無關(guān). .無后效性無后效性: :普通性普通性: : 在不相重疊的時間段內(nèi)，事件的發(fā)生是相在不相重疊的時間段內(nèi)，事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的互獨(dú)立的. . 如果時間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次如果時間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計(jì)以上的概率可忽略不計(jì). .四、泊松分布四、泊松分布3. 3. 泊松分布產(chǎn)生的一般條件泊松分布產(chǎn)生的一般條件 由泊松定

27、理，由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中重貝努里試驗(yàn)中稀有事件稀有事件出現(xiàn)的出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布次數(shù)近似地服從泊松分布. 我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作作稀有事件稀有事件. .如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等四、泊松分布四、泊松分布4. 4. 泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系例例5 5 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5=5的泊松分布來描述，為了以的泊松分

28、布來描述，為了以95%95%以上的把握保證不以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解解: :設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知已知X服從參數(shù)服從參數(shù)=5的泊松分布的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件件,求滿足求滿足P(Xm)0.95 的最小的的最小的m .進(jìn)貨數(shù)進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)銷售數(shù)四、泊松分布四、泊松分布求滿足求滿足P(Xm)0.95的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得 51050.032,!kkekP(Xm) 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=

29、10,1505. 0!5mkkke或或m=9件件四、泊松分布四、泊松分布五、小結(jié)五、小結(jié)1 1、二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布的背景與關(guān)系、二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布的背景與關(guān)系2 2、二項(xiàng)分布的計(jì)算、二項(xiàng)分布的計(jì)算3 3、泊松分布、泊松分布 設(shè)設(shè)1000 輛車通過輛車通過,出事故的次數(shù)為出事故的次數(shù)為 , 則則可利用泊松定理計(jì)算可利用泊松定理計(jì)算, 1 . 00001. 01000 所求概率為所求概率為99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 解解2 P1012 PPP),.,(000101000B 練習(xí)練習(xí)1 有一繁忙的汽車

30、站有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通輛汽車通過過,問出事故的次數(shù)不小于問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少的概率是多少?性質(zhì)性質(zhì). 0)(,)1( xpx對對任任意意的的.d)()(12 xxp.,)(,d)()(),(,)(簡稱密度密度函數(shù)的分布稱為其中為連續(xù)型隨機(jī)變量則稱有使對于任意實(shí)數(shù)非負(fù)函數(shù)若存在的分布函數(shù)為，為隨機(jī)變量設(shè)XxpXttpxFxxpXxFXx一、分布密度的概念與性質(zhì)一、分布密度的概念與性質(zhì)1.定

31、義定義第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度11SxxpSxxd)( 2111x 2x xxp0)( 211221()()( )xxP xXxF xF xp x dx) 3().()(,)()(xpxFxxp 則有則有處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若若4 ( )P XaF a,d)(xxpa 1P XaP Xaxxpxxpad)(d)( )(1aF xxpxxpad)(d)( .d)(xxpa 同時得以下計(jì)算公式同時得以下計(jì)算公式注意注意 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP證明證明aXP . 0

32、 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)bXaP bXaP bXaP .bXaP .)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)解解,d)()( 11xxp由由例例1的概率密度為的概率密度為知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3

33、030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布).,(,),(,)(baUXbaXbxaabxpX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 011. 均勻分布均勻分布boaxp )(概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF

34、a b 1例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現(xiàn)現(xiàn)對對 X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測進(jìn)行三次獨(dú)立觀測 ,試求至少有兩次觀測值試求至少有兩次觀測值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 .,)(其它其它05231xxp設(shè)設(shè) A 表示表示“對對 X 的觀測值大于的觀測值大于 3 的次數(shù)的次數(shù)”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有設(shè)設(shè)Y 表示表示3次獨(dú)立觀測中觀測值大于次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù)的次數(shù),則則., 323BY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,.

35、,)(分布分布的指數(shù)的指數(shù)服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義XxxexpXx0000 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如例如無線電元件的壽命無線電元件的壽命 , 電力設(shè)備的壽命電力設(shè)備的壽命, 動物的壽動物的壽命等都服從指數(shù)分布命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景分布函數(shù)分布函數(shù) . 0, 0, 0,1)(xxexFx 例例3 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時小

36、時)(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時以小時以上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以小時以上上,求還能使用求還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. .,)(000120001xxexFxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指數(shù)分布的重

37、要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性無記憶性”.).,(,)(,)()(2202122NXXxexpXx記記為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高斯斯分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱為為常常數(shù)數(shù)其其中中的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定義義 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對稱對稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x ;)(,)(xpx212取得最大值取得最大值時時當(dāng)當(dāng) ;)(,)(03xpx時時當(dāng)當(dāng);)4(處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線在曲線在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形

38、的形狀不變的大小時的大小時改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxp;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x.,)(,)7(圖形越矮越胖圖形越矮越胖越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形狀在改變而形狀在改變不變不變圖形的對稱軸圖形的對稱軸的大小時的大小時改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xp正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)texFxtd21)(222)( 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正

39、態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 正態(tài)分布下的概率計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計(jì)算軟件包計(jì)算方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算).1, 0(,1, 0),(2NN記為記為態(tài)分布態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正這樣這樣時時中的中的當(dāng)正態(tài)分布當(dāng)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,21)(22 xexx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

40、的分布函數(shù)表示為.,d21)(22 xtexxt 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例4 . 0828. 0 ).1 , 0(),(2NXZNX 則則若若引理引理證明證明的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為XZ P Zx XPxP Xx,d21222)( xtte得得令令,ut P Zx xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故解解xedcxd21222)( ,ux 令令ueudcd2122 dXcP ueudcd2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知例例5 d ueudd2122 ueucd2122 )()(cFdFdXcP 因因而而. cd . c . c