計(jì)數(shù)原理與概率高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、計(jì)數(shù)原理與概率高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)一、考試說(shuō)明：1考試內(nèi)容（1）分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，排列與組合（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率2考試要求（1）掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題（2）理解排列與組合的意義，掌握排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式，掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題（3）了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合公式計(jì)算一些等可能性事件的概率（4）了解互斥事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率（5）了解相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率，會(huì)

2、計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率二、高考試題分析排列與組合、概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容一方面，這部分內(nèi)容占用教學(xué)時(shí)數(shù)多達(dá)36課時(shí)，另一方面，這部分內(nèi)容是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，因此，它是高考數(shù)學(xué)命題的重要內(nèi)容從近三年全國(guó)高考數(shù)學(xué)（新材）試題來(lái)看，主要是考查排列與組合、概率與統(tǒng)計(jì)的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析問題和解決問題的能力試題特點(diǎn)是基礎(chǔ)和全面題目類型有選擇題、填空題、解答題，一般是兩?。?分10分）一大（12分），解答題通常是概率問題試題難度多為低中檔為了支持高中數(shù)學(xué)課程的改革，高考數(shù)學(xué)命題對(duì)這部分將進(jìn)一步重視，但題目數(shù)量、難度、題型將會(huì)保持穩(wěn)定例1（1

3、999年全國(guó)）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物間的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_種（用數(shù)字作答）解析 A種植在左邊第一壟時(shí)，B有3種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟時(shí)，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟時(shí)，B只有一種種植方法B在左邊種植的情形與上述情形相同故共有2(321)=12種不同的選壟方法 應(yīng)填12.例2（2003年新教材）將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每一塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共有_種（以數(shù)字作答）解析 將5塊試驗(yàn)田從左到右依次看作甲、乙、丙

4、、丁、戊，3種作物依次看作A、B、C，則3種作物都可以種植在甲試驗(yàn)田里，由于相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，從而可知在乙試驗(yàn)田里只能有兩種作物同理，在丙、丁、戊試驗(yàn)田里也只能有兩種作物可以種植由分步計(jì)數(shù)原理，不同的種植方法共有3×2×2×2=48種應(yīng)填：48例3（2003年全國(guó)高考題）某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種1種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽法有_種解析 由于第1、2、3塊兩兩相鄰，我們先安排這三塊，給第1、2、3塊種花時(shí)分別有4、3、2種種法，所以共有4×3×2=24

5、種不同種法下面給第4塊種花，若第4塊與第6塊同色，只有一種種植方法，則第5塊只有2種種法，若第4塊與第2塊同色時(shí)，共有2×1=2種種法若第4塊與第6塊不同色，但第4塊與第2塊同色，則第6塊有2種種植的方案，而第5塊只有1種種法，共有2種不同的種植方法若第4塊與第6塊不同色，但第4塊與第2塊不同色，則第6塊有1種種法，則第5塊也有一種不同種法，所以第4塊與第6塊不同色時(shí)，有1種種法綜上共有24×(221)=120種不同的種植方法例4（2003年春季考試題）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為

6、A、42B、30C、20D、12解析 將兩個(gè)新節(jié)目插入5個(gè)固定順序節(jié)目單有兩種情況：（1）兩個(gè)新節(jié)目相鄰的插法種數(shù)為；（2）兩個(gè)節(jié)目不相鄰的插法種數(shù)為；由分類計(jì)數(shù)原理共有種方法，選A.例5（2004重慶）（本小題滿分12分）設(shè)甲、已、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和0.5。（1）三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)的概率；（2）若甲單獨(dú)向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率.解：（I）設(shè)AK表示“第k人命中目標(biāo)”，k=1，2，3. 這里，A1，A2，A3獨(dú)立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5. 從而，至少有一人命中目標(biāo)

7、的概率為 恰有兩人命中目標(biāo)的概率為 答：至少有一人命中目標(biāo)的概率為0.94，恰有兩人命中目標(biāo)的概率為0.44（II）設(shè)甲每次射擊為一次試驗(yàn)，從而該問題構(gòu)成三次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).又已知在每次試驗(yàn)中事件“命中目標(biāo)”發(fā)生的概率為0.7，故所求概率為 答：他恰好命中兩次的概率為0.441.例6(2002年理科高考題)某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作,每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立).（）求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率;（）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3 ?分析: （）至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率.即（）至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為:.至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為:因此, 至少5人同時(shí)

8、上網(wǎng)的概率小于0.3.思路:如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生K次的概率為.例7（2004湖南）（本小題滿分12分）甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.（）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；（）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.解：（）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.由題設(shè)條件有 由、得 代入

9、得 27P(C)251P(C)+22=0.解得 （舍去）.將 分別代入 、 可得 即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是（）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件，則 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為三、高考命題展望：概率和統(tǒng)計(jì)是一門專門“研究偶然現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性”的學(xué)科。有著廣泛的應(yīng)用背景。近幾年來(lái)新課程卷高考試卷也把概率統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)和方法：隨機(jī)事件、等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)等概念及相應(yīng)的計(jì)算等列為考察的重點(diǎn)，作為必考內(nèi)容。1 概率的定義：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率m/n

10、總是接近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)叫事件A的概率。2 等可能事件的概率：P（A）=m/n.3 互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的事件?；コ馐录嗀,B中有一個(gè)發(fā)生的概率為：P（A+B）=P（A）+P（B）。特別地4 相互獨(dú)立事件：如果一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響。獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。5 n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率： 。復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容及解答此類問題首先必須使學(xué)生明確判斷兩點(diǎn)：（1）對(duì)于每個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，所有可能出現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)n必須是有限個(gè)；（2）出現(xiàn)的所有不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的。只有在同時(shí)滿足（1）、（2）的

11、條件下，運(yùn)用等可能事件的概率計(jì)算公式P(A)=m/n得出的結(jié)果才是正確的。而事件間得的“互相排斥”與“相互獨(dú)立”是學(xué)生理解的一個(gè)難點(diǎn)，能否準(zhǔn)確判斷事件之間是否互相排斥或相互獨(dú)立，正確理解“和事件”或“積事件”的意義，是考查的又一個(gè)重點(diǎn)，學(xué)生常因?yàn)榛煜磺宥鴮?dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。在同一實(shí)驗(yàn)中兩事件的“互相排斥”是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件“相互獨(dú)立”是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響。在實(shí)際運(yùn)用中我們常常不是根據(jù)定義來(lái)判斷事件的獨(dú)立性，而是應(yīng)用實(shí)驗(yàn)的方法，由實(shí)驗(yàn)的獨(dú)立性去判斷事件的獨(dú)立性。而在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡(jiǎn)單

12、事件是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力的重要環(huán)節(jié)。例題1：某零件從毛坯到成品，一共要經(jīng)過6道自動(dòng)加工工序。如果各道工序出次品的概率依次為0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05，那么這種零件的次品率是多少？錯(cuò)解：設(shè)第i道工序出次品的事件為Ai，i=1、2、6，Ai是互斥事件，則Ai中至少有一個(gè)事件發(fā)生就為次品，故這種零件的次品率為P（A1+A2+A6）=P（A1）+P（A2）+P（A6）=0.19。分析：錯(cuò)誤原因是將相互獨(dú)立的事件看成互斥事件。由題意可知，只有同時(shí)經(jīng)過6道工序才能將事件完成，不能只考慮一道工序是否通過。設(shè)第i道工序出現(xiàn)次品的事件記為A

13、i，i=1、2、6,它們相互獨(dú)立但不互斥，則Ai中至少有一個(gè)事件發(fā)生就出現(xiàn)次品，所以該種零件的次品率為P（A1+A2+A6） =1-。又如：某家庭電話在家中有人時(shí)，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率為0.1，響第2聲時(shí)被接的概率為0.3，響第3聲時(shí)被接的概率為0.4，響第4聲時(shí)被接的概率為0.1。那么該電話在前4聲內(nèi)被接的概率是多少？例題2、從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按照向量移動(dòng)的概率為2/3，按照向量移動(dòng)的概率為1/3。設(shè)M可到達(dá)點(diǎn)（0，n）的概率為Pn。 （1）求P1 ，P2； （2）求證：； （3）求Pn的表達(dá)式。 解析：（1）點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)（0，1）的概率，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)（0，2）的事件由兩個(gè)互斥的事

14、件組成：“點(diǎn)M先按向量移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)（0，1），再按向量平移到達(dá)點(diǎn)（0，2）”，此時(shí)概率為；“點(diǎn)M按向量移動(dòng)直接到達(dá)（0，2）”，此時(shí)的概率為。于是所求的概率為： 。（2）M點(diǎn)到達(dá)（0，n+2）由兩個(gè)互斥的事件組成：“從點(diǎn)（0，n+1）按向量移動(dòng)”，此時(shí)概率為；“從點(diǎn)（0，n）按向量移動(dòng)”此時(shí)概率為。于是，即。 （3）由（2）可知，數(shù)列Pn+2-Pn+1是以P2-P1=1/9為首項(xiàng)，公比為-1/3的等比數(shù)列，即，故。例題3、設(shè)棋子在正四面體ABCD的表面從一個(gè)頂點(diǎn)移向另外三個(gè)頂點(diǎn)是等可能的?，F(xiàn)投擲骰子根據(jù)其點(diǎn)數(shù)決定棋子是否移動(dòng)：若投出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則棋子不動(dòng)；若投出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，棋子移動(dòng)到另一個(gè)頂

15、點(diǎn)。若棋子的初始位置在頂點(diǎn)A，回答下列問題。 （1）投了2次骰子，棋子才到達(dá)頂點(diǎn)B的概率是多少？ （2）投了3次骰子，棋子恰好在頂點(diǎn)B的概率是多少？分析：棋子從頂點(diǎn)A移動(dòng)到頂點(diǎn)B，C，D的概率都是1/6，而不移動(dòng)的概率是3/6=1/2。 （1）分兩種情形：第一次不動(dòng)，第二次移到B，即；兩次都動(dòng)，即或，故投了2次骰子，棋子才到達(dá)頂點(diǎn)B的概率為 。 （2）兩次停在相同頂點(diǎn)：、；一次停在相同頂點(diǎn)：、；每次都向其它頂點(diǎn)移動(dòng)：、 、。故投3次骰子，棋子恰好在頂點(diǎn)B的概率是。四、考前熱身：（2004遼寧）有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不

16、左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 （ ）A234B346C350D3632（2004湖南）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為 A56B52C48D40 （ ）3（2002全國(guó)理）從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（ ）A8種B12種C16種D20種4（2004福建）某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）A B C D5（2002全國(guó)春招）從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同工作若其中甲、乙兩名支援者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有 （

17、）（A）280種 （B）240種 （C）180種 （D）96種6（2004廣東）一臺(tái)X型號(hào)自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺(tái)這中型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作,則在一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是 A0.1536 B 0.1808C 0.5632D 0.9728 （ ）7（2004江蘇）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是 （ ）A B C D8（2004遼寧）甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問題，甲解決這個(gè)問題的概率是p1，乙解決這個(gè)問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個(gè)問題的概率

18、是 （ ）AB CD9（2004重慶）已知盒中裝有3只螺口與7只卡口燈炮，這些燈炮的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈炮使用，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則他直到第3次才取得卡口燈炮的概率為（ ）A B C D10（2004北京）從長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5的五條線段中，任取三條的不同取法共有n種。在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為m，則等于（ ） A B C D 11（2004湖北）將標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有 種.（以數(shù)字作答）

19、12（2000廣東）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽。3名主力隊(duì) 員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有_ _種（用數(shù)字作答）。13（2003廣東?。┤鐖D，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）14（2004廣東）某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成,現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長(zhǎng),其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是 (用分?jǐn)?shù)作答)15（2004遼寧）口袋內(nèi)裝有10個(gè)相同的球，其中5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字0，5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字1，若從袋中摸出5個(gè)球，那么摸出

20、的5個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是 . 16（2004上海文科）若在二項(xiàng)式(x+1)10的展開式中任取一項(xiàng),則該項(xiàng)的系數(shù)為奇數(shù)的概率是 . (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)17（2000江西、天津）從含有500個(gè)個(gè)體的總體中一次性地抽取25個(gè)個(gè)體，假定其中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，那么總體中的每個(gè)個(gè)體被抽取的概率等于 。18（2001上海春招）在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)紅球，4個(gè)是白球若從中任意選取3 個(gè)，則所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是_ _（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）19（2004福建）某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1；他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.20（2003年全國(guó)）有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90,0.95和0.95.各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。（）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有兩件不合格的概率。（精確到0.001）附錄