離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)-正在為您選擇最快線路

1、離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)-正在為您選擇最快線路第一章學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義，掌握序列掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義，掌握序列的基本運(yùn)算，并會(huì)判斷序列的周期性。的基本運(yùn)算，并會(huì)判斷序列的周期性。 掌握線性掌握線性/移不變移不變/因果因果/穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)的概念并穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)的概念并會(huì)判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性會(huì)判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷的充要條件。的充要條件。 了解對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣了解對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。21.1 離散時(shí)間信號(hào)離

2、散時(shí)間信號(hào) 離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示 序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 常用序列常用序列 序列的周期序列的周期 用單位脈沖序列表示任意序列用單位脈沖序列表示任意序列 序列的能量與功率序列的能量與功率3 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)(序列序列) 在物理上是指定義在離散時(shí)間上的信號(hào)樣品的集合，在物理上是指定義在離散時(shí)間上的信號(hào)樣品的集合，樣品集合可以是本來就存在的，也可以是由模擬信號(hào)樣品集合可以是本來就存在的，也可以是由模擬信號(hào)通過采樣得來的或者是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的。通過采樣得來的或者是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的。 在數(shù)學(xué)上可用時(shí)間序列在數(shù)學(xué)上可用時(shí)間序列 x(n)x(n)來表示。來表示。 其中其

3、中x(n)x(n)代代表序列的第表序列的第n n個(gè)樣點(diǎn)的數(shù)字，個(gè)樣點(diǎn)的數(shù)字，n n代表時(shí)間的序號(hào)，代表時(shí)間的序號(hào)，n n的可的可取值范圍為取值范圍為-n n的整數(shù)。的整數(shù)。 許多時(shí)候?yàn)榱朔奖?，直接用許多時(shí)候?yàn)榱朔奖?，直接用x(n)x(n)來代表序列全體來代表序列全體 x(n)x(n) 。本書中，離散時(shí)間信號(hào)與序列將不予區(qū)分。本書中，離散時(shí)間信號(hào)與序列將不予區(qū)分。離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示4離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示 離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域表示離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域表示 1、枚舉式：、枚舉式： 例如：例如： 2、公式（封閉式）：、公式（封閉式）： 例如：例如：

4、, 6 . 5, 1 , 2 . 7 , 6 , 0 . 0 ,53. 2 , 7 . 8 , 5 . 1,)(nx)()()(1,01,0)(sin)(njxnxnxbnbananxnnnxIRnn5離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示離散時(shí)間信號(hào)及其時(shí)域表示 3、圖形式：、圖形式： 例如：例如：圖中橫坐標(biāo)圖中橫坐標(biāo)n n表示離散的時(shí)間坐標(biāo)，且僅在表示離散的時(shí)間坐標(biāo)，且僅在n n為整為整數(shù)時(shí)才有意義；縱坐標(biāo)代表信號(hào)樣點(diǎn)的值。數(shù)時(shí)才有意義；縱坐標(biāo)代表信號(hào)樣點(diǎn)的值。6序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 序列的加減序列的加減 將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相加減，即：將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相加減，即：)()()(nynxn

5、z7序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2)z(0)=x(0)+y(0)8序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 序列的乘積序列的乘積 將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相乘，即：將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相乘，即：)()()(nynxnz9序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 z(1)=x(1)y(1) z(2)=x(2)y(2)z(0)=x(0)y(0)10序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 序列的延時(shí)序列的延時(shí) 將序列全體在時(shí)間軸上移動(dòng)，即：將序列全體在時(shí)間軸上移動(dòng)，即： 時(shí)左移，時(shí)左移， 時(shí)右移，如：時(shí)右移，如：)()(0nnxny00n00n11序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算

6、序列乘常數(shù)序列乘常數(shù) 序列的反褶序列的反褶 序列的差分序列的差分 同一序列相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)之差，分為前向差分和后向同一序列相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)之差，分為前向差分和后向差分差分 前向差分前向差分 后向差分后向差分)()(naxny)() 1()(nxnxnx) 1()()(nxnxnx)2() 1(2)()()() 1()(2nxnnxnxnxnxnx)()(nxny12序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 序列的抽取序列的抽取 將原來的序列每隔將原來的序列每隔M個(gè)樣點(diǎn)保留一個(gè)樣點(diǎn)，去掉其個(gè)樣點(diǎn)保留一個(gè)樣點(diǎn)，去掉其中的中的M-1個(gè)樣點(diǎn)而形成的新序列。即：個(gè)樣點(diǎn)而形成的新序列。即： 例：求如下圖所示的序列例：求如下圖

7、所示的序列x(n)，經(jīng)經(jīng)M=3的抽取運(yùn)算后的抽取運(yùn)算后所形成的新的序列所形成的新的序列y(n)。 )()(nMxny13序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算y(-1)= x(-13)y(0)= x(03)y(1)= x(13)解：14序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算 序列的插值序列的插值 在原來序列的每?jī)蓚€(gè)樣點(diǎn)之間等間隔的插入在原來序列的每?jī)蓚€(gè)樣點(diǎn)之間等間隔的插入L個(gè)新的個(gè)新的樣點(diǎn)，從而變成一個(gè)具有更多樣點(diǎn)的新序列。即：樣點(diǎn)，從而變成一個(gè)具有更多樣點(diǎn)的新序列。即： 顯然序列的抽取運(yùn)算與序列的插值互為逆運(yùn)算。顯然序列的抽取運(yùn)算與序列的插值互為逆運(yùn)算。其它02, 0)/()(LLnLnxny15序列的基本運(yùn)算

8、序列的基本運(yùn)算16序列的基本運(yùn)算序列的基本運(yùn)算)()()(3) 5()(2)()() 1 (, 5, 5,0002)(,0003)(1211312212121nyanxanynxnynxnyaannnxnnnxnn）（）（求：0233505)()()(312113nnnyanxanynn）（0002)()(121nnnxnyn）（解：5053)5()()2()5(12nnnxnyn17常用序列常用序列 單位（脈沖）序列單位（脈沖）序列0, 00, 1)(nnnmnmnmn, 0, 1)(mn-201mn1-11-2 -1012 nn18常用序列常用序列 單位階躍序列單位階躍序列0, 00, 1

9、)(nnnu.0123nu(n)1)2() 1()()()() 1()()()(0nnnmnnununununm (n)與與u(n)的關(guān)系的關(guān)系19常用序列常用序列 矩形序列矩形序列nNnnRN其他0101)(0 123n)(4nR14)()()(NnununRN 與 的關(guān)系:)(nRN)(nu20常用序列常用序列 矩形序列矩形序列njenx)(0)(，式中0為數(shù)字頻率njenenxnn00sincos)(21常用序列常用序列復(fù)指數(shù)序列實(shí)部與虛部示意圖：復(fù)指數(shù)序列實(shí)部與虛部示意圖：22常用序列常用序列則有：njnnx00sincos)(令 中 = 0 njenenxnn00sincos)(余弦

10、與正弦序列示意圖：余弦與正弦序列示意圖：23序列的周期性序列的周期性 定義定義 若序列若序列x(n)x(n)滿足滿足 且且N N是使其成立的最小正整數(shù)是使其成立的最小正整數(shù)，則稱序列則稱序列x(n)x(n)為以為以N N為為周期的周期序列。周期的周期序列。)()(Nnxnxn24序列的周期性序列的周期性 正弦序列及其周期正弦序列及其周期 按周期序列的定義，按周期序列的定義， 其中其中k為整數(shù)，除非為整數(shù)，除非p= 2k /0為整數(shù)。否則正弦序?yàn)檎麛?shù)。否則正弦序列沒有周期。列沒有周期。)(sin)2sin()sin()(02000knknnnx25序列的周期性序列的周期性求序列求序列 的周期的周

11、期 。)sin()(34nnxN解：解：)(sin)2sin()sin()(46343434knknnnx324620Nkkkp當(dāng)當(dāng) 取取2 2時(shí)時(shí)，可得到可得到 的最小正周期數(shù)的最小正周期數(shù)3 3，即序，即序列列 的周期的周期 。kp)(nx3N26用單位（脈沖）序列表示任意序列用單位（脈沖）序列表示任意序列 任意序列任意序列 都都可用單位（脈沖）序列可用單位（脈沖）序列 表示成表示成樣點(diǎn)值的加權(quán)和形式，即：樣點(diǎn)值的加權(quán)和形式，即： 例如對(duì)序列例如對(duì)序列 用單位脈沖序列的加權(quán)可表示為：用單位脈沖序列的加權(quán)可表示為： )(nx)(nmmnmxnx)()()(其他01010)(nanxn)()(

12、1010mnanxmm27序列的能量與功率序列的能量與功率 有界信號(hào)：若存在有界常數(shù)有界信號(hào)：若存在有界常數(shù)B，使序列使序列 滿足滿足 則稱序列為有界信號(hào)。則稱序列為有界信號(hào)。 序列的總能量序列的總能量 有界信號(hào)的總能量定義為序列各樣點(diǎn)值的平方和，有界信號(hào)的總能量定義為序列各樣點(diǎn)值的平方和，即：即： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，稱信號(hào)為能量有限信號(hào)。時(shí)，稱信號(hào)為能量有限信號(hào)。)(nx Bnx)(nnxE2)(E28序列的能量與功率序列的能量與功率 若序列的長(zhǎng)度為有限長(zhǎng)時(shí)，只要信號(hào)若序列的長(zhǎng)度為有限長(zhǎng)時(shí)，只要信號(hào) 為有限值為有限值，則信號(hào)的能量就是有限的。但當(dāng)信號(hào)的長(zhǎng)度為無限，則信號(hào)的能量就是有限的。但當(dāng)信號(hào)的長(zhǎng)

13、度為無限長(zhǎng)時(shí)，即使信號(hào)有界，其能量也不一定是有限的。長(zhǎng)時(shí)，即使信號(hào)有界，其能量也不一定是有限的。 序列的平均功率序列的平均功率 1、對(duì)非周期序列、對(duì)非周期序列 ，若序列為無限長(zhǎng)，其平均功率，若序列為無限長(zhǎng)，其平均功率定義為：定義為：)(nx)(nxEKnxKPkKKnk121lim)(121lim229序列的能量與功率序列的能量與功率 能量為有限值，平均功率等于零的信號(hào)稱為能量信能量為有限值，平均功率等于零的信號(hào)稱為能量信號(hào)。號(hào)。 能量為無限值，平均功率為有限值的信號(hào)稱為功率能量為無限值，平均功率為有限值的信號(hào)稱為功率信號(hào)。信號(hào)。 2 2、對(duì)周期為、對(duì)周期為N N的周期序列的周期序列 ，其平均

14、功率定義為：，其平均功率定義為： 顯然，周期序列通常為功率信號(hào)顯然，周期序列通常為功率信號(hào))(nx102)(1NnnxNP30序列的能量與功率序列的能量與功率設(shè)離散信號(hào)設(shè)離散信號(hào) 的表達(dá)式為的表達(dá)式為試判斷該信號(hào)是能量信號(hào)還是功率信號(hào)。試判斷該信號(hào)是能量信號(hào)還是功率信號(hào)。)(nx)() 1(6)(nunxn解：解：該信號(hào)為有界信號(hào)，其總能量為：該信號(hào)為有界信號(hào)，其總能量為：0236)(nnnxE可見信號(hào)的能量是無限的，但其功率為：可見信號(hào)的能量是無限的，但其功率為：1812) 1(36lim) 136(121lim0KKKPkKnk該信號(hào)是功率信號(hào)。該信號(hào)是功率信號(hào)。311.2 離散時(shí)間系統(tǒng)離

15、散時(shí)間系統(tǒng) 離散時(shí)間系統(tǒng)的定義和性質(zhì)離散時(shí)間系統(tǒng)的定義和性質(zhì) 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)線性時(shí)不變離散系統(tǒng) 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的基本元件線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的基本元件 單位脈沖響應(yīng)與卷積單位脈沖響應(yīng)與卷積 序列的相關(guān)性序列的相關(guān)性 離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性32離散時(shí)間系統(tǒng)的定義和性質(zhì)離散時(shí)間系統(tǒng)的定義和性質(zhì) 定義：指將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算電路。定義：指將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算電路。 齊次性：齊次性： ax(n) ay (n) 疊加性：疊加性： x1(n)+ x2(n) y1(n)+ y2(n) 線性性：線性性： a1 x1(n)+ a2 x2(n)

16、a1 y1(n)+ a2 y2(n) 時(shí)不變性時(shí)不變性(延遲性或移不變性延遲性或移不變性)： x (n-m) y (n-m) 差分性：差分性： x (n) y (n) 累加和性：累加和性：nmnmmymx)()(33線性時(shí)不變離散系統(tǒng)線性時(shí)不變離散系統(tǒng) 定義定義 同時(shí)滿足線性性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)。即：同時(shí)滿足線性性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)。即： 線性性線性性)(ny)(nx T)()(nxTny)()()()()()()(,)()(,)()(2211221122112211nyanyanxTanxTanxanxaTnynxTnynxTny34線性時(shí)不變離散系統(tǒng)線性時(shí)不變離散系統(tǒng) 時(shí)不變性

17、時(shí)不變性 例：試證明以下系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)。例：試證明以下系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)。)()(00nnynnxTnmmxnxTny)()()(證明：證明：1 1、線性性、線性性設(shè)有序列設(shè)有序列 和和 及常數(shù)及常數(shù) 和和 ，則有，則有 )(1nx)(2nx1a2a)()()()()()()()()()(22112211221122112211nyanyamxTamxTamxamxamxamxanxanxaTnmnmnm該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。35線性時(shí)不變離散系統(tǒng)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)2 2、時(shí)不變性、時(shí)不變性：nmkmxknxT)()()()()(knymxixknmkni系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。在上式中令 ，則

18、上式右邊變?yōu)椋簁mi36線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的基本元件線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的基本元件 基本元件基本元件 1、加法器、加法器 2、系數(shù)乘法器、系數(shù)乘法器 3、延時(shí)器、延時(shí)器37線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的基本元件線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的基本元件 如下圖就是利用這些元件實(shí)現(xiàn)的一個(gè)簡(jiǎn)單的線性時(shí)如下圖就是利用這些元件實(shí)現(xiàn)的一個(gè)簡(jiǎn)單的線性時(shí)不變系統(tǒng)的框圖不變系統(tǒng)的框圖 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(n)=x(n)+ay(n-1)38單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積 單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)任意激勵(lì)下的響應(yīng)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)任意激勵(lì)下的響應(yīng) 與單位脈與單位脈沖響應(yīng)沖響應(yīng) 之間的關(guān)系之間的

19、關(guān)系)()(nTnh)(ny)(nh)()()()()()( )()()()(nhnxmnhmxmnTmxmnmxTnxTnymmm39單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積 離散卷積的性質(zhì)與計(jì)算離散卷積的性質(zhì)與計(jì)算1、卷積的性質(zhì)：、卷積的性質(zhì)： 可交換性：可交換性： 結(jié)合性：結(jié)合性：)()()()()(nxnhnhnxny)()()()()()()()()()()()(211221nhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnxny40單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積 分配性：分配性：)()()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnxny41單位脈沖響應(yīng)與離散

20、卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積 2、卷積的計(jì)算、卷積的計(jì)算 包括以下四個(gè)步驟：反褶、包括以下四個(gè)步驟：反褶、 移位、相乘、求和移位、相乘、求和 1)反褶反褶 ，先將，先將x(n)和和h(m)的變量的變量n換成換成m，變成變成 x(m)和和h(m)，再將再將h(m)以以m=0為軸反褶成為軸反褶成h(-m)。 2)移位，將移位，將h(-m)移位移位n，變成變成 h(n-m)，n為正數(shù)，右移為正數(shù)，右移n位，位，n為負(fù)數(shù)，左移為負(fù)數(shù)，左移n位。位。42單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積 3)相乘，將相乘，將 h(n-m)與與x(m)在相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘。在相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘。 4)求和求和，將所有

21、對(duì)應(yīng)點(diǎn)乘積累加起來，就得到將所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)乘積累加起來，就得到n時(shí)刻的時(shí)刻的卷積值，對(duì)所有的卷積值，對(duì)所有的n重復(fù)以上步驟，就可得到所有的卷重復(fù)以上步驟，就可得到所有的卷積值積值y(n)。43單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積nnnhnnnnx其他其他0201)(0312)(31)()()()()(mmnhmxnhnxny求：求：44單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積 解：先給出解：先給出x(m)和和h(m)的圖形的圖形x(m)01231/213/2m012m1h(m)012m1h(m)45單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積x(m)01231/213/2m1)(ny1

22、n1n2n3n4n5n5n46單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)與離散卷積012345y(n)n1/23/235/23/223123) 5 (251012311021) 4 (312311121) 3 (2311121) 2 (2110121) 1 (yyyyy47序列的相關(guān)性序列的相關(guān)性 定義：兩個(gè)序列定義：兩個(gè)序列x(n)和和y(n)的線性互相關(guān)序列的線性互相關(guān)序列rxy(m)為為 式中式中m代表兩個(gè)序列的相對(duì)位移。代表兩個(gè)序列的相對(duì)位移。 式中式中rxy(m)的下標(biāo)順序的下標(biāo)順序xy表示在上述互相關(guān)運(yùn)算中，表示在上述互相關(guān)運(yùn)算中，x(n)在時(shí)間上保持不變，而對(duì)在時(shí)間上保持不變，而對(duì)y(n

23、)進(jìn)行相對(duì)移位。進(jìn)行相對(duì)移位。nnxynymnxmnynxmr)()()()()(48序列的相關(guān)性序列的相關(guān)性1 1、上式中、上式中 代表兩個(gè)序列代表兩個(gè)序列 和和 間的相對(duì)位移。間的相對(duì)位移。2 2、序列的互相關(guān)運(yùn)算用于比較兩個(gè)序列之間的相似性，、序列的互相關(guān)運(yùn)算用于比較兩個(gè)序列之間的相似性，并根據(jù)這種相似性進(jìn)行信號(hào)的檢測(cè)和測(cè)量。并根據(jù)這種相似性進(jìn)行信號(hào)的檢測(cè)和測(cè)量。3 3、序列的互相關(guān)運(yùn)算也是一種運(yùn)算，該運(yùn)算方式形式上、序列的互相關(guān)運(yùn)算也是一種運(yùn)算，該運(yùn)算方式形式上十分類似于卷積運(yùn)算，因此應(yīng)格外注意二者的區(qū)別。十分類似于卷積運(yùn)算，因此應(yīng)格外注意二者的區(qū)別。m)(nx)(ny49序列的相關(guān)性

24、序列的相關(guān)性 如果反過來如果反過來y(n)在時(shí)間上保持不變，而對(duì)在時(shí)間上保持不變，而對(duì)x(n)進(jìn)行相進(jìn)行相對(duì)移位對(duì)移位,則結(jié)果則結(jié)果ryx(m)為為)()()()()()(mrkxmkymnxnymrxyknyx50序列的相關(guān)性序列的相關(guān)性 線性自相關(guān)線性自相關(guān) 若若x(n)=y(n)，則稱為則稱為x(n)的線性自相關(guān)，即的線性自相關(guān)，即 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)m=0時(shí)，有時(shí)，有nxxmnxnxmr)()()(Enxrnxx)()0(251序列的相關(guān)性序列的相關(guān)性 卷積運(yùn)算與相關(guān)運(yùn)算的關(guān)系卷積運(yùn)算與相關(guān)運(yùn)算的關(guān)系 上式說明序列上式說明序列y(n)相對(duì)參考序列相對(duì)參考序列x(n)的互相關(guān)運(yùn)算，的互相關(guān)

25、運(yùn)算，可以將可以將y(n)通過具有單位脈沖響應(yīng)為通過具有單位脈沖響應(yīng)為x(-n)的線性時(shí)不的線性時(shí)不變系統(tǒng)得到。變系統(tǒng)得到。nnnxymxmynmxnymnxnymnynxmr)()()()()()()()()(52離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性 系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的因果性 因果性是指系統(tǒng)在因果性是指系統(tǒng)在n時(shí)刻的輸出只取決于時(shí)刻的輸出只取決于n時(shí)刻以及時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入，而與時(shí)刻以前的輸入，而與n時(shí)刻以后的輸入無關(guān)。時(shí)刻以后的輸入無關(guān)。 系統(tǒng)的因果性表明了系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。系統(tǒng)的因果性表明了系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。 如果系統(tǒng)的輸出與將來的輸入有關(guān)，該系統(tǒng)為非因如果

26、系統(tǒng)的輸出與將來的輸入有關(guān)，該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，是物理不可實(shí)現(xiàn)的。果系統(tǒng)，是物理不可實(shí)現(xiàn)的。 線性時(shí)不變因果系統(tǒng)的充要條件為線性時(shí)不變因果系統(tǒng)的充要條件為 h(n)=h(n)u(n)53離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性 證明：證明： 充分性充分性 若若nn0的的x(m)無關(guān)。無關(guān)。 因此，該系統(tǒng)為因果性系統(tǒng)。因此，該系統(tǒng)為因果性系統(tǒng)。mmnhmxny)()()(0)()()(00nmmnhmxny54離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性 必要性必要性 ：采用反證法。假定系統(tǒng)為因果性：采用反證法。假定系統(tǒng)為因果性 系統(tǒng)，但在系統(tǒng)，但在n0時(shí)時(shí)h(n)0

27、，按卷積公式，對(duì)于任何輸入按卷積公式，對(duì)于任何輸入x(n)，n0時(shí)時(shí)刻的其輸出刻的其輸出y(n0)為為 這樣，由于這樣，由于n n0的的x (m) 有關(guān)，與系統(tǒng)是因果性有關(guān)，與系統(tǒng)是因果性系統(tǒng)的假設(shè)矛盾。因此必須有系統(tǒng)的假設(shè)矛盾。因此必須有n0時(shí)時(shí)h(n)=0。 證畢。證畢。100000)()()()()(nmnmmnhmxmnhmxny55離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)對(duì)于任何有界輸入，輸出也系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)對(duì)于任何有界輸入，輸出也應(yīng)是有界的。通常稱這種穩(wěn)定性為有界輸入應(yīng)是有界的。通常稱這種穩(wěn)定性為有界輸入有界輸有

28、界輸出出(BIBO)穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為nnh)(56離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性證明：充分性證明：充分性KMihKmnhKmnhmxmnhmxnyKnxMnhimmmn)()()()()()()()()(則有界，若信號(hào)設(shè)可見，輸入是有界時(shí)，輸出亦有界，因此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)?？梢?，輸入是有界時(shí)，輸出亦有界，因此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。57離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性必要性必要性 采用反證法。采用反證法。mmmnmhmhmhmxynhnhnxnh)()()()()0(0)(10)(1)()(則現(xiàn)在令有界輸入為。且有假定系

29、統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，即對(duì)有界的輸入，輸出為無界，與系統(tǒng)穩(wěn)定性的假設(shè)矛盾。即對(duì)有界的輸入，輸出為無界，與系統(tǒng)穩(wěn)定性的假設(shè)矛盾。58離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性 若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 h(n)=-anu(-n-1) ， 討論系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性。討論系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性。 解：解： 因果性因果性 因在因在n0時(shí)，時(shí)，h(n)0， 故系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)故系統(tǒng)為非因果系統(tǒng) 穩(wěn)定性穩(wěn)定性nnnnnaaaaanh111111)(不穩(wěn)定穩(wěn)定591.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述 差分方程描述差分方程描述 差分方程的求解差分方程的求解60差分方程描述差

30、分方程描述 N階前向差分方程階前向差分方程 式中，式中，x (n), y(n)分別為激勵(lì)與響應(yīng)。前向差分方分別為激勵(lì)與響應(yīng)。前向差分方程多用于狀態(tài)變量分析法。程多用于狀態(tài)變量分析法。)() 1() 1()()() 1() 1()(011011nxbnxbMnxbMnxbnyanyaNnyaNnyMMN61差分方程描述差分方程描述 n階后向差分方程階后向差分方程后向差分方程多用于因果系統(tǒng)與數(shù)字濾波器的分析。后向差分方程多用于因果系統(tǒng)與數(shù)字濾波器的分析。NkMmmkmnxbknya00)()()() 1() 1()()() 1() 1()(011011nxbnxbMnxbMnxbnyanyaNny

31、aNnyMMN或62差分方程的求解差分方程的求解 遞推法遞推法 經(jīng)典解法經(jīng)典解法 時(shí)域解法時(shí)域解法 Z域分析法域分析法63差分方程的求解差分方程的求解 例例 試求一階差分方程試求一階差分方程y(n)= ay(n-1) +x(n) 的單位脈沖響的單位脈沖響應(yīng)，初始條件為應(yīng)，初始條件為y(n)=0(n0)。 解：對(duì)單位脈沖響應(yīng)解：對(duì)單位脈沖響應(yīng), x(n)=(n),y(n)=h(n), 上式可變?yōu)樯鲜娇勺優(yōu)閔(n)=ah(n-1)+ (n) h(0)=1 h(1)=ah(0)+ 0=a h(2)=ah(1)+ 0=a2 h(n)=ah(n-1)+ 0= an 寫成一般形式為寫成一般形式為 h(n)

32、= anu(n) 為因果系統(tǒng)為因果系統(tǒng)64差分方程的求解差分方程的求解 一個(gè)一個(gè)常系數(shù)線性差分方程是否因果系統(tǒng)，由常系數(shù)線性差分方程是否因果系統(tǒng)，由邊界條件（初始）所決定。邊界條件（初始）所決定。 即初始條件具有即初始條件具有y(n)=0(n0方向遞推，其解一般為因果的，方向遞推，其解一般為因果的，反之為非因果。反之為非因果。651.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理 抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 帶通信號(hào)的抽樣帶通信號(hào)的抽樣661.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理 本節(jié)主要介紹模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)之間相

33、互轉(zhuǎn)換的本節(jié)主要介紹模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)之間相互轉(zhuǎn)換的基本數(shù)學(xué)原理?；緮?shù)學(xué)原理。 為了利用數(shù)字系統(tǒng)來處理模擬信號(hào)，必須先將模擬為了利用數(shù)字系統(tǒng)來處理模擬信號(hào)，必須先將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，在數(shù)字系統(tǒng)中進(jìn)行處理后在轉(zhuǎn)信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，在數(shù)字系統(tǒng)中進(jìn)行處理后在轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。其典型框圖如下：換成模擬信號(hào)。其典型框圖如下：67抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 模擬信號(hào)數(shù)字處理第一步就是將在時(shí)間上連續(xù)的模模擬信號(hào)數(shù)字處理第一步就是將在時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)離散化，使之成為在時(shí)間上離散的信號(hào)。擬信號(hào)離散化，使之成為在時(shí)間上離散的信號(hào)。 抽樣是將連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化的過程，它僅抽取信抽樣是將連續(xù)時(shí)間

34、信號(hào)離散化的過程，它僅抽取信號(hào)波形某些時(shí)刻的樣值。號(hào)波形某些時(shí)刻的樣值。 抽樣分為均勻抽樣和非均勻抽樣，當(dāng)抽樣是可取均抽樣分為均勻抽樣和非均勻抽樣，當(dāng)抽樣是可取均勻等間隔點(diǎn)時(shí)為均勻抽樣，否則為非均勻抽樣。實(shí)際勻等間隔點(diǎn)時(shí)為均勻抽樣，否則為非均勻抽樣。實(shí)際抽樣多為均勻抽樣。抽樣多為均勻抽樣。68抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 理想理想抽樣及其頻譜抽樣及其頻譜 抽樣過程：均勻抽樣可以看作為一個(gè)脈沖調(diào)制過程，抽樣過程：均勻抽樣可以看作為一個(gè)脈沖調(diào)制過程，數(shù)學(xué)表示為數(shù)學(xué)表示為 xa(t)為調(diào)制信號(hào)即輸入的模擬信號(hào)為調(diào)制信號(hào)即輸入的模擬信號(hào)， p(t)為載波信號(hào)為載波信號(hào)是一串周期為是一串周期為

35、T，脈寬為脈寬為的矩形脈沖串的矩形脈沖串，調(diào)制后輸出調(diào)制后輸出的信號(hào)就是抽樣信號(hào)的信號(hào)就是抽樣信號(hào) 。 理想抽樣：當(dāng)理想抽樣：當(dāng) 趨于零的極限情況時(shí)趨于零的極限情況時(shí)， 脈沖序列脈沖序列p(t)變成了沖擊函數(shù)串，稱為理想抽樣。變成了沖擊函數(shù)串，稱為理想抽樣。)()()(tptxtxaa)(txa69抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 理想抽樣過程示意圖理想抽樣過程示意圖70抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 用用M(t)表示沖擊函數(shù)串表示沖擊函數(shù)串M(t)= 因此因此 實(shí)際上是實(shí)際上是xa(t)在離散時(shí)刻在離散時(shí)刻mT的取值的取值xa(mT)的集合。的集合。mmTttM)()(mama

36、aamTtmTxmTttxtMtxtx)()()()()()()()(txa71抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 抽樣信號(hào)抽樣信號(hào) 的頻譜的頻譜 由頻域卷積定理得：由頻域卷積定理得： 其中其中)(txa 表示傅里葉變換其中設(shè))()()()(FtxFjXtMFjMtxFjXaaaadtetxtxFjXjtaaa)()()(ksstjkkeTFtMFjMs)(1)()()()(21)()()(jMjXtMtxFjXaaa72抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 將將Xa(j)和和M(j)帶入帶入 式中，得式中，得)(jxa ksaksaksamassajkjXTdkjXTdkjXTjXkj

37、X)(1)(1)(1 )()(21)(73抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 即即 可見可見,一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過理想抽樣后一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過理想抽樣后,其頻譜為周其頻譜為周期性信號(hào)，且以抽樣頻率期性信號(hào)，且以抽樣頻率s=2/T為間隔周期重復(fù)。為間隔周期重復(fù)。ksaajkjXTjX)(1)(74抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 如圖所示（圖中僅為其幅度譜）：如圖所示（圖中僅為其幅度譜）：75抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 理想抽樣信號(hào)的頻譜周期延拓圖示例說明理想抽樣信號(hào)的頻譜周期延拓圖示例說明 1、如果、如果xa(t)的頻譜的頻譜 Xa(j)為為 被限制在某一最高頻率被限制

38、在某一最高頻率h范圍內(nèi)，其頻譜如圖范圍內(nèi)，其頻譜如圖a所所示，則稱其為帶限信號(hào)。對(duì)帶限信號(hào)的抽樣滿足示，則稱其為帶限信號(hào)。對(duì)帶限信號(hào)的抽樣滿足h s/2時(shí)時(shí),原來頻譜和各次延拓分量的頻譜不重疊原來頻譜和各次延拓分量的頻譜不重疊,如圖如圖b所示，如采用一個(gè)截止頻率為所示，如采用一個(gè)截止頻率為s/2的理想低通濾波器的理想低通濾波器對(duì)抽樣信號(hào)進(jìn)行濾波，就可以不失真的還原出原來的對(duì)抽樣信號(hào)進(jìn)行濾波，就可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號(hào)。連續(xù)信號(hào)。)(jXa0hjXah76抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 2、但如果信號(hào)的最高頻率、但如果信號(hào)的最高頻率h超過超過 s/2,則各周期延拓則各周期延拓分量

39、產(chǎn)生頻譜的交集分量產(chǎn)生頻譜的交集,將無法不是真的還原出原來的連將無法不是真的還原出原來的連續(xù)信號(hào)，即產(chǎn)生了續(xù)信號(hào)，即產(chǎn)生了“混疊失真混疊失真”，如圖，如圖c所示。所示。 s/2通常稱為折疊頻率或奈奎斯特頻率通常稱為折疊頻率或奈奎斯特頻率。 要想連續(xù)帶限信號(hào)抽樣后能夠不失真地還原出原信要想連續(xù)帶限信號(hào)抽樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則抽樣頻率必須大于或等于兩倍原信號(hào)頻譜的最號(hào)，則抽樣頻率必須大于或等于兩倍原信號(hào)頻譜的最高頻率高頻率(h s/2)，這就是奈奎斯特抽樣定理。，這就是奈奎斯特抽樣定理。77抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 A/DA/D轉(zhuǎn)換器的基本原理轉(zhuǎn)換器的基本原理 任何任何A/

40、DA/D轉(zhuǎn)換器必須包括以下三個(gè)基本功能：轉(zhuǎn)換器必須包括以下三個(gè)基本功能： 抽樣、抽樣保持、量化與編碼抽樣、抽樣保持、量化與編碼78抽樣定理與抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 量化：將無限精度的抽樣信號(hào)的幅度離散化，使之量化：將無限精度的抽樣信號(hào)的幅度離散化，使之變成能用有限字長(zhǎng)表示的數(shù)字信號(hào)。變成能用有限字長(zhǎng)表示的數(shù)字信號(hào)。 編碼：將經(jīng)量化的數(shù)字信號(hào)最終表示成為數(shù)字系統(tǒng)編碼：將經(jīng)量化的數(shù)字信號(hào)最終表示成為數(shù)字系統(tǒng)所能接受并對(duì)其實(shí)施處理與傳輸?shù)男问?。所能接受并?duì)其實(shí)施處理與傳輸?shù)男问健?抽樣保持：由于對(duì)抽樣信號(hào)抽樣點(diǎn)的值進(jìn)行量化和抽樣保持：由于對(duì)抽樣信號(hào)抽樣點(diǎn)的值進(jìn)行量化和編碼都需要時(shí)間，為了保證在

41、量化和編碼期間其值不編碼都需要時(shí)間，為了保證在量化和編碼期間其值不發(fā)生改變，在此之前需對(duì)抽樣點(diǎn)值加以保持。發(fā)生改變，在此之前需對(duì)抽樣點(diǎn)值加以保持。79抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 抽樣信號(hào)的恢復(fù)抽樣信號(hào)的恢復(fù) 如果抽樣信號(hào)如果抽樣信號(hào) 或或 通過一理想低通濾波通過一理想低通濾波器器 ，就可恢復(fù)原信號(hào)，就可恢復(fù)原信號(hào) 或或 。 txajXa)2(s txajXa80抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 由抽樣信號(hào)恢復(fù)原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的過程的數(shù)學(xué)原由抽樣信號(hào)恢復(fù)原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的過程的數(shù)學(xué)原理理 1）低通濾波器）低通濾波器 的沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)h(t)(si

42、n)/()/sin(/)/sin()()(/TtTctTtTttdeTdejHthssstjtjss22222122其中，81抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器2）理想）理想低通濾波器低通濾波器(filter)的輸出的輸出 mamamamaaamTtTcmTxmTthmTxdthmTmTxdthmTmTxdthxtysin)(抽樣內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)82抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器3）內(nèi)插函數(shù)）內(nèi)插函數(shù) 的特性：的特性：)(sinmTtTc內(nèi)插函數(shù)波形在抽樣點(diǎn)在抽樣點(diǎn)mT上，其值為上，其值為1;其余抽樣點(diǎn)上，其值為其余抽樣點(diǎn)上，其值為0。這保證了各抽樣點(diǎn)上信號(hào)

43、值不變。這保證了各抽樣點(diǎn)上信號(hào)值不變。83抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器4）由抽樣）由抽樣內(nèi)插公式所決定的信號(hào)內(nèi)插恢復(fù)過程內(nèi)插公式所決定的信號(hào)內(nèi)插恢復(fù)過程（1 1）在抽樣點(diǎn)上，信號(hào)值不變。）在抽樣點(diǎn)上，信號(hào)值不變。（2 2）抽樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由幅度為抽樣值的各內(nèi)插函數(shù)）抽樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由幅度為抽樣值的各內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成。如下圖所示：的波形延伸疊加而成。如下圖所示： maamTtTcmTxtxsin)(txaT2T3T04Tt84抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 D/A D/A 轉(zhuǎn)換器的基本原理轉(zhuǎn)換器的基本原理 譯碼將數(shù)字信號(hào)譯碼將數(shù)字信號(hào)x(n

44、)轉(zhuǎn)換成抽樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成抽樣信號(hào)x(nT)= ，零階保持器的作用是將每個(gè)抽樣信號(hào)的樣值保持一個(gè)零階保持器的作用是將每個(gè)抽樣信號(hào)的樣值保持一個(gè)抽樣間隔寬度，直到下一個(gè)抽樣時(shí)刻，相當(dāng)于在一個(gè)抽樣間隔寬度，直到下一個(gè)抽樣時(shí)刻，相當(dāng)于在一個(gè)抽樣間隔內(nèi)進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插，變成模擬信號(hào)抽樣間隔內(nèi)進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插，變成模擬信號(hào) 。圖。圖形如下：形如下：)(tXa)( tXa85抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器86抽樣信號(hào)的恢復(fù)與抽樣信號(hào)的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器 零階保持器的單位沖擊響應(yīng)零階保持器的單位沖擊響應(yīng)h1(t)及其頻率響應(yīng)及其頻率響應(yīng)H1(j)分別為分別為h1(t)=1 0 tT0 其他2/0112/)