高二數(shù)學(xué)直線與方程典型習(xí)題教師版

1、【知識點一：傾斜角與斜率】（1）直線的傾斜角關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。直線與軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為傾斜角的范圍（2）直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為的直線斜率不存在.記作 當(dāng)直線與軸平行或重合時, , 當(dāng)直線與軸垂直時, ,不存在.經(jīng)過兩點的直線的斜率公式是每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率.（3）求斜率的一般方法：已知直線上兩點，根據(jù)斜率公式求斜率；已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)根據(jù)來求斜率；（4）利用斜率證明三點共線的方法：已知，若，則有A、B、C三點共線。【知識點二：直線平行與垂直】（1）兩條直

2、線平行：對于兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有特別地，當(dāng)直線的斜率都不存在時，的關(guān)系為平行（2）兩條直線垂直：如果兩條直線斜率存在，設(shè)為，則有注：兩條直線垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直；反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，互相垂直.（2）線段的中點坐標(biāo)公式【知識點四 直線的交點坐標(biāo)與距離】（1）兩條直線的交點設(shè)兩條直線的方程是, 兩條直線的交點坐標(biāo)就是方程組的解。若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.（2

3、）幾種距離兩點間的距離：平面上的兩點間的距離公式特別地，原點與任一點的距離點到直線的距離：點到直線的距離兩條平行線間的距離：兩條平行線間的距離注:1求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；2求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計算。需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料精講精練【例】已知，直線過原點O且與線段AB有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（）A B C D 答案：B分析：由于直線與線段AB有公共點，故直線的斜率應(yīng)介于OA，OB斜率之間解：由題意，由于直線與線段AB有公共點，所以直線的斜率的取值范圍是考點：本題主要考查直線的斜率公式，考查直線與線段AB有公

4、共點，應(yīng)注意結(jié)合圖象理解【例】在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有（） A 1條 B 2條 C 3條 D 4條答案：B分析：由題意，A、B到直線距離是1和2，則以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線的條數(shù)即可解：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求考點：本題考查點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想【例】方程所表示的圖形的面積為_。答案： 解：方程所表示的圖形是一個正方形，其邊長為【例】設(shè)，則直線恒過定點 答案： 解：變化為 對于任何都成立，則【例】一直線過點，并且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為，這條直線方程是_答案：，或解：

5、設(shè)【例】已知A（1，2），B（3，4），直線l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y1=0、設(shè)Pi是li（i=1，2，3）上與A、B兩點距離平方和最小的點，則P1P2P3的面積是_答案：分析：設(shè)出P1，P2，P3，求出P1到A，B兩點的距離和最小時，P1坐標(biāo)，求出P2，P3的坐標(biāo)，然后再解三角形的面積即可解：設(shè)P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0） 由題設(shè)點P1到A，B兩點的距離和為顯然當(dāng)b=3即P1（0，3）時，點P1到A，B兩點的距離和最小，同理P2（2，0），P3（1，0），所以考點：本題考查得到直線的距離公式，函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題【例】已知直線（a2

6、）y=（3a1）x1，為使這條直線不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)a的范圍是_ _答案：2，+）分析：由已知中直線（a2）y=（3a1）x1不經(jīng)過第二象限，我們分別討論a2=0（斜率不存在），a20（斜率存在）兩種情況，討論滿足條件的實數(shù)a的取值，進而綜合討論結(jié)果，得到答案解：若a2=0，即a=2時，直線方程可化為x=，此時直線不經(jīng)過第二象限，滿足條件；若a20，直線方程可化為y=x，此時若直線不經(jīng)過第二象限，則0，0，解得a0綜上滿足條件的實數(shù)a的范圍是2，+）考點：本題考查的知識點是確定直線位置的幾何要素，其中根據(jù)直線的斜截式方程中，當(dāng)k0且b0時，直線不過第二象限得到關(guān)于a的不等式組，是解答本題的

7、關(guān)鍵，但解答時，易忽略對a2=0（斜率不存在）時的討論，而錯解為（2，+）?！纠窟^點作一直線，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為。解：設(shè)直線為交軸于點，交軸于點， 得，或解得或 ，或為所求?！纠恐本€和軸，軸分別交于點，在線段為邊在第一象限內(nèi)作等邊，如果在第一象限內(nèi)有一點使得和的面積相等，求的值。解：由已知可得直線，設(shè)的方程為 則，過 得【例】已知點，點在直線上，求取得最小值時點的坐標(biāo)。解：設(shè)，則當(dāng)時，取得最小值，即【例】求函數(shù)的最小值。解：可看作點到點和點的距離之和，作點關(guān)于軸對稱的點【例】在ABC中，已知BC邊上的高所在直線的方程為x2y+1=0， A的平分線所在直線的方程為

8、y=0若點B的坐標(biāo)為（1，2），求點C的坐標(biāo)分析：根據(jù)三角形的性質(zhì)解A點，再解出AC的方程，進而求出BC方程，解出C點坐標(biāo)逐步解答解：點A為y=0與x2y+1=0兩直線的交點， 點A的坐標(biāo)為（1，0） kAB=1又A的平分線所在直線的方程是y=0， kAC=1 直線AC的方程是y=x1而BC與x2y+1=0垂直， kBC=2 直線BC的方程是y2=2（x1）由y=x1，y=2x+4， 解得C（5，6）考點：直線的點斜式方程。本題可以借助圖形幫助理解題意，將條件逐一轉(zhuǎn)化求解【例】直線l過點P（2，1），且分別與x ，y軸的正半軸于A，B兩點，O為原點（1）求AOB面積最小值時l的方程； （2）|

9、PA|PB|取最小值時l的方程分析：（1）設(shè)AB方程為，點P（2，1）代入后應(yīng)用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面積面積的最小值（2）設(shè)直線l的點斜式方程，求出A，B兩點的坐標(biāo)，代入|PA|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意檢驗等號成立條件解：（1）設(shè)A（a，0）、B（0，b ），a0，b0，AB方程為，點P（2，1）代入得2，ab8 （當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時，等號成立），故三角形OAB面積S=ab4，此時直線方程為：，即x+2y4=0（2）設(shè)直線l：y1=k（x2），分別令y=0，x=0，得A（2，0），B（0，12k）則|PA|PB|=4，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1，即k

10、=1時，|PA|PB|取最小值，又 k0， k=1，這時l的方程為x+y3=0考點：本題考查直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應(yīng)用【例】求傾斜角是直線yx1的傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(，1)；(2)在y軸上的截距是5.解：直線的方程為yx1，k，傾斜角120，由題知所求直線的傾斜角為30，即斜率為.(1)直線經(jīng)過點(，1)，所求直線方程為y1(x)，即x3y60.(2)直線在y軸上的截距為5，由斜截式知所求直線方程為yx5，即x3y150.【例】已知直線l：kxy12k0(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l交x負半軸于A，交y正半軸于B，AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線l的方程。解：(1) 證