313概率的基本性質

1、§3.1.3 概率的基本性質一、教學目標1、知識與技能：（1）正確理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、對立事件的概念；（2）概率的幾個基本性質：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0P(A)1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)（3）正確理解和事件與積事件，以及互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系.2、過程與方法：通過事件的關系、運算與集合的關系、運算進行類比學習，培養(yǎng)學生的類化與歸納的數(shù)學思想。3、情感態(tài)

2、度與價值觀：通過數(shù)學活動，了解教學與實際生活的密切聯(lián)系，感受數(shù)學知識應用于現(xiàn)實世界的具體情境，從而激發(fā)學習數(shù)學的情趣。二、重點難點教學重點：概率的加法公式及其應用.教學難點：事件的關系與運算.三、教學設計（一）導入新課1、 體育考試的成績分為四個等級：優(yōu)、良、中、不及格,某班50名學生參加了體育考試,結果如下：優(yōu)85分及以上9人良7584分15人中6074分21人不及格60分以下5人 在同一次考試中,某一位同學能否既得優(yōu)又得良？ 從這個班任意抽取一位同學,那么這位同學的體育成績?yōu)椤皟?yōu)良”（優(yōu)或良）的概率是多少？ 為解決這個問題,我們學習概率的基本性質,教師板書課題.2、（1）集合有相等、包含關

3、系,如1,3=3,1,2,42,3,4,5等；（2）在擲骰子試驗中,可以定義許多事件如：C1=出現(xiàn)1點,C2=出現(xiàn)2點,C3=出現(xiàn)1點或2點,C4=出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù). 師生共同討論：觀察上例,類比集合與集合的關系、運算,你能發(fā)現(xiàn)事件的關系與運算嗎？這就是本堂課要講的知識概率的基本性質. 3、 全運會中某省派兩名女乒乓球運動員參加單打比賽,她們奪取冠軍的概率分別是2/7和1/5,則該省奪取該次冠軍的概率是2/7+1/5,對嗎？為什么？為解決這個問題,我們學習概率的基本性質.（二）推進新課、新知探究、提出問題 在擲骰子試驗中,可以定義許多事件如：C1=出現(xiàn)1點,C2=出現(xiàn)2點,C3=出現(xiàn)3點,C4

4、=出現(xiàn)4點,C5=出現(xiàn)5點,C6=出現(xiàn)6點,D1=出現(xiàn)的點數(shù)不大于1,D2=出現(xiàn)的點數(shù)大于3,D3=出現(xiàn)的點數(shù)小于5,E=出現(xiàn)的點數(shù)小于7,F=出現(xiàn)的點數(shù)大于6,G=出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù),H=出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù), 類比集合與集合的關系、運算說明這些事件的關系和運算,并定義一些新的事件.(1)如果事件C1發(fā)生,則一定發(fā)生的事件有哪些？反之,成立嗎？(2)如果事件C2發(fā)生或C4發(fā)生或C6發(fā)生,就意味著哪個事件發(fā)生？(3)如果事件D2與事件H同時發(fā)生,就意味著哪個事件發(fā)生？(4)事件D3與事件F能同時發(fā)生嗎？(5)事件G與事件H能同時發(fā)生嗎？它們兩個事件有什么關系？(1)如果事件C1發(fā)生,則一定發(fā)生的事件

5、有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分別成立,能推出事件C1發(fā)生的只有D1.(2)如果事件C2發(fā)生或C4發(fā)生或C6發(fā)生,就意味著事件G發(fā)生.(3)如果事件D2與事件H同時發(fā)生,就意味著C5事件發(fā)生.(4)事件D3與事件F不能同時發(fā)生.(5)事件G與事件H不能同時發(fā)生,但必有一個發(fā)生.由此我們得到事件A,B的關系和運算如下:如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時我們說事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,記為BA（或AB）,不可能事件記為,任何事件都包含不可能事件.如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,反之也成立,（若BA同時AB）,我們說這兩個事件相等,即A=B.如C1=D1

6、.如果某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與B的并事件（或和事件）,記為AB或A+B.如果某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與B的交事件（或積事件）,記為AB或AB.如果AB為不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥,即事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生.如果AB為不可能事件,AB為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件,即事件A與事件B在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生.繼續(xù)依次提出以下問題:結論：（1）概率的取值范圍是多少?（2）必然事件的概率是多少?（3）不可能事件的概率是多少?（4）互斥事件的概率應怎樣計算?（5）對立事件的概率應怎樣

7、計算?（1）由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗的次數(shù),所以,頻率在01之間,因而概率的取值范圍也在01之間.（2）必然事件是在試驗中一定要發(fā)生的事件,所以頻率為1,因而概率是1. （3）不可能事件是在試驗中一定不發(fā)生的事件,所以頻率為0,因而概率是0. （4）當事件A與事件B互斥時,AB發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件B發(fā)生的頻數(shù)之和,互斥事件的概率等于互斥事件分別發(fā)生的概率之和.（5）事件A與事件B互為對立事件,AB為不可能事件,AB為必然事件,則AB的頻率為1,因而概率是1,由（4）可知事件B的概率是1與事件A發(fā)生的概率的差. 結論：（1）概率的取值范圍是01之間,即0P(A)1.（2）

8、必然事件的概率是1.如在擲骰子試驗中,E=出現(xiàn)的點數(shù)小于7,因此P(E)=1.（3）不可能事件的概率是0,如在擲骰子試驗中,F=出現(xiàn)的點數(shù)大于6,因此P(F)=0.（4）當事件A與事件B互斥時,AB發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件B發(fā)生的頻數(shù)之和,互斥事件的概率等于互斥事件分別發(fā)生的概率之和,即P(AB)=P(A)+P(B),這就是概率的加法公式.也稱互斥事件的概率的加法公式.（5）事件A與事件B互為對立事件,AB為不可能事件,AB為必然事件,P(AB)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在擲骰子試驗中,事件G=出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)與H=出現(xiàn)的點

9、數(shù)為奇數(shù)互為對立事件,因此P(G)=1-P(H). 上述這些都是概率的性質,利用這些性質可以簡化概率的計算,下面我們看它的應用.（三）應用示例例1 一個射手進行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件?哪些是對立事件?事件A：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)； 事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)； 事件D：命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán).活動：教師指導學生,要判斷所給事件是對立還是互斥,首先將兩個概念的聯(lián)系與區(qū)別弄清楚,互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩事件,而對立事件是建立在互斥事件的基礎上,兩個事件中一個不發(fā)生,另一個必發(fā)生.解：A與C互斥（不可能同時發(fā)生）,B與C互斥,C與D互斥,C與D是對

10、立事件（至少一個發(fā)生）.點評：判斷互斥事件和對立事件,要緊扣定義,搞清互斥事件和對立事件的關系,互斥事件是對立事件的前提.變式訓練 從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件,觀察正品件數(shù)與次品件數(shù),判斷下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件.（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.解：依據(jù)互斥事件的定義,即事件A與事件B在一定試驗中不會同時發(fā)生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發(fā)生,因此它們是互斥事件,又因為它們并不是必然事件,所以它們不是對立事件.同

11、理可以判斷：（2）中的2個事件不是互斥事件,也不是對立事件.（3）中的2個事件既不是互斥事件也不是對立事件.（4）中的2個事件既互斥又對立.例2 如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張,那么取到紅心（事件A）的概率是,取到方塊（事件B）的概率是,問：（1）取到紅色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？活動：學生先思考或交流,教師及時指導提示,事件C是事件A與事件B的并,且A與B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C與事件D是對立事件,因此P(D)=1-P(C).解：（1）因為C=AB,且A與B不會同時發(fā)生,所以事件A與事件B互斥,根據(jù)概率的加法公式得

12、P(C)=P(A)+P(B)=.（2）事件C與事件D互斥,且CD為必然事件,因此事件C與事件D是對立事件,P(D)=1-P(C)=.點評：利用概率的加法公式,一定要注意使用條件,千萬不可大意.變式訓練 某射手在一次射擊訓練中,射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21、0.23、0.25、0.28,計算該射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）少于7環(huán)的概率.解：（1）該射手射中10環(huán)與射中9環(huán)的概率是射中10環(huán)的概率與射中9環(huán)的概率的和,即為0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7環(huán)的概率恰為射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率的和,即為0.21+0.23+0.25

13、+0.28=0.97,而射中少于7環(huán)的事件與射中不少于7環(huán)的事件為對立事件,所以射中少于7環(huán)的概率為1-0.97=0.03.（四）拓展提升.黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示：血型ABABO該血型的人所占比/%2829835 已知同種血型的人可以輸血,O型血可以輸給任一種血型的人,任何人的血都可以輸給AB型血的人,其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血,若小明因病需要輸血,問：(1)任找一個人,其血可以輸給小明的概率是多少？(2)任找一個人,其血不能輸給小明的概率是多少？解：（1）對任一人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別記為A,B,C,D,它們是互斥的.由已知,有P(A)=0

14、.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因為B,O型血可以輸給B型血的人,故“可以輸給B型血的人”為事件B+D.根據(jù)互斥事件的加法公式,有P(B+D)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.（2）由于A,AB型血不能輸給B型血的人,故“不能輸給B型血的人”為事件A+C,且P(A+C)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36. 即任找一人,其血可以輸給小明的概率為0.64,其血不能輸給小明的概率為0.36.注：第（2）問也可以這樣解：因為事件“其血可以輸給B型血的人”與事件“其血不能輸給B型血的人”是對立事件,故由對立事件的概率公式,有P()=1-P(B+D)=1-0.64=0.36.（五）課堂小結1.概率的基本性質是學習概率的基礎.不可能事件一定不出現(xiàn),因此其概率為0,必然事件一定發(fā)生,因此其概率為1.當事件A與事件B互斥時,AB發(fā)生的概率等于A發(fā)生的概率與B發(fā)生的概率的和,從而有公式P（AB）=P（A）+P（B）；對立事