材料測試技術chapter2答案

1、2021/1/42勞厄用X射線衍射同時證明了這兩個問題1.人們對可見光的衍射現(xiàn)象有了確切的了解：光柵常數(shù)()只要與點光源的光波波長為同一數(shù)量級，就可產生衍射，衍射花樣取決于光柵形狀。2.晶體學家和礦物學家對晶體的認識：晶體是由原子或分子為單位的共振體（偶極子）呈周期排列的空間點陣，各共振體的間距大約是10-8-10-7，已計算出14種點陣類型。2021/1/43本章研究X射線衍射可歸結為兩方面的問題：衍射方向和衍射強度。衍射方向問題是依靠布拉格方程（或倒易點陣）的理論導出的；衍射強度主要介紹多晶體衍射線條的強度，將從一個電子的衍射強度研究起，接著研究一個原子的、一個晶胞的以至整個晶體的衍射強度

2、，最后引入一些幾何與物理上的修正因數(shù)，從而得出多晶體衍射線條的積分強度。2021/1/44倒易點陣倒易點陣 晶體中的原子在三維空間周期性排列，這種點陣稱為正點陣或真點陣。 以長度倒數(shù)為量綱與正點陣按一定法則對應的虛擬點陣稱倒易點陣2021/1/45定義倒易點陣定義倒易點陣的基本矢量垂直于正點陣異名矢量構成的平面所以有:(僅當正交晶系）VbacVacbVcba0bcaccbabcaba1bbaaccccbbaa111，2021/1/46倒易點陣性質根據定義在倒易點陣中,從倒易原點到任一倒易點的矢量稱倒易矢量 g* =可以證明: 1. g*矢量的長度等于其對應晶面間距的倒數(shù) g* =1 2.其方向

3、與晶面相垂直 g* (晶面法線) lckbha2021/1/47以下就與r*及其性質有關的兩個問題進行說明倒易陣點與正點陣（）晶面的對應關系倒易陣點與正點陣（）晶面的對應關系 ， g g* *的基本性質確切表達了其與（）的的基本性質確切表達了其與（）的 對應關系，對應關系，即一個即一個g g* *與一組（）對應；與一組（）對應； g g* *的方向與大小表達了（）在正點陣中的方位與晶面間距；反的方向與大小表達了（）在正點陣中的方位與晶面間距；反之，（）決定了之，（）決定了g g* *的方向與大小的方向與大小g g* *的基本性質也建立了作為終點的倒易（陣）點與（）的基本性質也建立了作為終點的倒

4、易（陣）點與（）的的 對應關系：正點陣中每對應關系：正點陣中每（）對應著一個倒易點，該倒易點在倒易點陣中坐標（可（）對應著一個倒易點，該倒易點在倒易點陣中坐標（可稱陣點指數(shù)）即為（）；反之，一個陣點指數(shù)為的倒易點對應正點陣中一組（），（）方稱陣點指數(shù)）即為（）；反之，一個陣點指數(shù)為的倒易點對應正點陣中一組（），（）方位與晶面間距由該倒易點相應的決定，下圖為晶面與倒易矢量（倒易點）對應關系示例。位與晶面間距由該倒易點相應的決定，下圖為晶面與倒易矢量（倒易點）對應關系示例。倒易點陣的建立：倒易點陣的建立： 若已知晶體點陣參數(shù)，即由式（）可求得其相應倒易點陣參數(shù)，從而建立其倒若已知晶體點陣參數(shù)，即由

5、式（）可求得其相應倒易點陣參數(shù)，從而建立其倒易點陣也可依據與（）的對應關系，通過作圖法建立倒易點陣。即在正點陣中取若干不易點陣也可依據與（）的對應關系，通過作圖法建立倒易點陣。即在正點陣中取若干不同方位的（），并據其作出對應的，各終點的陣列即為倒易點陣同方位的（），并據其作出對應的，各終點的陣列即為倒易點陣2021/1/48晶面與倒易結點的關系 2021/1/49晶帶軸在晶體中如果若干個晶面同時平行于某一軸向時，則這些晶面屬于同一晶帶，而這個軸向就稱為晶帶軸。若晶帶軸的方向指數(shù)為，晶帶中某晶面的指數(shù)為()，則()的倒易矢量g必定垂直于。則 這兩個矢量互相垂直，則其數(shù)量積必為零，故將上式展開，并

6、參考式（2-3）及式（2-4）得 lckbhaghkl0)()lckbhawcvbua（0lwkvhu2021/1/410晶帶軸指數(shù)當某晶帶中二晶面的指數(shù)已知時，則對應倒易矢量的矢積必行晶帶軸矢量，可通過聯(lián)立方程來求解晶帶軸的指數(shù)。但為了方便，一般采用交叉法求解。例如兩晶面的指數(shù)分別為（h1k1l1）及（h2k2l2），其相應的晶帶軸為h1 k1 l1 h1 k1 l1 h2 k2 l2 h2 k2 l2 u v w即 采用類似的方法可求出同屬二已知晶向的晶面指數(shù)。)( : )( : )(:122112211221khkhhlhllklkwvu2021/1/411布拉格方程布拉格方程 用勞厄方

7、程描述x射線被晶體的衍射現(xiàn)象時，入射線、衍射線與晶軸的六個夾角不易確定，用該方程組求點陣常數(shù)比較困難。所以，勞厄方程雖能解釋衍射現(xiàn)象，但使用不便。1912年英國物理學家布拉格父子（，.，.）從x射線被原子面“反射”的觀點出發(fā)，推出了非常重要和實用的布拉格定律。可以說，勞厄方程是從原子列散射波的干涉出發(fā)，去求射線照射晶體時衍射線束的方向，而布拉格定律則是從原子面散射波的干涉出發(fā)，去求x射線照射晶體時衍射線束的方向，兩者的物理本質相同。2021/1/412布拉格定律的推證當射線照射到晶體上時，考慮一層原子面上散射射線的干涉。當射線以角入射到原子面并以角散射時，相距為a的兩原子散射x射的光程差為：

8、當光程差等于波長的整數(shù)倍（ ）時 ，在 角方向散射干涉加強。即程差=0，從式（311）式可得 。即是說， 當入射角與散射角相等時，一層原子面上所有散射波干涉將會加強。與可見光的反射定律相類似，射線從一層原子面呈鏡面反射的方向，就是散射線干涉加強的方向，因此，常將這種散射稱從晶面反射。)cos(cos an2021/1/413布拉格定律的推證x x射線有強的穿透能力，在射線有強的穿透能力，在x x射線作用下晶體的散射線來自若干層原子面，除同一層原子面的射線作用下晶體的散射線來自若干層原子面，除同一層原子面的散射線互相干涉外，各原子面的散射線之間還要互相干涉。這里只討論兩相鄰原子面的散射散射線互相

9、干涉外，各原子面的散射線之間還要互相干涉。這里只討論兩相鄰原子面的散射波的干涉。過波的干涉。過D D點分別向入射線和反射線作垂線，則之前和之后兩束射線的光程相同，它們點分別向入射線和反射線作垂線，則之前和之后兩束射線的光程相同，它們的程差為的程差為8C8C2 2。當光程差等于波長的整數(shù)倍時，相鄰原子面散射波干涉加強，即干涉加。當光程差等于波長的整數(shù)倍時，相鄰原子面散射波干涉加強，即干涉加強條件為：強條件為：ndsin22021/1/414布拉格定律的討論（1） 選擇反射射線在晶體中的衍射，實質上是晶體中各原子相干散射波之間互相干涉的結果。但因衍射射線在晶體中的衍射，實質上是晶體中各原子相干散射

10、波之間互相干涉的結果。但因衍射線的方向恰好相當于原子面對入射線的反射，故可用布拉格定律代表反射規(guī)律來描述衍射線線的方向恰好相當于原子面對入射線的反射，故可用布拉格定律代表反射規(guī)律來描述衍射線束的方向。束的方向。在以后的討論中，常用在以后的討論中，常用“反射反射”這個術語描述衍射問題，或者將這個術語描述衍射問題，或者將“反射反射”和和“衍射衍射”作為同作為同義詞混合使用。義詞混合使用。但應強調指出，但應強調指出，x x射線從原子面的反射和可見光的鏡面反射不同，前者是有選擇地反射，其射線從原子面的反射和可見光的鏡面反射不同，前者是有選擇地反射，其選擇條件為布拉格定律；而一束可見光以任意角度投射到鏡

11、面上時都可以產生反射，即反射選擇條件為布拉格定律；而一束可見光以任意角度投射到鏡面上時都可以產生反射，即反射不受條件限制。不受條件限制。因此，將因此，將x x射線的晶面反射稱為選擇反射，反射之所以有選擇性，是晶體內若干原子面反射射線的晶面反射稱為選擇反射，反射之所以有選擇性，是晶體內若干原子面反射線干涉的結果。線干涉的結果。2021/1/415布拉格定律的討論（2） 衍射的限制條件 由布拉格公式由布拉格公式22可知，可知，/2d/2d，因，因11，故，故n/2d 1n/2d 1。為使物理意義更清楚，為使物理意義更清楚， 現(xiàn)考慮現(xiàn)考慮n n1 1（即（即1 1級反射）的情況，此時級反射）的情況，

12、此時/2d/2/2d/2的晶面才能產生衍射。的晶面才能產生衍射。例如的一組晶面間距從大到小的順序：例如的一組晶面間距從大到小的順序：2.022.02，1.431.43，1.171.17，1.01 1.01 ，0.90 0.90 ，0.83 0.83 ，0.76 0.76 當用波長為當用波長為k=1.94k=1.94的鐵靶照射時，因的鐵靶照射時，因k/2=0.97k/2=0.97，只有四個，只有四個d d大于它，大于它，故產生衍射的晶面組有四個。如用銅靶進行照射，故產生衍射的晶面組有四個。如用銅靶進行照射， 因因k/2=0.77k/2=0.77， 故前六個晶面組都故前六個晶面組都能產生衍射。能產

13、生衍射。2021/1/416布拉格定律的討論（3） 干涉面和干涉指數(shù) 為了使用方便，為了使用方便， 常將布拉格公式改寫成。常將布拉格公式改寫成。如令如令 ，則，則這樣由（）晶面的這樣由（）晶面的n n級反射，可以看成由面間距為的（）晶面的級反射，可以看成由面間距為的（）晶面的1 1級反射，（）與（）面互相級反射，（）與（）面互相平行。面間距為的晶面不一定是晶體中的原子面，而是為了簡化布拉格公式而引入的反射面，平行。面間距為的晶面不一定是晶體中的原子面，而是為了簡化布拉格公式而引入的反射面，常將它稱為干涉面。常將它稱為干涉面。 sin2ndhklnddhklHKLsin2HKLd2021/1/4

14、17布拉格定律的討論（3） 干涉面和干涉指數(shù)干涉指數(shù)有公約數(shù)干涉指數(shù)有公約數(shù)n，而晶面指數(shù)只能是互質的整數(shù)。當干涉指數(shù)也互為質數(shù)時，它就代表，而晶面指數(shù)只能是互質的整數(shù)。當干涉指數(shù)也互為質數(shù)時，它就代表一組真實的晶面，因此，干涉指數(shù)為晶面指數(shù)的推廣，是廣義的晶面指數(shù)。一組真實的晶面，因此，干涉指數(shù)為晶面指數(shù)的推廣，是廣義的晶面指數(shù)。 2021/1/418布拉格定律的討論（4） 衍射線方向與晶體結構的關系 從從 看出，波長選定之后，衍射線束的方向（用看出，波長選定之后，衍射線束的方向（用 表示）是晶面間距表示）是晶面間距d d的函數(shù)。如將立方、的函數(shù)。如將立方、正方、斜方晶系的面間距公式代入布拉

15、格公式，并進行平方后得：正方、斜方晶系的面間距公式代入布拉格公式，并進行平方后得：立方系立方系正方系正方系斜方系斜方系從上面三個公式可以看出，波長選定后，不同晶系或同一晶系而晶胞大小不同的晶體，其衍射線束從上面三個公式可以看出，波長選定后，不同晶系或同一晶系而晶胞大小不同的晶體，其衍射線束的方向不相同。因此，研究衍射線束的方向，可以確定晶胞的形狀大小。另外，從上述三式還能看的方向不相同。因此，研究衍射線束的方向，可以確定晶胞的形狀大小。另外，從上述三式還能看出，衍射線束的方向與原子在晶胞中的位置和原子種類無關，只有通過衍射線束強度的研究，才能出，衍射線束的方向與原子在晶胞中的位置和原子種類無關

16、，只有通過衍射線束強度的研究，才能解決這類問題。解決這類問題。 222224sin2LKHa22222224sincLaKH222222224sincLbKaHsin2d2021/1/419布拉格方程應用布拉格方程應用布拉格方程是X射線衍射分布中最重要的基礎公式，它形式簡單，能夠說明衍射的基本關系，所以應用非常廣泛。從實驗角度可歸結為兩方面的應用：一方面是用已知波長的X射線去照射晶體，通過衍射角的測量求得晶體中各晶面的面間距d，這就是結構分析 X射線衍射學；另一方面是用一種已知面間距的晶體來反射從試樣發(fā)射出來的X射線，通過衍射角的測量求得X射線的波長，這就是X射線光譜學。該法除可進行光譜結構的

17、研究外，從X射線的波長還可確定試樣的組成元素。電子探針就是按這原理設計的。2021/1/420衍射矢量方程x x射線照射晶體產生的衍射線束的方向，射線照射晶體產生的衍射線束的方向，不僅可以用布拉格定律描述，在引入倒易不僅可以用布拉格定律描述，在引入倒易點陣后，還能用衍射矢量方程描述。點陣后，還能用衍射矢量方程描述。在圖中，在圖中，P P為原子面，為原子面，N N為它的法線。假如為它的法線。假如一束一束x x射線被晶面反射，入射線方向的單射線被晶面反射，入射線方向的單位矢量為位矢量為S0S0，衍射線方向的單位矢量為，衍射線方向的單位矢量為S S，則稱為衍射矢量則稱為衍射矢量 0SS2021/1/

18、421衍射矢量方程如前所述，衍射矢量 ，即平行于倒易矢量。而上式的右端就是倒易矢量的大小，因此，去掉左端的絕對值符號而用倒易矢量替換右端后有 cLbKaHgSS0HKLdSS10NSS0HKLdSSsin202021/1/422厄瓦爾德圖解厄瓦爾德圖解 衍射矢量方程可以用等腰矢量三角形表達，它表示衍射矢量方程可以用等腰矢量三角形表達，它表示產生衍射時，入射線方向矢量產生衍射時，入射線方向矢量 ，衍射線方向矢，衍射線方向矢量量 和倒易矢量和倒易矢量 之間的幾何關系。這種關系說之間的幾何關系。這種關系說明，要使（）晶面發(fā)生反射，入射線必須沿一明，要使（）晶面發(fā)生反射，入射線必須沿一定方向入射，定方

19、向入射， 以保證反射線方向的矢量以保證反射線方向的矢量 端端點恰好落在倒易矢量點恰好落在倒易矢量 的端點上，即的端點上，即 的端點的端點應落在應落在 倒易點上。倒易點上。 愛瓦爾德愛瓦爾德 將等腰三角形置于圓中便構成將等腰三角形置于圓中便構成了非常簡單的衍射方程圖解法了非常簡單的衍射方程圖解法 SrS2021/1/423厄瓦爾德圖解厄瓦爾德圖解首先作晶體的倒易點陣，首先作晶體的倒易點陣，O O為倒易原點。入射線沿為倒易原點。入射線沿OOOO方向入射，且令方向入射，且令OO 0/ OO 0/ 。 以以00為球心，以為球心，以1/1/為為半徑畫一球，稱反射球。若球面與倒易點半徑畫一球，稱反射球。若

20、球面與倒易點B B相交，連相交，連OBOB則有則有O S0/ O S0/ ，這里為一倒易矢量。因，這里為一倒易矢量。因OO OO 1/1/，故，故OO為與等腰三角形等效，為與等腰三角形等效，OBOB是一衍射線是一衍射線方向。由此可見，當方向。由此可見，當x x射線沿射線沿OOOO方向入射的情況下，方向入射的情況下，所有能發(fā)生反射的晶面，其倒易點都應落在以所有能發(fā)生反射的晶面，其倒易點都應落在以OO為球為球心。以心。以1/1/為半徑的球面上，從球心為半徑的球面上，從球心OO指向倒易點的指向倒易點的方向是相應晶面反射線的方向。以上求衍射線方向的作方向是相應晶面反射線的方向。以上求衍射線方向的作圖法

21、稱愛瓦爾德圖解，它是解釋各種衍射花樣的有力工圖法稱愛瓦爾德圖解，它是解釋各種衍射花樣的有力工具。具。那些落在球面上的倒易點才能產生衍射! 2021/1/424勞埃法勞埃法是德國物理學家勞埃在勞埃法是德國物理學家勞埃在19121912年首先年首先提出的，是最早的提出的，是最早的X X射線分析方法，它用射線分析方法，它用垂直于入射線的平底片記錄衍射線而得到垂直于入射線的平底片記錄衍射線而得到勞埃斑點。勞埃斑點。如圖所示，圖中如圖所示，圖中A A為透射相，為透射相，B B為背射相，為背射相，目前勞埃法用于單晶體取向測定及晶體對目前勞埃法用于單晶體取向測定及晶體對稱性的研究。稱性的研究。2021/1/

22、425勞埃法 采用連續(xù)采用連續(xù)X X射線照射不動的單晶體射線照射不動的單晶體連續(xù)譜的波長有一個范圍，從連續(xù)譜的波長有一個范圍，從0(0(短波限短波限) )到到mm。右圖。右圖為零層倒易點陣以及兩個極限波長反射球的截面。為零層倒易點陣以及兩個極限波長反射球的截面。大球以大球以B B為中心，其半徑為為中心，其半徑為00的倒數(shù)；小球以的倒數(shù)；小球以A A為中心，為中心，其半徑為其半徑為mm的倒數(shù)。在這兩個球之間，以線段上的倒數(shù)。在這兩個球之間，以線段上的點為中心有無限多個球，其半徑從的點為中心有無限多個球，其半徑從() ()連續(xù)變化到連續(xù)變化到() ()。凡是落到這兩個球面之間的區(qū)域的倒易結點，均滿

23、凡是落到這兩個球面之間的區(qū)域的倒易結點，均滿足布拉格條件，它們將與對應某一波長的反射球面足布拉格條件，它們將與對應某一波長的反射球面相交而獲得衍射。相交而獲得衍射。 2021/1/426周轉晶體法 周轉晶體法采用單色周轉晶體法采用單色X X射線照射轉動的單晶體，并用射線照射轉動的單晶體，并用一張以旋轉軸為軸的圓筒形底片來記錄一張以旋轉軸為軸的圓筒形底片來記錄 晶體繞晶軸旋轉相當于其倒易點陣圍繞過原點晶體繞晶軸旋轉相當于其倒易點陣圍繞過原點O O并與并與反射球相切的一根軸轉動，于是某些結點將瞬時地反射球相切的一根軸轉動，于是某些結點將瞬時地通過反射球面。通過反射球面。凡是倒易矢量凡是倒易矢量g

24、g值小于反射球直徑值小于反射球直徑(1(1d2/ )d2/ )的的那些倒易點，都有可能與球面相遇而產生衍射。那些倒易點，都有可能與球面相遇而產生衍射。 2021/1/427周轉晶體法2021/1/428粉末多晶法 該法采用單色該法采用單色X X射線照射多晶試樣射線照射多晶試樣 2021/1/429粉末多晶法多晶體是數(shù)量眾多的單晶多晶體是數(shù)量眾多的單晶. .是無數(shù)單晶體是無數(shù)單晶體圍繞所有可能的軸取向混亂的集合體圍繞所有可能的軸取向混亂的集合體. .同一晶面族的倒易矢量長度相等同一晶面族的倒易矢量長度相等, ,位向不位向不同同, ,其矢量端點構成倒易球面其矢量端點構成倒易球面不同晶面族構成不同直

25、徑的倒易球不同晶面族構成不同直徑的倒易球倒易球與反射球相交的圓環(huán)滿足布拉格條倒易球與反射球相交的圓環(huán)滿足布拉格條件產生衍射件產生衍射, ,這些環(huán)與反射球中心連起來這些環(huán)與反射球中心連起來構成反射圓錐構成反射圓錐2021/1/430X射線的強度X X射線衍射理論能將晶體結構與衍射花樣有機地聯(lián)系起來，它包括衍射線束的方向、強度和射線衍射理論能將晶體結構與衍射花樣有機地聯(lián)系起來，它包括衍射線束的方向、強度和形狀。形狀。衍射線束的方向由晶胞的形狀大小決定衍射線束的方向由晶胞的形狀大小決定衍射線束的強度由晶胞中原子的位置和種類決定，衍射線束的強度由晶胞中原子的位置和種類決定，衍射線束的形狀大小與晶體的形

26、狀大小相關。衍射線束的形狀大小與晶體的形狀大小相關。 下面我們將從一個電子、一個原子、一個晶胞、一個晶體、粉末多晶循序漸進地介紹它們對下面我們將從一個電子、一個原子、一個晶胞、一個晶體、粉末多晶循序漸進地介紹它們對X X射線的散射，討論散射波的合成振幅與強度射線的散射，討論散射波的合成振幅與強度2021/1/431一個電子對X射線的散射當入射線與原子內受核束縛較緊的電子相遇，當入射線與原子內受核束縛較緊的電子相遇，光量子能量不足以使原子電離，但電子可在光量子能量不足以使原子電離，但電子可在X X射線交變電場作用下發(fā)生受迫振動，這樣電射線交變電場作用下發(fā)生受迫振動，這樣電子就成為一個電磁波的發(fā)射

27、源，向周圍輻射子就成為一個電磁波的發(fā)射源，向周圍輻射與入射與入射X X射線波長相同的輻射稱相干散射射線波長相同的輻射稱相干散射. .X X射線射到電子射線射到電子e e后，在空間一點后，在空間一點P P處的相干散處的相干散射強度為射強度為2222021 cos 2() ()42eIeIRmc2021/1/432質子或原子核對X射線的散射 若將湯姆遜公式用于質子或原子核，由于質子的質量是電子的若將湯姆遜公式用于質子或原子核，由于質子的質量是電子的1840倍，則散射強度只有電子倍，則散射強度只有電子的的1(1840) 2，可忽略不計。所以物質對，可忽略不計。所以物質對X射線的散射可以認為只是電子的

28、散射。射線的散射可以認為只是電子的散射。相干散射波雖然只占入射能量的極小部分，但由于它的相干特性而成為相干散射波雖然只占入射能量的極小部分，但由于它的相干特性而成為X射線衍射分析的基射線衍射分析的基礎。礎。 2021/1/433一個原子對X射線的衍射當一束當一束x射線與一個原子相遇，原子核的散射可射線與一個原子相遇，原子核的散射可以忽略不計。原子序數(shù)為以忽略不計。原子序數(shù)為Z的原子周圍的的原子周圍的Z個電個電子可以看成集中在一點，它們的總質量為，總子可以看成集中在一點，它們的總質量為，總電量為，衍射強度為：電量為，衍射強度為： 原子中所有電子并不集中在一點，他們的散射原子中所有電子并不集中在一

29、點，他們的散射波之間有一定的位相差。則衍射強度為：波之間有一定的位相差。則衍射強度為： fZ原子散射因子原子散射因子emeaIZcRZZII242240eaIfI22021/1/434一個原子對X射線的衍射原子中的電子在其周圍形成電子云，當散射原子中的電子在其周圍形成電子云，當散射角角2=0時，各電子在這個方向的散射波之間時，各電子在這個方向的散射波之間沒有光程差，它們的合成振幅為；沒有光程差，它們的合成振幅為；當散射角當散射角20時，如圖所示，觀察原點時，如圖所示，觀察原點O和和空間一點空間一點G的電子，它們的相干散射波在的電子，它們的相干散射波在2角方向上有光程差。角方向上有光程差。設入射

30、和散射方向的單位矢量分別是設入射和散射方向的單位矢量分別是S0和和S，位矢則其相位差位矢則其相位差為為 ：rGO )(2)(20SSrOmGn00SSrSrSrOmGn2021/1/435原子對X射線的衍射對積分可求合成振幅，原子散射因子f為下式f的大小受Z，影響（見右圖）)162()(dVerveaifAAf則振幅一個電子相干散射波的干散射波的合成振幅一個原子中所有電子相2021/1/436一個晶胞對X射線的衍射簡單點陣只由一種原子組成，每個晶胞只有一個原子，它分布在晶胞的頂角上，單位晶胞的簡單點陣只由一種原子組成，每個晶胞只有一個原子，它分布在晶胞的頂角上，單位晶胞的散射強度相當于一個原子

31、的散射強度。散射強度相當于一個原子的散射強度。復雜點陣晶胞中含有復雜點陣晶胞中含有n n個相同或不同種類的原子，它們除占據單胞的頂角外，還可能出現(xiàn)在個相同或不同種類的原子，它們除占據單胞的頂角外，還可能出現(xiàn)在體心、面心或其他位置。體心、面心或其他位置。復雜點陣單胞的散射波振幅應為單胞中各原子的散射振幅的矢量合成。由于衍射線的相互干復雜點陣單胞的散射波振幅應為單胞中各原子的散射振幅的矢量合成。由于衍射線的相互干涉，某些方向的強度將會加強，而某些方向的強度將會減弱甚至消失。這種規(guī)律稱為系統(tǒng)消涉，某些方向的強度將會加強，而某些方向的強度將會減弱甚至消失。這種規(guī)律稱為系統(tǒng)消光（或結構消光）。光（或結構

32、消光）。 2021/1/437晶胞中原子對X射線的散射波的合成振幅原子間的相位差原子間的相位差: :合成振幅合成振幅: :定義結構振幅為定義結構振幅為F F 稱之結構因子jninjjeiniiebefAefefefAA121)(21ebHKLAAF振幅一個電子的相干散射波振幅一個晶胞的相干散射波)(222jjjjjjLzKyHxgr2HKLFnjijHKLjefF12021/1/438結構振幅的計算結構振幅的計算結構振幅為結構振幅為:可將復數(shù)展開成三角函數(shù)形式可將復數(shù)展開成三角函數(shù)形式則則由此可計算各種晶胞的結構振幅由此可計算各種晶胞的結構振幅njijHKLjefF1sincosieinjjj

33、jjjjjHKLLzKyHxiLzKyHxfF1)(2sin)(2cos21212)(2sin)(2cosjjnjjjjjNjjjHKLHKLHKLLzKyHxfLzKyHxfFFF2021/1/439結構振幅的計算結構振幅的計算1 1、簡單點陣、簡單點陣單胞中只有一個原子，基坐標為（單胞中只有一個原子，基坐標為（0 0，0 0，0 0），原子散射因數(shù)為），原子散射因數(shù)為f f，根據式（，根據式（2-202-20）：）：該種點陣其結構因數(shù)與無關，即為任意整數(shù)時均能產生衍射，例如（該種點陣其結構因數(shù)與無關，即為任意整數(shù)時均能產生衍射，例如（100100）、（）、（110110）、）、（11111

34、1）、（）、（200200）、（）、（210210）。能夠出現(xiàn)的衍射面指數(shù)平方和之比是。能夠出現(xiàn)的衍射面指數(shù)平方和之比是 2222)0(2sin)0(2cosfffFHKL5:4:3:2:1)12( :2: )111 ( : )11 ( :1)( : )( : )(222222222232323222222212121LKHLKHLKH2021/1/440結構振幅的計算結構振幅的計算2 2、體心點陣、體心點陣 單胞中有兩種位置的原子，即頂角原子，其坐標為（單胞中有兩種位置的原子，即頂角原子，其坐標為（0 0，0 0，0 0）及體心原子，其坐標為）及體心原子，其坐標為 (1/2,1/2,1/2)

35、(1/2,1/2,1/2)1 1）當奇數(shù)時，）當奇數(shù)時， ，即該晶面的散射強度為零，這些晶面的衍，即該晶面的散射強度為零，這些晶面的衍射線不可能出現(xiàn)，例如（射線不可能出現(xiàn)，例如（100100）、（）、（111111）、（）、（210210）、（）、（300300）、（）、（311311）等。）等。2 2）當偶數(shù)時，）當偶數(shù)時， 即體心點陣只有指數(shù)之和為偶數(shù)的晶面即體心點陣只有指數(shù)之和為偶數(shù)的晶面可產生衍射，例如（可產生衍射，例如（110110）、（）、（200200）、（）、（211211）、（）、（220220）、（）、（310310）。這些晶面的指數(shù)平方和之。這些晶面的指數(shù)平方和之比是（比

36、是（12+1212+12）：）：2222：（：（22+12+1222+12+12）：（）：（32+1232+12）=2=2：4 4：6 6：8 8：1010。222212212)(cos1 )222(2sin)(2sin)222(2cos)(2cosLKHfLKHfOfLKHfOfFHKL0) 11 (22 fFHKL,4) 11 (2222ffFHKL2021/1/441結構振幅的計算結構振幅的計算3 3、面心點陣、面心點陣單胞中有四種位置的原子，它們的坐標分別是（單胞中有四種位置的原子，它們的坐標分別是（0 0，0 0，0 0）、）、 （0,1/2,1/20,1/2,1/2）、（）、（1/

37、2,0,1/2)1/2,0,1/2)、（1/2,1/2,01/2,1/2,0） 1 1）當）當H H、K K、L L全為奇數(shù)或全為偶數(shù)時全為奇數(shù)或全為偶數(shù)時 2 2）當）當H H、K K、L L為奇數(shù)混雜時（為奇數(shù)混雜時（2 2個奇數(shù)個奇數(shù)1 1個偶數(shù)或個偶數(shù)或2 2個偶數(shù)個偶數(shù)1 1個奇數(shù)）個奇數(shù)）即面心立方點陣只有指數(shù)為全奇或全偶的晶面才能產生衍射，例如（即面心立方點陣只有指數(shù)為全奇或全偶的晶面才能產生衍射，例如（111111）、（）、（200200）、（）、（220220）（311311）、（）、（222222）、（）、（400400）。能夠出現(xiàn)的衍射線，其指數(shù)平方和之比是：。能夠出現(xiàn)的

38、衍射線，其指數(shù)平方和之比是：3 3：4 4：8 8：1111；1212：16=116=1；1.331.33：2.672.67：3.673.67：4 4：5.335.33222432243212)(cos)(cos)(cos1 )22(2sin)22(2sin)22(2sin)0(2sin)22(2cos)22(2cos)22(2cos)0(2cosLHKHLKfLHfKHfLKffLHfKHfLKffFsHKL222216) 1111 (ffFHKL0) 1111 (222 fFHKL2021/1/442三種晶體可能出現(xiàn)衍射的晶面簡單點陣簡單點陣:什么晶面都能產生衍射什么晶面都能產生衍射體心點

39、陣體心點陣:指數(shù)和為偶數(shù)的晶面指數(shù)和為偶數(shù)的晶面面心點陣面心點陣:指數(shù)為全奇或全偶的晶面指數(shù)為全奇或全偶的晶面由上可見滿足布拉格方程只是必要條件由上可見滿足布拉格方程只是必要條件,衍射強度不為衍射強度不為0是充是充分條件分條件,即即F不為不為02021/1/443晶胞中不是同種原子時結構振幅的計算由異類原子組成的物質，例如化合物，由異類原子組成的物質，例如化合物， 其結構因數(shù)的計算與上述大體相同，但由于組成化其結構因數(shù)的計算與上述大體相同，但由于組成化合物的元素有別，致使衍射線條分布會有較大的差異。合物的元素有別，致使衍射線條分布會有較大的差異。 3 3是一典型例子是一典型例子, ,在在395

40、395以上是無序固溶體，每個原子位置上發(fā)現(xiàn)和的幾率分別為以上是無序固溶體，每個原子位置上發(fā)現(xiàn)和的幾率分別為0.250.25和和0.750.75，這個平均原子的原子散射因數(shù)，這個平均原子的原子散射因數(shù)f f平均平均=0.250.75=0.250.75。無序態(tài)時，。無序態(tài)時，3 3遵循面心點陣消光規(guī)律，遵循面心點陣消光規(guī)律，在在395395以下以下, 3, 3便是有序態(tài)，此時原子占據晶胞頂角位置，原子則占據面心位置。原子坐標便是有序態(tài)，此時原子占據晶胞頂角位置，原子則占據面心位置。原子坐標(000)(000)，原子坐標，原子坐標， （0,1/2,1/20,1/2,1/2）、（）、（1/2,0,1/

41、2)1/2,0,1/2)、（、（1/2,1/2,01/2,1/2,0） ， 2021/1/444晶胞中不是同種原子時結構振幅的計算代入代入 公式，其結果是：公式，其結果是：1 1）當）當 H H、K K、L L全奇或全偶時，全奇或全偶時，2 2）當）當H H、K K、L L奇偶混雜時，奇偶混雜時，有序化使無序固溶體因消光而失卻的衍射線復出現(xiàn)，這些被稱為超點陣衍射線。根據超點陣有序化使無序固溶體因消光而失卻的衍射線復出現(xiàn)，這些被稱為超點陣衍射線。根據超點陣線條的出現(xiàn)及其強度可判斷有序化的出現(xiàn)與否并測定有序度。線條的出現(xiàn)及其強度可判斷有序化的出現(xiàn)與否并測定有序度。 2HKLF22)3(CuAuHK

42、LffF0)(22CuAuHKLffF2021/1/445一個晶體對X射線的衍射一個小晶體可以看成由晶胞在三維空間周期重復排列而成。因此，在求出一個晶胞的散射波一個小晶體可以看成由晶胞在三維空間周期重復排列而成。因此，在求出一個晶胞的散射波之后，按位相對所有晶胞的散射波進行疊加，就得到整個晶體的散射波的合成波，即得到衍之后，按位相對所有晶胞的散射波進行疊加，就得到整個晶體的散射波的合成波，即得到衍射線束。射線束。按前面方法求得合成振幅：按前面方法求得合成振幅：強度與振幅的平方成正比，故強度與振幅的平方成正比，故FGAeeeFAeFAAeNppiNnniNmmiemnpieMmnp1021021

43、0232122GFIIeM2021/1/446干涉函數(shù)（形狀因子） 上式中稱干涉函數(shù)或形狀因子，為小晶體的衍射強度。上式中稱干涉函數(shù)或形狀因子，為小晶體的衍射強度。G的表達式為：的表達式為：干涉函數(shù)的圖象為參與衍射的晶胞數(shù)干涉函數(shù)的圖象為參與衍射的晶胞數(shù)N越多，越大，峰也越尖銳。越多，越大，峰也越尖銳。主峰的范主峰的范 2G321102102102321GGGeeeGNppiNnniNmmi;1,1,1321NLNKNH2GMI2021/1/447衍射峰的形狀上述主峰范圍就決定了衍射峰的形狀：上述主峰范圍就決定了衍射峰的形狀：片狀晶體棒狀片狀晶體棒狀棒狀晶體盤狀棒狀晶體盤狀球狀晶體點狀球狀晶體

44、點狀點狀晶體球狀點狀晶體球狀2021/1/448粉末多晶體的衍射強度粉末多晶體的衍射強度衍射強度的計算因衍射方法的不同而異，勞厄法的波長是變化的所以強度隨波長而變。其它衍射強度的計算因衍射方法的不同而異，勞厄法的波長是變化的所以強度隨波長而變。其它方法的波長是單色光，不存在波長的影響。方法的波長是單色光，不存在波長的影響。我們這里只討論最廣泛應用的粉末法的強度問題，在粉末法中影響衍射強度的因子有如下五我們這里只討論最廣泛應用的粉末法的強度問題，在粉末法中影響衍射強度的因子有如下五項項2021/1/449粉末多晶體的衍射強度粉末多晶體的衍射強度（1）結構因子結構因子（2）角因子（包括極化因子和羅

45、侖茲因子）角因子（包括極化因子和羅侖茲因子）（3）多重性因子多重性因子（4）吸收因子吸收因子（5）溫度因子溫度因子2021/1/450（1 1） 結構因子和形狀因子結構因子和形狀因子這個問題已經述及，就是前面公式所表達的22GFIIeM2021/1/451（2 2）角因子（羅侖茲因子）角因子（羅侖茲因子）因為實際晶體不一定是完整的，存在大小、厚薄、形狀等不同；另外因為實際晶體不一定是完整的，存在大小、厚薄、形狀等不同；另外X射線的波長也不是絕射線的波長也不是絕對單一，入射束之間也不是絕對平行，而是有一定的發(fā)散角。這樣對單一，入射束之間也不是絕對平行，而是有一定的發(fā)散角。這樣X射線衍射強度將受到

46、射線衍射強度將受到X射線入射角、參與衍射的晶粒數(shù)、衍射角的大小等因素的影響。射線入射角、參與衍射的晶粒數(shù)、衍射角的大小等因素的影響。2021/1/452角因子將上述幾種因素合并在一起，有將上述幾種因素合并在一起，有（12）（）（）（）（12）=/22=1/42。與極化因子合并，則有：與極化因子合并，則有：()=(122)/2。這就是羅侖茲極化因子。它是這就是羅侖茲極化因子。它是的函數(shù)，所以又叫角因子。的函數(shù)，所以又叫角因子。2021/1/453晶粒大小的影響1.1.晶體在很薄時的衍射強度晶體在很薄時的衍射強度（1 1）晶體很薄時，一些原本要干涉相消）晶體很薄時，一些原本要干涉相消的衍射線沒有相

47、消。的衍射線沒有相消。(2)(2)在稍微偏離布拉格角時在稍微偏離布拉格角時, ,衍射強度峰并衍射強度峰并不是在對應于布拉格角的位置出現(xiàn)的一根不是在對應于布拉格角的位置出現(xiàn)的一根直線，而是在直線，而是在角附近角附近范圍內出現(xiàn)范圍內出現(xiàn)強度。強度。2021/1/454半高寬 在強度的一半高度對應一個強度峰的在強度的一半高度對應一個強度峰的半高寬半高寬B B，它與晶粒大小的關系是：，它與晶粒大小的關系是： B = (B = (晶面數(shù)，晶面數(shù)，dd晶晶面間距面間距) )2021/1/455參與衍射的晶粒數(shù)目的影響理想情況下，參與衍射的晶粒數(shù)是無窮多理想情況下，參與衍射的晶粒數(shù)是無窮多個。由于晶粒的空間

48、分布位向各異，某個個。由于晶粒的空間分布位向各異，某個（）晶面的衍射線構成一個反射圓錐。由（）晶面的衍射線構成一個反射圓錐。由于于角的發(fā)散，導致圓錐具有一定厚度。角的發(fā)散，導致圓錐具有一定厚度。以一球面與圓錐相截，交線是圓上的一個以一球面與圓錐相截，交線是圓上的一個環(huán)帶。環(huán)帶的面積和圓的面積之比就是參環(huán)帶。環(huán)帶的面積和圓的面積之比就是參與衍射的晶粒百分數(shù)。與衍射的晶粒百分數(shù)。2021/1/456衍射線位置對強度測量的影響在德拜照相法中，底片與衍射圓錐在德拜照相法中，底片與衍射圓錐相交構成感光弧對，這只是上述環(huán)相交構成感光弧對，這只是上述環(huán)帶中的一段。這段弧對上的強度顯帶中的一段。這段弧對上的強

49、度顯然與然與1212成正比。成正比。2021/1/457（3 3） 多重性因子多重性因子對多晶體試樣，因同一對多晶體試樣，因同一晶面族的各晶面組面間距相同，由布拉格方程知它們具有相同的晶面族的各晶面組面間距相同，由布拉格方程知它們具有相同的2 2，其衍射線構成同一衍射圓錐的母線。通常將同一晶面族中等同晶面組數(shù)其衍射線構成同一衍射圓錐的母線。通常將同一晶面族中等同晶面組數(shù)P P稱為衍射強度的多稱為衍射強度的多重性因數(shù)。顯然，在其它條件相間的情況下，多重性因數(shù)越大，則參與衍射的晶粒數(shù)越多，重性因數(shù)。顯然，在其它條件相間的情況下，多重性因數(shù)越大，則參與衍射的晶粒數(shù)越多，或者說，每一晶粒參與衍射的幾率越多?；蛘哒f，每一晶粒參與衍射的幾率越多。 （100100）晶面族的）晶面族的P P為為6 6（111111）晶面族的）晶面族的P P為為8 8（110110）晶面族的）晶面族的P P為為1212考慮多重性因數(shù)的影響，強度公式為考慮多重性因數(shù)的影響，強度公式為cossin2cos1322222034240FVPVcm