極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)講解

1、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系一、 知識(shí)要點(diǎn)一曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即并且對(duì)于t每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)Mx，y都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)二常見曲線的參數(shù)方程如下：1過定點(diǎn)x0，y0，傾角為的直線：t為參數(shù)其中參數(shù)t是以定點(diǎn)Px0，y0為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)Mx，y為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論設(shè)A、B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，那么線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于2中心在x0，y0，半徑

2、等于r的圓：為參數(shù)3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上的橢圓：為參數(shù)或中心在點(diǎn)x0,y0焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上的雙曲線：為參數(shù)或5頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線：t為參數(shù)，p0直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點(diǎn)Px0，y0，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是t為參數(shù)J1、定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個(gè)長度單位和角度的正方向通常取逆時(shí)針方向。對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長度，表示從Ox到OM的角，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)(, )就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2

3、、極坐標(biāo)有四個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的方向極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一一個(gè)點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)極點(diǎn)除外的全部坐標(biāo)為(,)或，(Z)極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取假設(shè)對(duì)、的取值范圍加以限制那么除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，0或<0，等極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的 3、直線相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：4、圓相

4、對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：5、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：例題j3.1參數(shù)方程例1.討論以下問題：1、一條直線上兩點(diǎn)、，以分點(diǎn)Mx，y分所成的比為參數(shù)，寫出參數(shù)方程。2、直線(t為參數(shù))的傾斜角是 ABCD3、方程t為非零常數(shù)，為參數(shù)表示的曲線是 ( )A直線B圓C橢圓D雙曲線4、橢圓的參數(shù)方程是為參數(shù)，那么橢圓上一點(diǎn) P (，)的離心角可以是 A B C D例2 把彈道曲線的參數(shù)方程 化成普通方程例3. 將以下數(shù)方程化成普通方程 例4. 直線3x2y6=0，令y = tx 6t為參數(shù)求直線的參數(shù)方程（1） 假設(shè)t為參數(shù)，為常數(shù)，求該曲線的普通方程，并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（

5、2） 假設(shè)為參數(shù)，t為常數(shù)，求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例6. 在圓x22xy2=0上求一點(diǎn)，使它到直線2x3y5=0的距離最大例7. 在橢圓4x29y2=36上求一點(diǎn)P，使它到直線x2y18=0的距離最短或最長 例8.直線；l：與雙曲線y-22-x2=1相交于A、B兩點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)P(-1，2)。求：1|PA|.|PB|的值； 2弦長|AB|; 弦AB中點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離。例9.A2,0,點(diǎn)B,C在圓x2+y2=4上移動(dòng)，且有 求重心G的軌跡方程。例10.橢圓和圓x2+(y-6)2=5,在橢圓上求一點(diǎn)P1,在圓上求一點(diǎn) P2,使|P1P2|到達(dá)最大值，并求出此最大值。例11.直線l過定

6、點(diǎn)P(-2,0),與拋物線C: x2+ y-8=0相交于A、B兩點(diǎn)。1假設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程；2假設(shè)l繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的方程.例12.橢圓上是否存在點(diǎn)P，使得由P點(diǎn)向圓x2+y2=b2所引的兩條切線互相垂直？假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由。例題J極坐標(biāo)系例1討論以下問題：1在同一極坐標(biāo)系中與極坐標(biāo)M2, 40°表示同一點(diǎn)的極坐標(biāo)是 A2, 220° B(2, 140°) C(2,140°) D(2,40°)2ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(4，0°), B(4,120°), C(2

7、2, 30°)，那么ABC為( )。 A正三角形 B等腰直角三角形 C直角非等腰三角形 D等腰非直角三角形3在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(2，1)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，當(dāng)極角在(， 內(nèi)時(shí)，M點(diǎn)的極坐標(biāo)為 A，argtg() B，argtg() C，argtg D，argtg例2.把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)。例3.把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)。例4.正三角形ABC中，頂點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為，試求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)。例5.化圓的直角方程x2+y2-2ax=0為極坐標(biāo)方程。例6.化圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程。例7.討論以下問題：1在極坐標(biāo)系里，過點(diǎn)M4，30°而

8、平行于極軸的直線的方程是 A2 B2 C D2在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)M1(4，arcsin)，M2(6，arccos()，那么線段M1M2的中點(diǎn)極坐標(biāo)為 A(1，arccos) B(1, arcsin) C(1，arccos() D(1,arcsin)3. P點(diǎn)的極坐標(biāo)是(1,)，那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是 。 A=1 Bcos Ccos=1 Dcos=14. 假設(shè)>0,那么以下極坐標(biāo)方程中，表示直線的是 。 A= Bcos= (0) Ctg=1 Dsin=1(0)5. 假設(shè)點(diǎn)A(4, )與B關(guān)于直線=對(duì)稱，在>0, <條件下，B的極坐標(biāo)是 。6. 直線cos()

9、=1與極軸所成的角是 。7. 直線cos()=1與直線sin()=1的位置關(guān)系是 。8. 直線y=kx1 (k<0且k)與曲線2sinsin20的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 。 A0 B1 C2 D3例8.討論以下問題；1. 圓的半徑是1，圓心的極坐標(biāo)是(1, 0)，那么這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程是 。 Acos Bsin C2cos D2sin2. 極坐標(biāo)方程分別是cos和sin的兩個(gè)圓的圓心距是 。 A2 B C1 D3. 在極坐標(biāo)系中和圓=4sin相切的一條直線方程是 Asin=2 Bcos=2 Csin=4 Dcos=44圓DcosEsin與極軸相切的充分必要條件是 AD·E0 BD2E20 CD0，E0 DD0，E05圓2sin2cos的圓心的極坐標(biāo)為 。6. 假設(shè)圓的極坐標(biāo)方程為=6cos，那么這個(gè)圓的面積是 。7. 假設(shè)圓的極坐標(biāo)方程為=4sin，那么這個(gè)圓的直角坐標(biāo)方程為 。8. 設(shè)有半徑為4的圓，它在極坐標(biāo)系內(nèi)的圓心的極坐標(biāo)為(4, 0)，那么這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程為 。例9.當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，直線與圓相切？例10.試把極坐標(biāo)方程 化為直角坐標(biāo)方程，并就m值的變化討論曲線的形狀。2=2px的焦點(diǎn)F且傾角為的弦長|AB|，并證明：