一類非線性橢圓型方程的奇異邊值問題

1、第19卷增刊1999年4月數(shù)學(xué)研究與評論JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION葉常青(漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建漳州363000)摘要:本文研究一類在球內(nèi)的非線性橢圓奇異邊值問題的正解的存在性,推廣了H.Usami1989年所得到的部分結(jié)果.lder連續(xù),嚴格減,嚴格增.關(guān)鍵詞:橢圓邊值問題,正解,球,局部Ho分類號:AMS(1991)35J25 CLCO175.25文獻標識碼:A文章編號:10002341X(1999)增刊202692081引言本文研究如下的非線性橢圓奇異邊值問題(1)u+f(x,u, u)=0,xB,(2)u=0,x5B,其中表N

2、維拉普拉斯算子, u表函數(shù)u的梯度,B表中心在原點半徑為1的開球即B=xNNNR: x 0,函數(shù)P(x)在5B上有奇性,他獲得了等價于(3)(4)的積分方程有C(B)類(3)(4)更一般的奇異邊值問題:23都取得了較好的結(jié)果,1989年H.Usami研究了較4(5)u+f(x,u)=0,xB.(6)u=0,x5B.2)的充要條件他論證了問題(5)(6)有正解uC(B)C(B.本文就是在4的基礎(chǔ)上進行研究的,本文中的定理推廣了4中的定理1.收稿日期:1996204208;修訂日期:1998208215作者簡介:葉常青(19582),女,福建漳州人,漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講師.269 1995-200

3、5 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.2引理先考慮方程(1)中的函數(shù)f為徑向?qū)ΨQ的情形,即設(shè)f為形如F( x ,u, u )情形,于是轉(zhuǎn)到討論奇異的常微分方程邊值問題:N-1)(tN-1y+tF(t,y, y )=0,0t0,關(guān)于z0連續(xù)可微;且對每一固定的t0,1),F(t,y,z)關(guān)于y0嚴格減,關(guān)于z0嚴格減;(A2)對t1,t20,1)(設(shè)t10充分小時有t2t1s0(N-1)F(r,d)drdss1s0關(guān)于d0一致地成立;(A3)對c0,d0有用打靶法論證(7)(8)存在正解,為此考慮初值問題N-

4、1)(tN-1y+tF(t,y, y )=0,(0)=0,y(0)=,y0(N-1)F(r,c,d)drds0為參數(shù),由假設(shè)(A1)知對每一0問題(9)(10)存在唯一的正解y(t),t0,T),其中0,T)為正解y(t)的最大存在區(qū)間,顯然T的值依賴于,它位于0T1,注意到y(tǒng)(t)=-0t(N-1)F(r,y(r), y(r) )dr0,t(0,T),t故正解y(t)在其存在區(qū)間0,T)內(nèi)嚴格減,顯見如果T0,0t0,0t,若y(t)在0,T)上有定義,則y(t)也在0,T)上有定義且y(t)y(t),t0,T).(11)y(t)y(t),0t,y()=y().(12)(13)y),由此將導(dǎo)

5、出下面的矛盾:由(12),(13)得y(i)若y)y).()使y由y,y,注意到y(tǒng)0,y的連續(xù)性知存在0(0,(t) y(t) ,0t積分(9)式,并利用(10)式得270 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.y(t)-y(t)=0t(N-1)F(r,y(r), y(r) )-tF(r,y(r), y(r) )dr.再從0到積分上式,由(A1),(12),(14)得y()-y(0)-sy()+y(0)F(r,y(r), y(r) )drds0,=即00(N-1)F(r,y(r), y(r)

6、 )-sy()-y()y(0)-y(0)0.這與(13)式矛盾.(ii)若y)=y),記a=y()=y(),b=y)=y),那么y(t),y(t),0t(可看成滿足同一初值問題N-1)(tN-1y+tF(t,y, y )=0,0t,()=b,y()=a,y(15)(16)由向后打靶法產(chǎn)生的兩個解,但由假設(shè)(A1),依據(jù)常微知識知問題(15)(16)的解是唯一的.矛盾.上面的矛盾說明了當(dāng)y(t)在0,T)上有定義時,(11)式必成立.( )次證y(t)在0,T)上有定義,事實上若y(t)的存在區(qū)間為0,T1),T1T,那么y(T1)=0=y(0),故曲線y(t)與y(t)必相交,于是存在t1(0

7、,T1)使得y(t)y(t),0t0:y(t)在0,1)上存在,且y(1)0,S=,S,則S= .由引理1知對S,故S-非空(i)證S下證當(dāng)0充分大時,y(t)0有10s=0:y(t)在t=1之前變?yōu)榱?S-.事實上由假設(shè)(A3)知對c0,d,t0,1)于是S2(N-1)F(r,c,d)drds0,關(guān)于z0都是嚴格減的,故可能充分大的使001s(N-1)F(r,0)drds,t0,1).不然的話,則存在t1(0,1),使得2,0t22271由(9)(10)有 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserv

8、ed.y(t1)-+=200t1s(N-1)F(r,y(r), y(r) )drds=0,sN-1)F(r,y(r), y(r) )drdssN-1由(A1)及(17)得矛盾.故y(t).,t0,1),所以S2(ii)證S非空.-()s()s00t1s(t1s0100F(r,),0drds2),0drds0充分小時則S,事實上由(A2)知當(dāng)0充分小時有-002s(N-1)F(r,d)drds,關(guān)于d0一致地成立,s(18)斷言對滿足(18)的,則y(t)在t=之前變?yōu)榱?不然的話若正解y(t)的變量t可延伸到t2,即設(shè)0-()+s002s(N-1)F(r,y(r), y(r) )drdssN-

9、12s00F(r,max y(r) )drds0r2=-+002s(N-1)F(r,d)drds,其中d=max y(r) s0r2-+=0.由上式得y()0,由(A3)知可取t1(0,1)且充令3=infS,顯見3(0,),若3S,則y3分接近于1使得t11s0(N-1)F(r,0)drdsl,事實上如斷言在y(t)的存在區(qū)間上必有y(t),從而y(t)的存在區(qū)間為0,1),且S2果斷言不真,那么存在t2(t1,1)使得y(t)2,t1tl-,但這又與矛盾,故S3=infS的意義抵觸,所以infS S.(iv)類似地可證supS S.-(v)證0=infS=supS.-2=2,S的意義及引理

10、1知對,S,則,可以證明supS由集合SS,故supSinfS-2不成立.故infS0=infS=supS.由此知問題(7)(8)存在唯一正解yC0,1)C0,-01.3主要結(jié)果假定奇異非線性橢圓邊值問題(1)(2)中的函數(shù)f(x,u,p)(p=(p1,pN)滿足下列條件lder連續(xù)函數(shù)(指數(shù)(B1)f:B(0,)RN(0,)是局部Ho(0,1),且f(x,u,p)關(guān)于u(0,)關(guān)于pR,i=1,N存在且連續(xù));pi(B2)對于每一緊區(qū)域80,關(guān)于v0連續(xù)可微;且對每一固定的t0,1),f3(t,u,v),f3(t,u,v)關(guān)于u0嚴格減,關(guān)于v0也是嚴格減的;(B4)f3滿足條件(A2),f

11、3滿足條件(A3);且f3,f3和f滿足下面的不等式3f3).定理設(shè)條件(B1)-(B4)成立,則奇異邊值問題(1)(2)有正解uC2(B)C(B證明考察下列邊值問題(23)u+f3( x ,u,0)=0,xB,(24)u=0,x5B,u+f3( x ,u, p )f(x,u,p)f( x ,u, p ),(x,u,p)B(0,)RN.(22)( x ,u, u )=0,xB,(25)(26)2由4中的定理1知問題(23)(24)有徑向正解u( x ),且uC(B)C(B);由引理2知問題u=0,x5B.273 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc

12、Co., Ltd. All rights reserved.52+解的正則性定理知u,-uCloc(B)C(B).可以證明-u( x )u( x ),xB).注意到條件(B3)中的f(25)(26)有徑向正解-u( x ),且-uC2(B)C(B令Bn=xR: x 0,01;函數(shù)C(B(0,1),且滿足0a(x)b,xBN常數(shù);B=xR: x 1同前,這里假設(shè)N3.下面檢驗方程(33)中的函數(shù)274 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.NB(0,)R2+,(x,u,p)2u(1- x )1

13、+u pN滿足定理中的各個條件,顯見f:B(0,)R(0,)滿足(B1),(B2).f(x,u,p)=(B3)記(x),(t)=max(t),t0,1),取3(t)=min x =t x =tf33(t,u,v)=(t)2+,2(1-t)1+uvu3f(t,u,v)=2+,2(1-t)1+uvu3),易見則f3,f3:0,1)(0,)0,)(0,).由于C(B3,C0,1,還容易3看到f3,f3關(guān)于u(0,),關(guān)于v0,)連續(xù)可微,故f3,f3Cloc(0,1)(0,)0,);顯見對每一固定的t0,1),f3,f3關(guān)于u(0,)關(guān)于v0,)都是嚴格減;(B4)對t1,t20,1),其中t1t2

14、,由假設(shè)00,d0,有t1t2s(N-1)fst2t1s3(r,c,d)drdsN-)sN-1t1t2s(N-)s1(1-r)21+cd2+cdrdsc其中常數(shù)k=()as(t2t1s(1-r)cdrds0c,當(dāng)0ck時,且上式關(guān)于d0一致(1-r2)21drds=k地成立.故f3滿足條件(A2);又因(r,c,d)drds(1-r)f(r,c,d)dr=f(r,c,d)drds=(1-r)+dr(1-r)1+cdcb+(1-r)dr1+cdc1s(N-1)fs10103(r,c,d)drds1r1s0f33103221021-=故f3滿足條件(A3).2-1+cd2+c0,d0成立,依f3,

15、f3的定義,顯見不等式f3( x ,u, p )f(x,u,p)f3( x ,u, p ),(x,u,p)B(0,)RN成立.以上檢驗了方程(33)中的函數(shù)f(x,u,p)滿足定理的所有條件,故依定理的結(jié)論知奇異).邊值問題(33)(34)存在正解uC2(B)(B參考文獻275 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.1369.2StuartCA.ExistencetheoremsforaclassofnonlinearintegralequationJ.Math.Z.,1974,137:49

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