第二章第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例

1、1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究 函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)其中多項(xiàng) 式函數(shù)一般不超過(guò)三次式函數(shù)一般不超過(guò)三次)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一

2、般不超過(guò)三次其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)3會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題理理 要要 點(diǎn)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù) 有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：(1)若若 ，則，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若若 ，則，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若若 ，則，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)f(x)0f(x)0或或f(x)0嗎？嗎？f(x)0是否是是否是f(x)在在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？?jī)?nèi)單調(diào)

3、遞增的充要條件？提示：提示：函數(shù)函數(shù)f(x)在在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)0，f(x)0是是f(x)在在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件2導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？提示：提示：不一定如不一定如f(x)x3，f(0)0.但但f(x)3x20，則則f(x)x3在在(，)上是增函數(shù)，故上是增函數(shù)，故x0不是不是f(x)x3的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)3函數(shù)的極值和函數(shù)的最值有什么聯(lián)系和區(qū)別？函數(shù)的極值和函數(shù)的最值有什么聯(lián)系和區(qū)別？提示：提示：極值是指某一點(diǎn)附近函數(shù)值的比較，因此，同一極值是指某一點(diǎn)附近函數(shù)值的比較，因此，同一函數(shù)在某一

4、點(diǎn)的極大函數(shù)在某一點(diǎn)的極大(小小)值，可以比另一點(diǎn)的極小值，可以比另一點(diǎn)的極小(大大)值值小小(大大)；最大、最小值是指閉區(qū)間；最大、最小值是指閉區(qū)間a，b上所有函數(shù)值的上所有函數(shù)值的比較因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的，極大比較因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的，極大(小小)值不一定是最大值不一定是最大(小小)值，最大值，最大(小小)值也不一定是極大值也不一定是極大(小小)值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值么極大值就是最大值，極小值就是最小值題組自測(cè)題組自測(cè)答案：答案：B3已知已知aR，函數(shù)，函數(shù)f

5、(x)(x2ax)ex(xR，e為自然對(duì)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)函數(shù)函數(shù)f(x)是否為是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取的取值范圍；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由值范圍；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由(2)若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在R上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，則則f(x)0對(duì)對(duì)xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0對(duì)對(duì)xR都成立都成立ex0，x2(a2)xa0對(duì)對(duì)xR都成立都成立(a2)24a0，即，即a240，這是不可能的，這是不可能的故函數(shù)故函數(shù)f(x)不可能在不可能在R上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減若函數(shù)若函

6、數(shù)f(x)在在R上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞增，則f(x)0對(duì)對(duì)xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0對(duì)對(duì)xR都成立都成立ex0，x2(a2)xa0對(duì)對(duì)xR都成立都成立而而(a2)24aa240，故函數(shù)，故函數(shù)f(x)不可能在不可能在R上單調(diào)上單調(diào)遞增遞增綜上可知函數(shù)綜上可知函數(shù)f(x)不可能是不可能是R上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù)在題在題3條件下，試討論函數(shù)條件下，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間解：解：(1)當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，令令f(x)0，得，得2x0，即當(dāng)，即當(dāng)x(2,0)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞單調(diào)遞增，令增，令f(x)0得得x0，

7、即當(dāng)，即當(dāng)x(，2)或或x(0，)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減(2)當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，f(x)x2(a2)xaex.令令g(x)x2(a2)xa.(a2)24aa240，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)歸納領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：(1)確定函數(shù)確定函數(shù)f(x)的定義域的定義域(2)求求f(x)，令，令f(x)0，求出它們?cè)诙x域內(nèi)的一切實(shí)根，求出它們?cè)诙x域內(nèi)的一切實(shí)根(3)把函數(shù)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)(即即f(x)的無(wú)定義點(diǎn)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的的橫坐標(biāo)和上面的 各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把

8、函各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函 數(shù)數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間(4)確定確定f(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f(x)的符號(hào)判的符號(hào)判 定函數(shù)定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性題組自測(cè)題組自測(cè)1設(shè)設(shè)f(x)x(ax2bxc)(a0)在在x1和和x1處均有極處均有極值，則下列點(diǎn)中一定在值，則下列點(diǎn)中一定在x軸上的是軸上的是 ()A(a，b)B(a，c)C(b，c) D(ab，c)答案：答案：A2(2010安徽高考安徽高考)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)sinxcosxx1,0 x2，求函數(shù)

9、，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值的單調(diào)區(qū)間與極值3已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過(guò)點(diǎn)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，6)，且函數(shù)且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱(1)求求m、n的值及函數(shù)的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)若若a0，求函數(shù)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值內(nèi)的極值由由f(x)0得得x2或或x0，故故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)(2，)；由由f(x)0得得0 x2，故故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(2)由由(1)得得f(x)3x(x2)，令令f(x)0得得x0或或x2，當(dāng)當(dāng)x變化

10、時(shí)，變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極大極大值值極小極小值值由此可得：由此可得：當(dāng)當(dāng)0a1時(shí)，時(shí)，f(x)在在(a1，a1)內(nèi)有極大值內(nèi)有極大值f(0)2，無(wú)極小值；無(wú)極小值；當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，時(shí)，f(x)在在(a1，a1)內(nèi)無(wú)極值；內(nèi)無(wú)極值；當(dāng)當(dāng)1a3時(shí)，時(shí)，f(x)在在(a1，a1)內(nèi)有極小值內(nèi)有極小值f(2)6，無(wú)極大值；無(wú)極大值；當(dāng)當(dāng)a3時(shí)，時(shí)，f(x)在在(a1，a1)內(nèi)無(wú)極值內(nèi)無(wú)極值綜上得：當(dāng)綜上得：當(dāng)0a1時(shí)，時(shí)，f(x)有極大值有極大值2，無(wú)極小值；，無(wú)極小值；當(dāng)當(dāng)1a3時(shí)，時(shí)，f(x)有極小值有極小值

11、6，無(wú)極大值；，無(wú)極大值；當(dāng)當(dāng)a1或或a3時(shí)，時(shí)，f(x)無(wú)極值無(wú)極值歸納領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟 求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)求方程求方程f(x)0的根；的根；(4)檢驗(yàn)檢驗(yàn)f(x)在方程在方程f(x)0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近在根的左側(cè)附近f(x)0，右側(cè)附近，右側(cè)附近f(x)0，那么函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近f(x)0，那么函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極小在這個(gè)根處取得極小

12、值值題組自測(cè)題組自測(cè)1函數(shù)函數(shù)f(x)2x33x212x5在在0,3上的最大值是上的最大值是 _，最小值是，最小值是_解析：解析：f(x)6x26x12，令令f(x)0，即，即6x26x120，則則x1或或x2.又又x0,3，故，故x1應(yīng)舍去應(yīng)舍去當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，f(x)與與f(x)的變化情況如表：的變化情況如表：x0(0,2)2(2,3)3f(x)0f(x)5154f(x)max5，f(x)min15.答案：答案：5152已知已知f(x)ax32ax2b(a0)，是否存在正實(shí)數(shù)，是否存在正實(shí)數(shù)a，b使使 得得f(x)在區(qū)間在區(qū)間2,1上的最大值是上的最大值是5，最小值是，最小值是11？

13、若？若 存在，求出存在，求出a，b的值及相應(yīng)函數(shù)的值及相應(yīng)函數(shù)f(x)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由明理由x2,0)0(0,1f(x)0f(x)極大值極大值因此因此f(0)必為最大值，必為最大值，f(0)5，得，得b5，f(2)16a5，f(1)a5，f(1)f(2)，f(2)16a511，a1，f(x)x32x25.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)ax3x2bx(其中常數(shù)其中常數(shù)a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)(1)求求f(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)討論討論g(x)的單調(diào)性，并求的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上的最大值與上的最大值與最小值最小值歸納領(lǐng)悟歸納

14、領(lǐng)悟 求函數(shù)求函數(shù)yf(x)在在a，b上的最大值與最小值的步驟如下：上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)求函數(shù)yf(x)在在(a，b)內(nèi)的極值；內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，比較， 其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值答案：答案：C2面積為面積為S的一矩形中，其周長(zhǎng)最小時(shí)的邊長(zhǎng)是的一矩形中，其周長(zhǎng)最小時(shí)的邊長(zhǎng)是 _歸納領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟1分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)分析實(shí)際問

15、題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)，根，根據(jù)實(shí)際意義確定定義域；據(jù)實(shí)際意義確定定義域；2求函數(shù)求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程，解方程f(x)0得出定義域得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn)；內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn)；3比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值大小，獲得所比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大求的最大(小小)值；值；4還原到原實(shí)際問題中作答還原到原實(shí)際問題中作答一、把脈考情一、把脈考情 從近兩年的高考試題來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查表現(xiàn)在以下幾個(gè)從近兩年的高考試題來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：方面：(1)導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等，出現(xiàn)率較高證明函數(shù)的增減性等，出現(xiàn)率較高(2)應(yīng)用問題，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決一些實(shí)際問題應(yīng)用問題，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決一些實(shí)際問題(3)綜合考查，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的綜合考查，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機(jī)地單調(diào)性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機(jī)地結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)綜合試題結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)綜合試題(4)從題型