圓錐曲線解答題精選創(chuàng)新題

1、創(chuàng)新題1.已知直線與曲線：交于兩點，的中點為，若直線和(為坐標(biāo)原點)的斜率都存在，則.這個性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.（1）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；（2）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程；過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點,是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在,求直線的方程；若不存在,說明理由.解：（1）證明 設(shè) 相減得 注意到 有 即 （2）設(shè) 由垂徑定理，即 化簡得 當(dāng)與軸平行時,的坐標(biāo)也滿足方程.故所求的中點的軌跡的方程為；假設(shè)過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則 由于 直線，即，代入

2、曲線的方程得 即 由 得.故當(dāng)時，存在這樣的直線，其直線方程為；當(dāng)時，這樣的直線不存在. 2.有如下結(jié)論：“圓上一點處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為 A、B.（1）求證：直線AB恒過一定點；（2）當(dāng)點M在的縱坐標(biāo)為1時，求ABM的面積.解:（1）設(shè)M點M在MA上 同理可得由知AB的方程為易知右焦點F（）滿足式，故AB恒過橢圓C的右焦點F（）（2）把AB的方程 又M到AB的距離ABM的面積3.記平面內(nèi)動點到兩條相交于原點的直線的距離分別為研究滿足下列條件下動點的軌跡方程（1）已知直線的方程為：，（a）若，指出方程所

3、表示曲線的形狀；（b）若，求方程所表示的曲線所圍成區(qū)域的面積；（c）若，研究方程所表示曲線的性質(zhì)，寫出3個結(jié)論（2） 若，試用表示常數(shù)d及直線的方程，使得動點的軌跡方程恰為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）解:（1）（a）（b） 方程所表示的曲線所圍成區(qū)域為正方形面積為（c）， 范圍：；對稱性：關(guān)于和原點對稱；漸近線為： （2）設(shè)直線的方程為：（），則由得 ，令，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）4.若橢圓:和橢圓: 滿足，則稱這兩個橢圓相似，稱為其相似比.（1）求經(jīng)過點，且與橢圓相似的橢圓方程.（2）設(shè)過原點的一條射線分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點（其中點A在線段OB上），求的最大值和最小值. 解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為，則有解得所要求的橢圓方程為 （2）當(dāng)射線與軸重合時，=當(dāng)射線不與坐標(biāo)軸重合時，由橢圓的對稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形.設(shè)其方程為（），設(shè)，由 解得 由 解得 令 則由 知, 記，則在上是增函數(shù)， 由知，的最大值為，的最小值為.5.設(shè)，為直角坐標(biāo)系中的單位向量，。（1）求動點的軌跡C的方程；（2）過點作直線與曲線交于A、B兩點，若，是否存在直線使得為矩形?若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由解：（1），動點到定點、的距離之和為8 曲線C的軌跡方裎為(2)直線過，若是軸，則A、B是橢圓的頂點。與重合，與為矩