高中數學必修2立體幾何專題線面角典型例題求法總結

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上線面角的求法1直接法 ：平面的斜線與斜線在平面內的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯系各線段的作用。例1 （ 如圖1 ）四面體ABCS中，SA,SB,SC 兩兩垂直，SBA=45°, SBC=60°, M 為 AB的中點，求（1）BC與平面SAB所成的角。（2）SC與平面ABC所成的角。解:（1） SCSB,SCSA, 圖1SC平面SAB 故 SB是斜線BC 在平面SAB上的射影， SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60°。（2）

2、連結SM,CM，則SMAB,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM過S作SHCM于H, 則SH平面ABCCH即為 SC 在面ABC內的射影。 SCH 為SC與平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC與平面ABC所成的角的正弦值為77（“垂線”是相對的，SC是面 SAB的垂線，又是面 ABC 的斜線. 作面的垂線常根據面面垂直的性質定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2. 利用公式sin=h其中是斜線與平面所成的角， h是 垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關鍵又是難點，為此可用三棱錐

3、的體積自等來求垂線段的長。例2 （ 如圖2） 長方體ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB與面 AB1C1D 所成的角。解：設點 B 到AB1C1D的距離為h，VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1·h= 13 SBB1C1·AB，易得h=125 ，設AB 與 面 A B1C1D 所成的角為,則sin=hAB=45，AB與面AB1C1D 所成的角為arcsin0.83. 利用公式cos=cos1·cos2 （如圖3） 若 OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在面內的射影，OC為面內的一條直線，其中為OA與OC

4、所成的角， 圖31為OA與OB所成的角，即線面角，2為OB與OC所成的角，那么 cos=cos1·cos2，它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）1平面的斜線和平面所成的角： 已知，如圖，是平面的斜線，是斜足，垂直于平面，為垂足，則直線是斜線在平面內的射影。設是平面內的任意一條直線，且，垂足為，又設與所成角為，與所成角為，與所成角為，則易知：，又，可以得到：，注意：（若，則由三垂線定理可知，即；與“是平面內的任意一條直線，且，垂足為”不相符）。易得： 又即可得：則可以得到：（1）平面的斜線和它在平面內的射影所成角，是這條斜線和

5、這個平面內的任一條直線所成角中最小的角；（2）斜線和平面所成角：一個平面的斜線和它在這個平面中的射影的夾角，叫做斜線和平面所成角（或叫斜線和平面的夾角）。說明：1若，則規(guī)定與所成的角是直角；2若或，則規(guī)定與所成的角為；3直線和平面所成角的范圍為：；4直線和平面所成角是直斜線與該平面內直線所成角的最小值（）。例3（如圖4） 已知直線OA,OB,OC 兩兩所成的角為60°, ，求直線OA 與 面OBC所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面OBC 內的射影在BOC 的平分線OD上，則AOD即為OA與面OBC所成的角，可知DOC=30° ,cosAOC=cosAOD

6、83;cosDOC，cos60°=cosAOD·cos30° cosAOD= 33 OA 與 面OBC所成的角的余弦值為33。2例題分析：例1如圖，已知是平面的一條斜線，為斜足，為垂足，為內的一條直線，求斜線和平面所成角。解：，由斜線和平面所成角的定義可知，為和所成角， 又，即斜線和平面所成角為例2如圖，在正方體中，求面對角線與對角面所成的角。解（法一）連結與交于，連結，平面，是與對角面所成的角，在中，（法二）由法一得是與對角面所成的角，又，說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角。另外，在條件允許的情況下，用公式求線面角顯得更加方便。例3已知空間四邊形的各邊及對角線相等，求與平面所