有關(guān)切線的輔助線作法

1、有關(guān)切線的輔助線作法一切線的性質(zhì)如圖1，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)，求證：APBP.證明：連接OP.AB是小圓的切線，OPAB.在大圓中由垂徑定理得APBP.圖1圖2【思想方法】 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，所以作過(guò)切點(diǎn)的半徑得到垂直關(guān)系是常用的輔助線作法如圖2，兩個(gè)同心圓的半徑分別為4 cm和5 cm，大圓的一條弦AB與小圓相切，則弦AB的長(zhǎng)為(C)A3 cmB4 cmC6 cmD8 cm如圖3，已知點(diǎn)O為RtABC斜邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)D，連接AE.(1)求證：AE平分CAB；(2)探求圖中1與C

2、的數(shù)量關(guān)系，并求當(dāng)AEEC時(shí)C的值圖3變形2答圖解：(1)證明：如圖，連接OE，BC是O的切線，且切點(diǎn)為E，OEBC，OEC90°.又ABC是直角三角形，B90°，OECB，OEAB， BAEOEA.OAOE，1OEA，BAE1，AE平分CAB.(2)ABC是直角三角形，BACC90°.AE平分CAB，BAC21，21C90°，即1(90°C)當(dāng)AEEC時(shí)，1C，則2CC90°，C30°.圖4如圖4，AB是O的直徑，D為O上一點(diǎn)，AT平分BAD交O于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T作AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.(1)求證：CT為O的切線；(2)若O半徑

3、為2，CT，求AD的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OTOAOT，OATOTA又AT平分BAD，DATOATDATOTA，OTAC又CTAT，CTOTCT為O的切線(2)解：過(guò)O作OEAD于E，則E為AD中點(diǎn)又CTAC，OECT四邊形OTCE為矩形CT，OE又OA2在RtOAE中，AE1AD2AE2.二切線的判定如圖5，直線AB經(jīng)過(guò)O上的點(diǎn)C，并且OAOB，CACB.求證：直線AB是O的切線證明：連接OC.OAOB，CACB，OAB是等腰三角形，OC是底邊AB上的中線OCAB.AB是O的切線圖5【思想方法】 證明某直線為圓的切線時(shí)，(1)如果該直線與已知圓有公共點(diǎn)，即可作出經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于

4、該半徑，即“連半徑，證垂直”；(2)如果不能確定該直線與已知圓有公共點(diǎn)，則過(guò)圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑，即“作垂直，證半徑”注意：在證明垂直時(shí)，常用到直徑所對(duì)的圓周角是直角如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是O上一點(diǎn)，且AED45°.判斷CD與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由圖6解：CD與O相切理由如下：連接DO，AED45°，AOD90°.四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，CDOAOD90°.又OD是O的半徑，CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，CD是O的切線2012·溫州如圖7，ABC中，ACB90°，D

5、是邊AB上的一點(diǎn)，且A2DCB.E是BC上的一點(diǎn)，以EC為直徑的O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.(1)求證：AB是O的切線；(2)若CD的弦心距為1，BEEO，求BD的長(zhǎng)圖7變形2答圖解：(1)證明：如圖，連接OD，DOB2DCB，又A2DCB，ADOB.又AB90°，DOBB90°，BDO90°，ODAB，AB是O的切線(2)解法一：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OMCD于點(diǎn)M，ODOEBEBO，BDO90°，B30°，DOB60°，DCB30°，OC2OM2，OD2，BO4，BD2.解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OMCD于點(diǎn)M，連接DE，OMCD，CMDM.又OC

6、OE，DE2OM2.RtBDO中，OEBE，DEBO，BO4，ODOE2，BD2.圖8如圖8，已知O的半徑為1，DE是O的直徑，過(guò)D作O的切線，C是AD的中點(diǎn)，AE交O于B點(diǎn)，四邊形BCOE是平行四邊形(1)求AD的長(zhǎng)；(2)BC是O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由解：(1)連接BD，則DBE90°.四邊形BCOE是平行四邊形，BCOE，BCOE1.在RtABD中，C為AD的中點(diǎn)，BCAD1.AD2.(2)連接OB，由(1)得BCOD，且BCOD.四邊形BCDO是平行四邊形又AD是O的切線，ODAD.四邊形BCDO是矩形OBBC，BC是O的切線圖9如圖，AB是O的直徑，AF

7、是O的切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，CD4，BE2.求證：(1)四邊形FADC是菱形；(2)FC是O的切線解：(1)連接OC，依題意知：AFAB，又CDAB，AFCD，又CFAD，四邊形FADC是平行四邊形，由垂徑定理得：CEEDCD2，設(shè)O的半徑為R，則OCR，OEOBBER2，在ECO中，由勾股定理得：R2(R2)2(2)2，解得：R4，AD4，ADCD，因此平行四邊形FADC是菱形；(2)連接OF，由(1)得：FCFA，又OCOA，F(xiàn)OFO，F(xiàn)COFAO，F(xiàn)COFAO90°，因此FC是O的切線第3課時(shí)切線長(zhǎng)定理和三角形內(nèi)切圓見(jiàn)B本P

8、461如圖24230，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B.如果APB60°，PA8，那么弦AB的長(zhǎng)是(B)圖24230A4B8C6D10【解析】 PA、PB都是O的切線，PAPB，又P60°，PAB是等邊三角形，即ABPA8，2如圖24231，PA切O于A，PB切O于B，OP交O于C，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(D)圖24231A12 BPAPBCABOP DPA2PC·PO3如圖24232，已知ABC中，I內(nèi)切于ABC，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則I是DEF的(A)圖24232A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心【解析】 I是DEF的外接圓4如圖2423

9、3，已知PA，PB切O于A，B，C是劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C作O的切線交PA于M，交PB于N，已知P56°，則MON(C)圖24233A56° B60° C62° D不可求【解析】 連接OA，OB，則AOB124°，MONAOB×124°62°，故選C.5ABC中A80°，若O為外心，M為內(nèi)心，則BOC_160_度，BMC_130_度【解析】 根據(jù)分析，得BOC2A160°；BMC90°A130°.62013·天津如圖24234，PA，PB分別切O于點(diǎn)A，B，若P70&#

10、176;，則C的大小為_(kāi)55°_圖24234【解析】 連接OA，OB，PA，PB分別切O于點(diǎn)A，B，OAPA，OBPB，即PAOPBO90°，AOB360°PAOPPBO360°90°70°90°110°，CAOB55°.72012·菏澤如圖24235，PA，PB是O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是O的直徑，若P46°，則BAC_23°_圖24235【解析】 PA，PB是O的切線，PAPB，又P46°，PABPBA67°.又PA是O的切線，AO為O的半徑，OA

11、AP，OAP90°，BACOAPPAB90°67°23°.8如圖24236，PA，PB分別切O于A，B，連接PO與O相交于C，連接AC，BC，求證：ACBC.圖24236證明：PA，PB分別切O于A，B，PAPB，APCBPC.又PCPC，APCBPC.ACBC.9如圖24237，O為ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，BCA90°，BC3，AC4.(1)求ABC的面積；(2)求O的半徑；(3)求AF的長(zhǎng)圖24237解：(1)C90°，BC3，AC4，ABC的面積為：×3×46；(2)連接OE，OD，O為ABC的

12、內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)為切點(diǎn)，EBFB，CDCE，ADAF，OEBC，ODAC，又C90°，ODOE，四邊形ECDO為正方形，設(shè)OEODCECDx，BE3x，DA4x；FB3x，AF4x，3x4x5，解得x1.(3)CD1，AFAD413.10如圖24238所示，AC是O的直徑，ACB60°，連接AB，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作O的切線，兩切線交于點(diǎn)P.若已知O的半徑為1，則PAB的周長(zhǎng)為_(kāi)3_圖24238【解析】 AP，BP是O的切線，PAC90°，PAPB.AC是O的直徑，ABC90°，BAC90°C90°60°30°，P

13、AB90°30°60°，PAB是等邊三角形在RtABC中，BAC30°，BCAC×21，AB，PAB的周長(zhǎng)為3.11如圖24239，已知AB為O的直徑，PA，PC是O的切線，A，C為切點(diǎn)，BAC30°.(1)求P的大??；(2)若AB2，求PA的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))圖24239第11題答圖解：(1)PA是O的切線，AB為O的直徑，PAAB，BAP90°.BAC30°，CAP90°BAC60°.又PA，PC切O于點(diǎn)A，C，PAPC，PAC為等邊三角形，P60°.(2)如圖，連接BC，則ACB

14、90°.在RtACB中，AB2，BAC30°，BCAB×21，AC，PAAC.12如圖24240，直尺、三角尺都和圓O相切，AB8 cm.求圓O的直徑圖24240第12題答圖解：作出示意圖如答圖，連接OE，OA，OB，AC，AB都是O的切線，切點(diǎn)分別是E，B，OBA90°，OAEOABBAC.CAD60°，BAC120°，OAB×120°60°，BOA30°，OA2AB16 cm.由勾股定理得OB8(cm)，即O的半徑是8cm，O的直徑是16cm.13如圖24241，PA，PB分別切O于A，B，

15、連接PO，AB相交于D，C是O上一點(diǎn)，C60°.(1)求APB的大小；(2)若PO20 cm求AOB的面積圖24241解：(1)PA，PB分別為O的切線，OAPA，OBPB.OAPOBP90°.C60°，AOB2C120°.在四邊形APBO中，APB360°OAPOBPAOB360°90°90°120°60°.(2)PA，PB分別為O的切線，PAPB.OAOB，POPO，PAOPBO，APOBPOAPB30°，POAB，DAOAPO30°，OA×OP×2010 (cm)在RtAOD中，DAO30°，OA10 cm，AD×OA×105(cm)，OD×OA×105 (cm)，AB2AD10cm，SAOB·AB·OD×10×525 (cm2)14如圖24242，AB是O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DC切O于點(diǎn)E，交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C，(