2017春八年級數(shù)學下冊4因式分解教案（新版）北師大版

1、第四章因式分解1.經(jīng)歷將一個多項式分解成幾個整式乘積的形式的過程,體會因式分解的意義,發(fā)展運算能力.2.能用提公因式法和公式法分解因式.認識整式乘法與因式分解的關系,體會數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系.1.進一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力,發(fā)展有條理地思考及語言表達能力.2.養(yǎng)成認真勤奮、嚴謹求實的科學態(tài)度.因式分解是整式的一種重要的恒等變形,它和整式乘法運算有著密切的聯(lián)系,是后續(xù)學習分式化簡與運算、解一元二次方程的重要基礎.學生已有的因數(shù)分解、整式乘法運算的學習經(jīng)驗是本章學習的基礎.本章在知識與技能方面主要解決兩個問題:什么是因式分解?怎樣進行因式分解?對于第二個問題,只學習提公因式法與公式法

2、(平方差公式與完全平方公式)這兩種方法.本章教科書盡可能幫助學生從幾何角度理解代數(shù)的含義,發(fā)展學生的類比思想以及從特殊到一般的思考問題的方法,幫助學生體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系.為此,教科書通過設計因數(shù)分解的例子讓學生體會因數(shù)分解的必要性,繼而用字母表示數(shù)體現(xiàn)一般化;通過類比因數(shù)分解體會因式分解的意義和因式分解的方法,體會數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系;通過經(jīng)歷借助拼圖解釋整式變形的過程,體會幾何直觀的作用;通過分析因式分解與整式乘法之間的互逆過程,學習因式分解的方法,提高學生對知識間聯(lián)系的認識.具體地,本章設計了3節(jié)內(nèi)容.第1節(jié)“因式分解”,先利用993-99的例子突出與因數(shù)分解的類比,體會因式分解的必

3、要性,然后用幾何圖形的拼圖解釋因式分解,在了解因式分解概念的基礎上,體會因式分解與整式乘法的關系.第2節(jié)“提公因式法”,它的依據(jù)是乘法分配律或者單項式乘多項式的法則.對于學生來說,難點是怎樣在多項式的各項中發(fā)現(xiàn)公因式,為此,教科書讓學生從簡單的多項式ab+bc的各項中發(fā)現(xiàn)相同因式入手,由淺入深地體會如何尋找公因式,并以例題示范的形式學習用提公因式法進行因式分解及其注意事項,形成基本技能.第3節(jié)“公式法”,其關鍵是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特點.學生初學時的一個難點是如何根據(jù)一個多項式的形式與特點選擇運用恰當?shù)墓?為此,教科書將這兩個公式編成兩課時,分開教學.需要說明的是,根據(jù)標準

4、的要求,本章教科書介紹了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式).教學中應把握好這一要求,不要刻意提高要求、增加難度,另外,教科書通過設置恰當?shù)摹⒂幸欢ㄌ荻鹊念}目,關注了學生知識技能的掌握和不同層次學生的需求.【重點】1.探索分解因式的方法.2.會用提公因式法把多項式分解因式.3.會用公式法把多項式分解因式.【難點】1.因式分解的概念的理解.2.確定多項式的公因式.3.確定合適的方法分解因式.1.要引導學生多角度理解因式分解的意義.(1)類比因數(shù)分解理解因式分解.通過類比數(shù)式993-99的分解過程,幫助學生認識多項式a3-a的分解.(2)通過拼圖幫助理解因式分解.

5、通過拼圖前后圖形的面積不變,可以形象地解釋多項式x2+2x+1變形為(x+1)2的合理性,以直觀形象的方式,促進學生對因式分解的理解.教師要引導學生用自己的語言說明變形過程. (3)對比整式乘法加深理解因式分解.通過對整式乘法運算與因式分解的對比,充分感受兩者之間互為逆過程的關系.2.要注重發(fā)展學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等能力.對于因式分解概念的教學,要讓學生通過觀察、對比整式乘法運算與因式分解,歸納概括出整式乘法運算與因式分解互為逆過程的關系.在學生經(jīng)歷探索因式分解方法的過程中,更要注重發(fā)展學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等能力.探索因式分解的方法,事實上是對整式乘法運算的再認識.在教學中,教

6、師要借助學生已有的整式乘法運算的基礎,給學生提供豐富的問題情境,留有充分探索與交流的時間和空間,讓他們經(jīng)歷從整式乘法運算到因式分解的轉(zhuǎn)換過程,并能用符號合理地表示出因式分解的方法.3.要堅持用整式乘法幫助學生理解因式分解,培養(yǎng)學生逆向思考問題的習慣.因式分解與整式乘法之間具有互為逆過程的關系.在因式分解概念的教學中,要重視運用這種關系進一步加深對因式分解的理解,在探索因式分解的方法的過程中,教師要堅持運用這種關系更好地促進學生領會提公因式法分解因式與乘法分配律或單項式乘多項式之間的聯(lián)系,領會因式分解的公式法與乘法公式之間的聯(lián)系,進一步鞏固“因式分解的結(jié)論是否正確可用整式乘法或乘法公式來檢驗”,

7、從而培養(yǎng)學生的逆向思維.4.保證基本的運算技能,避免復雜的題型訓練.運用提公因式法和公式法分解因式是學習本章內(nèi)容的一個重要目標.由于因式分解在后面學習分式、解一元二次方程等內(nèi)容中還可以繼續(xù)鞏固,因此教學中要依據(jù)教科書的要求,適當?shù)胤蛛A段進行必要的訓練,使學生在具備基本運算技能的同時,能夠明白每一步的算理.教學中要避免過于煩瑣的運算,不要過分追求題目的數(shù)量和難度.另外,本章只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解,教學要遵循標準和教科書的要求.1因式分解1課時2提公因式法2課時3公式法2課時回顧與思考1課時1因式分解1.使學生了解因式分解的意義,理解因式分解的概念.2.認識因式分解與整式乘法的關系互逆關系(

8、即相反變形),并能運用這種關系尋求因式分解的方法.1.通過解決實際問題,學會將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,并用所學到的數(shù)學知識解決問題,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展實踐應用意識.2.通過對因式分解與整式乘法的觀察與比較,學習代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學生分析問題的能力與綜合應用能力.培養(yǎng)學生接受矛盾的對立統(tǒng)一觀點,獨立思考、勇于探索的精神和實事求是的科學態(tài)度.【重點】因式分解的概念.【難點】理解因式分解與整式乘法的關系,并運用它們之間的關系尋求因式分解的方法.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習有關整式乘法的知識.導入一:【問題】簡便運算.(1)736×95+736×5

9、;(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.設計意圖觀察實例,分析兩個問題的共同屬性:解決問題的關鍵是把一個數(shù)式化成幾個數(shù)的積的形式,此時學生對因式分解還相當陌生,但學生對用簡便方法進行計算應該相當熟悉.這一步的目的是設計問題情境,復習相關知識點與計算,引入新課,讓學生通過回顧用簡便方法計算因數(shù)分解這一特殊算法,運用類比很自然地過渡到因式分解的概念上,從而為因式分解的理解和掌握打下基礎.導入二:【問題】(1)993-99能被99整除嗎?為了回答這個問題,你該怎樣做?把你的想法與同學交流.因為993-99=99×992-99×1=9

10、9(992-1),所以993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除嗎?為了回答這個問題,你該怎樣做?把你的想法與同學交流.小明是這樣做的:993-99=99×992-99×1=99(992-1)=99×9800=99×98×100,所以993-99能被100整除.設計意圖以一連串的知識性問題引入,在學生已有的知識基礎上,先讓學生解決一些具體的數(shù)的運算問題,通過簡便運算把一個式子化成幾個數(shù)的乘積的形式,并且問題的設置由淺入深,逐步讓學生體會因數(shù)分解的過程和意義.這一環(huán)節(jié)的設置對學生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,體現(xiàn)了知識螺旋

11、上升的特點.一、因式分解的概念思路一過渡語(針對導入二)前面問題中解決問題的關鍵是把一個數(shù)式化成了幾個數(shù)的積的形式.如果我們將數(shù)字換成字母,上述結(jié)論仍然成立嗎?用a表示任意一個常數(shù),則:a3-a=a·a2-a·1=a·(a2-1)=a·(a+1)(a-1)=(a-1)·a·(a+1).(1)你能理解嗎?你能與同伴交流每一步是怎么變形的嗎?(2)這樣變形是為了達到什么樣的目的?像這樣,把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做因式分解.因式分解也可稱為分解因式.設計意圖從知識性的問題過渡到思考性的問題,巧妙設問:“如果我們將數(shù)字換

12、成字母,上述結(jié)論仍然成立嗎?”引發(fā)學生聯(lián)想到用字母表示數(shù)的方法,得出a3-a=(a-1)·a·(a+1),這個過程對學生來說是思維上的一次飛躍,是從對具體、個別事物的認識上升到對一般事物規(guī)律性、結(jié)構(gòu)性的認識,是對學生思維能力水平的一次提高,同時很自然地從因數(shù)分解過渡到因式分解,初步樹立起學生對因式分解概念的直觀認識.思路二過渡語前面我們研究了數(shù)字的情況,下面我們看教材第92頁做一做,關于字母的情況.觀察下面的拼圖過程,寫出相應的關系式.解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2+2x+1=(x+1)2.像這樣,把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做

13、因式分解.因式分解也可稱為分解因式.設計意圖以拼圖前后面積不變的方式,加深學生對因式分解的理解,形象地說明因式分解是整式的恒等變形,對學生的思維發(fā)展具有實際價值.學生通過觀察,給出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都應給予鼓勵.要注意的是,這里拼圖前后的數(shù)量關系主要指向面積,教師要適當引導.二、例題講解過渡語剛剛我們學習了什么是因式分解,我們通過下面的幾個例題來看看同學們理解得怎么樣.(教材做一做)計算下列各式:(1)3x(x-1)=; (2)m(a+b-1)=; (3)(m+4)(m-4)=; (4)(y-3)2=. 根據(jù)上面的算式進行因式分解:

14、(1)3x2-3x=()();(2)ma+mb-m=()();(3)m2-16=()();(4)y2-6y+9=()().思考:因式分解與整式乘法有什么關系?舉例說明.設計意圖通過兩組練習,類比兩種不同的運算,進一步讓學生體會什么是因式分解,以及因式分解與整式乘法之間的互逆關系,這個時候,因式分解的概念已基本在學生頭腦中確立.由整式乘法的逆運算逐步過渡到因式分解,發(fā)展學生的逆向思維.知識拓展對于因式分解應注意以下幾點:(1)分解的對象必須是多項式;(2)分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積的形式;(3)要分解到不能分解為止.1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做因式分解,因式分解也可稱

15、為分解因式.2.因式分解與整式乘法是互逆過程.3.因式分解要注意以下幾點:(1)分解的對象必須是多項式;(2)分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積的形式;(3)要分解到不能分解為止.1.下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是()A.x2-x-2=x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x2-=解析:主要考查因式分解的概念.故選C.2.下列各式因式分解正確的是()A.a+b=b+aB.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1C.a(a-b)=a2-abD.a2-2ab+2a=a(a-2b+2)解析:主要考查因式分解的概念.故選D.3.把一個多項

16、式化成的形式,這種變形叫做因式分解. 答案:幾個整式的積4.因式分解與整式乘法的關系是. 答案:互為逆過程5.計算×13-×6+×2的結(jié)果是. 解析:利用因式分解可以簡化計算.原式=×(13-6+2)=×9=7.故填7.1因式分解一、因式分解的概念二、例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第93頁隨堂練習的1,2題.【選做題】教材第94頁習題4.1的1,2題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.(柳州中考)下列式子是因式分解的是()A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=(x

17、+1)(x-1)2.下列各式從左到右的變形中,是因式分解的是()A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6xB.(x+5)(x-2)=x2+3x-10C.x2-8x+16=(x-4)2D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)3.觀察下面計算962×95+962×5的過程,其中最簡單的方法是()A.962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200B.962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20)=96200C.962&

18、#215;95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200D.962×95+962×5=91390+4810=96200【能力提升】4.計算(1)(3)題,并根據(jù)計算結(jié)果將(4)(6)題進行因式分解.(1)(x-2)(x-1)=; (2)3x(x-2)=; (3)(x-2)2=; (4)3x2-6x=()(); (5)x2-4x+4=()(); (6)x2-3x+2=()(). 【拓展探究】5.下列從左到右的變形中,哪些是因式分解?哪些不

19、是?請說明理由.(1)a(x+y)=ax+ay;(2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3);(4)x2+2+=;(5)2a3=2a·a·a.【答案與解析】1.C(解析:因式分解就是把一個多項式化成幾個整式的積的形式,對各選項分析判斷后利用排除法求解.故選C.)2.C(解析:根據(jù)因式分解的概念可知只有C是因式分解.故選C.)3.A(解析:利用因式分解進行計算比較簡單.故選A.)4.(1)x2-3x+2(2)3x2-6x(3)x2-4x+4(4)3xx-2(5)x-2x-2(6)x-2x-1(解析:利用因式分解

20、與整式乘法互為逆過程解答.)5.解:因為(1)(2)的右邊都不是整式的積的形式,所以它們不是因式分解;(4)中,都不是整式,所以不是因式分解;(5)中的2a3不是多項式,所以它也不是因式分解.只有(3)的左邊是多項式,右邊是整式的積的形式,所以(3)是因式分解.本節(jié)課以學生的思維進程發(fā)展為主線,采用逐步滲透和類比的思想方法.在概念引入時從因數(shù)分解與因式分解的類比,到概念強化階段整式乘法與因式分解的過程的類比,再到等式恒等變形與因式分解的類比,逐漸加深學生的認識.主要體現(xiàn)在從一開始以一連串的知識性問題引入,到后來教學環(huán)節(jié)中多次提出思考性的問題,啟發(fā)、引導學生做進一步的猜想、探究,這種循序漸進的思

21、維進程有助于學生理解接受新知識.本課的設計過多強調(diào)學生用高度抽象的語言來描述概念.在例題的講解過程中,沒有讓學生嘗試自己獨立完成.注意引導學生從幾何的角度理解因式分解.最好將因式分解的方法也一起適當?shù)厝谌氲奖竟?jié)課的教學內(nèi)容中.隨堂練習(教材第93頁)1.解:2.解:(2)(4)是因式分解.因為(2)(4)滿足因式分解的定義:把一個多項式化成幾個整式的積的形式.習題4.1(教材第94頁)1.解:2.解:(2)(3)是因式分解.3.解:原式=I(R1+R2+R3)=2.5×(24.2+36.4+39.4)=250.故代數(shù)式的值為250.4.解:如右圖所示.x2+x+2x+2=x2+3x+

22、2=(x+2)·(x+1).5.解:(1)原式=1999×(1999+1)=1999×2000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除.(2)原式=×(16.9+15.1)=4,故16.9×+15.1×能被4整除.學生已經(jīng)熟悉乘法的分配律及其逆運算,并且學習了整式的乘法運算,因此對于因式分解的引入,學生不會感到陌生,它為今天學習因式分解打下了良好基礎.由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程,而逆向思維對于八年級學生來說還比較生疏,接受起來還有一定的困難,另外本節(jié)還沒有涉及因式分解的具體方法,所以對于學生來

23、說,尋求因式分解的方法是一個難點.已知a=2,b=3,c=5.求代數(shù)式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.解:當a=2,b=3,c=5時,a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)=a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c)=(a+b-c)(a+b-c)=(a+b-c)2=(2+3-5)2=0.2提公因式法經(jīng)歷探索求多項式各項公因式的過程,能在具體問題中確定多項式各項的公因式,會用提公因式法把多項式分解因式,積累確定公因式的初步經(jīng)驗.自主探索,合作交流,先學后教,當堂訓練.進一步了解分解因式的意義,加強學生的逆向思維,并逐漸滲透化歸的思想方法.【重點】

24、用提公因式法分解因式.【難點】確定多項式各項的公因式.第課時1.使學生了解因式分解的意義,了解因式分解和整式乘法是整式的兩種相反方向的變形.2.讓學生會確定多項式中各項的公因式,會用提公因式法進行因式分解.自主探索,合作交流.1.通過與因數(shù)分解的類比,讓學生感悟數(shù)學中數(shù)與式的共同點,體驗數(shù)學的類比思想.2.通過對因式分解的教學,培養(yǎng)學生“換元”的意識.【重點】因式分解的概念及提公因式法的應用.【難點】正確找出多項式中各項的公因式.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習有關乘法分配律的知識.導入一:【問題】一塊場地由三個長方形組成,這些長方形的長分別為,寬都是,求這塊場地的面積.解法1:這塊場

25、地的面積=×+×+×=+=2.解法2:這塊場地的面積=×+×+×=×=×4=2.從上面的解答過程看,解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是將多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.設計意圖讓學生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.導入二:【問題】計算×15-×9+&

26、#215;2采用什么方法?依據(jù)是什么?解法1:原式=-+=5.解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是把多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.設計意圖讓學生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.一、提公因式法分解因式的概念思路一過渡語上一節(jié)我們學習了什么是因式分解,那么怎樣進行因式分解呢?我們來看下面的

27、問題.如果一塊場地由三個長方形組成,這三個長方形的長分別為a,b,c,寬都是m,那么這塊場地的面積為ma+mb+mc或m(a+b+c),可以用等號來連接,即:ma+mb+mc=m(a+b+c).大家注意觀察這個等式,等式左邊的每一項有什么特點?各項之間有什么聯(lián)系?等式右邊的項有什么特點?分析:等式左邊的每一項都含有因式m,等式右邊是m與多項式a+b+c的乘積,從左邊到右邊的過程是因式分解.由于m是左邊多項式ma+mb+mc中的各項ma,mb,mc都含有的一個相同因式,因此m叫做這個多項式各項的公因式.由上式可知,把多項式ma+mb+mc寫成m與多項式a+b+c的乘積的形式,相當于把公因式m從各

28、項中提出來,作為多項式ma+mb+mc的一個因式,把m從多項式ma+mb+mc的各項中提出后形成的多項式a+b+c,作為多項式ma+mb+mc的另一個因式.總結(jié):如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.設計意圖通過實例的教學,使學生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.思路二過渡語同學們,我們來看下面的問題,看看同學們誰先做出來.多項式 ab+ac中,各項都含有相同的因式嗎?多項式 3x2+x呢?多項式mb2+nb-b呢?結(jié)論:多項式中各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的公因式.多項式2x2+6

29、x3中各項的公因式是什么?你能嘗試將多項式2x2+6x3因式分解嗎?結(jié)論:如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.設計意圖從讓學生找出幾個簡單多項式的公因式,再到讓學生嘗試將多項式分解因式,使學生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.二、例題講解過渡語剛剛我們學習了因式分解的一種方法,現(xiàn)在我們嘗試下利用這種方法進行因式分解吧.(教材例1)把下列各式因式分解:(1)3x+x3;(2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.解析首先要找出各項的公因式,然

30、后再提取出來.要避免提取公因式后,各項中還有公因式,即“沒提徹底”的現(xiàn)象.解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2).(2)7x3-21x2=7x2·x-7x2·3=7x2(x-3).(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1).(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7).【學生活動】通過剛才的練習,大家互相交流,總結(jié)出

31、提取公因式的一般步驟和容易出現(xiàn)的問題.總結(jié):提取公因式的步驟:(1)找公因式;(2)提公因式.容易出現(xiàn)的問題(以本題為例):(1)第(2)題中只提出7x作為公因式;(2)第(3)題中最后一項提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)題提出“-”號時,沒有把后面的因式中的每一項都變號.教師提醒:(1)各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分;(2)因式分解后括號內(nèi)的多項式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同;(3)若多項式的首項為“-”,則先提取“-”號,然后再提取其他公因式;(4)將分解因式后的式子再進行整式的乘法運算,其積應與原式相等.設計意圖經(jīng)歷用提公因式法進行因式分解的過程,在教師的啟發(fā)與

32、指導下,學生自己歸納出提公因式的步驟及提取公因式時容易出現(xiàn)的類似問題,為提取公因式積累經(jīng)驗.1.提公因式法分解因式的一般形式,如:ma+mb+mc=m(a+b+c).這里的字母a,b,c,m可以是一個系數(shù)不為1的、多字母的、冪指數(shù)大于1的單項式.2.提公因式法分解因式的關鍵在于發(fā)現(xiàn)多項式的公因式.3.找公因式的一般步驟:(1)若各項系數(shù)是整系數(shù),則取系數(shù)的最大公約數(shù);(2)取各項中相同的字母,字母的指數(shù)取最低的;(3)所有這些因式的乘積即為公因式.1.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是()A.-6ab2cB.-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c解析:根據(jù)確定多項式各項

33、的公因式的方法,可知公因式為-6ab2.故選C.2.下列用提公因式法分解因式正確的是()A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),錯誤;B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),錯誤;D.x2y+5xy-y=y(x2+5x-1),錯誤.故選C.3.下列多項式中應提取的公因式為5a2b的是()A.15a2b-20a2b2B.30a2b3-15ab4-10a3b2C.10a2b-20a2b3+5

34、0a4bD.5a2b4-10a3b3+15a4b2解析:B.應提取公因式5ab2,錯誤;C.應提取公因式10a2b,錯誤;D.應提取公因式5a2b2,錯誤.故選A.4.填空.(1)5a3+4a2b-12abc=a(); (2)多項式32p2q3-8pq4m的公因式是; (3)3a2-6ab+a=(3a-6b+1); (4)因式分解:km+kn=; (5)-15a2+5a=(3a-1); (6)計算:21×3.14-31×3.14=. 答案:(1)5a2+4ab-12bc(2)8pq3(3)a(4)k(m+n)(5)

35、-5a(6)-31.45.用提公因式法分解因式.(1)8ab2-16a3b3;(2)-15xy-5x2;(3)a3b3+a2b2-ab;(4)-3a3m-6a2m+12am.解:(1)8ab2(1-2a2b).(2)-5x(3y+x).(3)ab(a2b2+ab-1).(4)-3am(a2+2a-4).第1課時一、提公因式法分解因式的概念二、例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第96頁隨堂練習.【選做題】教材第96頁習題4.2.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.把多項式4a2b+10ab2分解因式時,應提取的公因式是. 2.(2014·淮安中考)因式分解:x2-3x=. 

36、3.分解因式:12x3y-18x2y2+24xy3=6xy·. 【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x2y-6xy;(2)5x2y3-25x3y2;(3)-4m3+16m2-26m;(4)15x3y2+5x2y-20x2y3.【拓展探究】5.分解因式:an+an+2+a2n.6.觀察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;.這列式子有什么規(guī)律?請你將猜想到的規(guī)律用含有字母n(n為自然數(shù))的式子表示出來.【答案與解析】1.2ab2.x(x-3)3.(2x2-3xy+4y2)4.解:(1)3xy(x-2).(2)5x

37、2y2(y-5x).(3)-2m(2m2-8m+13).(4)5x2y(3xy+1-4y2).5.解:原式=an·1+an·a2+an·an=an(1+a2+an).6.解:由題中給出的幾個式子可得出規(guī)律:n2+n=n·(n+1).本節(jié)運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,使學生易于理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由提公因數(shù)到提公因式,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,都是利用了類比的數(shù)學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解.在小組討論之前,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代

38、替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問.由于因式分解的主要目的是對多項式進行恒等變形,它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡,比如在以后將要學習的分式運算、解分式方程等中都要用到因式分解的知識,因此應該注重因式分解的概念和方法的教學.隨堂練習(教材第96頁)解:(1)m(a+b).(2)5y2(y+4).(3)3x(2-3y). (4)ab(a-5).(5)2m2(2m-3).(6)b(a2-5a+9).(7)-a(a-b+c).(8)-2x(x2-2x+3).習題4.2(教材第96頁)1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2).(2)8m2n+2mn=2mn·4m+2mn

39、83;1=2mn(4m+1).(3)a2x2y-axy2=axy·ax-axy·y=axy(ax-y).(4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3).(5)-24x2y-12xy2-28y3=-(24x2y+12xy2+28y3)=-4y(6x2+3xy+7y2).(6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12xy2+8xy3=-(2x2+12xy2-8xy3)=-2x(x+6y2-4y3).(8)-3ma3+6ma2-12ma=-(3ma3-6ma2+12ma)=-3ma·(

40、a2-2a+4).2.解:(1)m+m+m=m(+)=3.14×(202+162+122)=2512.(2)xz-yz=z·(x-y),原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7.(3)ab=7,a+b=6,a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.3.解:(1)不正確,因為提取的公因式不對,應為n(2n-m-1).(2)不正確,因為提取公因式-b后,第三項沒有變號,應為-b(ab-2a+3).(3)正確.(4)不正確,因為最后的結(jié)果不是乘積的形式,應為(a-2)(a+1).提公因式法是本章的第2小節(jié),占兩個課時,這是第一課時,它主

41、要讓學生經(jīng)歷從乘法分配律的逆運算到提公因式的過程,讓學生體會數(shù)學中的一種主要思想類比思想.運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,可以使學生易于理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,就利用了類比的數(shù)學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解,進而使學生進一步理解因式分解與整式乘法運算之間的互逆關系.已知方程組求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.解析將代數(shù)式分解因式,產(chǎn)生x-3y與2x+y兩個因式,再根據(jù)方程組整體代入,使計算簡便.解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3=(x-3y)27y+2(x-3y)=(x-3y

42、)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).由方程組可得原式=12×6=6.第課時1.經(jīng)歷探索多項式因式分解方法的過程,能在具體問題中確定多項式各項的公因式.2.會用提公因式法把多項式分解因式(多項式中的字母指數(shù)僅限于正整數(shù)的情況).3.進一步了解因式分解的意義,加強學生的逆向思維,并滲透化歸的思想方法.1.由學生自主探索解題途徑,在此過程中,通過觀察、對比等手段,確定多項式各項的公因式,加強學生的逆向思維,滲透化歸的思想方法,培養(yǎng)學生的觀察能力.2.由乘法分配律的逆運算過渡到因式分解,從提取的公因式是一個單項式過渡到提取的公因式是多項式,進一步發(fā)展學生的類比思想.3.尋找

43、出確定多項式各項的公因式的一般方法,培養(yǎng)學生的初步歸納能力.通過觀察能合理地進行因式分解,并能清晰地闡述自己的觀點.【重點】用提公因式法把多項式分解因式.【難點】探索多項式因式分解方法的過程.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習提公因式法分解因式的知識.導入一:【問題】把下列各式分解因式:(1)8mn2+2mn;(2)a2b-5ab+9b;(3)-3ma3+6ma2-12ma;(4)-2x3+4x2-8x.設計意圖回顧上一節(jié)課提取公因式的基本方法與步驟,為學生能從容地把提取的公因式從單項式過渡到多項式提供必要的基礎.以板演的形式讓學生回憶起提取公因式的方法與步驟,使學生真正理解基本方法和步

44、驟.導入二:上節(jié)課我們學習了用提公因式法分解因式,知道了一個多項式可以分解為一個單項式與一個多項式的積的形式,那么是不是所有的多項式分解以后都是同樣的結(jié)果呢?本節(jié)課我們就來揭開這個謎.設計意圖通過設問,創(chuàng)設情境,活躍了課堂氣氛,學生對自己探討、發(fā)現(xiàn)出來的知識很有成就感,學習的興趣自然得到了提高.例題講解過渡語同學們,前面我們學習了提公因式法分解因式,下面我們來看幾個例題.(教材例2)把下列各式因式分解:(1)a(x-3)+2b(x-3);(2)y(x+1)+y2(x+1)2.解析(1)這個多項式整體而言可分為兩大項,即a(x-3)與2b(x-3),每項中都含有x-3,因此可以把x-3作為公因式

45、提出來.(2)這個多項式整體而言可分為兩大項,即y(x+1)與y2(x+1)2,每項中都含有y(x+1),因此可以把y(x+1)作為公因式提出來.解:(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).(2)y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)1+y(x+1)=y(x+1)(xy+y+1).設計意圖引導學生通過類比將提取單項式公因式的方法與步驟推廣應用于提取多項式公因式.(1)題中很明顯地表明多項式中的兩項都存在著x-3,通過觀察,學生較容易找到第(1)題的公因式是x-3,而第(2)題的公因式是y(x+1),找到它即能順利地進行因式分解.(教材例3)把下列各式因式分解:(1)a

46、(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2.解析雖然a(x-y)與b(y-x)看上去沒有公因式,但仔細觀察可以看出x-y與y-x互為相反數(shù),如果把其中一個提取一個“-”號,那么就可以出現(xiàn)公因式,即y-x=-(x-y).同樣(m-n)3與(n-m)2也是如此.解:(1)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).(2)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12-(m-n)2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2).設計意圖有了前面所得的規(guī)律,學生容易觀察到多項式中括號內(nèi)符號不同的多項式部分,并把它們轉(zhuǎn)化成

47、符號相同的多項式,再把相同的多項式作為公因式提取出來.進一步引導學生采用類比的方法由提取的公因式是單項式得出提取的公因式是多項式的方法與步驟.(教材做一做)請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“-”,使等式成立:(1)2-a=(a-2); (2)y-x=(x-y); (3)b+a=(a+b); (4)(b-a)2=(a-b)2; (5)-m-n=(m+n); (6)-s2+t2=(s2-t2). 解:(1)2-a=-(a-2).(2)y-x=-(x-y).(3)b+a=+(a+b).(4)(b-a)2=+(a-b)2.(5)-m-

48、n=-(m+n).(6)-s2+t2=-(s2-t2).設計意圖學生對于符號問題的解答有一定的困難,因而需要認真比較等號兩邊兩個多項式符號上的異同,確定它們是互為相反數(shù)還是相等關系.通過學生的反饋練習,使教師能全面了解學生對符號的轉(zhuǎn)換的理解是否到位,提取公因式的方法與步驟是否掌握,以便教師能及時地進行查缺補漏.本節(jié)課進一步學習了用提公因式法分解因式,公因式可以是單項式,也可以是多項式,要認真觀察多項式的結(jié)構(gòu)特點,從而準確熟練地進行多項式的因式分解.1.把多項式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的結(jié)果是()A.8(7a-8b)(a-b)B.2(7a-8b)2C

49、.8(7a-8b)(b-a)D.-2(7a-8b)解析:原式=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故選C.2.把(x-y)2-(y-x)分解因式得()A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)解析:原式=(y-x)2-(y-x)=(y-x)(y-x-1).故選C.3.下列各式分解因式正確的是()A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)B.(a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+

50、c=(b+c-a)(x+y-1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)解析:A.原式=2ac(5b2+3c+1),錯誤;B.原式=(a-b)2(a-b-1),錯誤;C.原式=(b+c-a)(x+y+1),錯誤.故選D.4.當n為時,(a-b)n=(b-a)n;當n為時,(a-b)n=-(b-a)n.(其中n為正整數(shù)) 解析:互為相反數(shù)的兩數(shù)的偶次方相等,奇次方互為相反數(shù).答案:偶數(shù)奇數(shù)5.(2015·嘉興中考)因式分解:ab-a=. 解析:直接提取公因式a即可.ab-a=a(b-1).故填a(b-1).6.把下列各式分解因式:

51、(1)15x(a-b)2-3y(b-a);(2)(a-3)2-(2a-6);(3)-20a-15ax;(4)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p).解:(1)3(a-b)(5ax-5bx+y).(2)(a-3)(a-5).(3)-5a(4+3x).(4)-2q(m+n).第2課時例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第98頁隨堂練習.【選做題】教材第98頁習題4.3.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.觀察下列各組整式,其中沒有公因式的是()A.2a+b和a+bB.5m(a-b)和-a+bC.3(a+b)和-a-bD.2x-2y和22.(2015·武漢中考)把a2-2a分解因式,正確的是()

52、A.a(a-2)B.a(a+2)C.a(a2-2)D.a(2-a)3.在括號內(nèi)填上適當?shù)氖阶?(1)-x-1=-(); (2)a-b+c=a-(). 【能力提升】4.把下列各式分解因式:(1)2(a-3)2-a+3;(2)3m(x-y)-2(y-x)2;(3)18(a-b)2-12(a-b)3;(4)6x(x+y)-4y(x+y);(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).【拓展探究】5.把多項式m2(a-2)+m(2-a)分解因式得()A.(a-2)(m2+m)B.(a-2)(m2-m)C.m(a-2)(m-1)D.m(a-2)(m+1)6.(2015·潛

53、江中考)已知3a-2b=2,則9a-6b=. 7.若x+y=5,xy=2,則x2y+xy2=. 8.已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值.【答案與解析】1.A(解析:B.公因式是a-b;C.公因式是a+b;D.公因式是2.故選A.)2.A(解析:原式=a·a-a·2=a(a-2).故選A.)3.(1)x+1(2)b-c4.解:(1)2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-7).(2)3m(x-y)-2(y-x)2=3m(x-y)-2(x-y)2=(x-y)(3m-2x+2y).(3)18(a-b)2-12(a-

54、b)3=6(a-b)2(3-2a+2b).(4)6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y).(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)=(x-a)(a-b-c).5.C(解析:m2(a-2)+m(2-a)=m2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1).故選C.)6.6(解析:3a-2b=2,9a-6b=3(3a-2b)=3×2=6.故填6.)7.10(解析:x2y+xy2=xy(x+y)=2×5=10.故填10.)8.解:由4x2+7x+2=4得4x2+7x=2,-12x2-21x=-3(4x2+7x),

55、-12x2-21x=-3×2=-6.運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,可以使學生易于理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,由提取的公因式是單項式到提取的公因式是多項式時的分解方法,都是利用了類比的數(shù)學思想,從而使得學生在接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解.遇到互為相反數(shù)的多項式處理得不太好.遇到互為相反數(shù)的項,先轉(zhuǎn)化,再提公因式,轉(zhuǎn)化原則:變后不變前、變偶不變奇、變少不變多.因式分解和整式乘法運算是互逆的關系,所以備課時應讓學生們自己將新舊知識前后比較,去理解,去尋找因式分解的方法.隨堂練習(教材第98頁)解:(1)(a

56、+b)(x+y).(2)(x-y)(3a-1).(3)6·(p+q)(p+q-2).(4)(m-2)(a-b).(5)(x-y)(2x-2y+3).(6)m(m-n)(2n-m).習題4.3(教材第98頁)1.解:(1)原式=(a-1)(x+7).(2)原式=3(b-a)2+6(b-a)=3(b-a)(b-a+2).(3)原式=(m-n)2(m-n)-m=(m-n)(2m-2n-m)=(m-n)(m-2n).(4)原式=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y)=(x-y)3.(5)原式=(a2+b2)(m+n).(6)原式=6(a-b)2·3(a-b)-6(a

57、-b)2·2b=6(a-b)23(a-b)-2b=6(a-b)2(3a-5b).(7)原式=(2a+b)(2a-3b)-3a=(2a+b)(-a-3b)=-(2a+b)(a+3b).(8)原式=x(x+y)(x-y)-(x+y)=x(x+y)·(x-y-x-y)=x(x+y)(-2y)=-2xy·(x+y).2.解:(1)原式=x(m-2)(10-3m),x=1.5,m=6,原式=1.5×(6-2)×(10-3×6)=-48.(2)原式=(2-a)2-6(2-a)=(2-a)(2-a)-6=(2-a)(-a-4)=-(2-a)(a+4).當a=-2時,原式=-2-(-2)(-2+4)=-4×2=-8.3.解:這三塊草坪的總面積=(a+b