北京朝陽區(qū)2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(理科含解析)

1、北京朝陽區(qū) 2019 屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（理科含解析）北京市朝陽區(qū)XX2019學(xué)年度學(xué)期高三年級期中統(tǒng)一 檢測數(shù)學(xué)試卷第I卷一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.已知集合，貝UA.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出來，然后求AUB即可.【詳解】因?yàn)榧虾?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A.-10B.-2C.2D.10【答案】c【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié) 構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案

2、.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過程，次運(yùn)行：，第二次運(yùn)行：第三次運(yùn)行：第四次運(yùn)行：此時，推出循環(huán)，輸出輸出故選c.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模 擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.設(shè)平面向量，則實(shí)數(shù)的值等于A.B.c.OD.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列方程求出的值.【詳解】向量，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理的 應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.已知，則下列不等關(guān)系中正確的是A. B.c.D.【答案】D【解析】【分析】禾U用指函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.【詳解】A.，顯然不成立；B.錯誤，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，由，可得； 同理

3、c.,因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，由，可得；D.,正確，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，由，可得；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條c.充分必要條件D.既不充分也不必要條【答案】A【解析】【分析】觀察兩條件的互推性即可求解.【詳解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”， 故“”是“”的充分而不必要條件.故応A.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根據(jù)基本不等式可求的取值范圍.【詳解】若由，貝U與矛盾；同理也可導(dǎo)出矛盾，故而即故選B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng) 用，屬中檔題.

4、已知函數(shù)當(dāng)時，方程的根的個數(shù)為A.1B.2C.3D.4【答案】c【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖像，由圖像可得結(jié)論.【詳解】畫出函數(shù)的圖像，有圖可知方程的根的個數(shù)為3個.故選c.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、方程的根等知識，綜合性較強(qiáng)，考查利用所學(xué)知識解決問題的能力，是中檔題.將正奇數(shù)數(shù)列134,5,7,9,依次按兩項、三項分組，得到分組序列如下：，稱為第1組，為第2組， 依此類推，則原數(shù)列中的2019位于分組序列中A.第404組B.第405組c.第808組D.第809組【答案】A【解析】【分析】求出2019為第1010個證奇數(shù)，根據(jù)富足規(guī)則可得答案.【詳解】正奇數(shù)數(shù)列134,5,7,9，的通項

5、公式為則2019為第1010個奇數(shù)，因?yàn)榘磧身?、三項分組，故按5個一組 分組是有202組，故原數(shù)列中的2019位于分組序列中第404組選A.【點(diǎn)睛】本題考查閨女是推理，屬中檔題.第口卷二、填空題已知，貝U.【答案】.-【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式可解【詳解】由題，貝y即答案為.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.0.已知，滿足則的最大值為 _ .【答案】【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABc及其內(nèi)部， 再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移， 可得 當(dāng)x=3,y=1時，z=x+2y取得最大值為5.【詳解】作出不等式組表

6、示的平面區(qū)域，得到如圖的ABc及其內(nèi)部，其中A,B, c設(shè)z=x+2y，將直線I:z=x+2y進(jìn)行平移，當(dāng)I經(jīng)過點(diǎn)A時，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值 z最大值=3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和 簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題.1.已知函數(shù)滿足下列條件：1定義域?yàn)椋?函數(shù)在上單調(diào)遞增；3函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，寫出函數(shù)的一個表達(dá)式 _ .【答案】【解析】【分析】利用已知條件，直接推出結(jié)果即可.【詳解】定義域?yàn)椋?函數(shù)在上單調(diào)遞增；3函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，滿足條件一個函數(shù)可以為：.或+2等等.故答案為

7、：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的解析 式的求法，考查判斷能力.如圖，在平行四邊形中，分別為邊，的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，若，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解答即可.【詳解】根據(jù)平行線分線段成比例可得而故即答案為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，屬中檔題.3.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生的漲落現(xiàn)象叫潮.港口的水深會隨潮的變化而變化.某港口水的深度是時刻的函數(shù)，記作.下面是該港口某日水深的數(shù)據(jù)：03691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0經(jīng)長期觀察，曲線可近似地看成函數(shù)的圖象，根據(jù)以上 數(shù)據(jù)，函數(shù)的近似表達(dá)式為

8、_.【答案】【解析】【分析】設(shè)出函數(shù)解析式，據(jù)最大值與最小值的差的一半為A;最大值與最小值和的一半為h;通過周期求出3，得到函數(shù)解析式.【詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)可以得出A=3,b=8,T=12,0=0,由，得3=，所以函數(shù)的近似表達(dá)式即答案為【點(diǎn)睛】本題考查通過待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、屬基礎(chǔ)題.從標(biāo)有數(shù)字，的四個小球中任選兩個不同的小球，將其上的數(shù)字相加，可得4種不同的結(jié)果；將其上的數(shù)字相乘，可得3種不同的結(jié)果，那么這4個小球上的不同的數(shù)字恰好有 _個；試寫出滿足條件的所有組，【答案】31,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且個小球中任選兩個不同的小

9、球，將其上的數(shù)字相加，可得4種不同的結(jié)果；將其上的數(shù)字相乘，可得3種不同的結(jié)果，則必有兩個數(shù)字相等，分析可得個小球上的不同的數(shù)字恰好有3個，在逐一分析可得滿足條件的所有組，.【詳解】由，且個小球中任選兩個不同的小球，將其上 的數(shù)字相加，可得4種不同的結(jié)果；將其上的數(shù)字相乘，可 得3種不同的結(jié)果，則必有兩個數(shù)字相等，分析可得個小球上的不同的數(shù)字恰好有3個，若兩個相等的數(shù)為1,如1，1,2，4,則四個小球中任選兩個不同的小球，將其 上的數(shù)字相加，可得3種不同的結(jié)果，不符合題意，若若兩 個相等的數(shù)為2，則符合題意的為1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合題意.即答

10、案31,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，屬難題.三、解答題設(shè)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，求的通項公式；若，求【答案】，.【解析】【分析】設(shè)為首項為，公比為，則依題意，解得，即可得到的通項公式； 因?yàn)?，利用分組求和法即可得到.【詳解】設(shè)為首項為，公比為，則依題意，解得，所以的通項公式為，.因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量計算，以及分 組求和法屬基礎(chǔ)題.已知函數(shù).求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間; 若對任意，恒成立，求的最小值【答案】最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.的最小值為2【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式及輔助角公式求得f的解析式，根據(jù)

11、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；II）由.可得.由此可求的最小值.【詳解】由已知可得所以最小正周期為.令，.所以，所以，即單調(diào)遞增區(qū)間為，.因?yàn)?所以，貝畀所以，當(dāng)，即時，.因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以的最小值?【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性及 最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.在中，角，的對邊分別為，.求；求的面積.【答案】證明見解析【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得.，利用正弦定理可求；在中，由知為鈍角，所以.利用，可求求的面積.【詳解】證明：因?yàn)?，即，又，為鈍角，所以.由，即，解得.在中，由知為鈍角，所以.所以所以【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、 余弦

12、定理，三角形面積公式， 以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.已知函數(shù)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；求證：“”的“函數(shù)有唯一零點(diǎn)”的充分而不必要條件【答案】；.“”是“有唯一零點(diǎn)”的充分不必要條【解析】【分析】先求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)為0,求出極值，列表解得即可;根據(jù)分類討論，分別利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系以及 充分不必要條件的定義即可證明.【詳解】，當(dāng)時，當(dāng)在內(nèi)變化時，的變化如下表：-1012+0-0+-4/極大值1極小值0/5當(dāng)時，；若，.當(dāng)變化時，的變化如下表：0+0-0+/極大值極小值/因?yàn)椋?即.且，所以有唯一零點(diǎn).所以“”是“有唯一零點(diǎn)”的充分條件.又時，當(dāng)變化時，

13、的變化如下表：0-0+0-極小值/極大值又，.所以此時也有唯一零點(diǎn).從而“”是“有唯一零點(diǎn)”的充分不必要條【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值和零點(diǎn)的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.已知函數(shù).求曲線在點(diǎn)處的切線方程；試判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；若函數(shù)在處取得極大值，記函數(shù)的極小值為，試求的最 大值.【答案】.函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.函數(shù)的最大值為.【解析】【分析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?易知，代入點(diǎn)斜式即可得到曲線在點(diǎn)處的切線方程； 令，得，分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性， 由可知，要使是函數(shù)的極大值點(diǎn)，需滿足.此時，函數(shù)的極小值為.，利用導(dǎo)數(shù)可求的最大值【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

14、.易知，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即.令，得，1當(dāng)時，.當(dāng)變化時，變化情況如下表：+0-0+/極大值極小值/所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減2當(dāng)時，恒成立.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.3當(dāng)時，.當(dāng)變化時，變化情況如下表：+0-0+/極大值極小值/所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 由可知，要使是函數(shù)的極大值點(diǎn)，需滿足 此時，函數(shù)的極小值為.所以.令得.當(dāng)變化時，變化情況如下表：+0-/極大值、所以函數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.0.設(shè)，為正整數(shù)，一個正整數(shù)數(shù)列，滿足，對，定義集合，數(shù)列，中的是集合中元素的個數(shù)若數(shù)列，為5,3,3,2,1,1，寫出數(shù)列，；若，為公比為的等比數(shù)列，求；對，定義集合，令是集合中元素的個數(shù).求證：對，均有.【答案】數(shù)列，是6,4,3,1,1.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列，數(shù)列，是6,4,3,1,1.由題知，由于數(shù)列，是項的等比數(shù)列，因此數(shù)列，為，2,利用反證法證明；對，表示，中大于等于的個數(shù)，首先證明.再證對，即可.【詳解】解：數(shù)列，是6,431,1.由題知，由于數(shù)列