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1、II c 2007 2010。 保留所和擁有利。這份文檔是我們即將的書稿，目前提供給中山大學(xué)嶺南學(xué)院的師生使用。發(fā)布這份文檔的目的有二：其一，用做授課講義，幫助嶺南學(xué)院的同學(xué)們學(xué)習(xí)STATA；其二，懇請(qǐng)大家對(duì)書稿提出修改意見，包括書稿的結(jié)構(gòu)安排、表述錯(cuò)誤，以及錯(cuò)別字等細(xì)節(jié)。書稿的使用僅限于嶺南學(xué)院范圍內(nèi)，外傳或散布于。目錄面板模型及 STATA 應(yīng)用簡介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型 . . . . . . . . . . . .

2、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1124101316161618203030344255555657586364656666667173第八章8.18.28.2.18.2.28.2.3固定效應(yīng)模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .隨機(jī)效應(yīng)模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .假設(shè)檢驗(yàn) . . . . . . . . .

3、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3STATA 實(shí)現(xiàn)I：靜態(tài)面板模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3.18.3.28.3.38.3.4簡介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .基本設(shè)定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4、. . . . . . . . . .面板數(shù)據(jù)的處理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .面板模型的估計(jì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4非均齊方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4.18.4.28.4.3異方差 . . . . . . . . . . .

5、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .序列相關(guān) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .方差形時(shí)的穩(wěn)健性估計(jì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.58.6內(nèi)生性問題與IV/GMM 估計(jì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .動(dòng)態(tài)面板模型 . . . . . . .

6、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.18.6.28.6.38.6.48.6.58.6.6簡介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV 估計(jì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .一階差分GMM (FD-GMM) 估計(jì)量 . . . . . . . . . .

7、. . . . . . . . . . . . .假設(shè)檢驗(yàn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .包含其它解釋變量的動(dòng)態(tài)面板模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .系統(tǒng)GMM (SYS-GMM) 估計(jì)量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.7面板門檻模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8、 . . . . . . . . . . .8.7.18.7.28.7.38.7.4簡介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .單一門檻模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .多重門檻模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .STATA 實(shí)現(xiàn) . . . . . . . .

9、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III第八章面板模型及 STATA 應(yīng)用8.1簡介面板數(shù)據(jù) (Panel Data)，簡言之，是時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)的混合。 嚴(yán)格地講是指對(duì)一組個(gè)體 (如居家、公司等) 連續(xù)追蹤觀察多期得到的資料。 所以很多時(shí)候也稱其為“追蹤資料”。相對(duì)于單純的截面資料和時(shí)序資料， 這種特殊的資料結(jié)構(gòu)，使得我們可以建立更為符合實(shí)際的計(jì)量模型。 當(dāng)然，由于資料結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，也對(duì)模型的估計(jì)和分析提出了更高的要求。例如，由于面板資料是對(duì)特定的追蹤多年得到的，此時(shí)，觀察值之間彼此的假設(shè)可能不再成立。 這會(huì)在很

10、大程度上增加分析的難度，在非線性模型或動(dòng)態(tài)模型中更是如此。近年來，由于面板數(shù)據(jù)獲得變得相對(duì)容易，使得其應(yīng)用范圍也不斷擴(kuò)大。 而關(guān)于面板數(shù)據(jù)模型的計(jì)量理論也幾乎涉及到了以往截面分析和時(shí)間序列分析中所有可能出現(xiàn)的主題， 如近年來發(fā)展出的面板數(shù)據(jù)自回歸模型 (Panel VAR)、面板數(shù)據(jù)根檢驗(yàn) (Panel Unit Root test)、面板數(shù)據(jù)協(xié)整分析 (Panel Cointegeration)、面板數(shù)據(jù)門檻模型 (Panel Threshold) 等， 都是在現(xiàn)有截面分析和時(shí)間序列分析中的熱點(diǎn)主題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。使用面板數(shù)據(jù)主要有以下幾方面的優(yōu)點(diǎn)：30 個(gè)省份居民人均消費(fèi)青島啤酒的數(shù)

11、便于的異質(zhì)性。比如，我們?cè)谘芯苛繒r(shí)， 可以選取居民的收入、當(dāng)?shù)氐钠【苾r(jià)格、上一年的啤酒消費(fèi)量等變量作為解釋變量。 但同時(shí)我們也會(huì)認(rèn)為習(xí)慣、1 風(fēng)俗、2投放等因素也會(huì)顯著地影響居民隨時(shí)間的推移而有明顯的變化，的啤酒消費(fèi)量。 對(duì)于特定的而言，前兩種因素通常稱為效應(yīng)。 而的投放往往通過電視或廣播，我們可以認(rèn)為在特定的年份所有省份所接受的投放量是相同的， 通常稱為“時(shí)間效應(yīng)”。 這些因素往往因?yàn)殡y以1如因?yàn)閷儆诘?，那里的因?yàn)樾叛鼋?，所以不飲酒的?而生活 在的許多漢民也往往朋友無法飲酒而無形中減少了啤酒的消費(fèi)量。2如中國南部地區(qū)啤酒的消費(fèi)量比較大，而北方很多地區(qū)只有在夏天才會(huì)飲用較多的啤酒， 冬天他們

12、一般只喝白酒。18.2 靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型2獲得數(shù)據(jù)或不易衡量而無法進(jìn)入我們的模型， 在截面分析中者往往會(huì)引起遺漏變量的問題。 而面板數(shù)據(jù)模型的主要用途之一就在于處理這些不可觀測的效應(yīng)或時(shí)間效應(yīng)。 包含的信息量更大，降低了變量間共線性的可能性，增加了自由度和估計(jì)的有效性。 便于分析動(dòng)態(tài)調(diào)整。本章主要目前文獻(xiàn)中常用的面板數(shù)據(jù)模型。 第 8.2 節(jié)兩種基本的靜態(tài)面板模型：固定效應(yīng)模型和隨機(jī)效應(yīng)模型。 第 8.4 節(jié)異方差和序列相關(guān)穩(wěn)健性估計(jì)量。 第 8.6 節(jié)動(dòng)態(tài)面板模型，包括 FD-GMM 和 SYS-GMM 兩種估計(jì)方法。 有關(guān)面板數(shù)據(jù)模型的更為詳盡的，請(qǐng)參考Baltagi (2001), Wo

13、oldridge (2002), Hsiao (2003) 以及Arellano (2003).8.2靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型我們一般所說的靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型，是指解釋變量中不包含被解釋變量的滯后項(xiàng)(通常為一階滯后項(xiàng)) 的情形。但嚴(yán)格地講，隨機(jī)干擾項(xiàng)服從某種序列相關(guān) (如 AR(1)，AR(2)，MA(1) 等)的模型也不是靜態(tài)模型。動(dòng)態(tài)模型和靜態(tài)模型在處理方法上往往有較大的差異。 本節(jié)中我們重點(diǎn)兩種最為常用的靜態(tài)模型 固定效應(yīng)模型 (Fixed Effect M) 和隨機(jī)效應(yīng)模型 (RandomEffect M)。3 (i = 1, 2, · · · , N )， 用 t

14、 表對(duì)于面板數(shù)據(jù)，在模型設(shè)定過程中，我們通常采用 i 表示示時(shí)間(t = 1, 2, · · · , T )。最直接的想法可能是設(shè)定如下線性模型：yit= it + xi0 t it + it其中，it 用于衡量i 在第 t 時(shí)點(diǎn)，xit 對(duì) yit 的邊際影響。 顯然，這個(gè)模型的設(shè)定過于一般化，因?yàn)槲覀兗僭O(shè) it 和 it 都會(huì)隨著i 和時(shí)點(diǎn) t 發(fā)生變化。 為此，需要對(duì)上述模型做進(jìn)一步限定，例如，假設(shè) it 為表示如下：，即 it = ， 但項(xiàng)可以隨著的不同而有所差異，可以yit= i + xi0 t + it(8-1)xit為 K ×1 列(不包含

15、項(xiàng))， K 為解釋變量的個(gè)數(shù)， 為 K × 1 系數(shù)列。 這意味j 。 對(duì)于著，對(duì)有的和時(shí)點(diǎn)，x 的邊際效果都相同，但i 的平均水平不同于特定的i 而言，ai 表示那些不隨時(shí)間改變的影響因素， 而這些因素在多數(shù)情況下都是無法直接觀測或難以量化的， 如個(gè)人的消費(fèi)習(xí)慣、企業(yè)和經(jīng)營風(fēng)格、的制度等， 我們一般稱其為“效應(yīng)”(individual effects)。 一般情況下，我們假設(shè) it 具有同分布的特征，4 均值為 0，方差為 2。 由型 (8-1) 中，i 可以看做隨變化的截距項(xiàng)， 那么也3這里的可以是公司，行業(yè)，或個(gè)人。4也就是說，不同之間，以及同一個(gè)的不同時(shí)間點(diǎn)上，干擾項(xiàng) i t

16、 都是不相關(guān)的。第八章面板模型及STATA 應(yīng)用3i 視為 N 個(gè)未知參數(shù)。 也正因?yàn)槿绱?，模?(8-1) 通常被稱為“固定效應(yīng)模就可以型”(Fixed effects m)。與固定效應(yīng)模型相對(duì)應(yīng)的另一種設(shè)定方式是所謂的“ 隨機(jī)效應(yīng)模型”(Random effectsm)。 該模型假設(shè)的截距項(xiàng)雖然有差異，但不是固定的， 而是從一個(gè)服從均值為 µ，方差為 2 的分布中隨機(jī)抽取的。模型設(shè)定如下：µyit= µ + xi0 t + i + it(8-2)該模型的干擾項(xiàng)包含兩個(gè)部分：不隨時(shí)間改變的的干擾項(xiàng) i 和通常意義上的 (可以隨時(shí)間改變的) 干擾項(xiàng) it 。5 需

17、要說明的是，由于我們?cè)谀Ｐ?(8-2) 中增加了截距項(xiàng) µ，此時(shí) i 的均值為0。對(duì)比二者的設(shè)定方式可知，兩種模型的差異主要反映在對(duì)“效應(yīng)”的處理上。 固定效應(yīng)模型假設(shè)效應(yīng)在組內(nèi)是固定不變的，間的差異反映在每個(gè)都有一個(gè)特定的截距項(xiàng)上； 隨機(jī)效應(yīng)模型則假設(shè)所有的具有相同的截距項(xiàng)，間的差異是隨機(jī)的，這些差異主要反應(yīng)在隨機(jī)干擾項(xiàng)的設(shè)定上。 基于此，一種常見的觀點(diǎn)認(rèn)為， 當(dāng)我們的樣本來自一個(gè)較小的母體時(shí)，我們應(yīng)該使用固定效應(yīng)模型， 而當(dāng)樣本來自一個(gè)很大的母體時(shí)， 應(yīng)當(dāng)采用隨機(jī)效應(yīng)28 個(gè)省區(qū)為研究對(duì)象，可以認(rèn)為模型。比如在研究中國地區(qū)增長的過程中， 我們以這 28 個(gè)省區(qū)幾乎代表了整個(gè)母體。

18、 同時(shí)也可以假設(shè)在樣本區(qū)間內(nèi)，區(qū)間的結(jié)構(gòu)、人口素質(zhì)等不可觀測的特質(zhì)性因素是固定不變的， 因此采用固定效應(yīng)模型是比較合適的。 而當(dāng)我們研究西安市居民的消費(fèi)行為時(shí)，即使樣本數(shù)為 10000 人， 相對(duì)于西安市 600 萬人口的母體而言仍然是個(gè)很小的樣本。 此時(shí)，可以認(rèn)為不同的居民在個(gè)人能力、消費(fèi)習(xí)慣等方面的差異是隨機(jī)的， 此時(shí)采用隨機(jī)效應(yīng)模型較為合適。遺憾的是，很多情況下，我們并不能明確地區(qū)分我們的樣本來自一個(gè)較大母體還是較小的母體。 因此有些學(xué)者認(rèn)為，區(qū)分固定效應(yīng)模型和隨機(jī)效應(yīng)模型應(yīng)當(dāng)看使用二者的假設(shè)條件是否滿足。 由于隨機(jī)效應(yīng)模型把效應(yīng) i 設(shè)定為干擾項(xiàng)的一部分， 所以就要求解釋變量與效應(yīng) i

19、 被視為 N 個(gè)待估參數(shù)，并不受這個(gè)假設(shè)條件效應(yīng)不相關(guān)。 而在固定效應(yīng)模型中，的限制。 因此，如果我們的檢驗(yàn)結(jié)果表明該假設(shè)滿足， 那么就應(yīng)該采用隨機(jī)效應(yīng)模型，因?yàn)樗鼮橛行?所需估計(jì)的參數(shù)較少)， 反之，就需要采用固定效應(yīng)模型。另外，有些學(xué)者認(rèn)為具體采用哪一種模型主要決定于我們的分析目的。 如果主要目的在于估計(jì)模型的參數(shù)， 而模型中的數(shù)目又不是很大的情況下， 采用固定效應(yīng)模型是個(gè)不錯(cuò)的選擇，因?yàn)樗浅Ｈ菀坠烙?jì)。 但當(dāng)我們需要對(duì)模型的誤差成分進(jìn)行分析時(shí) (通常分解為長期效果和短期效果)，就只能采用隨機(jī)效應(yīng)模型。 在這種情況下，即使模型中的部分解釋變量與應(yīng)相關(guān)，我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^工具變量法對(duì)模型進(jìn)行

20、估計(jì)。簡言之，兩種模型有各自的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍，在實(shí)證分析的過程中， 我們一方面要根效據(jù)分析的目的選擇合適的模型， 同時(shí)也要以 8.2.3 節(jié)中選。的假設(shè)檢驗(yàn)方法為基礎(chǔ)進(jìn)行模型篩5也正因?yàn)槿绱耍撃Ｐ鸵脖环Q為“誤差成分模型”(error components m)。8.2 靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型48.2.1固定效應(yīng)模型模型的假設(shè)條件在估計(jì)模型 (8-1) 時(shí)，通常需要設(shè)定如下兩個(gè)基本假設(shè)： 6假設(shè) 1 :E(it |xit , i ) = 0假設(shè) 2 :Var (it |xit , i ) = 2假設(shè) 1 表明干擾項(xiàng) 與解釋變量 x 的當(dāng)期觀察值、前期觀察值以及未來的觀察值均不相關(guān)， 也就是說模型中

21、所有的解釋變量都是嚴(yán)格外生的。 假設(shè) 2 就是一般的同方差假設(shè)，在此假設(shè)下模型 (8-1) 的 OLS 估計(jì)是 BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) 的。 當(dāng)此假設(shè)就需要處理異方差或序列相關(guān)以便得到穩(wěn)健性估計(jì)量。時(shí)，我們最小二乘虛擬變量估計(jì)量在假設(shè) 1 和假設(shè) 2 同時(shí)成立的情況下，我們可以采用虛擬變量的方式將模型 (8-1) 重新表述如下：NX= d + x + 0yit(8-3)i i ji ti tj =1其中，若 i = j 時(shí)，di j = 1，否則為 0，即模型中包含了 N 個(gè)反應(yīng)特征的虛擬變量。參數(shù)1, 2, · · &#

22、183; , N 以及 可以采用普通最小二乘法 (OLS) 估計(jì)得到。由此得到的 系數(shù)稱為“最小二乘虛擬變量估計(jì)量”(least squares dummy variable (LSDV) estimator)。當(dāng) N 較小時(shí)，采用這種方法非常簡便，所有能執(zhí)行 OLS 估計(jì)的計(jì)量軟件都可以完成固定效應(yīng)模型的估計(jì)。然而，當(dāng)N 比較大時(shí)，模型中將包含 N + K 個(gè)解釋變量，計(jì)算的工作量往往很大，對(duì)于 N 相當(dāng)大的情況 ( 如 N = 100, 000 )，一般的計(jì)算機(jī)都無法勝任。因此，有必要先進(jìn)行一些變換以消除固定效應(yīng)，進(jìn)而對(duì)簡化的模型進(jìn)行估計(jì)，隨后三個(gè)小節(jié)的法都是基于此目的進(jìn)行的。從模型 (8

23、-3) 的設(shè)定形式可知，對(duì)于固定效應(yīng)模型而言，由于 i 不隨時(shí)間變化，所以 xit 中不能包含不隨時(shí)間改變的變量，如線性。7、種族、出生地等，因?yàn)檫@些變量都會(huì)與 i完全共組內(nèi)估計(jì)量1. 基本思想6一般應(yīng)用中，我們也常采用如下兩個(gè)相對(duì)較弱的假設(shè)。 假設(shè) 10: E (i |xi ) = 0 和 假設(shè) 20: Var (i |xi ) = 2IT 。7若 xit 包含了任何不隨時(shí)間變化的變量，STATA 會(huì)自動(dòng)將這些變量刪除。第八章面板模型及STATA 應(yīng)用5給定(8-1) 式，我們可以得到如下模型：y¯i = i + x¯i + ¯iyit ，Ti 表示第 i 個(gè)(

24、8-4)PT其中，y¯i = (1/ T )的觀察區(qū)間 (如 T1 = 5 年，T2= 3 年)。x¯i 和 ¯iiit =1的定義方式與此相同。換言之，模型 (8-4) 表示i 在樣本觀察區(qū)間內(nèi)的平均值之間的關(guān)系。模型 (8-1) 與模型 (8-4) 相減可以去除效應(yīng) i ：8(yit y¯i ) = (xit x¯i )0 + (it ¯i )(8-5)若設(shè)定 yit = (yit y¯i ), xit = (xit x¯i )，以及 it = (it ¯i ) 則我們只需對(duì)如下模型執(zhí)行 OLS 估計(jì)

25、即可得到 的估計(jì)值：yit = xi0 t + it(8-6)簡言之，要得到固定效應(yīng)模型 (8-1) 的估計(jì)系數(shù)，只需要從原始數(shù)據(jù)中間去其組內(nèi)平均值， 進(jìn)而對(duì)變換后的組內(nèi)差分模型 (8-6) 執(zhí)行 OLS 估計(jì)即可。為此，該估計(jì)量也成為“組內(nèi)估計(jì)量”(within group estimator)，記為 WG 。2. 更為嚴(yán)格的推導(dǎo)過程9模型(8-1) 可以采用的形式表示為：yi = i 1T + xi + i(8-7)其中，yi = (yi1 yi2, · · · yiT )0，xi = (xi1, xi2, · · · , xiT

26、 )0 ，i = (i1, i2, · · · , iT )0 ， 1T 是一個(gè)所有元素都為 1 的 T × 1 列。將所有觀察值進(jìn)行堆疊，模型(8-1) 可用矩陣形式表示為：y = D + X + (8-8)其中，y = (y01, y02, · · · , y0N )0 ， = (01, 20 , · · · , 0N )0 ， 均為 NT ×1， D = IN 1T ， =(1, 2, · · · aN )0。需要注意的是，在模型(8-8) 中，D

27、項(xiàng)實(shí)際上對(duì)應(yīng)著 N 個(gè)虛擬變量， 因此，模型(8-8) 等價(jià)于在模型 y = X + 中加入 N 個(gè)虛擬變量。 為了避免共線性問題，解釋變量 X 中不應(yīng)再包含項(xiàng)。108多數(shù)面板模型都具有大 N 小 T 結(jié)構(gòu)，此時(shí)我們重點(diǎn)關(guān)心的仍然是系數(shù) 。在 N 較小的面板模型中，i 的估計(jì)值可能成為分析的重點(diǎn)。此時(shí)可以采用 LSDV 進(jìn)行估計(jì)，或采用 (8-13) 式獲得 i 的估計(jì)值。9對(duì)于矩陣運(yùn)算不熟悉的讀者可以跳過此節(jié)，這并不影響你對(duì)固定效應(yīng)模型估計(jì)方法的理解。PN10當(dāng)然，我們也可以在 X 中加入項(xiàng)， 但此時(shí)要同時(shí)加入約束條件：ai = 0。 這樣我們估計(jì)出的效i =1應(yīng) ai 就應(yīng)當(dāng)解釋為i 的相

28、對(duì)截距項(xiàng)， 而不是前面得到的絕對(duì)截距項(xiàng)。 STATA8.0 就采取了在 X 中包含項(xiàng)的處理方式。8.2 靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型6在正式估計(jì)模型之前，我們先定義一些有用的矩陣運(yùn)算，它們將在后面的分析中反復(fù) 使用。 定義 DD0 = IN JT ， 其中，JT = 1T 10T 為 T × T 維矩陣，每個(gè)元素均為 1。 同時(shí)，定義 P = D(D0D)1D0 = IN J¯T ， J¯T = (1/ T )JT 是 T × T 維矩陣， 每個(gè)元素均為 1/ T ；Q = INT D(D0D)1D0 = INT P。 矩陣 P 和 Q 都具有如下性質(zhì)：(1) 對(duì)稱

29、、冪等性: P0 = P，且 P2 = P；(2) 正交性: PQ = 0；(3) 和為矩陣: P + Q = INT 。我們可以從上述三個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)推導(dǎo)出第三個(gè)。易于證明，QD = 0，因此，我們可以通過在等式 (8-8) 兩邊同時(shí)Q 以消除固定效應(yīng)：Qy = QX + Q(8-9)易于證明，(8-9) 式變換后的結(jié)果其實(shí)就是前文提到的 (8-5) 式。變換后的模型的 OLS 估計(jì)量為：= (X0QX)1X0QyWG(8-10)方差估計(jì)量為：Var (WG ) = 2(X0QX)1(8-11)顯然， 2 的一致估計(jì)量為：1 02Qy QXQy QX(8-12) =WGWGNT N K效

30、應(yīng)的估計(jì)值為：ai = y¯i x¯i WG(8-13)一階差分估計(jì)量除了上述通過“組內(nèi)去心”的辦法消除固定效應(yīng)外，還可以通過一階差分的方式去除固定 效應(yīng)。 對(duì)(8-1) 式取一階差分，得到4yi2=4xi2 + 4i24yiT= 4xiT + 4iT.(8-14).采用矩陣形式可表示為Byi = Bxi + Bi(8-15)第八章面板模型及STATA 應(yīng)用7其中，1101· · ·000.101· · ·0B = (8-16). .000· · · 1(T 1)×T對(duì)所有觀

31、察值進(jìn)行堆疊，得到(IN B)y = (IN B)X + (IN B)設(shè) QB = IN B，則相應(yīng)的OLS 的估計(jì)量為：OLS = (X0QBX)1X0QBy(8-17)(8-18)根據(jù)假設(shè) 1 可知，E(X) = 0，所以 OLS 是 的無偏估計(jì)量，在 N 較大的情況下，OLS 也是一致的。由假設(shè) 2 可知， 滿足同方差假設(shè)，且不序列相關(guān)。但變換后的干擾項(xiàng) B 卻并不滿足同方差的假設(shè)，Var (QB ) = 2QBQ0B的GLS 理論可知，模型(8-17) 的GLS 估計(jì)量是BLUE 的，(8-19)根據(jù)第四FD = XQB(QBQ0B)1QBX1XQB(QBQ0B)1QBy.易于證明 Q

32、B(QBQ0B )1QB = Q。11 因此，GLS WG也就是說，采用一階差分去除“固定效應(yīng)”后， 再用 GLS 估計(jì)差分后的模型得到的 GLS 估計(jì)(8-20)量與我們前面BLUE 的。的組內(nèi)估計(jì)是等價(jià)的。 由于二者都滿足經(jīng)典回歸模型的基本假設(shè)，所以都是11利用矩陣直乘的性質(zhì)： (A F)(C D) = (AC) (FD) ， 可以得到 QB(QB Q0B )1QB = IN B0(BB0)1B。 進(jìn)一步，可以證明 B0(BB0)1B = IT J¯T ：由于矩陣H ="#T 1/210T(BB0)1/2B滿足 HH0 = IT ，所以 H0H = IT ，即10T 1

33、T / T + B0(BB0)1B = IT因此，QB(QB Q0B )1QB = IN (IT J¯T ) = INT P = Q。8.2 靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型8前向正交分解“前向正交分解”(forward orthogonal debiations, FOD) 法由Arellano and Bover (1995) 提出。類似于上面的一階差分法。它也可以去除效果，但卻在變換后的干擾項(xiàng)中引入序列相關(guān)問題。 雖然在處理靜態(tài)模型時(shí)這種方法略顯繁復(fù)， 但在動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的分析中，該方法顯得格外重要。正交變換基于如下 (T 1) × T 矩陣A = (BB0)1/2B如果將 (BB

34、0)1/2 視為裘(Cholesky) 分解的上三角陣，那么A 矩陣可表示為A = diag(T 1)/ T (T 2)/(T 1), · · · 1/21/2A其中，(1 T )1(1 T )1(2 T )1· · · (1 T )1(1 T )1(1 T )1· · · (2 T )1(2 T )1(2 T )1101A =.(8-21).00.00.00.10.1/211/2· · ·· · ·1因此，干擾項(xiàng) i 經(jīng)矩陣 A 轉(zhuǎn)換后得到的

35、i = Ai 將具有如下 T 1 個(gè)元素： 1 it= c (8-22)() + · · · + )ti ti t +1i TT t其中，c2 = (T t)/(T t + 1)。顯然，A0A = IT J¯T ，AA0 = IT 1。， 我們可以得到tQ = IN A0A。 采用OLS 估計(jì)經(jīng)過這種“前向正交分解”變換后的模型同樣可以得到組內(nèi)估計(jì)量 WG 。 因此，正交分解可以視為一種類似于“一階差分”的處理方式， 其優(yōu)點(diǎn)在于在轉(zhuǎn)換后的干擾項(xiàng)中引入序列相關(guān)問題。簡言之，無論采用“組內(nèi)去心”、“一階差分”還是“正交分解”，我們都可以得到組內(nèi)估計(jì)量。 在第

36、 8.6 節(jié)的動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型中主要應(yīng)用這種轉(zhuǎn)換方法來去除效應(yīng)。時(shí)間效應(yīng)前面的固定效應(yīng)模型著重在于考慮不可觀測的效應(yīng)，按照同樣的思路，我們還可以在某些分析中考慮不可觀測的時(shí)間效應(yīng)。如在研究區(qū)域增長的過程中，全球石油價(jià)格的上漲、金融的爆發(fā)都會(huì)對(duì)所有研究對(duì)象在特定年份的產(chǎn)出有所影響。我們注意到，這些因素在特定的年份會(huì)對(duì)體中的所有產(chǎn)生影響，這啟發(fā)我們可以通過設(shè)定時(shí)間虛擬變量來反映這些時(shí)間效應(yīng)的影響。1. 直覺的解釋和估計(jì)方法第八章面板模型及STATA 應(yīng)用9我們可以在模型第 4 頁中量 st 來反映時(shí)間效應(yīng)的影響：的LSDV 模型 (8-3) 的基礎(chǔ)上增加 T 1 個(gè)時(shí)間虛擬變NTXXyit= d

37、+ s + x + 0(8-23)i i jt ti ti tj =1 =2其中，若 t = p 時(shí)，st = 1，否則為 0。采用 OLS 即可獲得所有系數(shù)的無偏估計(jì)量。即使在 N較大的情況下，我們?nèi)匀豢梢栽诮?jīng)過組內(nèi)去心的模型 (8-5) 中加入 T 1 個(gè)時(shí)間虛擬變量來時(shí)間效應(yīng)。簡言之，對(duì)于時(shí)間效應(yīng)，我們完全可以將其視為 xit 的一部分。2. 更為嚴(yán)格的推導(dǎo)過程模型的基本設(shè)定為：yituit= xi0 t + uit= ai + t + it(8-24)其中，i = 1, 2, · · · , N ; t = 1, 2, · · 

38、3; , T 。相應(yīng)的形式為：yu= X + u= (IN 1T )a + (1N IT ) + (8-25)其中， = (1, 2, · · · , T )0，a 和 的定義同前。 假設(shè)對(duì)于任何 i 和 t 而言，xit 均不與 it 相關(guān)。 為了分析的方便， 令 Da = IN 1T ，D = 1N IT 。那么模型的矩陣形式可表示為：y = Daa + D + X + (8-26)我們注意到，Da 和 D 分別為 (NT × N ) 和 (NT × T ) 維矩陣， 當(dāng) N 或 T 較大時(shí)，運(yùn)算量都會(huì)很大。 因此，我們需要事先進(jìn)行一些簡單

39、的運(yùn)算以去除效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)。 類似于前面JT 的定義方式，設(shè) JN = 1N 10N ， 于是，DD0 = JN IT 。 同時(shí)，定義 EN= IN J¯N ，其中J¯N= (1/N)JN 。，定義轉(zhuǎn)換矩陣：Q = EN ET = IN IT + IN J¯T J¯N IT +J¯N J¯T(8-27)效應(yīng) ai 和時(shí)間效應(yīng) t 。如，y = Qy 中的特定元素為： yit =該轉(zhuǎn)換矩陣可以去除PPPPNTNTyit y¯i y¯t + y¯， 其中，y¯i = (1/N)yit ，y¯

40、;t = (1/ T )y ， y1/NT )yit 。¯ = (i ti =1t =1i =1t =1因此，我們可以用 y = Qy 對(duì) X = QX 進(jìn)行OLS 回歸， 得到模型(8-24) 的組內(nèi)估計(jì)量為： = (X0QX)1X0Qy效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)的估計(jì)量分別為：(8-28)= (y¯i y¯) (x¯i x¯)= (y¯t y¯) (x¯t x¯)ait(8-29)(8-30)8.2 靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型10這里有兩點(diǎn)需要注意： 其一，模型 (8-24) 中不能包含不隨時(shí)間或不隨變化的解釋變量，因?yàn)檫@

41、些變量在轉(zhuǎn)換過程中都被消除了； 其二，我們沒有特意強(qiáng)調(diào)模型中是否包含項(xiàng)，事實(shí)上只要保證不出現(xiàn)完全共線性問題即可， 即，如果要加入項(xiàng)，那么就必須同時(shí)約束PPNTai = 0 和t = 0； 如果不加項(xiàng)，那么就無需作任何約束了。 但加入含義時(shí)需要注意。項(xiàng)與否i =1t =1將影響到 ai 和 t 的含義， 在解釋系數(shù)的8.2.2隨機(jī)效應(yīng)模型模型的基本設(shè)定當(dāng) N 很大時(shí)，采用固定效應(yīng)模型往往會(huì)使參數(shù)的數(shù)目迅速增加，自由度的損失往往較大。前文已經(jīng)提到，在固定小模型的設(shè)定中，xit 中不能包含不隨時(shí)間改變的變量，如、種族等。然而，在有些研究中，我們研究的重點(diǎn)可能恰恰是這些變量。此時(shí)，隨機(jī)效應(yīng)模型可能更

42、為適用。模型的基本設(shè)定同(8-2):12yituit= xit + uit= i + it(8-31)中假設(shè) 1 和假設(shè) 2隨機(jī)效應(yīng)模型可以視為固定效應(yīng)模型的一個(gè)擴(kuò)展， 這需要我們?cè)诘幕A(chǔ)上再增加如下假設(shè)：假設(shè) 3 :2i i.i.d (0, )假設(shè) 4 :Cov(i , xit ) = 0假設(shè) 5 :220ui |xi i.i.d (0, I + 1 1 )TTT效應(yīng) i 設(shè)定為服從均值為 0，方差為 2 的隨其中， 假設(shè) 3 將數(shù)， 而我們?cè)诠潭ㄐ?yīng)a模型的設(shè)定中 i 只是一個(gè)普通的解釋變量，因此無需對(duì)它作任何限制；假設(shè) 4 非常顯然，因?yàn)閕 視為隨機(jī)干擾項(xiàng)的一部分，所以它不能與解釋變量相

43、關(guān)；假設(shè) 5 表明 i 與 it 相此時(shí)互。序列相關(guān)性易于證明：22for i = j, t = s for i = j, t 6= s for i 6= j, t 6= s + 2Cov (uit , u js) =(8-32)012這里，為了表述的方便，我們把模型 (8-2) 中的項(xiàng) µ 放在了 xit 中。第八章面板模型及STATA 應(yīng)用11和1for forfori = j, i = j,t = s t 6= s = Corr (uit , u js) =222(8-33) /( + )0i 6= j,t 6= s從 (8-33) 式可以看出，由于隨機(jī)效應(yīng)的引入使得組內(nèi)不同時(shí)

44、期的觀察值之間固定不變的自222相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為 = /( + )。這很容易理解，因?yàn)楸M管效應(yīng)是隨機(jī)的，但在組內(nèi)并不隨時(shí)間改變，組內(nèi)不同期間固定的相關(guān)性也就必然。從另一個(gè)角度來看， 的含222義在于隨型中的總方差中有 /( + ) 來自于不隨時(shí)間改變的干擾，而余下的部分則歸因和時(shí)間改變的干擾。當(dāng)然，在某些情況下這個(gè)假設(shè)顯得過于嚴(yán)格。如在研究投資或消費(fèi)時(shí)，我們往往會(huì)假設(shè)組內(nèi)不同期間的相關(guān)性是隨時(shí)間逐漸減弱的。GLS 估計(jì)基于以上設(shè)定，可以寫出干擾項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣：220uu ) = I ( I + 1 1 ) = I 60 = E(8-34)(NTTNT其中，6 = I + 1，具體形式

45、為：2210TTT22 2 2 + · · · 222 2 + · · ·(8-35)6 =. . .· · ·. 2 222 + 那么， 的GLS 估計(jì)量為：GLS = X0 1X1X0 1yVar (GLS ) = X0 1X1(8-36)方差估計(jì)量為：(8-37)為了說明上述 GLS 估計(jì)量與前面的組內(nèi)估計(jì)量之間的關(guān)系， 我們可以對(duì) 6 矩1/2= In 61/2， 進(jìn)而采用 G 矩陣對(duì)模型 (8-31) 進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 顯陣進(jìn)行分解，得到 G =然，我們只需要求出 61/2 即可， I 1 1 161

46、/2 =0TTT其中， = 1 p + T 22a8.2 靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型12于是我們可以對(duì)原始數(shù)據(jù)作如下轉(zhuǎn)換：yi1 y¯iyi2 y¯i161/2y(8-38)=i. y¯iyi T按照同樣的方法我們可以對(duì) xi 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對(duì)模型 (8-2) 轉(zhuǎn)換后可得：(yit y¯i ) = (xit x¯i )0 + (1 )i + (it ¯i )(8-39)對(duì)模型 (8-39) 執(zhí)行 OLS 估計(jì)即可得到與 (8-36) 式相同的結(jié)果。13 我們注意到，如果 (8-38) 式中的 = 1，則上述變換就是我們前面講到的 “組內(nèi)去心”，得到

47、的就是固定效應(yīng)模型對(duì)應(yīng)的組內(nèi)估計(jì)量 (8-10)。事實(shí)上，我們可以證明 GLS 可以表示為組內(nèi)估計(jì)量和組間估計(jì)量的平均，詳細(xì)過程請(qǐng)參考Greene (2000, pp.295-296)。FGLS 估計(jì)上面的 GLS 估計(jì)是在假設(shè)方差成分已知的前提下進(jìn)行了， 但多數(shù)情況下我們并不知道 2 和 2， 因此需要先估計(jì)這兩個(gè)未知參數(shù)，繼而用它們?nèi)ゴ?(8-35) 式中的真實(shí)值并采用GLS 估計(jì)即可。基本思路是：先估計(jì)固定效應(yīng)模型，得到 的估計(jì)值 2 ，繼而估計(jì)混合 OLS222模型， 利用其殘差和第一步得到的 即可估計(jì)出 。u由于組內(nèi)估計(jì)量是無偏且一致的，所以我們可以利用固定效應(yīng)模型的殘差來估計(jì) 2

48、，因?yàn)樵诠烙?jì)固定效應(yīng)模型的過程中我們已經(jīng)去除了效應(yīng)。 設(shè) eit = (yit y¯i ) (xit x¯i )0 W G 為固定效應(yīng)模型的殘差，則PPnTe22i =1t =1 it(8-40) =nT n K2接下來需要估計(jì) 。模型 (8-31) 的 OLS 估計(jì)仍然無偏且一致的。 設(shè) e為模型 (8-31) 的i tOLS 殘差，則PPnT2e2 i =1t =1 it22a(8-41) = + unT K 1由此，我們可以得到：222 = au由于該估計(jì)量可能為負(fù)值，所以我們可以略去 (8-40) 式和 (8-41) 式中對(duì)自由度的調(diào)整。這樣就22可以保證 一定是大

49、于 的，因?yàn)榍罢呤呛笳咴诟郊蛹s束條件下的估計(jì)量。 這種處理方法的u依據(jù)在于我們只需要 2 和 2 的一致估計(jì)即可，至于是否無偏并不影響大樣本性質(zhì)。13當(dāng)然，在 未知的情況下，這一看似簡單的估計(jì)方法是無法執(zhí)行的。通過下一小節(jié)的可以發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，中的參數(shù) 2 和 2 可以通過組內(nèi)估計(jì)量和 Pooled OLS 估計(jì)量獲得。因此，從實(shí)際操作的角度來講，任何能執(zhí)行OLS 操作的軟件，都可以用來估計(jì)隨機(jī)效應(yīng)模型。第八章面板模型及STATA 應(yīng)用13上述估計(jì)方法雖然簡單易行，但是當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)模型中包含不隨時(shí)間改變的變量，如、種族等，我們就無法通過估計(jì)固定效應(yīng)模型來估計(jì) 了。不過此時(shí)我們可以沿襲上面的思路，利

50、用組間估計(jì)和混合 OLS 估計(jì)的殘差來估計(jì) 2 和 2。 采用 OLS 估計(jì)模型 (8-2) 的組內(nèi)平均模型：y¯i = x¯i0 + µ¯ i(8-42)m22m2 / T )可以得到一致估計(jì)量= ，結(jié)合和 我們可以得到： +(au T22m =( )uT 1 T 122um =aT 1T 1那么以上的各種 FGLS 估計(jì)量哪個(gè)更為有效呢？我們知道，對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型而言，方差成分的真實(shí)值進(jìn)行 GLS 估計(jì)將得到 BLUE 估計(jì)量。而以上的 FGLS 估計(jì)量在N 或 T 或二者 都成立 的情況下，都是漸進(jìn)有效的。Maddala 和 Mount(1973)

51、 采用蒙特 模擬方法對(duì)各種 FGLS 估計(jì)量的比較表明，在小 樣本下各種估計(jì)方法難分仲伯，所以建議采用簡單易行的方法進(jìn)行估計(jì)。 Taylor (1980) 比較了小樣本下隨機(jī)效應(yīng)的 FGLS 估計(jì)和固定效應(yīng)的LSDV 估計(jì)，結(jié)果表明：(1)(2)相對(duì)于LSDV，F(xiàn)GLS 更具有效性，且具有較小的自由度；FGLS 的方差大于Cramer-Rao 下限的 17%。(3)選擇相對(duì)有效的方差成分估計(jì)量并不必然能夠提高FGLS 估計(jì)量的有效性。8.2.3假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)前面的 ，我們大體可以采用三種方法估計(jì)面板數(shù)據(jù)模型：混合 OLS、固定效應(yīng)模型和隨機(jī)效應(yīng)模型。 那么如何對(duì)這三種模型進(jìn)行區(qū)分和篩選呢？ 這就需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。 顯然，如果 效應(yīng) (固定效應(yīng)或隨機(jī)效應(yīng)) 顯著異于零，那么就需要采用固定效應(yīng)或隨機(jī)效應(yīng)模型。 對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型，它要求 C