15級(jí)《微積分1》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、15級(jí)微積分1復(fù)習(xí)要點(diǎn)依據(jù)微積分教學(xué)大綱和教考分離制度對(duì)微積分1期末考試說明如下：一、試卷題型與考試知識(shí)要求試卷客觀題與主觀題比例大約為 30%與70%,客觀題主要考查基本概念與基本關(guān)系，主 觀題主要考查基本運(yùn)算和基本理論。對(duì)基本概念、基本關(guān)系的要求表述為理解，對(duì)基本運(yùn) 算、基本理論的要求表述為會(huì)求或會(huì)證明。題型(題量)選擇題(8)填空題(8)計(jì)算題(10)證明題(2)分值16分16分60分8分二、知識(shí)點(diǎn)及要求第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(26%)1、理解函數(shù)的定義域；(1) 函數(shù) V = - yjl-x2 的定義域是-1,O)U(O,1 x(2) 函數(shù) y = lg(l x) +Jx + 2 的定

2、義域是-2,1)。 函數(shù)y = lgx +Jx + 2的定義域是(0,+co) oJQ 2函數(shù)y = arccos=的定義域是-1,5。lim(l + 2x)x、lim()d1 x e0計(jì)算極限lim( ?1x - 1 x jim(l-x) v =JCTO：limXTO(1-x)f J_-1li-n0-x )x-1二 1e解:1 + X)(6)解 : lim( ) = lim-i-2X -1 X-l 2 X -1 XTlx-l=limAA = -limXT1 I計(jì)算極限lim(l + sinx)2x.解: lim(l + sinln(1+sin ) =lime,xtOx)2xlimln(14-

3、sinx)xeA2xx-0In (l+s inx) lim -2xsinx lim,x-o 2x(8)計(jì)算極限 lim(l + 3tan x)co x5x-0t2解：lim(l + 3 tan 2 x) cot2x=liin(l + 3 tan2 x)x -+ tan*)=lim(l + 3tan10x)i3 tan 2x(9)計(jì)算極限1血(1-3工.x-0lim(l-3x) nx-o四(1-3x)3L=lim(l-3x)-A J L(10)計(jì)算極限lim( 2_x2解：！虬2_4J-) = lin/(* +_jLX-2x2 X4.x + 1 3=lim=22 4，1 1、蚣岳(ID計(jì)算極限一

4、1-1? x-L-lnxr)lim =limx-1-l nxa (x-l )lnxI m. | x-lx計(jì)算極限既而可X 1=lim I /* a xlnx + x-1=lim -I In x + 2 22l-cos2x , 2 sin x ?解: lim = lim = 1io xln(l + 2x) xto x ? 2x(13)計(jì)算極限 limx(e , -1)X CO-1x- -l JQ解：lim x(ex -1) = limX coX 00ex -1(14)計(jì)算極限四E1. ex-1x ？解. lim - = lim=lim x(x -1) XT 一 1r ln(l + 2x)(計(jì)算極

5、限四.io sin ln(l +3劉0 3x 32x2 解im =怖3、理解無窮小的運(yùn)算(1)下列極限計(jì)算正確的是(D ).-1n 1sinxsi nx _ 八A、limxsin 1Jo liin 1 C、lim0 D、lim x sin10 XX10 X=12 ? 1 x sin lim=0xto sin xv 1(3) hm arcta nx = o nXD、無窮間斷點(diǎn)4、理解間斷點(diǎn)概念與類型;設(shè)工=2是/(工)=的(A ).x4A、可去間斷點(diǎn)B、無窮間斷點(diǎn)C、連續(xù)點(diǎn)D、跳躍間斷點(diǎn)3-xx 1設(shè)x0, F(l) = -20F(x)在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)即 方程x3-4x2+1 =

6、0在(0, 1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根證明方程x5 -3x = l在(1,2)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根證明：令 F(x) = F -3x-l.?.?F(l) =-30F(x)在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)即 方程x5-3x = 1在(1,2)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根 證明方程ex-2=x在0和2之間至少有一個(gè)實(shí)根證明：設(shè) F(x) = e-2-x,?.?F(0) = 10F(x)在(0, 2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)方程 ex 2 = x 在 0 和 2 之間至少有一 實(shí)根.(4) 證明方程 x2v = 1 至少有一個(gè)小于 1的正根 .人證明：設(shè) F(x) = x2x -1A1F(0) = 0x2 A -1 = -1

7、o, E(l) = lx21-l = l0.?F(x在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)即 方程 x3-4.r2+l = 0 在(0, 1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根 第二章導(dǎo)數(shù)與微分 (26%)1 、理解導(dǎo)數(shù)的定義；- = ( B(1) 設(shè)廣 (X。) 存在,f(x0 -Ax)-f(x0)則 hm - A- x -B、-/U)D、不存在(2)若廣(X0 )存在,f(xn -2Ax)-f(xn)Ax 八則 hm 八 7 AxOC、 f(2x)* /ITOB.lim( %+& ) -(/與) Ax-0AxA lim 0 ) f32x) x0B.若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，設(shè)y = /(x2),求y”解：y = 2xf

8、x2), y = 2f(x 2) + 4x2fx2). 若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，設(shè)y = f (2x),求y.解：y = 2f 2x), y = 4f (2x).(3)若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，設(shè)y=f2(x),求y”解: y = 2/(x)/(x), / = 2/? + 2/(x)/x).3、會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) 已知由 xy = ex+y 確定了 y = f (x),求 y,解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得y + xy = ex+y(l + y) 設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程y =l-xey所確定，求礦解：方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)數(shù)，得y = -(ev + xeV),e，y = pl-xey 設(shè)函數(shù)y = y

9、(x)由方程ee +xy-ex =。所確定，求y.解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù) 的+ y + xy- ex =0 設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程exy -2x+ y3所確定，求y. 解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)e0時(shí)，證明ln(l + x) x-ax2 ;教材例57T當(dāng)0x x .證明：設(shè)/(x) = tanx-x ,則f(x)在(0，號(hào))上連續(xù)，因?yàn)?f3) = sec? x-l = tan2 x當(dāng)0 X 0所以f(x)單調(diào)遞增因此 f(x)f(0) = 0, 艮 P tan . Y . y(3) 當(dāng)xl時(shí)，證明不等式：e ex.證明：設(shè) /(.r) = ex -ex，貝 tlf(x)在1, + 8)上連

10、續(xù)因?yàn)? =ex -e ,當(dāng)xl時(shí)廣0所以f(x)單調(diào)遞增因此 f (x) /(1) = 0 (x 1)即 eA ex 當(dāng)x0時(shí)，證明：I + ?xVm.證明：設(shè) f(x) = I + : x 則 f(x)在0, + oo)連續(xù)，因?yàn)?r(x) =L 一一 = I . A/l+Hj12 2jl + x 2+ x當(dāng)X0時(shí)，廣(x)0所以f(x)單調(diào)遞增因此 /(x)f( 0)=0 即 i+ : xvm.TT(5) 證明不等式：當(dāng)。時(shí)，證明tan isi nx.?證明：設(shè)/(x) = tan x-sin x貝U f (x)在(0,勺上連續(xù)且(0) = 0 ,因?yàn)椋?f (x) = sec x 一

11、cos xjr 當(dāng)0 X 0所以f(x)單調(diào)遞增因此/(.X) /(0) = 0 艮 P tan .r sin x(6) 證明方程x5+x + 1 = Q在(-1,0)之間有且僅有一個(gè)實(shí)根證明：令 f(x) = x5+x + l, y(_i) = _io所以/(x) = 0在(-1,0)上至少一個(gè)根，又/(%) =5/+1,當(dāng)x e (-1,0)時(shí)廣(x) 0,所以f(x)單調(diào)遞增，因此 f(x) = 0在(-1,0)上有且僅有一個(gè)根.(7) 證明方程x5-3x = 1在(1,2)之間有且僅有一個(gè)實(shí)根.證明：令 f(x) = x5-3x-l, y(l) = 1-3-10所以/(x) = 0在(

12、1,2)上至少一個(gè)根，又/(%) =5/-3,當(dāng)xe(l,2)時(shí)廣(x)0,所以單增，因此在(1,2)上至多有一個(gè)根. f (%) = 0 在(1,2) 上有且僅有一個(gè)根 .(8) 證明方程 X3-2X-1 =0 在(1,2)之間存在唯一一個(gè)實(shí)根 .證明：令 fM = x3-2x-I, f=-20,所以單增，因此在(1,2)上至多有一個(gè)根. f (%) = 0在(1,2)上有且僅有一個(gè)根 .4、會(huì)求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)，(1) 確定函數(shù)y = x的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).解：定義域?yàn)?(00, + oo)y = ex + xex = (1 + x)exy = (2 + x)e x令 y = 0 得 x

13、 = -2當(dāng) x-2 時(shí)，/ -2 時(shí)，/ 0 在-2,+8)上凹.2拐點(diǎn) : (2, ) 0e5、理解曲線的鉛垂?jié)u近線和水平漸近線。JQ (1) 求=-的水平漸近線和鉛直漸近線 .x-2x 1解： 1 吧一 =，所以 x=2 是垂直漸近線 xT2x-2又lim 一 =所以=1是水平漸近線xT00 x 2(2) 曲線y= . 1的水平漸近線為y=,鉛直漸近線為x = O,x= 2.x(x + 2) 2x-l(3) 曲線=(丁 的水平漸近線為=0_鉛直漸近線為L_X二1.6、會(huì)求常見經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最值和彈性；教材習(xí)題七(1) 一個(gè)公司已估算出產(chǎn)品的成本函數(shù)為 C = C(Q)=0.1。一 0.4Q

14、+ 360 (萬元)求 2=10時(shí)的總成本；求 Q = 10時(shí)的平均成本、邊際成本；求產(chǎn)量為多大時(shí)，平均成本最低？求出最低平均成本。解： 2 = 10時(shí)的總成本為。(10) =0.1x102 0.4x10 + 360 = 366 (萬元)(2)由于平均成本函數(shù)為亍(Q)=處=+若,邊際成本函數(shù)為 C， (Q) = 0.22-0.4 ,即得： Q =10時(shí)的平均成本為亍 (10) =0.1x10 0.4+哥=36.6 (萬元) 或?yàn)?，平均成本為C(1|0)=以埋=關(guān)A=36.6 (萬兀),(2 = 10時(shí)的邊際成本為肱 (10) = C(10) = 0.2x10 0.4 =1.6 (萬元),由平

15、均成本函數(shù)亍(Q) = 0.12-0.4 + 若得(Q) = 0.1 胡，令矛(。 )=0.1茅=0, W2 = 60,由于C(60)=螺=600,知當(dāng)產(chǎn)量為60單位時(shí)，平均成本最低。最低平均成本為 C(60) = 0.1x60-0.4 + =11.6 (萬元)，設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 C = C(Q) = 0.1Q2+60Q + 1000 (元)，收益函數(shù)為A = R(Q) = 300Q 0.3。 (元)。求當(dāng) 2 = io 時(shí)的總利潤，邊際利潤；為使利潤最大化，公司必須生產(chǎn)并銷售多少件產(chǎn)品？并求出最大利潤。解由已知得總利潤函數(shù)為L=L(e)=w)-c(e)=(300Q - 0.3Q2)

16、(0.1。 + 60Q +1000)2=-0.422+2402-1000于是，邊際利潤函數(shù)為 L(Q) = -0.8Q + 240,從而得當(dāng) 2=10 時(shí)的總利潤為 L(10) = -0.4x102+240x10-1000 = 1360 (元),邊際利潤為 (10) = 0.8x10+ 240 = 232 (元)，由總利潤函數(shù)L(Q) = -0.4。 +240Q-1000得邊際利潤L(Q) =-0.8Q + 240,可得利潤函數(shù)的唯一駐點(diǎn) 2 = 300,利潤為乙 (300) = -0.4 x3002 +240x300-1000 = 35000 元。設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=75-尹。求需求彈性

17、函數(shù) (P)；求 ( 4) ,并說明其經(jīng)濟(jì)意義；當(dāng) p = 4 時(shí)，價(jià)格上漲 1%,總收益變化百分之幾？是增加還是減少？【解】由Q=75-尹得需求彈性函數(shù)pp7P2(P) = 0 = (75 尹) ， -= oQ75-P2 P2-757 P2 .7 x42(2) 一_4 =4-A?-0.54,P2-75|P-4 42 75其經(jīng)濟(jì)意義是，當(dāng)價(jià)格為 4 時(shí)，再提高價(jià)格 1%,將使需求量下降 0. 54%o當(dāng) p = 4 時(shí)，價(jià)格上漲 1%,總收益變化的百分比屬于總收益 R 對(duì)價(jià)格 P 的彈性 ,由于總收益R對(duì)價(jià)格P的彈性函數(shù)為ER市”捻=(理)，電 P (Q + PQ, )0 = (1 + Q ,

18、咕)=1 + (P),當(dāng) p = 4 時(shí)， |p=4 =1+ (4)5 0.54 = 0.46, EP可知，當(dāng)F = 4時(shí)，價(jià)格上漲1%,總收益變化0.46%,是增加。P(5),設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q = 204求需求彈性函數(shù)(P)； (2)求P = 5時(shí)的需求彈性函數(shù)；當(dāng)P = 5時(shí)，若價(jià)格上漲1%,其總收益變化百分之幾？是增加還是減少 ？ P解 由。=20-得需求彈性函數(shù) 4P P PP (/) = 0 =(20)=oQ 4 P 80-P*20 -4 P當(dāng)P = 5時(shí)的需求彈性函數(shù)是 (5)=-礦A由于總收益A對(duì)價(jià)格P的彈性函數(shù)為FR PP1P5p=5 一 80-5當(dāng)P = 5時(shí)，價(jià)格上

19、漲1%,總收益變化的百分比屬于總收益 A對(duì)價(jià)格P的彈-=R-=(PQy = (Q + 性Q)- = (I + Q-)=l + a,FR當(dāng) p = 5 時(shí)，商 |p=5 =1+ (5)5-0.07=0.93,可知，當(dāng)P = 5時(shí)，價(jià)格上漲1%,總收益變化0.93%,是增加。 第四章不定積分(10%)1、理解原函數(shù)、不定積分的概念，已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為則J7(x)dx=子* 已知/(x)的一個(gè)原函數(shù)為 W，則f(Adx= ex_+_Q設(shè) Af(x)dx = x+C,則/ (x)=2x _+ C.r arc tan x ,19(4) ax = _ (arcta n x)_ + CJ 1 +jt

20、 2 一(5) 下列等式中正確的是(Bc、f(x)dx = f(x)dx . D、f(x)dx = f(x)dx + C ax ax 若不定積分 j/(x)rfx = F(x) + C ,則 je, f (e, )dx= F(e*) + C . X3設(shè) Ax2dx = /(x) + C,則 f(x)= 3 J7(2x)故=;f(2x) + C.2、會(huì)求不定積分(直接積分法、第一類換元積分法和第二類換元積分法和分部積分法),例如計(jì)算,dx, j-A= dx, jx cos dx 等；(1)計(jì)算不定積分上土故乙人I JL解：一 77故=!日任(2+1)=?1 心+1|+仁I JL乙乙才十L乙(2)計(jì)算不定積分Jj 土弘.7(1 3x) = _： ln I _3x| + C解.J一 dx=- Jl-3x 3 Jl-3x(3) 計(jì)算不定積分j .解：此土嚴(yán)十擋1輜+2工)= nl3+2xl+C計(jì)算不定積分Jyydx解：令Jx + 1=，=尸一 1j* j dx = J- d(t2 1) = 2 J(?2 V)dt計(jì)算不定積分2 尸2(x + 1)32f + C =.八2(x +1) + C解：令3 x = t, x = 3-t23 _戶2dx = J 7(3 f ) = 2 J(33(3 -jv) + C計(jì)算不定積分j.rcosxdx .命軍： Jx cos xdx =