兩角差的余弦公式

1、課題：兩角差的余弦公式湖南師大附中 吳菲三維目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：通過讓學(xué)生猜測、探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式；了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系；通過變式訓(xùn)練，加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解；培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。能力目標(biāo)：運(yùn)用兩角差的余弦公式，會(huì)進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明；體會(huì)化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用，使學(xué)生樹立聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點(diǎn)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。情感目標(biāo)：本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)問題情景，使學(xué)生體驗(yàn)科學(xué)探索的過程，感受科學(xué)探索的樂趣，鼓勵(lì)科學(xué)探索的勇氣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和良好的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。 重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：通過探

2、究得到兩角差的余弦公式教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。教學(xué)過程：一、 走入生活引入：同學(xué)們，在第一章我們學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)式的變換，今天我們將一起探究一種包含兩個(gè)角的三角函數(shù)式的變換：兩角差的余弦公式。先讓我們走入生活，看一個(gè)例子：F例：如下圖,一個(gè)斜坡的高為6m,斜坡的水平長度為8m,作用在物體上的力F與水平方向的夾角為60°,且大小為10N ,在力F的作用下物體沿斜坡運(yùn)動(dòng)了m,求力F作用在物體上的功W6mS解： W = = 30 提問：1、解決問題需要求什么?8m 2、你能找到哪些與有關(guān)的條件?3、能否利用這些條件求出？如果能，提出你的猜測 4、怎樣檢驗(yàn)這些猜測是否正確？二、

3、 合作探討從特殊情況去猜測公式的結(jié)構(gòu)形式 令令分析：可見，我們的公式的形式應(yīng)該與均有關(guān)系？他們之間存在怎樣的代數(shù)關(guān)系呢？會(huì)不會(huì)是“、“、“、“÷？請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，相互交流討論，提出你的猜測用具體值檢驗(yàn)猜測的合理性令那么三角函數(shù)三角函數(shù)值學(xué)生再舉特例進(jìn)行驗(yàn)證各抒己見 利用幾何畫板，對(duì)更多的情況加以驗(yàn)證。三、提出猜測：師：要讓猜測更有說服力，我們還要進(jìn)行理論證明四、理論證明：y引導(dǎo)探究：研究三角函數(shù)問題，我們常用的一種方法就是利用單位圓，在單位圓中，角的余弦值可用余弦線來表示OBMxP11ACP1我們先來討論最簡單的情況：為銳角，且方法一：利用三角函數(shù)線證明：在單位圓O中，作，交

4、單位圓于點(diǎn)，作，那么過點(diǎn)P作PM垂直x 軸于M，過點(diǎn) ，過點(diǎn)，那么：，且 為銳角，且方法小結(jié)：在整個(gè)證明過程中，我們通過幾何的手段，得到了一個(gè)代數(shù)公式，這運(yùn)用到了在數(shù)學(xué)探究過程中一種重要的思想方法：數(shù)形結(jié)合提問：當(dāng)取任意角的時(shí)候，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？展示下一張幻燈片，大家思考一下給學(xué)生思考的時(shí)間，要求學(xué)生說出自己的思考結(jié)果假設(shè)學(xué)生說出來要給予及時(shí)的肯定，假設(shè)沒能說出那么作為課后思考作業(yè)方法二：利用向量y-1-111B Ax0啟發(fā)思考：我們來仔細(xì)觀察猜測的結(jié)構(gòu)，等式的左邊是差角的余弦，我們?cè)谑裁吹胤揭姷竭^類似結(jié)構(gòu)？ 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，提出證明方法學(xué)生：向量的數(shù)量積！A證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位

5、圓O，以O(shè)x為始邊作角，它們終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B，那么： =， = = 0方法小結(jié)：比照一下兩種證明方法，你認(rèn)為哪種更簡單？向量在我們數(shù)學(xué)探究過程中是一種非常簡潔有效的工具，在今后的學(xué)習(xí)中我們還將繼續(xù)領(lǐng)悟向量在數(shù)學(xué)探究過程中的魅力！思考：1、作為兩向量的夾角，有沒有限制條件？2、如果不在，這個(gè)區(qū)間內(nèi)，我們的結(jié)論還會(huì)成立嗎？怎樣給出證明？展示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生找到與夾角之間的關(guān)系推廣完善：令為、的夾角， 當(dāng)時(shí)，那么 當(dāng)時(shí)，那么存在無論哪種情況，都有小結(jié)：兩角差的余弦公式： 其中為任意角，簡記為思考：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下公式的結(jié)構(gòu)，說說公式的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？應(yīng)怎樣記憶？對(duì)學(xué)生的答復(fù)給予及

6、時(shí)肯定五、知識(shí)運(yùn)用1、解決引例中的問題2、學(xué)以致用：是第三象限角，求運(yùn)用公式時(shí)應(yīng)根據(jù)角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍3、 公式的逆用：4、拓廣延伸：是第三象限角，求此題根據(jù)學(xué)生的接受情況，作為后備練習(xí)5、公式活用：此題根據(jù)學(xué)生的接受情況，作為后備練習(xí)六、回憶總結(jié)師：我們一起來回憶總結(jié)一下今天這節(jié)課的收獲1、公式探究的一般步驟：特殊猜測證明2、在運(yùn)用兩角差的余弦公式時(shí)應(yīng)注意：1根據(jù)角的范圍，確定兩角正、余弦值的正、負(fù)2適當(dāng)逆用公式，可到達(dá)化簡計(jì)算的目的3靈活選取兩角的形式，活用公式七、 課后思考適當(dāng)變換兩角差的余弦公式中兩角的形式，例如取，你能得到哪些結(jié)論？八、作業(yè)：必做：P104 2、3

7、、4 選做： 生活實(shí)例引入，表達(dá)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、開展過程鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮想象力，大膽猜測，然后再去驗(yàn)證其合理性，增強(qiáng)學(xué)生探索問題、挑戰(zhàn)困難的勇氣 依據(jù)特殊情況進(jìn)行猜測往往是人們探索問題的第一步 鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)各種可能的情況進(jìn)行探索，培養(yǎng)他們的交流合作意識(shí)，在探索的過程中獲得成就感引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想給出證明加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系使學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差角公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識(shí)解出一個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程，體會(huì)向量方法的作用統(tǒng)一對(duì)“恒等要求的認(rèn)識(shí)運(yùn)用分類討論思想要求學(xué)生對(duì)公式的形式加以分析，體會(huì)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美 1、

8、學(xué)生運(yùn)用所學(xué)解決實(shí)際問題 2、利用變式突破學(xué)生在運(yùn)用公式過程中的易錯(cuò)點(diǎn) 3、對(duì)逆用公式解題加深認(rèn)識(shí)。 4、活用公式，加深學(xué)生對(duì)公式中兩角形式變化的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化整體思想課后思考為下節(jié)課做鋪墊?兩角差的余弦公式?教案說明湖南師大附中 吳菲一、 授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位：?兩角差的余弦公式?這節(jié)課的主要內(nèi)容是公式的探究及應(yīng)用，它揭示了單角三角函數(shù)與復(fù)角三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)生的認(rèn)知世界中，開辟了三角函數(shù)研究的新領(lǐng)域針對(duì)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了如下定位：1、 知識(shí)與技能目標(biāo)： 學(xué)生在前兩章的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，學(xué)習(xí)了單角三角函數(shù)以及向量的相關(guān)知識(shí)；初步掌握了一些同角三角函數(shù)關(guān)系式；對(duì)

9、三角函數(shù)的定義也由銳角三角函數(shù)擴(kuò)展到任意角的三角函數(shù)；會(huì)借助單位圓分析有關(guān)三角函數(shù)的問題本節(jié)課的知識(shí)技能目標(biāo)定位在掌握公式的兩種證明方法上：數(shù)形結(jié)合法和向量法；學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論思想完善證明；學(xué)會(huì)正用、逆用、變用公式；學(xué)會(huì)運(yùn)用整體思想，抓住公式的本質(zhì)在新舊知識(shí)的沖撞過程中，讓學(xué)生自主地對(duì)知識(shí)進(jìn)行重組、構(gòu)建讓每個(gè)學(xué)生在頭腦中再生教材，形成屬于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、過程與方法目標(biāo)： 開展心理學(xué)的研究成果說明，學(xué)生的思維開展呈現(xiàn)一定的階段性，高中學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)有時(shí)仍要借助于具體運(yùn)演思維甚至是前運(yùn)演思維，具體經(jīng)驗(yàn)對(duì)他們學(xué)習(xí)新的知識(shí)仍是必不可少的所以在情景引入時(shí)，以學(xué)生學(xué)習(xí)向量數(shù)量積時(shí)物理學(xué)中力做功的例子為引

10、例，創(chuàng)設(shè)問題情景，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)，展開提出問題、分析問題、解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)從“特殊到“一般的探究過程；不斷激發(fā)師生之間、生生之間的互動(dòng)，讓學(xué)生在探究過程中體會(huì)化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)探究過程中的運(yùn)用在公式的證明過程中，培養(yǎng)學(xué)生反思的好習(xí)慣，翻開學(xué)生多角度、多方面分析問題的視野；在公式的理解記憶過程中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的簡潔、對(duì)稱美；在公式的運(yùn)用過程中，通過對(duì)題目的一題多解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣和自我糾錯(cuò)能力 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)提倡自主探索

11、、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造過程因此，將情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)定位如下：體驗(yàn)科學(xué)探索的過程，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑、大膽猜測，培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識(shí)，使學(xué)生感受科學(xué)探索的樂趣，鼓勵(lì)學(xué)生科學(xué)探索的勇氣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和良好的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí) 通過對(duì)猜測的驗(yàn)證，對(duì)公式證明的完善，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神，感受運(yùn)用新知解決實(shí)際問題的成就感二、 學(xué)習(xí)內(nèi)容的根底及今后作用：?兩角差的余弦公式?是新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)必修四第三章第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，是本模塊第一章?銳角三角函數(shù)?和第二章?平面向量?相關(guān)知識(shí)的延續(xù)

12、和拓展，也是本章節(jié)中推導(dǎo)兩角和、差，倍角、半角等三角恒等變換公式的根底，可以說是起著承上啟下，串聯(lián)全書的作用在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上，與物理功的定義、哲學(xué)透過外表尋求本質(zhì)等相關(guān)學(xué)科相聯(lián)系，擴(kuò)大學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解角度和運(yùn)用范圍三、 教學(xué)診斷分析：學(xué)生最大的困惑在于如何得到公式在之前的學(xué)習(xí)過程中, 課堂上已根本形成了對(duì)知識(shí)大膽質(zhì)疑,合作探討的學(xué)習(xí)氣氛在本節(jié)課的教學(xué)中學(xué)生希望通過自己的努力收獲成功!教學(xué)重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探究和應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的由來及證明,引導(dǎo)學(xué)生通過主動(dòng)參與,獨(dú)立探索,自己得到結(jié)果.四、 教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析：教法特點(diǎn)：從知識(shí)的認(rèn)知程序上看，老師看問題從整體到局部，而

13、學(xué)生卻是從局部到整體。本節(jié)課嘗試將“帶著知識(shí)走向?qū)W生的接受式教學(xué)模式轉(zhuǎn)變?yōu)椤皫е鴮W(xué)生走向知識(shí)的探究式教學(xué)模式，充分尊重學(xué)生的主體地位設(shè)置了從生活走入知識(shí)，從特殊到一般，從猜測到理論證明的探究過程，在學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系的過程中，設(shè)置了多條成功路徑，將學(xué)習(xí)主體由學(xué)生群體轉(zhuǎn)移到學(xué)生個(gè)體上，讓學(xué)生在頭腦中主動(dòng)地對(duì)知識(shí)進(jìn)行自主構(gòu)建，再生課堂，到達(dá)提高認(rèn)識(shí)，舉一反三的作用鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多方面思考問題，為突破知識(shí)難點(diǎn)，在課件中設(shè)置多個(gè)鏈接，將學(xué)生可能出現(xiàn)的解答思路直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，用多種方法的比照呈現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生互相評(píng)價(jià)的動(dòng)機(jī)，實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)與生成的和諧統(tǒng)一本節(jié)課的教法采用了“一個(gè)主題兩種教學(xué)的設(shè)計(jì)模式一個(gè)

14、主題：公式探究與應(yīng)用，兩種教學(xué)：顯形教學(xué)知識(shí)能力教學(xué)、隱性教學(xué)情商培養(yǎng)，利用學(xué)生已有知識(shí)提出新問題，巧借學(xué)生對(duì)未知領(lǐng)域的好奇和自我展現(xiàn)的欲望，集思廣益，多角度分析問題，強(qiáng)化團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)，完善知識(shí)體系，剖析局部學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，突破易錯(cuò)點(diǎn)，嘗試自我提高的喜悅，實(shí)踐兩種教學(xué)相互促進(jìn)的人性化教學(xué)理念 開放課堂，在課堂上營造民主、開放、平等的教學(xué)氣氛，注重教學(xué)評(píng)價(jià)的多元性，將單一的教師評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)換為學(xué)生自主評(píng)價(jià)和同伴合作評(píng)價(jià)；將簡單的結(jié)果評(píng)價(jià)上升為對(duì)過程的評(píng)價(jià)；將一味的知識(shí)評(píng)價(jià)拓展為能力評(píng)價(jià)，突出學(xué)生的主體性，表達(dá)學(xué)生的主體意識(shí)，實(shí)現(xiàn)顯形教學(xué)與隱性教學(xué)的雙重評(píng)價(jià)，為全面開展學(xué)生打下根

15、底利用思維的多元性，引發(fā)師生、生生之間的討論，實(shí)踐證明用學(xué)生自己的語言、自己的理解、自己的表述方式更能引發(fā)學(xué)生之間的共鳴，更能到達(dá)對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行重組、自主構(gòu)建新知識(shí)的教學(xué)目的。作為老師，要以更高的視角從學(xué)生的眼中看問題，和學(xué)生一起征服尚未被他們所知甚至是尚未被老師所知的領(lǐng)域，享受在征服過程中隨時(shí)可能得到的意外驚喜。不需要害怕學(xué)生犯錯(cuò)，因?yàn)橹囌`本身也有它的認(rèn)識(shí)價(jià)值，也是一種很好的課堂教學(xué)資源，主要是看老師怎樣正確的引導(dǎo)和評(píng)價(jià)。設(shè)計(jì)探究報(bào)告，幫助學(xué)生整理、構(gòu)建知識(shí)體系在重、難點(diǎn)突破，作業(yè)布置、課后思考等環(huán)節(jié)，都給學(xué)生留出空間，既可以實(shí)現(xiàn)課堂知識(shí)的再生，又可以為下節(jié)課做預(yù)習(xí)準(zhǔn)備；既符合學(xué)生探索思維的連續(xù)性，又培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐探索能力 現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中運(yùn)用越來越廣泛，能夠利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行一些簡單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也將成為將來數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)開展趨勢，本節(jié)課利用幾何畫板，通過計(jì)算機(jī)技術(shù)，給學(xué)生提供一種驗(yàn)證猜測合理性的途徑預(yù)期效果:基于上述分析，我們希望通過這節(jié)課