2016年10月24圓錐曲線解答題2

1、2016年10月24圓錐曲線解答題2參考答案與試題解析.解答題（共30小題）2 21. （ 2016?廣西模擬）已知橢圓: ' I - .I.'-'的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2及橢/ b2圓的短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為1（I）求橢圓E的方程：（H）如圖，直線I與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn) M,且交于y軸于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)M作垂直 于I的直線交y軸于點(diǎn)Q,求證：Fi, Q, F2, M , P五點(diǎn)共圓.【解答】（I）解：如圖，： AFiF2是等邊三角形， a=2c,又橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 1 , a- c=1,則a=2, c=1，從

2、而b= :,2故橢圓E的方程為：丄43丄（n）證明：依題意，直線 I的斜率必存在且不為 0, 設(shè)直線I的方程為y=kx+m, 由 '43 ,得(4k2+3) x2+8mkx+4m2 - 12=0 .y=kx+inX1設(shè) M (X1, y1),則”4k2+33in4k2+3，即4k2 2 2 2令厶=0 ,即卩 64m k - 16 (4k +3) ( m - 3) =0,化簡(jiǎn)得：29m =4k +3 > 0.即 M （-亠-、' ）.m m又直線 MQ丄PM，直線 MQ的方程為1.d k m又由(尸吐+m,得p(°, 口).x=0由(I)知，F(xiàn)i (- 1, 0

3、), F2 (1, 0),I£m11m££idi £m PF2丄QF2, PFi丄QFi,又PM丄QM，點(diǎn)F, Q, F2, M , P都在以PQ為直徑的圓上.故Fi, Q, P2, M , P五點(diǎn)共圓.2. ( 2016?白銀模擬)已知橢圓 Ci：'十'=1 (a>b>0)與拋物線C2： x2=2py ( p>0)a2 b2有一公共焦點(diǎn)，拋物線 C2的準(zhǔn)線I與橢圓Ci有一交點(diǎn)坐標(biāo)是(，- 2).(1) 求橢圓Ci與拋物線C2的方程；(2) 若點(diǎn)P是直線I上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A, B，直線AB

4、與橢圓Ci分別交于點(diǎn)E, F，求|？的取值范圍.【解答】 解：(1)拋物線C2的準(zhǔn)線方程是y= - 2,所以；-：-.，所以拋物線 C2的方程是：x2=8y, 22 2橢圓 Ci： v+-7=l(a>b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，- 2), (0, 2), 1 a2所以 c=2 ,二；+,“：1所以工-L，-_即橢圓C1的方程是工+=1 ；8 4(2)設(shè)點(diǎn) P (t, 0),拋物線方程可以化為:所以AP的方程為:A (xi, yi), B (X2, y2), E (X3 , 12/11廠y3), f(X4 , y4 ),所以 ；，即二.亠二，同理:所以直線AB的方程為將直線AB方程代入

5、橢圓Ci的方程得到：（t2+32） x2+16tx - 64=0,2 2貝仏=256t +256 （t +32）> 0,冃， -16t-64且：+<：.，J 4 t2+32 J 4+32二 8t'+64320_ o2= 2芒,tz+32tz+32_k2所以 i：r 'I 匚，-I .: |=因?yàn)?J- ' I,tz+32所以r下的取值范圍是（-8,2.2 23. （ 2016?可南二模）已知橢圓 C: 2x +y =16 .（1）求橢圓C的離心率；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線x=4上，且1啼=0，求直線AB截圓2 2x +y =17所得弦長(zhǎng)為

6、I.2 2【解答】解：（1）由橢圓C: 2x2+y2=16，得-,故橢圓C的離心率為 e= 工一32(2 )設(shè) A ( xo, yo), B (4, t),16由 UF=0,得-一，5原點(diǎn)O到AB的距離d=V（y0-+（x0根據(jù)點(diǎn)斜式得到直線AB的方程為：y- t=，化簡(jiǎn)得礦4(y0 t) x -( X0 4) y - 4y0+tx0=0.I 4yo+lkoI將代入可得：d=一V(y0-t)2+(x0-4)294x02 宀yo ""匸"u+s "盹 d+16yoVy0 +16x(j +xq y0 +16坯(y0 +16) 2y0 十在圓x +y =17中

7、，利用勾股定理可得=-| I -|.w22直線AB截圓x2+y2=l7所得弦長(zhǎng)為6.2 24. (2016?撫順校級(jí)四模)已知 Fi, F2分別是橢圓E: ' 一一-/.-L.的左右焦點(diǎn),a2 b2P是橢圓E上的點(diǎn)，且PF2丄x軸，二 '.直線I經(jīng)過(guò)Fi,與橢圓E交于A ,1 2 15B兩點(diǎn)，F(xiàn)2與A, B兩點(diǎn)構(gòu)成厶ABF2.(1) 求橢圓E的離心率；(2) 設(shè)厶F1PF2的周長(zhǎng)為， 二，求 ABF2的面積的最大值.則j 1 |k2_F-牛)，pf2=(o,【解答】解：(1)由題意可得Fi (- c, 0), F2 (c, 0),可得：f-3>則 a2=4b2=4 (a2

8、 - c2),可得 3a2=4c2 , 即有離心率e=- ； _(2 )由(1)可得 2c=:a , 由橢圓的定義可得|PF1|+| PF=2a , F1PF2 的周長(zhǎng)為 2a+2c=，:,解得 a=1, c二,則 b= =,2 V a c 2可得橢圓方程為x2+4y2=1 ,由題知直線斜率不為 0 ,設(shè)直線方程為y .2，彳寸 4(t J4)y，-1 二0,Lx2+4y2=l設(shè) A (xi, yi), B (X2, y2).由*即有4(F+4)|yy2|= ； I1XM(4+t2)2 4+t2 N(4+F)2T+Fl吒§鬥孟牙=”成立時(shí)t2=2，即t= ±匚， 則厶ABF

9、 2的面積的最大值為 丄.26. （2016?遼寧三模）已知橢圓:的離心率為'，az bz£且過(guò)點(diǎn) I -，其£長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為 A，B，直線I: y=x+m交橢圓于兩點(diǎn)C，D.2（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（H）設(shè)直線 AD , CB的斜率分別為ki, k2，若ki： k2=2: 1,求m的值.【解答】解：（I）由題意得:(2 分)解得 h ; -1 , (4 分)2 2橢圓方程為'. '' . (5 分)51 V(II )設(shè) C (xi, yi),r 3丄2 2丄+匚二1I 431判別式 = (3m) 2- 12 ( m2- 3) =

10、-3m2+36> 0,D ( X2, y2),聯(lián)立方程2 2，得 3x +3mx+m - 3=0，解得 m2v 12, (7 分)2 _ 3T Xi, x2 為式的根，：，j I -_',(8 分)由題意知 A (- 2, 0), B (2, 0),Tki： k2=2: 1,即1得、：,1（乜+2） 1并（巳+滬2 2又，二"i 一了 ":'-，同理：一了 "-，（10 分）代入式，解得(2 - x2)(2 -巧)(2+xp (2+ x2)=4，即 10(X1+X2)+3x1x2+12=0,2/ 10 (- m) +m - 3+12=0，解得

11、 m=1 或 m=9,2又 mv 12,.m=9 (舍去)，二 m=1 . (12 分)2 27. （ 2016?萊蕪一模）設(shè)橢圓 C :務(wù)7=1 （a> b> 0）,定義橢圓C的相關(guān)圓”方程為a" bz2 2222X +y = .若拋物線y =4x的焦點(diǎn)與橢圓c的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓 C短軸的一個(gè)端a2 + b2點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形（I）求橢圓C的方程和 相關(guān)圓”E的方程；（H）過(guò) 相關(guān)圓” E上任意一點(diǎn)P的直線I: y=kx+m與橢圓交于A , B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn), 若OA丄OB，證明原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求 m的取值范圍.【解答】解：（I）因?yàn)槿魭?/p>

12、物線y =4x的焦點(diǎn)為（1, 0）與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以 c=1又因?yàn)闄E圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，所以b=c=12故橢圓C的方程為二；,相關(guān)圓”E的方程為（4分）253證明：（n）設(shè) A （X1, y1）, B （x2, y2）y=kx+in聯(lián)立方程組-2口 得(1+2k2) x2+4kmx+2m2- 2=0k+y =1 =16k2m2- 4 (1+2k2) (2m2- 2) =8 (2k2- m2+1)> 0, 即卩 2k2- m2+1 >。(6 分)4kml+2k22m2 -22廠 l+2k2bin_ 2匕 2l+2kZy匕皿吋m）（k七+航k乜七+也

13、（"+七）+腫=/（加；小一必I i £l+2kz R2k"2 2由條件 OA 丄OB 得 3m - 2k - 2=0- （8分）（10分）所以原點(diǎn)O到直線I的距離是 由3m2 - 2k2- 2=0得討羋為定值.- |，此時(shí)要滿足> 0，即2k2- m2+1>0,又 ' -即'',所以I 3m2>2即或.：（13 分）22 210. （2016?江西模擬）橢圓 C: +' =1 （a>b>0）的上頂點(diǎn)為 B,過(guò)點(diǎn)B且互相垂直 / b2的動(dòng)直線11, 12與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P, Q,若當(dāng)I1的斜率為

14、2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-，-）3 3（1）求橢圓C的方程；（2）若直線PQ與y軸相交于點(diǎn)M，設(shè)-r=r I,求實(shí)數(shù) 入的取值范圍. 【解答】解：（1） 11的斜率為2時(shí)，直線I1的方程為y=2x+b.由 I1 過(guò)點(diǎn) P （ - §,- 2）,得一A=-M+b,g 卩 b=2 .- 2 2橢圓C的方程可化為 =-aZ °由點(diǎn)P （-一，- 一）在橢圓上，得"1 ,解得a2=5.339a2 92 2橢圓C的方程是'- 54（2）由題意，直線11, 12的斜率存在且不為 0,設(shè)直線l1, l2的方程分別為y=kx+2，-.爲(wèi)k（2 v2埜 ¥由，盲十飛-

15、丄，得（4+5k2） x2+20kx=0 ,y=kx+2即一-，同理，可得5kz+420_ 20k辿三7時(shí)! 2 420k20k由'=入心，得:、5+45+4k 2 、4k2+5 4 . T5k2+4 5 5k2+42 / 5k2+4> 4, Q 5k2+420實(shí)數(shù)入的取值范圍為 , 2 2 2 211. （2016?江西二模）給定橢圓 C:%+上亍=1 （a>b>0）,稱圓Ci： x +y =a +b為橢圓C a2 b2的伴隨圓” 已知點(diǎn)A （2, 1）是橢圓G : x2+4y2=m上的點(diǎn).（1） 若過(guò)點(diǎn) T-. 1的直線I與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求I被橢圓G的

16、伴隨圓G1所截得的弦長(zhǎng)；（2）橢圓G上的B, C兩點(diǎn)滿足4k1?k2= - 1 （其中k1, k2是直線AB , AC的斜率），求證：B, C, O三點(diǎn)共線.2 2【解答】解：（1）由點(diǎn)A （2, 1）是橢圓G: x+4y=m上的點(diǎn).OO可得2 +4?1 =m，即有m=8,即橢圓G:+=1 ,8 2OOO O可得a =8, b =2，可得伴隨圓 G1的方程為x +y =10,當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足I與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：與橢圓 G: x2+4y2=8 聯(lián)立，得:n- 1 :- i < -：；： - : II,-：'-由直線I與橢圓G

17、有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，得：_! ；'亠一，解得k= ± 1,由對(duì)稱性取直線;' I,即;-1圓心到直線I的距離為IVi+i直線I被橢圓G的伴隨圓G1所截得的弦長(zhǎng)=-；(2)證明：設(shè)直線 AB , AC的方程分別為y -仁ki (x - 2 ),y-仁k2 (x - 2), 設(shè)點(diǎn) B (xi, yi), C (X2, y2),聯(lián)立 G : x2+4y2=8，得:j : :- . . -：_：1-_ . iv I ： :'1 ：?.-.,lekj2 -lekj - 4 /曰ski2 -Skt - 2:，得-；l + 4k/l + 4k/Sk72 - 8k? - 2同

18、理，l+4k/lq (切-2)+1- 4kj2 - 4k i+l8耳2 -2-4k22 - 4k2+l8k22-2因?yàn)?4ki?k2=- 1,所以- 1 ? - 1怙)怙呂)-2-4+16k+16k /8_32k/，-4+16k +16k/- 4k!2 - 4k +18-32k/" 8kt2 -2=kOB,即有B , O, C三點(diǎn)共線.2 212. (2016?懷化二模)已知橢圓一+=1 (a> b> 0) 上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2的距離之和為2爲(wèi)且它的離心率與雙曲線 x2- y2=2的離心率互為倒數(shù).(1 )求橢圓的方程；(2)如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(非長(zhǎng)

19、軸端點(diǎn))，AF1的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn) B, AO的延 長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn) C . 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值； 求厶ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的方程.【解答】解：(1)由橢圓的定義知 2a=22 2雙曲線x - y =2的離心率為匚,故橢圓二+ =1的離心率2 .2a b故 a= : c=1, b=1;異 2故橢圓的方程為'+y2=1 ；2(2)證明：設(shè) A ( XA, yA) , B (XB,設(shè)直線BA的方程為y=k (x+1),yB),則 C (- xa, - yA),ry=k(x+l)/2化簡(jiǎn)得,廠二12 2 2 2(2k +1) x +

20、4k x+2k - 2=0,二 Xa+Xb=2k2+lyA+yB=k (XA+XB) +2k=k (-'+2)2k+l= kABkBC=k?=1 呦+ S - 4k22,C當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，1,-),可知 A (- 1, -一), B (- 1 ,2故 ABC=：,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，由 知,4諛2k2 -2XA+XB=二 ,xAxB=:2k2+l2kSl故 | XA - Xb| =+ 切)2 - 4kazb故I AB I：*|XA- xb|-二,點(diǎn)C到直線AB的距離d= _沖）5 I =屮Ik£ + l故？.；）?-:=2"；.=2“J：？< &

21、#39;：,V 4(2k2+l)£故厶ABC面積的最大值為 匚，此時(shí)AB的方程為x+1=0.2,離心率2 214. （2016?河北區(qū)一模）Vf _ V已知橢圓C：+-' =1 (a>b>0)的短軸長(zhǎng)為/ b2（I）求橢圓C的方程；（H）若直線I: y=kx+m與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A , B ,與圓x2+y2=：相切于點(diǎn)M .3（i）證明：OA丄OB （O為坐標(biāo)原點(diǎn)）;（ii）設(shè)=皿！，求實(shí)數(shù)入的取值范圍.WI【解答】 解：（I）T 2b=2 , b=1 .（1 分） 口 :忑 22 2又 e=, a =b +c ,a 22 a =2 . - （3 分）、/ 2

22、橢圓C的方程為 亠：-一；- （4分）I:2 2 X +y 相切,(i )直線y=kx +m與圓由-y=kic+iD2，消去 y并整理得，(1+2k2) x2+4kmx+2m2-2=0.設(shè) A (xi, yi), B (X2, y2).4km1+21?7 分) 0A0B二葢i X 2卡¥ 1 乃二 X i 七+(kx (k p+m)2 - 2=.'.-I .-:3id2 - 2k2 - 2 2(l+k2) - 2k2 - 2_一 J,l+2k2l+2k2OA 丄 OB.（9 分）（ii）：直線I: y=kx +m與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A , B,22丄21+72 二 1? _

23、JAM| _V0A2 - r2.(11分)由(n) (i)知 Xix2+yiy2=0,2 2 2 / 二 X1X2= - y1y2,:，：.24 - 2x 2.，即：，.2£2+3x/.(13分)一：.： ，2+y2=8入的取值范圍是<2 .（14分）15. （2016?廣東模擬）已知點(diǎn) C為圓（x+1）的圓心，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q在圓的由由豈由M，滿足T？屮=0，屮=2 X'.(I) 當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) Q的軌跡方程；2 2(H)若斜率為k的直線I與圓x +y =1相切，直線I與(I)中所求點(diǎn) Q的軌跡交于不 同的兩點(diǎn)F, H , 0是坐標(biāo)原點(diǎn)，且I? |W三

24、時(shí)，求k的取值范圍.45【解答】 解：(I)由題意知MQ中線段AP的垂直平分線，I：'： I 廠'丨 :：-,點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C, A為焦點(diǎn)，焦距為2,長(zhǎng)軸為 心的橢圓，；T7 -,2厲故點(diǎn)Q的軌跡方程是(II) 設(shè)直線 I： y=kx+b, F (xi, yi), H (x2, y2)直線I與圓x?+=i相切二-' I .I(2x J聯(lián)立-2 +V -丄，(1+2k2) x2+4kbx+2b2 - 2=0 ,y=kx+b2 2 2 2 2 2 2 =16k2b2-4 (1+2k2) 2 ( b2- 1) =8 (2k2- b2+1) =8k2> 0，可得 0,

25、_ ：丨：， ： ，1+21Cl+2kz- - ; - ''： ； '.' =(l+k2)(2bg-2) T (-4kb)2Jl+k2)2k2一-I4k，(k'+l)l+2k2l+2k2l+2kzl+2k216. (2016?安徽校級(jí)四模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P (a, b) ( a> b > 0)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1,2 2F2分別為橢圓G亠._i的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓G的左頂點(diǎn)，已知 F1PF2為等腰三角a2 b2形.(I)求橢圓G的離心率；(H)過(guò)F2的直線m: x=1與橢圓G相交于點(diǎn)M (M點(diǎn)在第一象限)，平行于AM的直線l與橢圓G交

26、于B, C兩點(diǎn)，判斷直線 MB , MC是否關(guān)于直線 m對(duì)稱，并說(shuō)明理由.【解答】解：(I)由a> b，可得PF2,設(shè) F1 (- c, 0) , F2 (c, 0),若 PF1=F1F2,2 2由av c,可得a2+acv 2c2，故方程 無(wú)解；若 PF2=FlF2, 22則一；'=2c,即有 a - ac- 2c =0,即有2e2+e -仁0,解得e=_L （1舍去）,2綜上可得，橢圓 G的離心率為I ;2（H）由 F2 （1, 0），可得 c=1, a=2, b= = 7,2 2即有橢圓的方程為、=1， A為橢圓G的左頂點(diǎn)A （- 2，0），M （1：）， 由題意可設(shè)直線I

27、: yx+n, n豐1.2設(shè) B (x1, y1), C (x2, y2),f1丄尸可x+n22由 */，得 x +nx+n - 3=0.3共+4*二12ooo由題意得厶=n - 4 (n - 3) =12 - 3n >0, 即 n (- 2, 2)且 n 1 .2 -X1+X2= - n, X1X2=n - 3.丄 +口_丄TkMB+kMC=kMB+kMC=.2 n 2+七_(dá) 1n - 1 n _ 1_ 1H Kj + xj _ 2)=1 + =1 +X ! _ 1 X2 _ 1 X J X2 一 tx j+ X 2 )+1(n- l)(n+2)=1 -=0,nJ+n- 2故直線MB

28、, MC關(guān)于直線m對(duì)稱.17. （2016?大慶校級(jí)二模）己知橢圓方程C:=1 (a> b > 0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.（1）求橢圓方程；（2） 過(guò)橢圓右頂點(diǎn)的兩條斜率乘積為-書(shū)的直線分別交橢圓于 M, N兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線 MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出此定點(diǎn)，若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：（1）V橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.2 2 a= .：b，二亠一+=1,2b2 b2又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) P （1，返），代入可得2b=1, a=，故所求橢圓方程為（2）直線MN過(guò)定點(diǎn)（0, 0）,證明：設(shè)過(guò)橢圓右頂點(diǎn) A （ _, 0）的

29、直線li的方程為y=ki （x - _）, 代入橢圓方程，消去 丫，得（1+2ki2） x2- 4匚ki2x+4ki2-2=0,2應(yīng)kJ - V2XM= l+2k/yM=kixM -吋：fki=2例2 -近1 +生2由于 12 的方程為 y=k2 (x -2),且 ki?k2=-,2代入橢圓方程，則將上面的ki換成-2例12 -逅l+2k/則有M, N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 連接MN，必過(guò)原點(diǎn)（0, 0）. 故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（0, 0）.2 2i8. （20I6?重慶校級(jí)模擬）橢圓C:' .+' =i （a>b> 0）,作直線I交橢圓于P, Q兩點(diǎn).Ma2 b22 為

30、線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線I的斜率為ki,直線OM的斜率為k2, kik2=-".3（1）求橢圓C的離心率；（H）設(shè)直線I與x軸交于點(diǎn)D （- 5, 0）,且滿足麗=2運(yùn)5，當(dāng) 0PQ的面積最大時(shí)，求橢圓C的方程.【解答】 解：(I)設(shè) P (xi, yi), Q (X2, y2), M (xo, yo),2 2 2 2 * 1y1x2 陀由題意可得-+- =i,+- =i,abab兩式相減可得,(xj x2) (k t + x2) (y! - y2)(y +兀)=0 ,由k2即有 kik2=2a2 2 2 2、即為 2a =3b =3 (a - c ),即 c2= a2,

31、 e=1= -;3 a 3(n)由(I)知，a2=3c2, b2=2c2,2 2 2橢圓的方程為2x +3y =6c ,可設(shè)直線l的方程為x=my - 5,將 代入 中整理得(3+2m2) y2 - 20my+50 - 6c2=0,2 2 2因?yàn)橹本€I與橢圓交于P, Q兩點(diǎn)，所以 =4 (12m c+18c - 150)> 0,設(shè) P (xi, yi), Q (X2, y2),貝 yi+y2=3+250- 6 c2 yiy2=|yi- y21 飛：匕廣400 m? 200 - 24c2 (3+2 ro2) 23+2m2又I '=2.1 I,可得(Xi+5, yi) =2 (- 5

32、 - X2,- y2),即為yi= - 2y2，代入韋達(dá)定理，可得c = ,3+2匹< 60 _5母即有 | yi - y2| =_3+2 2|m|+命'荻皿,當(dāng)且僅當(dāng)2| m| =，即為m= ±丄時(shí)，取得等號(hào).2又厶0PQ的面積為S=-L| OD| ?| yi - y2| = |yi-y2|的最大值為竺,2 2 2此時(shí)，m2=3 c2=25+225 =2'63'所求橢圓的方程為 2x2+3y2=250,2 2 即+.2 2i9. (20i6?玉溪三模)橢圓 C: +=i (a>b>0),作直線I交橢圓于P , Q兩點(diǎn)，M / b2為線段PQ

33、的中點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線I的斜率為ki,直線OM的斜率為k2, kik2=-色3(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)直線I與x軸交于點(diǎn)D (- 胰,0),且滿足麗=2麗，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求C的方程.橢圓【解答】解：(1)設(shè)P (xi,2 x 一2 ayi), Q代入橢圓c的方程有：土' i.(X2, y2),a b2 _ 2 _ 2 xo 1 y? yi 兩式相減：.即 J r：J'；：b2直線I的斜率為ki，直線OM的斜率為k2.可得ki =,k2”,工£即有 I-,、：-2 2 .2 | 2c =a b = a ,3(2)由(I)知.一 ，得a 3可設(shè)橢圓

34、C的方程為：2x2+3y2 設(shè)直線I的方程為：廠"一 V3,代入橢圓C的方程有二，！“7；：；-.2 2 2=48m2-4 (2m2+3) (6 - 6c2)> 0 ,6 - 6c2.1 2 2m2+3a2=3c2, b2=2c2,=6c2.因?yàn)橹本€I與橢圓C相交，所以由韋達(dá)定理：V1'戈+3ID2=.-2 |mL+3當(dāng)且僅當(dāng)2%OPQ =_ I °。H 丫 1 _亦|+而-4(2m2+3)(6 - 6c2)|2n2+3|一.；_2_時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)22c =5，代入，有> 0成立,又廠_弋，所以y1= - 2y2,代入上述兩式有：-'，2mZ

35、+3所以所求橢圓C的方程為：y -15 102 2V - V20. (2016?濟(jì)寧一模)已知橢圓 C:+一 . =1 (a> b> 0)的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓 C的半短軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線3x-4y+5=0相切.(I)求橢圓C的方程；(H)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線 I: y=kx+m與橢圓C交于A , B兩點(diǎn).(i) 若直線aF2與BF2的斜率分別為k1, k2,且k1 + k2=0，求證：直線I過(guò)定點(diǎn)，并求出該 定點(diǎn)的坐標(biāo)；(ii) 若直線I的斜率是直線 OA , OB斜率的等比中項(xiàng)，求 OAB面積的取值范圍.【解答】 解：(I)由題意可得 c=

36、1，即a2-b2=1 ,由直線3x- 4y+5=0與圓x2+y2=b2相切，可得 b= =1，解得 a=V9+16 莊2即有橢圓的方程為+y2=1 ；(n) (i )證明：設(shè) A (x1, y1), B (x2, y2),將直線y=kx+m ( m豐0)代入橢圓 x2+2y2=2,2 2 2可得(1+2k2) x2+4kmx +2m2- 2=0 ,2 2 2 2即有 =16k m - 8 (1+2k ) (m - 1)> 0,4km2 in _ 2X1 +x2= -. , X1 x2=1+2 訃 1+2 k2y】 y2 k x! +ni由 k1+k2=+=+=0,X! _ 1 耳 2_1

37、云2_1即有 2kx1x2-2m+ ( m - k) (X1+X2)=0 ,2 ( _代入韋達(dá)定理，可得 2k?- 2m+ (m- k) (- V、) =0,l+2k2l+2k2化簡(jiǎn)可得m= - 2k,則直線的方程為 y=kx - 2k，即y=k （x- 2）, 故直線I恒過(guò)定點(diǎn)（2, 0）;（ii）由直線I的斜率是直線 OA，OB斜率的等比中項(xiàng),2旳匚2即有 k =，即為 k xix2=（kxi+m） （kx2+m）2 2=k xix2+km （X1+X2） +m ,可得 m2+km （-"-）=0,1+2訃解得k2=JL,22 2 2 2代入 =16k2m2 - 8 （1+2k2

38、） （m2- 1）> 0,可得- :< mv“J：,且 mz 0.由O到直線的距離為d=/ i j2弦長(zhǎng) AB 為八：=25：._卜？_，則厶 OAB 面積為 S= d| AB| =？ ''-?-'-2 2 22 2當(dāng)且僅當(dāng)m =2 - m，即m= ± 1時(shí)，取得最大值.則厶O(píng)AB面積的取值范圍為（0,2 221. （2016?連云港模擬）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)C在橢圓M :" +' =1 （a>b> 0）r b上，若點(diǎn) A （- a, 0）, B （0,2）,且 ABBC.32（1）求橢圓M的離心率；（2）

39、設(shè)橢圓M的焦距為4, P, Q是橢圓M上不同的兩點(diǎn).線段 PQ的垂直平分線為直線I，且直線l不與y軸重合.& 若點(diǎn)P （-3, 0），直線l過(guò)點(diǎn)（0,-二），求直線I的方程； 若直線I過(guò)點(diǎn)（0,- 1）,且與x軸的交點(diǎn)為D .求D點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【解答】解：（1）設(shè)C （ m, n）,由"= : ',£可得（a , a） =一 （m , n -二）,323可得 m=a , n=a , 即 C （一a , a）,3939即有 2 + =1,即為 b2=f_a2,9 81b292 2 2 2c =a b =a ,9貝y e=；a 3(2) 由題意可得c=2,

40、 a=3, b=冷_八=",即有橢圓方程為廠+工_=1 ,95設(shè)直線PQ的方程為y=k （x+3）,2 2 2 2代入橢圓方程可得（5+9k ） x +54k x+81k - 45=0,9 少二iXi+X2=-八,PQ 的中點(diǎn) H 為（-',，）,5+9/5+9 k25+9k由題意可得直線1的斜率為1 =,27kzk5+9k 2解得k=1或：, 即有直線1的方程為尸-x-；或y= - x-.； 設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,代入橢圓方程可得，（5+9k ） x +18kmx+9m - 45=0,可得x1+x2=-1湎5+9 k 2即有PQ的中點(diǎn)為（-9km5+9 k 2&q

41、uot;；】、),5+9“由題意可得直線1的斜率為5id5+9 k 2+19km1L，5+9 k 2化簡(jiǎn)可得4m=5+9k2，中點(diǎn)坐標(biāo)即為（-9k _5-，-9諛 5由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可得+ v 1,10 10解得-v kv由直線l的方程為y=x - 1,k可得D的橫坐標(biāo)為-k,可得范圍是（-1- , 0）U（ 0,1-）.332 222. （2016?臨沂一模）已知橢圓-，其短軸的下端點(diǎn)在拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上.（I）求橢圓C1的方程；（n）設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是直線垂線與以為OM直徑的圓C2相交于 若PQ=二，求圓C2的方程； ？設(shè)C2與四邊形OAMB過(guò)點(diǎn) F作OM的l: x=2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)

42、為橢圓的右焦點(diǎn)，P, Q兩點(diǎn)，與橢圓C1相交于A, B兩點(diǎn)，如圖所示.？的面積分別為S1，S2，若S1=泊2,求入的取值范圍.【解答】解：（I）:橢圓C1：-V'1 （a> b > 0，的離心率為，其短軸的下端點(diǎn)在a b簽2拋物線x =4y的準(zhǔn)線上，%=1c Vs"蔦，解得 a2,2_k2x 2L a -b + cb=c=1,橢圓C1的方程為斗 .（H）由知F（ 1 , 0）,設(shè)M （2, t），則C2的圓心坐標(biāo)為（1詩(shī)）,2C2 的方程為(x - 1) 2+( y2=1 + '直線 PQ 方程為 y=2 (x - 1), (t 豐 0),即 2x+ty

43、- 2=0 , (X 0)又圓C2的半徑由（）2+d2/ 得（）*：'- ' =1 (a> b>0，的離心率為2解得 t =4，二 t= ± 2,圓 C2 的方程為：(x- 1) 2+ (y - 1) 2=2 或(x- 1) 2+ ( y+1) 2=2 . 由 知PQ方程為2x+ty - 2=0, (X 0),+ V =1222由 2，得(8+t ) x - 16x+8 - 2t =0, t工 0,2x+ty- 2=04則厶=(-16)- 4 (8+t ) (8- 2t ) =8 (t +4t )> 0,16|AB|1 護(hù)-4(8+t© (

44、32嚴(yán))Ct2+S)=22匚X '、,tz+81 l' J' I -t2+4><2V2X+89?+8c 2 JI . 2 VS1= n=： r：T S1= ?S2,JI , J 、A Z" +4 = ' t2 + 8當(dāng) t=0 時(shí)，PQ 的方程為 x=1 , |AB|=匚，| OM | =2 , S-.- |OM| X |AB|= :-"J=n，Si勿 22 x兀2t2+lIt |x(2t2+l)h lxVt2+iK=-: 八當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，PQ方程為x=1 , |AB|='：, |OM|=2, S2=：| 0M

45、 | X | AB | =Si= i224.(2016?衡水校級(jí)二模)已知橢圓 C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率等于丄，它 的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8 ；y的焦點(diǎn).(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 直線x= - 2與橢圓交于P, Q兩點(diǎn)，A , B是橢圓上位于直線 x= - 2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn). 若直線AB的斜率為丄，求四邊形APBQ面積的最大值；2 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A, B滿足/ APQ= / BPQ時(shí)，試問(wèn)直線 AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.2 2【解答】解：(1) 橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為' | -2 i 2丄a b(a>b>0),橢圓離心率

46、等于1，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8 =y的焦點(diǎn).2Ji焦點(diǎn)為, b=2(1 分)e亠一,a2 - b2=c2,a 2解得 a2=16, b2=122 2橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程'.；-(3分)16 122 2(2)直線 x= - 2 與橢圓二 1 交點(diǎn) P (- 2, 3), Q (- 2, - 3)或 P (- 2, - 3),16 12Q (- 2, 3), |PQ|=6, - (4 分)設(shè) A (X1 , y1 ) , B ( x2 , y2),直線 AB 的方程為2 2與.-聯(lián)立，得 x2+mx+m2 - 12=0 ,16 122 2由厶=m 4( m 12)> 0,得4v

47、 mv 4 ,由韋達(dá)定理得 X1+X2= - m,: .: , - (6 分)2即 xiX2+2 (xi+X2) +4v 0. m - 2m - 8v 0 解得-2v mv 4,(7分) S= ?| PQ| ?|xi-X2|2：?lPQl? 'v|-.：1：=3 二:!-'，當(dāng)m=0時(shí)，S最大值為：=.（ 8分）則PB斜率為-k.Q (- 2,- 3)時(shí)，y - 3=k (x+2)(9 分)2、 2 當(dāng)/ APQ= / BPQ時(shí)直線PA, PB斜率之和為 0. 設(shè)PA斜率為k,當(dāng) P （- 2, 3）, PA的直線方程為2 2 2與橢圓聯(lián)立得（3+4k ） x +8k （2k+

48、3） x+4 （2k+3） - 48=03+4k2J'同理 :. . :- " 4'3+4kz(io 分)3+4kz，:-，k'； yi- y2=k (X1+2) +3 - - k (X2+2) +31£ 3+4“直線AB斜率為 丄-（ ii分）耳I _辺 2當(dāng) P (- 2,- 3), Q (- 2 ,3）時(shí)，同理可得直線AB斜率為1 .(i2分)22 226. （20i6?佛山一模）已知橢圓：+ . =i （a> b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為 A （2, 0）,且焦距a b為2,直線I交橢圓于E、F兩點(diǎn)（E、F與A點(diǎn)不重合），且滿足AE丄AF

49、 .（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（H） O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn) P滿足2卜=上+ I ,求直線AP的斜率的取值范圍.【解答】 解：（I）由題意可得 a=2 , 2c=2 ,即c=1,b= 2 -二 ',2 2則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二一 +'=1;(H)設(shè)直線 AE的方程為y=k (x - 2), 代入橢圓方程，可得(3+4k2) x2- 16k2x+16k2- 12=0,由 2+xe=，可得 xe= ,3+43+4k2yE=k (xe - 2)=-12k3+4 k 2由于AE丄AF，只要將上式的k換為-一可得xf=由2 |=匚已+匚卩，可得P為EF的中點(diǎn),14k2即有P (4+3 k2) (3+4kO6k(k2 - 1)(4+3 k2) (3+4 k2) L12kyF=4+3 k則直線AP的斜率為t=,