2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理數(shù)

1、選項(xiàng)符合題目要求.1.A.2.A.3.z滿足2z+二=3 - 2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=(D . - 1 - 2ix2A=y|y=2, X R , B=x|x - 1 V 0，則 A U B=C . (- 1 , +呵 D . ( 0, +呵200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理數(shù)、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分，每小題給出四個選項(xiàng)，只有一個 （5分）（2016?山東）若復(fù)數(shù)1+2i B. 1 - 2i C.- 1+2i（5分）（2016?山東）設(shè)集合（-1 , 1） B. （0, 1），制成了（5分）（2016?山東）

2、某高校調(diào)查了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5 ,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5 ,20）,30.根據(jù)直方圖，這 200名學(xué)生中每周的自4.（5分）（2016?山東）若變量滿足' 2x 3y<9，則x2+y2的最大值是（4 B. 9C. 10 D.5分）（2016?山東）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何 體的體積為（125.正（主視圖側(cè)（左）視圖俯視團(tuán)+ 二 C. 'I D .J3 33 666. （ 5分）（2016?山東）已知直線a, b分別在兩個不同的平面a, B內(nèi).則 直線a和直線b相交”是 平面a和平面B相交”的（）A

3、 .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件_7. （5 分）（2016?山東）函數(shù) f（ x） = （®：八sinx+cosx）（ V3 cosx- sinx）的最小正周期是 （）A 7T- 3 兀_A. B. n C.D. 2 n2 28. （5分）（2016?山東）已知非零向量,滿足4| F3Mcos若t + 0, 則實(shí)數(shù)t的值為（）A. 4 B. - 4 C.' D. - J4439. （5分）（2016?山東）已知函數(shù)f（ x）的定義域?yàn)?R.當(dāng)xv 0時，f （x） =x - 1 ；當(dāng)-1$冬 時，f （ - x） = - f （x

4、）;當(dāng) x 丄時，f （x+丄）=f （x- 3）.貝U f （6）=（）2 2 2A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 210. （5分）（2016?山東）若函數(shù)y=f （x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱 y=f （x）具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有 T性質(zhì)的是（）x3A . y=sinx B . y=lnx C . y=e D . y=x、填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分.11 . （5分）（2016?山東）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a, b的值分別為0和9,則輸出的i的值為12 .（ 5 分）（2016?山東）若（的展開式中x5的系數(shù)是

5、-80,則實(shí)數(shù)a=2 213 . （5分）（2016?山東）已知雙曲線 E:七-十=1 （a 0, b 0）,若矩形 ABCD的四個a b頂點(diǎn)在E上，AB ,CD的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是 14. （5分）（2016?山東）在-1, 1上隨機(jī)地取一個數(shù) k，則事件 直線y=kx與圓（x - 5）2 2+y =9相交”發(fā)生的概率為.15. （5分）（2016?山東）已知函數(shù) f （ x）=，其中m>0,若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f （x） =b有三個不同的根，則 m的取值范圍是 .三、解答題，：本大題共6小題，共75分.16. （12分）（2016?

6、山東）在厶ABC中，角A , B , C的對邊分別為 a, b, c,已知2（ tanA+tanB ） = dcosB cosA（I）證明：a+b=2c ；（n）求cosC的最小值.17. （12分）（2016?山東）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.（I）已知 G, H分別為EC, FB的中點(diǎn)，求證： GH /平面ABC ;（H）已知 EF=FB= AC=2 二 AB=BC，求二面角 F-BC - A 的余弦值.A218. （ 12分）（2016?山東）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n +8n,bn是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1（I

7、）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；n）令cn=，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.（屮）n19. （12分）（2016?山東）甲、乙兩人組成 星隊(duì)”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜 一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則星隊(duì)”得3分；如果只有一個人猜對，則星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對，則星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對的概率是 ，乙每輪猜對的概率是：；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)星隊(duì)”參加3兩輪活動，求：（I）星隊(duì)”至少猜對3個成語的概率；（II ）星隊(duì)”兩輪得分之和為 X的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX .20. (13 分)(2016?山東)已知 f (x)_ 1 _=a (x-

8、 lnx) +-, aR.（II ）當(dāng) a=1時，證明（I）討論f （x）的單調(diào)性;f （x ）>f（ x）對于任意的x C1，2成立.2 221. (14分)(2016?山東)平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C:' +' =1 (a>b> 0)的離心a2 b2率是一，拋物線E : x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個頂點(diǎn).2(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)P是E上的動點(diǎn)，且位于第一象限， E在點(diǎn)P處的切線I與C交與不同的兩點(diǎn) A , B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn) M .(i) 求證：點(diǎn) M在定直線上；S,(ii) 直線I與y軸交于點(diǎn)6,

9、記厶PFG的面積為 PDM的面積為S?，求的最大值及取得最大值時點(diǎn) P的坐標(biāo).y +2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理數(shù)參考答案與試題解析一、選擇題1. B【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)乙通過復(fù)數(shù)方程求解即可.【解答】解：復(fù)數(shù) z滿足2z<=3 - 2i,設(shè) z=a+bi,可得：2a+2bi+a - bi=3 - 2i.解得 a=1, b=- 2.z=1 - 2i.故選：B.2. C【專題】計(jì)算題；集合思想；數(shù)學(xué)模型法；集合.【分析】求解指數(shù)函數(shù)的值域化簡A，求解一元二次不等式化簡B，再由并集運(yùn)算得答案.x【解答】解： A=y|y=2, xR= (0, +),2B=x|x - 1 v

10、0= (- 1, 1), A U B= (0, +s)U (- 1 , 1) = (- 1 , + a).故選：C.3. D【分析】根據(jù)已知中的頻率分布直方圖，先計(jì)算出自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率，進(jìn)而可得自習(xí)時間不少于 22.5小時的頻數(shù).【解答】解：自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為：(0.16+0.08+0.04 ) >2.5=0.7,故自習(xí)時間不少于 22.5小時的頻率為：0.7 >200=140,故選：D4. C【分析】由約束條件作出可行域，然后結(jié)合x2+y2的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方求得x2+y2的最大值.【解答】解：由約束條件：./<作出可

11、行域如圖，I x>0 A ( 0,- 3), C ( 0, 2),> |0C|,聯(lián)立彳*+廠2，解得B (3, - 1).加-3y=92 2 x +y的最大值是10.故選：C.5. C【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐， 進(jìn)而可得答案.【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐， 半球的直徑為棱錐的底面對角線，由棱錐的底底面棱長為 1,可得2R=二.故只=空，故半球的體積為：- * - '主n,2326棱錐的底面面積為：1,高為1,故棱錐的體積V ,故組合體的體積為:故選：C6. A【分析】根據(jù)空間直線與直

12、線，平面與平面位置關(guān)系的幾何特征，結(jié)合充要條件的定義，可得答案.【解答】解：當(dāng) 直線a和直線b相交”時，平面a和平面B相交”成立，當(dāng)平面a和平面B相交”時，直線a和直線b相交”不一定成立， 故 直線a和直線b相交”是 平面a和平面B相交”的充分不必要條件， 故選：A7. B【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】利用和差角及二倍角公式，化簡函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的周期.【解答】 解：數(shù) f (x) = (p sinx+cosx)(耳cosx sinx) =2sin (x+) ?2cos (x+) =2sin(2X+ ， T= n,故選：B=*=*=* T【分析】若)

13、.i±( t + i),貝,J? (t + i) =0,進(jìn)而可得實(shí)數(shù)t的值.«2八2-i?(t+|)=t ?-|+=t| |?|?二+| -|=( |，) | - J =0,34解得：t= - 4,故選：B.9. D【分析】求得函數(shù)的周期為1，再利用當(dāng)-1$勻時，f (- x) = - f (x),得到f (1) = - f3(-1),當(dāng)x v 0時，f (x) =x - 1，得到f (- 1) = - 2,即可得出結(jié)論.【解答】解：當(dāng) x> 一時，f (x+ ') =f ( x -'),2 2 2當(dāng) x>x+1) =f (x)，即周期為1.2-

14、f (6) =f (1),當(dāng)1時，f ( x) = - f (x),-f (1) =- f (- 1),當(dāng) xv 0 時，f (x) =x3 - 1,-f (- 1) = - 2, f (1) =- f (- 1) =2 , f (6) =2.故選：D.10. A【分析】若函數(shù)y=f (x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f (x)的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1,進(jìn)而可得答案.【解答】解：函數(shù) y=f (x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f (x)的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1,當(dāng)y=si

15、nx 時，y'=cosx，滿足條件；當(dāng)y=l nx時，y'= > 0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=ex時，y =ex > 0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=x3時，y =3x2>0恒成立，不滿足條件；故選：A二、填空題11. 3.【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量i的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案.【解答】解：輸入的a, b的值分別為0和9, i=1 .第一次執(zhí)行循環(huán)體后：a=1,b=8,不滿足條件av b,故 i=2 ；第二次執(zhí)行循環(huán)體后：a=3,b=6,不滿足條件av b,故 i=3 ；第三次執(zhí)行循環(huán)體后：a=6,b=3,滿足

16、條件av b,故輸出的i值為：3,故答案為：312. - 2 .:匸，化簡可得求的x5的系【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=（ ax2） 5-r數(shù).【解答】解：（ax2+ -）5的展開式的通項(xiàng)公式5Tr+1= ( ax2) 5 rr：-,令 10-二5，解得 r=2 .2'/( ax2+555的展開式中X5的系數(shù)是-80二a3= - 80,13.2y= ±，再由題意設(shè)出 A, B, C, a由2|AB|=3|BC|，可得a, b, c的方程，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值.【分析】可令x=c，代入雙曲線的方程，求得D的坐標(biāo),【解答】解：令x=c,代入雙曲線的方程可得

17、 y= - ' = ±-k2k2k2k2(c, ), B ( c, ) , C (c, ), D ( c ,- aaaa,可得由題意可設(shè)A),由 2|AB|=3|BC| 2b22?=3?2c,a,_2 2 2由 b =c - a ,2即為 2b =3ac,e= ：，可得 2e2- 3e- 2=0,解得e=2 （負(fù)的舍去）.故答案為：2.【分析】利用圓心到直線的距離小于半徑可得到直線與圓相交，可求出滿足條件的 根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求.2 2【解答】解：圓（X- 5） +y =9的圓心為（5, 0）,半徑為3.圓心到直線y=kx的距離為：Vk2+ik,最后22要使直線y

18、=kx與圓（x - 5） +y =9相交，則二<3,解得-工k <在區(qū)間-1, 1上隨機(jī)取一個數(shù)-I故答案為：；415.（3, +口.k，使直線2 2y=kx與圓（x - 5） +y =9相交相交的概率為【分析】作出函數(shù) f （x）=的圖象，依題意，可得 4m - m2v m （m2mi+4in? x>ni> 0）,解之即可.I y 13 xWm的圖象如下:x 2ins+4ni$2 2 2 2f (x) =x - 2mx+4m= (x - m)+4m m > 4m - m ,x的方程f (x) =b有三個不同的根，【解答】解：當(dāng) m>0時，函數(shù)f（X）/x

19、> m 時， y要使得關(guān)于必須 4m - m v m （m > 0）, 即 m >3m （m>0）, 解得m > 3, m的取值范圍是（3, +s）, 故答案為：（3, + R）.16.【分析】（I）由切化弦公式I. _!_：-,帶入cosAC0SD并整理可得 2 （sinAcosB+cosAsinB ） =sinA+cosB，這樣根 cosB cosA據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c;2 2 2 2 2 2（n）根據(jù)a+b=2c,兩邊平方便可得出 a+b +2ab=4c，從而得出a +b =4c -

20、2ab,并由不2 2等式a2+b2支ab得出c2ab,也就得到了.如，這樣由余弦定理便可得出_：；' - I ,ab2ab從而得出cosC的范圍，進(jìn)而便可得出 cosC的最小值.【解答】解：(I)證明：由得:cosB cosAsinAcosAcosBsinA sinB+cosAcosB cosAcosB兩邊同乘以 cosAcosB 得，2 (sinAcosB+cosAsinB ) =sinA+sinB ;/ 2sin (A+B ) =sinA+sinB ; 即 sinA+sinB=2sinC (1); 門丄一SinB=l-，帶入（1）得:2K一 ：I二?2R 2R 2R根據(jù)正弦定理，

21、a+b=2c;(n) a+b=2c;/ . x 2 2 2 2-( a+b) =a +b +2ab=4c ;2 2 2 2-a +b =4c - 2ab,且4c紹ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號; 又 a, b>0;由余弦定理,二;a" + b' 一 c 匚_3 u? 一 2巴b 3 u2 ' ._ . : cosC的最小值為 17.【分析】（I）取FC中點(diǎn)Q,連結(jié)GQ、QH，推導(dǎo)出平面 GQH /平面ABC，由此能證明 GH / 平面 ABC .（H）由AB=BC，知BO丄AC ,以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，00為z軸，建立 空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求

22、出二面角F - BC - A的余弦值.【解答】證明：（I）取FC中點(diǎn)Q,連結(jié)GQ、QH, G、H為EC、FB的中點(diǎn)， GQ 1QH /| ', 又 EF 1 BO , 平面 GQH /平面 ABC ,/ GH?面 GQH , GH /平面 ABC .解：(n)T AB=BC , BO丄AC ,又 OO丄面ABC ,以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OO為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A ( 2近，0, 0), C (- 2 晶,0, 0), B (0, 2晶,0), O' (0, 0, 3) , F ( 03, 3),FC= （- 2 徒，-品，-3）, CB= （2 忑,2

23、 畐,0）,由題意可知面 ABC的法向量為=(0, 0, 3),設(shè)= (xo, yo, zo)為面FCB的法向量,則上驢,Ln*CB=O'-2730 -V3yo-3z0=O2V3xo+2V3yo=0' cosv I I ',取 xo=l，則-=面角F - BC - A的平面角是銳角,面角F - BC - A的余弦值為-.718.【分析】（I）求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列（H）求出數(shù)列Cn的通項(xiàng)，利用錯位相減法求數(shù)列2【解答】解：（I） Sn=3 n +8n , n 2 時，an=Sn - Sn -1=6n+5,n=1 時，a1=S1=11, an=6n+5;T an

24、=bn+bn+1 , an _1=bn-1+bn,二 an- an- 1=bn+1 - bn- 1. 2d=6 , d=3,t a1=b1+b2, 11=2b1+3, b1=4,bn的通項(xiàng)公式；Cn的前n項(xiàng)和Tn.(b+1)U+1(6n+6 )Cn=(皿二 bn=4+3 (n- 1) =3n+1;n+1=6 (n+1) ?2n,(3n+3) n二口=62?2+3?22+ (n +1) ?2“,n+1-6 ( n+1) ?2=2Tn=62?22+3?23+ n?2“+ ( n+1) ?2n+1,23 nn+1,- 可得-Tn=62?2+2 +2 +2 - (n+1) ?2=12+6n+1n+2(

25、-6n) ?2= - 3n?2,n+2二Tn=3n?219.【分析】（I）星隊(duì)”至少猜對3個成語包含 甲猜對1個，乙猜對2個” 甲猜對2個，乙猜 對1個” 甲猜對2個，乙猜對2個”三個基本事件，進(jìn)而可得答案；（II ）由已知可得： 星隊(duì)”兩輪得分之和為 X可能為：0, 1，2, 3，4, 6,進(jìn)而得到X的分 布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：（I）星隊(duì)”至少猜對3個成語包含 甲猜對1個，乙猜對2個” 甲猜對2個, 乙猜對1個” 甲猜對2個，乙猜對2個”三個基本事件，故概率P= ¥中I魯1 2=-:,(II )星隊(duì)”兩輪得分之和為 X可能為：° 290, 1, 2,2 “3, 4,

26、則 P (X=0)=.-'-:-:,43144P (X=1) =2 K+.4432 23P (X=2) 丄 .-(1-號)-243434(X=3)(X=4)3=2 3.=2 m+ .4 （1飛）+（1 - 號） （1-4）-（i-|）,+3-” (1-)342 (1 3)343=12=：I -,g)2+=25=V-,2 60=-(X=6)二 36=：4-故X的分布列如下圖所示:x10123 4 6P11441014425144121446014436144.數(shù)學(xué)期望 EX=O X +1 X +2 X +3 X +4 X ' +6 X =“ ：='144144144144

27、144144 1,44 620.【分析】(I)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性；(H)構(gòu)造函數(shù) F (x) =f (x) - f' (x),求導(dǎo)后利用不等式 x- 1 >lnx放縮，得到F (x)2-3?+X2 .令 X x)=3 y"+藍(lán)2-.，利用導(dǎo)數(shù)可得0 (x )在 1 , 2上為減函數(shù)，得到F (x )> ；恒成立由此可得2f (x)> f'( x) + ；對于任意的x 1 , 2成立.2f (x) =a (x - lnx)【解答】(I)解：由得 f' (x) =a (1- )2 x

28、2 _ (2x _ 1) p2m+4K= J一 - 一二門丄=!-y3 =3(x> 0).XX若aO,則2ax - 2v 0恒成立，當(dāng) x (0',1)時，f' (x)> 0,f(x )為增函數(shù)，當(dāng) x (1,+ g)時,f' (x)v 0,f(X)為減函數(shù)；當(dāng) a> 0，若 0v av 2，當(dāng) x ( 0,1)和(' ', +g)時，f' ( x)> 0, f (x)為增函數(shù),當(dāng) x( 1 二) 時，f' (x)v 0, f ( x)為減函數(shù)；a若a=2, f' (x)為恒成立，f (幻在(0, + R)

29、上為增函數(shù)；若 a>2，當(dāng) x (0,和(1, + g)時，f '(x) > 0, f (x)為增函數(shù),a當(dāng)x (，1)時，f' (x)v 0, f ( x)為減函數(shù)；(n)解： a=1,91919319令 F ( x) =f (x) - f' (x) =x - In x * - 1=x - In x+I .v Z.Z Y J'I £. Jx XX A XA X X/ e > 1+x,.x > In (1+x),.ex 1 > x,貝V x - 1 > lnx ,3. 13x2+x-23x令權(quán)X)賓白辭2，則(X)卅-¥+腫廠3/：躋6 <0( x 1 ,2). x3XsJ(x)在1 , 2上為減函數(shù)，則 11 :|.：min2 F (x )> :恒成立.2即f (x )> f'( x) +