“三線合一”證題精精心總結(jié)

1、等腰三角形巧用“蠱戲令一”證題“三筑合一”赴等腰三角形的一條特殊性質(zhì)，農(nóng)一些幾何題的證題過程中有著/泛的 應(yīng)用。本丈結(jié)合賣例說朗其應(yīng)用，供多考。直棲應(yīng)用"三筑"一”例1.己知，如圖1, AD是的角平分線,，DE、DF分別是和的高。求證：AD垂直平分EF分析：從本題的條件和圖形特征看，欲證AD垂衣平分EF,因?yàn)橛?，所以只要證為等廉三角形即可證朗：又AD垂直平分EF例2.如圖2,中，AB=AC, AD為BC邊上的高，AD的中&為M, CM的延長(zhǎng)筑交AB于點(diǎn)K,求證：分析：可考慮作DE/CK交AB于E,因?yàn)镸旻AD的中點(diǎn)，所以K是AE的中點(diǎn)，只 要證E是BK的中問題可得列

2、解決。由于有，所以就想到用“三筑合一”。證朗：it A D作DE/CK交BK于A E二.丸連線，冉用“三筑合一”,D是BC的中點(diǎn)，P為BC上任例3.如圖3,淮.中，一點(diǎn)，作，垂足分別為E. F求證：()DE=DF； (2)分析：()欲證二統(tǒng)段相等，汆易想到利用全等三角形。觀案DE為戎的一邊.，DF為戎的邊.，但它們都沒有全等的可能。由于D為等腰朮角三角形的底邊BC上的中點(diǎn)，于是我們想到連結(jié)AD 一試，這肘家易發(fā)現(xiàn)戎問題得證。,只要證,故問題解決D是BC的中點(diǎn)(2)欲證但由(1)已證出又證朗：連結(jié)AD。DA平分8邊形PEAF是矩形又又印三.丸構(gòu)凌等腰三角形，冉用“三線合一例4.如圖4,己知5邊開

3、纟ABCD中， 的中點(diǎn)，求證：,M、N分別為AB、CD分析：由于MN與CD冋疫中，又N為CD的中點(diǎn),等腰三角形，由于MD、MC為斜貝,所以，問題家易解決。證朗：連結(jié)DM、CM,M是AB的中點(diǎn)于旻就想列證為AB上的中線，因此是等腰三角形又N旻CD的中點(diǎn)，例5如圖5,中，BC、CF分別平分和于F,求證：EF/BC于E,分析：由BE平分、家易想刊：延長(zhǎng)AE交BCE為AM的中點(diǎn)；同理可得等腹，F(xiàn)是AN的中點(diǎn)，故EF題就能得證。證朗：延長(zhǎng)AE、AF分別交BC于M、N9為等腹三角形即，同理為的中佞筑于M,可得等腰，為的中佞筑，命"、證剛角相等【倒1己知：如國(guó)1, A MBC中，AB=AC, 丄4

4、D于D.求證：ZBAC=2ZDBC.【分析】作出等腰MBC的頂角平分筑將頂角分為相等的 兩部分，根據(jù)“三筑合一”的性填證得ZDBC等于其中任一部 分和可.【衽剛】作ABAC的平分筑AE ,則有 Z1 = Z2 = |ZBAC. : AB=AC, Z1 = Z2, :. AE丄 BC（三線合一丿.Z2 + ZC = 90° .又;BD 丄 4D,ZDBC+ZC = 90° . /.Z2 = ZDBC. :. ZBAC=2ZDBC.A漆加輔助筑，利用等腰三角形的“三線一”性質(zhì)，巧妙地構(gòu)凌了両個(gè)具有 冋一銳角的立角三角形，將己知條件與待證結(jié)論有機(jī)地聯(lián)糸淮.一起.，從而彖易獲得問題

5、的 解決.二、鏈朗錢相普【例2】（2009 丿如圖2, MBC是等邊三角形，D點(diǎn)旻AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC刊E,使CE = CD ,過點(diǎn)D作DM丄BE,垂直為M.求證：BM EMA【分析】A BDE中，DM丄BE、如果能證得 DB = DE，由"三鏡合一 ”就可得出BM = EM .【鏈朗】/ 44BC旻等邊.三角形，D是的AC中點(diǎn)， /. ZABC=ZACB=60° , BD 平分ZABCC三筑 合一丿，ZDBC= 30°.又 CE = CD > AE = ACDE 又:ZACB=ZE+ZCDE, . ZE = *ZACB=30。, ZDBC=ZE = 3Q。

6、、：. DB = DE.又: DM 1BE, ;.BM = EM （三線合一丿.AM能利用“三線合一"證朗統(tǒng)段相等的問題，也可以用全等三角形來解決，但 利用“三筑合一”證朗要比用全等三角形證朗簡(jiǎn)便得多.因此，我們莊解決這類問題肘， 要糾正總旻儂據(jù)三角形全等的思維定勢(shì)，應(yīng)該優(yōu)丸選用“三線合一"來解決.三、證期直筑車直【倒3(2009 義烏丿如國(guó)3,農(nóng)正ZkABC中，AD丄BC于點(diǎn)D,以AD為一邊向右作正ZiADE.請(qǐng)劉斷AC、DE的佞査關(guān)糸，并給出證朗.【分析】A正AABC中，由“三線合一”知 ZC4D=30° .而 ADE也是正三角形，于旻有 ZFAE=ZDAE-

7、ZCAD= 60°-30° = 30° ,這樣就得 AF是正 ADE的角平分線，冉由“三筑合一”得AC丄£>£【鏈期】莊正AABC中，T AD丄BC,. ZCAD=3Q° ('三線j合一丿.農(nóng)正ZkADE 中，.ZFA£'=ZDAEZG4D=60° 30° = 30。，.AF 是ZDAE的 平分線j.4C丄DE (三線1合丿.A<擊題設(shè)中冋肘具備下列兩個(gè)條件時(shí)，就可以利用“三筑合一”來證朗兩條立 筑相互垂苴:(1丿有一個(gè)等腰三角形；(2)兩條直統(tǒng)中有一條是這個(gè)等腰三角形的頂角的

8、平分線或底邊上的中筑所恵的立 線,.例1.等腰三角形頂角為，一胺上的高與底邊所夾的角是，則 與 的關(guān)糸式為a國(guó)1分析：如圖1, AB=AC, BD丄AC于D,作底邊.BC上的爲(wèi)AE, E為垂足，対可知ZEAC= Z EAB，又 Z，所以,ELAABC 外,例2.己知：如圖2, AABC中，AB=AC, CE丄AE于E,求證：ZACE= ZBo圖2分析：欲證ZACE=_ZB,由于AC=AB,因此只需構(gòu)凌一個(gè)與Rt AACE全等的三角形, 即做底邊BC上的高即可。證朗：作AD丄BC于D,tAB=AC,又T,.BD=CE。A. RtAABD 和 RtAACE 中，AB = AC, BD=CE,.Rt

9、AABD竺RtZXACE (HL)。/.ZACE=ZB例3.已知：如國(guó)3,等邊三角形ABC中,D為AC邊的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，CE=CD, DM丄BC于M,求證：M是BE的中點(diǎn)。圖3分析：欲證M是.BE的中點(diǎn)，己知DM丄BC,因此只需證DB = DE,即H /_ DBE= Z E, 根據(jù)等邊AABC, BD是中統(tǒng)，可知ZDBC=30° ,因此只需證ZE=30°。證朗：聯(lián)結(jié)BD,ABC旻等邊.三角形，/.ZABC=ZACB=60otCD=CE,/.ZCDE=ZE=30°tBD是AC邊上中線，BD 平分ZABC,即ZDBC=30°/. Z DBE= Z. Eo.DB = DE又tDM丄BE,.DM旻BE邊上的中線,，印M是BE的中點(diǎn)。練習(xí)J1.如圖4,墻上釘了一根木條，小朗想檢臉這根木條旻否水平，他拿來一個(gè)如圖所示的 測(cè)平儀，淮.這個(gè)測(cè)平儀中，AB=AC, BC邊.的中點(diǎn)D處有一個(gè)重錘，小