【高中數(shù)學(xué)競賽】2018年湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(A)卷試題(及答案)

1、第 1 頁共 7頁【高中數(shù)學(xué)競賽】2018 年湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（A）卷試題參考答案與評(píng)分細(xì)則一、填空題（本題滿分 70 分，每小題 7 分）1已知A B -ai,a2代,當(dāng)A=B時(shí)，（A,B）與（B, A）視為不同的對(duì)，則這樣的（A, B）對(duì)的個(gè)數(shù)有_ 個(gè).解：由集合A, B都是AB的子集，A B且A B =a, a2,as當(dāng)A二時(shí)，B有 1 種取法；當(dāng)A為一元集時(shí)，B有 2 種取法；當(dāng)A為二元集時(shí)，B有 4 種取法；當(dāng)A為三元集時(shí)，B有 7 種取法.故不同的（A, B）對(duì)有1 3 2 3 4 - 7 = 26（個(gè)）.2若不等式x ax -2的解集是 （4, b），則實(shí)數(shù)a=,b=解：方法一

2、：設(shè).x弋且t,則x二t2,t (2, ,b )，則不等式at2-t 230的解集為(2, ,b),所以 2,是方程at2-t一3二22, b =,0的兩根，即a2 Jb解得a二1, b=36.8方法二：設(shè)=x, y2二ax -,由不等式x ax-的解集是2 2（4, b），可得兩函數(shù)y1三x, y2= ax在同一坐標(biāo)系中的圖象.設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為 A, B,則A（4,2）, B（b,，b）所以2二4a3,b二ab -.2 21解得a, b=36.83從-3 -2 -1 0 12 3 4 八個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0的系數(shù)，若二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)

3、，且其頂點(diǎn)在第一象限或第三象限，這樣的二次函數(shù)有_ 個(gè)？解：可將二次函數(shù)分為兩大類：一類頂點(diǎn)在第一象限； 另一類頂點(diǎn)在第三象限，然后由頂點(diǎn) 坐標(biāo)的符號(hào)分別考查.圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，第 2 頁共 7頁 c=0.二次函數(shù)可寫成 f(x)=ax2+bx 的形式.，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-,).4a2a 4a若頂點(diǎn)在第一象限，則有-b0b0 .故 a0 .2a 4a因此，這樣的二次函數(shù)有1 1A3A 亍 12 個(gè).若頂點(diǎn)在第三象限，則有-bo-b0,b0.這樣的二次函數(shù)有 A2= 12 個(gè).2a 4a4由加法原理知，滿足條件的二次函數(shù)共有A13A1+A2=24 個(gè).24已知 n 為正整數(shù)，若n31-1是一個(gè)既約分

4、數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)的值等于 _.n2+ 6n -16解：n+ 宙_10= (n + 5)(n _ 2),而當(dāng) n-2= 1 時(shí)，若(n+8, n+5)=( n+5, 3)=1 , n26n -16 _ (n 8)(1 - 2)2則n 31是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，故當(dāng) n=3 時(shí)，該分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù).n26n -16這個(gè)分?jǐn)?shù)為8.115函數(shù)f (x)二sin x 2 | sin x |,x -0,2的圖象與直線y二k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_.3sin x x乏0叫解f(X)，作出其圖像，可知有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的k的范圍為1 k : 3.-sin x, x (;2 6設(shè)實(shí)數(shù) a , b 滿足不等式

5、| a | -(a b)卜：|a- | a b |,則 a , b 的正、負(fù)符號(hào)分別 為解：由已知得| a | -(a b)2: (a-| a b |)2=a2- 2 |a | .(a b) (a b)2: a2- 2a | a b | (a b)2= a. | a b |：| a | .(a b), 由于| x I王x，因此立得a 0二 一(一a). | a+b | 0 n b -a 0,a為負(fù)數(shù)且b為正數(shù).又 f(x)=a(x+ )22a第 3 頁共 7頁11E(1，0)，F(xiàn)(0, I,)A(1，0，1)，Ci(0,1,1)22T11TEF=(-1,-),AC1=(-1,1,1),2 2/

6、. cos0=EF AC=2I EF | | AC1|石k=_.432解:設(shè)多項(xiàng)式x -18x kx 200 x -1984的四個(gè)根為x1, x2, x3, x4.則由韋達(dá)定理，得乂+X2+X3+X4= 18,X1X2xX3X1X4x2x3X2X4対人 二k ,x1x2x3x1x2x4x3x4x2x3x4- -200,X1X2X3X4- -1984.設(shè) X x2二32,則 X X 二 62,故62以x2) - 32(X3x4) - -200.4故k = X1X2X3X4(X1X2)(X3X4)二86.9._ (|x|+丄2)3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為I x I解: (| X | -丄I X I10

7、._半徑為 R 的球內(nèi)作內(nèi)接圓柱，則內(nèi)接圓柱全面積的最大值是 _解：設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為Rsina,貝 U 高為 2Rcosa,則全面積為7正方體 ABCD-AiBiCiDi中，E 為 AB 中點(diǎn), 余弦值是F 為 CCi中點(diǎn)，異面直線 EF 與 ACi所成角的解：設(shè)正方體棱長為1，以 DA 為 x 軸,DC 為 y 軸，DDi為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則8四次多項(xiàng)式x4-18x3kx2200 x -1984的四個(gè)零點(diǎn)中有兩個(gè)零點(diǎn)的積為-32,則實(shí)數(shù)吐=18,.4X1亠 X2=4,x 皿.X34T4=(一 1)3C；( ,I x I)3(= -20.第 4 頁共 7頁2(Rsin：)22R

8、sin：2Rcos：=2R2(sin2川sin 2:)FR2(1 - cos2 2sin2)FR2(1、5sin(2：-) 二R2(1.5)其中tan*-，等號(hào)成立的條件是2，故最大值為-R2(V、5).2 2第 5 頁共 7頁二、解答題（本題滿分 80 分，每小題 20 分）11.已知拋物線 C1的頂點(diǎn)（2-1,1），焦點(diǎn)（J2-3, 1）,另一拋物線 C2的方程 y2-ay+x+2b = 0,4C1與 C2在一個(gè)交點(diǎn)處它們的切線互相垂直，試證C2必過定點(diǎn)，并求該點(diǎn)的坐標(biāo).解:C 的 p =1，方程（y-1）2= x-（ 2-1），即 y2-2y-x+ 2 = 0.21 設(shè)交點(diǎn)為(xo, y

9、o)，貝yC1的切線方程為 yoy-(y+yo)- -(x+xo)+2= 0.,即同理可得，C2的切線方程為 yoyaWo+yj+tx+xoj+Zbno,2 2即(2yo-a)y+x-ayo+xo+4b = o.5 分由題意知二者垂直，從而可得1 (-1)+2( yo-1)(2 yo-a ) = o,整理得4yo2-2(a+2)yo+2a-1 = o.由 yo2-2yo-xo+ T 2= o 和 yo-ayo+xo+2b= o，相加得:2yo2-(a+2)yo+2b+2= o,- X2 得：2a-1-4b-22 = o,可得 4b = 2a-1-22.1o分代入 C2方程整理即可得：2y2-2

10、ay+2x+2a-1-2 2 = o,即2y2+2x-22-1-2a(y-1) = o,.15 分解得(2-1, 1).2即對(duì)任何滿足的 a、b,點(diǎn)（2-1, 1）在曲線 C2上，即 C2過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 丄 1）.2 2. 2o 分12.如圖，在凸四邊形 ABCD 中，M 為邊 AB 的中點(diǎn)，且 MC=MD .分別過點(diǎn) C、D 作邊 BC、AD 的垂線，設(shè)兩條垂線的交點(diǎn)為 P.過點(diǎn) P 作 PQ 丄 AB 于 Q.求證：/PQC =ZPQD.證明：如圖，聯(lián) 結(jié) PA、PB,分別取 PA、PB 的中點(diǎn) E、F,聯(lián)結(jié) EM、ED、FM、FC.則四邊形 PEMF 為平行四邊形.5 分從而，/ PEM = / PFM.1由 ME= BP=CF,MF=21AP=DE,MD=MC2所以， DEMMFC.10 分即，/ DEM=ZMFC.所以，/ PED = / DEM- / PEM= / MFC- / PFM= / PFC.I)又，/ PED =2 / PAD, / PFC