7化歸與轉(zhuǎn)化的思想

1、第7講 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用一、知識整合1解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題（相對來說，對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”。2化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已

2、知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。3轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。4化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則： （1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決。（2）簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的

3、，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。 （3）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決。（5）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解。二、例題分析例1某廠2001年生產(chǎn)利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同，問全年總利

4、潤m與全年總投入N的大小關(guān)系是 （ ）A. m>N B. m<N C.m=N D.無法確定分析每月的利潤組成一個(gè)等差數(shù)列an，且公差d0，每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列bn，且公比q1。，且，比較與的大小。若直接求和，很難比較出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式bn=a1qn-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列。 在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出aibi 則，即mN。 點(diǎn)評把一個(gè)原本是求和的問題，退化到各項(xiàng)的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在

5、對問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘了問題的內(nèi)涵，通過對問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新。例2如果，三棱錐PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h求證三棱錐PABC的體積分析：如視P為頂點(diǎn)，ABC為底面，則無論是SABC以及高h(yuǎn)都不好求如果觀察圖形，換個(gè)角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境解：如圖，連結(jié)EB，EC，由PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面ECD這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD

6、=SECDAE+SECDPE=SECD PA=BC·ED·PA= 評注：輔助截面ECD的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題迎刃而解例3在的展開式中x的系數(shù)為( )(A)160 (B)240 (C)360 (D)800分析與解：本題要求展開式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式乘法法則及二項(xiàng)展開式定理，因此，就要把對x系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：思路1：直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則和兩個(gè)基本原理求解，則展開式是一個(gè)關(guān)于x的10次多項(xiàng)式， =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展開式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號中的一個(gè)中選取一次

7、項(xiàng)3x并在其余四個(gè)括號中均選 擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到，故為·(3x)··24=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選(B)思路2 利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘冪轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn)行計(jì)算，x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)5中會有x項(xiàng)，即(3x)·24=240x，故選(B)；如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則只 (x2+2) 4

8、83;3x中含有x一次項(xiàng)，即·3x·C44·24=240x；如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有·(x2+3x)·24中會有x項(xiàng)，即240x；如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，=×展開式中的一次項(xiàng)x只能由(1+x)5中的一次項(xiàng)乘以(2+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)5展開式中的一次項(xiàng)乘以(1+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為x·25+24x15=160x+80x=240x，故選(B) 評注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知。例4若不等式對一切均成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：

9、 令，則要使它對均有，只要有 或。點(diǎn)評：在有幾個(gè)變量的問題中，常常有一個(gè)變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解。本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化，使問題變成關(guān)于p的一次不等式，使問題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡單易行。三、總結(jié)提煉1熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典