35導數(shù)的綜合應用導學案

1、3.5導數(shù)的綜合應用導學案課程學習目標1. 能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等 .2. 能利用導數(shù)研究函數(shù)的一些綜合性問題 .課程導學建議重點 : 利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) .難點: 導數(shù)的綜合應用 .第一層級知識記憶與理解知識體系梳理復習導入函數(shù)與導數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，函數(shù)思想貫穿中學數(shù)學全過程 . 導數(shù)作為工具，提 供 了研究函數(shù)性質(zhì)的一般性方法 . 作為“平臺可以把函數(shù)、方程、不等式、圓錐曲線等有機 地聯(lián)系 在一起，在能力立意的命題思想指導下，與導數(shù)相關(guān)的問題己成為高考數(shù)學命題的必考考點之一. 函數(shù)與方程、不等式相結(jié)合是高考熱點與難點 .重點知識問題1 :在某個區(qū)間（a, b）內(nèi)

2、，如果/? ） 0,那么函數(shù)y預x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 如果/3 v 0,那么函數(shù) y=/ （x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 對0 （或v 0）只是函數(shù)/3 ）在該區(qū)間單調(diào)遞增（或遞減）的充分條件，可導函數(shù)冷0在（a, b ）上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件是對任意3）,都有；尸3史0 （或V0 ）且）在（a, 3）的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用此充要條 件可以方便地解決“已知函數(shù)的單調(diào)性，反過來確定函數(shù)解析式中的參數(shù)的值或范圍”問題.問題2:設函數(shù)/3 ）在點Xo附近有定義，如果對 Xo附近所有的點 x,都有7 （ x）v /3o） ，那 么 是函數(shù)的一個極大值，記作如柿頊Xo ）;如果對Xo附

3、近的所有的點都荀那么 / （X o）是函數(shù)的一個極小值，記作丁 "值小 Xo） ,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 . 導數(shù)/。） =0 的點不一定是函數(shù) y 頊 X ）的極值點，如使 r（ x） =O 的點的左、右的導數(shù)值異號，則是極值點，其中左正右負點是極大值點，左負右正點是極小值點 . 極大值未必大于極小值 .問題3:將函數(shù)v頊x）在（a, Z?）內(nèi)的各極值與端點處的函數(shù)值Aa） , / （人）比較，其中最大的一 個是最大值，最小的一個是最小值 .知識鏈接利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法:（ 1 ）分離參數(shù)法:第一步 : 將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題

4、；第二步 : 利用導數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步 : 根據(jù)要求得所求范圍 .（2）函數(shù)思想法:第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的極值（最值）；第三步：構(gòu)建不等式求解.基礎學習交流1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，貝函數(shù) j，=xe"的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. -1, +oo) b.(-go, -1C.l, +oo) D.(-oo, 1【解析】令 y'=e'(l+x)K,又/ >0, Zl+x>0, Zx>-1.故選 A.【答案】A2.已知曲線/（工）=加x在點（xo，人和）處的切線經(jīng)過點（0, -1）,則xo的值為（）

5、.A. B.l C.e D.10【解析】依題意得，題中的切線方程Ay-In x°=（x-xo）.又該切線經(jīng)過點（0, -1）,于是有?1-1 n xo= （ -xo），由此得 xo=O， xo=l，選 B.【答案】B3. 函數(shù)/（ X）的定義域為開區(qū)間（Q,幻，導函數(shù)廣（X ）在（Q,力）內(nèi)的圖像如圖所示， 則函數(shù)心）在開區(qū)間（Q,方）內(nèi)有極小值點個.【解析】注意審題，題目給岀的是導函數(shù)的圖像.先由導函數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，然后列表可判斷函數(shù)極小值點有1個.【答案】14.等比數(shù)列？中，。1 = 1,。2012=4，函數(shù) / （ X） =X （ X21） （X ? Q2 ） .

6、 （ X? Q2O12 ），求函數(shù)冷 0 在點（0, 0）處的切線方程.解析】.（X-a2012） +X' （X-a2）（X-a3）. （X-Q2O12 ） +X （X-Q1 ）（ X23 ） . . （ X-Q2O12 ） + . . . +x （x-ai）（x-a2 ） .（x-a2 oil），?：/"（°） = （ -。1） ? （ -。2）. （22012）= （。1。2012）1 006 = 22°12,，:切線方程Ay=2 2012x.第二層級思維探究與創(chuàng)新重點難點探究探究一已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題若函數(shù)在0, 2內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)

7、 a的取值范圍.【方法指導】先求岀導函數(shù)，再利用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解【解析】NOn axLZax nxGx-Za),當a=OBt, f(x)>Q,故,=/(x)在(-8, +oo)上單調(diào)遞增，與,=/(x)在0, 2內(nèi)單調(diào)遞減不符，舍去；當a<0時，由/3V0得aSrVO,即人對的減區(qū)間為a, 0，與 y=/(x)在0, 2 內(nèi)單調(diào)遞減不 符，舍去；當a>0時，由/Xx)VO得OSvVa,艮航x)的減區(qū)間為0, a,由,=/(x)在0, 2 內(nèi)單調(diào)遞 減得 a >2,即 aN3.綜上，可知a的取值范圍是3, +8).【小結(jié)】已知 Ax)在區(qū)間(a, b)上的單調(diào)性，求

8、參數(shù)范圍的方法：(1) 利用集合的包含關(guān)系處理用)在(a, b)上單調(diào)，則區(qū)間(a, b)是相應單調(diào)區(qū)間的子集；(2) 利用不等式的恒成立處理；Ax)在(a, b)上單調(diào)，貝此3)20或八炬0在色3)內(nèi)恒成立，注意驗證等號是否成立.探究二利用極值判斷方程根的個數(shù)已知函數(shù) /(X) =x3-x2-x.求/(X)的極值；(2) 畫岀它的大致圖像；(3) 指岀N頊x)零點的個數(shù)【方法指導】先求岀/3)的極值，再根據(jù)極值及/3)的單調(diào)性畫岀北)的草圖.【解析】(1)由已知得f(x)=3x2-2x-l,令f(x)=O,解得Xl=-, X2=l.來源：學并科堆網(wǎng)I當X變化時，/V)、頂對的變化情況如下表:

9、X(-8,-)-(-,1)加+0加/極大 值1 (1, +00)0 +極小值所以/(x)的極大值是/(-)=,極小值是穴1)=-1.當 x 一 - CO 時，/(%) >-co ；當 X >+00 時，./(X) 一 +8.令您)=。得X=O或，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及極值可畫岀./(X)的大致圖像，如圖 由圖像可知函數(shù)/&)圖像與x軸有3個交點,即y=/(x)有3個零點.【小結(jié)】先求岀函數(shù)的極值點和極值，從而把握函數(shù)在定義域上各個區(qū)間的單調(diào)性和在極值點處的函數(shù)值及一8時，7(x)的變化趨勢，據(jù)此可畫岀函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像，利用必修一中的零點定理，確定方程實數(shù)(函數(shù)零點)的個

10、數(shù)，這是導數(shù)的一個重要應用.探究三對導數(shù)的綜合考查已知函數(shù)/3)=/+2義"X.(1)若函數(shù)/(x)的圖像在(2,人2)處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值;求函數(shù)/&)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù)g(x)=+/(x)在1,2 上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【方法指導】本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、恒成立問題.【解析】(1城(x)=2x+ =,由已知廣(2)=1,解得a=-3.函數(shù)為對的定義域為(0，+8).當aNO時，/(%)>0,因此/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+?>)，這時函數(shù)無極值;當 a<( W(x)=.當x變化時，/(

11、x),小)的變化情況如下：X(0,)(,+OO)加-0+?極小值7因此函數(shù)/&)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,),單調(diào)遞增區(qū)間是(，+OO).當乂 =時，函數(shù)有極小值/()=-a+2 汕. 由 g(x)=+x °2aln x 得 g '(x) =-+2x +,因函數(shù)g(x)為1, 2 上的單調(diào)減函數(shù)，則g， (x)VO在1,2上恒成立，即-+2X+V0在1,2上恒成立，即 aV-x2在1, 2上恒成立.2令 h(x)=-x , 貝 lj/z '(x)= 2x=-(+2x)< 0 在 1, 2上恒成立，所以Z/(x)在1, 2 為減函數(shù)，故方“血=力(2)=-,所

12、以好-.易知當 a=- 時也滿足題意，故實數(shù) a 的取值范圍為 aV-.【小結(jié)】本題容易出現(xiàn)以下失誤 : 伽過第問的條件“函數(shù) /(x) 的圖像在 (2, 人 2)處的切 線 斜率為 1”求出的 a 值，有的同學錯誤地將其作為第 (2) 問的條件；紉于 (2)得到的不等式不 能正確 地進行討論；物于 (3)的恒成立問題，意識不到將其分離參數(shù)，致使處理起來比較繁瑣 .思維拓展應用應用一若函數(shù) )=- 京+( 婦#+1 在區(qū)間 (1, 4)上為減函數(shù)，在區(qū)間 (6, +8) 上為增函數(shù)，試求 實數(shù) a 的取值范圍 .【解析】函數(shù)/&)的導Af(x)=x-ax+a-.令 f(x)=0, 解得

13、工 =1 或乂 =口 -1.當 a-l<l, 即 aV2 時，函數(shù) /&) 在 (1, +oo) 上為增函數(shù)，不合題意；當 a-l>l, 即 la>2 時，函數(shù) /(x) 在(-8,1)上為增函數(shù)，在(1, a-1) 內(nèi)為減函數(shù)，在 (a-1, +co) 上為增函數(shù) .依題意應當x£(l, 4)時，/(%)<0 ；當 %e(6, +co) 時， /*(.x)>0.所以 4<a-l<6, BP5<a<7.所以a的取值范圍是5, 7,應用二已知函 Af(x)=x +bx+c(a, b, cWR).(1) 若函數(shù)/&)在

14、x=-l和x=3處取得極值，試求 a,方的值；(2) 在的條件下，外)與x軸有3個交點，求c的取值范圍.【解析】 (1 )f(x)=3x 2-2ax+b,:' 函數(shù) /(x) 在 x=-l 和 x=3 處取得極值，1.：-1, 3 是方程 3x -2ax+b=0 的兩根，/(X)、迷對的變化情況如下表由(1)知 Q)=x3-3x2-9x + c,/(x)=3x2-6x-9,當 X 變化時,x (-co, -1)3)-1 (? 1,(3,+oo)極大Ax)7極小值/值而/(-l)=c+5，伯)=c-27,根據(jù)題意有 c+5>0且C.27V0,.:c的取值范圍為-5<c<

15、27.應用三已知函數(shù)/(x)=qx-加x, xC(O, e , g(x)=,其中e是自然常數(shù)，qwr當。=1時，求/(x)的極值，并證明/(x)>g(x)+恒成立.(2)是否存在實數(shù)。，使/(')的最小值為3?若存在，求岀。的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)當。=1時，fix)=x-ln x,.如)=1-=.?:當Ovxvl時，/(%)<0,此時/3)單調(diào)遞減；當1 vxa時，/(x)>0,此時/(x)單調(diào)遞增.?:外)的極小值為/(1)=1.:川)在(0, e 上的最小值為1.令/2(x)=g(x)+=+,貝肪。)=,當OVvVg時，/f(x)>0,貝

16、！ J/z(x)在(0, e上單調(diào)遞增，.:h(x)max=h(e) =+v+=1 =fix) min.:/3)>g(x)+ 恒成立.假設存在實數(shù) a, Af(x)=ax-lnx(x(0, e)有最小值3.Vf(x)=a-=.GQoWO時，人x)在(0, e 上單調(diào)遞減，=Je) =ae-l =3,?:。=(舍去)，.:當oWO時，不存在實數(shù)。使北)的最小值為3.醫(yī)當Owe,即q>時，/(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(，e 上單調(diào)遞增，？頂對叩？頊)=1 +力廿。2=3, /.a=e ,滿足條件.雀當注，即 ovqw 時，/(X)在(° e 上 單調(diào)遞減，f(x)mi n

17、 =/(e) =ae-1 =3, ?:=(舍去)，?:當之e時，不存在實數(shù)。使/(x)的最小值為3.綜上，存在實數(shù)。=/,使得當xW(0,曰時，人x)有最小值3.第三層級技能應用與拓展基礎智能檢測1. 函數(shù) /3) 的定義域 為(。，+°°)，且 /3)>o, /V)>o ，則函數(shù)尸刃 3)( ).A.存在極大值 B.存在極小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)【解析】： 1 ，預 x) +xf(x),而函數(shù) /(x) 的定義域為 (0, +。且 /(x)>0, /(x)>0,.-.y'>0 在(0, +8) 上恒成立 .因此， =偵對在 (0

18、， +8) 上是增函數(shù) .【答案】 c2. 函數(shù)， =.b+ 在(0, +8) 上的最小值為 ().A.4B.5C.3D.1【解析】#=3(_，令"=o,即疽_=0,解得工=± 1.由于>0,所以乂 =1.在(0, +8)上,由于 只有一個極小值，所以它也是最小值，從而函數(shù)在 (0, +8) 上的最小值為 F+=4.【答案】 A3. 已知函Afx)=aln x+x 在區(qū)間2, 3上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是【解析】 :J(x)=abi x+x, .'.f(x)= + l,又： 7(x) 在 2, 3上單調(diào)遞增，.：+1>0 在 xE2, 3上恒成立，

19、Za>(-x), A-=-2, ZaE -2, +oo).【答案】 -2, +8)4. 已知幕函數(shù) /(x)=("zeZ) 為偶函數(shù)，且在區(qū)間 (0, +co) 上是單調(diào)增函數(shù) .(1) 求函數(shù) Ax) 的解析式；(2) 設函=f(x)+ax +x 2-b(x G7?),其中a, b R.若函數(shù)g(x)僅在x=0處有極值，求 a的取值范圍 .【解析】 ( 1) 在區(qū)間 (0, +8) 上是單調(diào)增函數(shù)，.'.-m 2+2m+3>0即 m2-2m-3<0,. ： -1 v 秫 v3. 又秫仁 Z,.: 秫 =0, 1, 2,而 m=0, 2 時， )= 乂 3

20、不是偶函數(shù)， =1 時， f<x)=x 是偶函數(shù)，.fx)=x.43,2(2)g(x)=x 4+ax3 +x -b, g ,(x)=x(x 2 +3ax+9),顯然 x=0 不是方程 /+3ax+9=0 的根 .為使 g(x) 僅在 x=0 處有極值，則有 x2+3ar+9>0 恒成立，即有=9疽-36A0,解不等式，得 K : -2, 2 ,這時，g(0)=%是唯一極值，.：亦-2, 2,全新視角拓展(2013年？新課標卷)已知函Afx)=x +ax +bx+c,下列結(jié)論中錯誤的是 ().A. 存在 xcAR, /(Ao)=OB. 函數(shù)j，=/(x)的圖像是中心對稱圖形C. 若x

21、o是/(x)的極小值點，貝！I./&)在區(qū)間(-co, xo)單調(diào)遞減D. 若xo是/的極值點，貝此(xo)=O【解析】f(x)=3x +2ax+b,若心是/(x)的極小值點，貝偵x)必有兩個極值點，不妨設另一個極值點為為，則/(x)在(-8, X1)上單調(diào)遞增，在(xi，xo)上單調(diào)遞減.【答案】C第四層級總結(jié)評價與反思思維導圖構(gòu)建巴抑睛俯單弼性求魯戯的敢何粗醫(yī)同亜片栽的塚合應出利用擬恒判齢亦裡祗的牛敷時$數(shù)的ifi件考疊學習體驗分享固學案基礎達標檢測1. 函數(shù)， 4+4的圖像(如圖)為().【解析】當"=/-4=0時,x=±2.當xE(-co, -2)和(2,

22、+oo)時，*單調(diào)遞增;當x6(-2, 2)時，V單調(diào) 遞減.當x=2時，當=-；x=-2時，y=.【答案】A2. 若函數(shù)/(x)=g : +在區(qū)間,1單調(diào)遞增，則秫的取值范圍為().A. -, +co)B. , +oo)C. -2, +oo) D. 2, +oo)【解析】f(x)=m+>0在,1 上恒成立，即論-在,1 上恒成立，故論【答案】A3. 函數(shù)j, =/(x)定義在區(qū)間(-3, 7)上，其導函數(shù)如圖所示，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-3, 7)上極小值的個數(shù)是【解析】A、。、B、C、E這5個點是函數(shù)的極值點，觀察這5個極值點左、右導數(shù)的正、 負，可知。點、C點是極小值點，故在區(qū)

23、間(-3, 7)上函數(shù)y=/(x)的極小值個數(shù)是 2.【答案】24. 討論三次方程x3-9x-a=0解的個數(shù)，其中a為常數(shù).【解析】設方程對應的函數(shù)傾x)=Q9x-a,則r(x)=3U9,令f(x)=O，則x= 士，即函數(shù) 有兩個極值點為XI =，乂 2=-.(WOA-)<0>對應方程有三個解，解得-6<a<6 ;逝粉0/(-)=0，對應方程有兩個解，解得a=-6或a=6 ;啊OX-)>0,對應方程有一個解，解得a>6或a<-6.綜上，當-6<a<6時，方程有三個解；當 a=-6或a=6時，方程有兩個解；當 a>6或a<-6時,

24、 方程有一個解.基本技能檢測5. 已知 x>0, _y>0, x+3v=9,則 x%,的最大值為().A. 36B.18C.25D.42【解析】由 x+3 ，=9 得)，=(9-x)由 A->0, y>0,得 0<x<9.Sx 2v=x 2(3-x)=-x3+3x2,設穴對=-疽+ 3疽，Zy(x)=-x +6x令 f(x)=0, 得 x=0 或 x=6,而 /( 。 )= 。， y( 6)=- x63+3 X62=36,.#9)=- X93+3 X92=0.故最大值為 36.【答案】 A6. 函數(shù)/(x)的定義域是 R, /(0)=2,對任意xER, /(

25、x)4/(x)>l,則不等式e'f(x)>e +1的解 集為 ( ).A. (x|x>0 B. (x|x<0)C. 小 v.l 或 x>l D.xx<-1 或 OBI【解析】構(gòu)造函數(shù) g(x)=e*y (x)-e',因為 8。 )= 。頊工 )+ 。 ' 手 ( 、 )*=e /(x) +f(x) -e x>ex-e x=O,所以g(x)=e xAx)-e xAjR ±的增函數(shù)又因為 8(0)= 。頂 0)-。°=1,所以原不等式轉(zhuǎn)化為 g(x)>g(O) ，解得 x>0.【答案】 A7. 方程

26、- 加 x? 2=0 的根的個數(shù)為【解析】設 /3)=-初 x-2, 貝此 (x)=-, 4/(x)=O, 得 x=4, 當 0vn4 時， /(x)<0 ；當 x>4 時， /V)>0 . 故 x=4 是北 ) 的唯一極小值點，且 /(4)v0, 又：注一 2)>0, 為 4)=*.6>0, . 頂 x) 在(/,4), (4, 4)°上各有一個零點，故對應方程有 2個根.來源:Z。xxo k.Com:【答案】 28. 已知函數(shù) /(X)=/+ QX -1.求證 : 當 x>0 且。 >-1 時，【解析】令 h(x)=e-+2tzx(x&g

27、t;0),貝 Ahr(x)=e x+2af因為 e +2a>2+2a=2+2af 當且僅當 x=0 時等號成立 .又">-1, 所以 hf (x)=e +2?>0, 所以 h(x)=e x-+2ax 在區(qū)間 0, +8) 上是增函數(shù)，又人 (0)=0. 故 當 x>0 時，h(x)=e x-ex+2ax>Q,即 e +ax>ex-ax,即當 x>0 且。>-1 時，/(') 小-工).技能拓展訓練9. 函數(shù) /(")= 履? 3 工+1 對于 xc-i, 1 總有 73)次) 成立，貝此 =【解析】若 x=0, 則不論。取何值，顯然成立；當 x>0, 艮 PxA(O, 1 時， fAx)=ax -3x+>Q 可化