27屆復(fù)賽及答案

1、第27屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷題號-一一-二二三四五六七八九總分得分閱卷復(fù)核本卷共九題，滿分 160分。計算題的解答應(yīng)寫岀必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟。只寫岀最后結(jié)果的不能得分。有數(shù)字計算的題，答案中必須明確寫岀數(shù)值和單位。把填空題答案填在題中的橫線上，只要給出結(jié)果，不需寫出求解的過程。一、（15分）蛇形擺是一個用于演示單擺周期與擺長關(guān)系的實驗儀器（見圖）。若干個擺球位 于同一高度并等間距地排成一條直線，它們的懸掛點在不同的高度上，擺長依次減小。設(shè)重力 加速度 g = 9.8m/s2。1. 試設(shè)計一個包含十個單擺的蛇形擺（即求出每個擺的擺長），要求滿足：（a）每個擺的擺長不小于0

2、.450m，不大于1.000m :（ b）初始時將所有擺球由平衡 點沿x軸正方向移動相同的一個小位 移X0 （X0 0.450m ）然后同時釋放，經(jīng) 過40s后，所有的擺能夠同時回到初始狀 態(tài)。2. 在上述情形中，從所有的擺球開始擺動起，到它們的速度首次全部為零所經(jīng)過的時間為O二、（20分）距離我們?yōu)?L處有一恒星，其質(zhì)量為M,觀測發(fā)現(xiàn)其位置呈周期性擺動，周期為T,擺動范圍的最大張角為假設(shè)該星體的周期性擺動是由于有一顆圍繞它作周期運動的行星引起的，試給岀這顆行星的質(zhì)量刃所滿足的方程。若L = 10光年,7 = 10年， & = 3毫角秒，必=胚（陸為太陽質(zhì)量），則此行星的質(zhì)量和它運動的

3、軌道半徑尸各為多少？分別用太陽質(zhì)量Ms和國際單位 AU （平均日地距離）作為單位，只保留一位有效數(shù)字。已知1毫角秒=一角秒，10001AU = 1.5x10 映刃，光速 c = 3.0x10 5km/s o三、（22分）如圖，一質(zhì)量均勻分布的剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m ,半徑為R,螺距H = TIR ,可繞豎直的對稱軸00'無摩擦地轉(zhuǎn)動，連接螺旋環(huán)與轉(zhuǎn)軸的兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計。一質(zhì)量也為刃的小球穿在螺旋環(huán) 上并可沿螺旋環(huán)無摩擦地滑動。首先扶住小球使其靜止于螺旋環(huán)上的 某一點A,這時螺旋環(huán)也處于靜止狀態(tài)。然后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸00'轉(zhuǎn)動。求當小球下滑到離其初

4、始位置o'沿豎直方向的距離為力時，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度和小球?qū)Νh(huán)作用力的大小。四、（12分）如圖所示，一質(zhì)量為加、電荷量為q （q0）的粒子 做角速度為、半徑為 R的勻速圓周運動。一長直細導(dǎo)線位于圓周所在的平面內(nèi)，離圓心的距離為d（d>R ），在導(dǎo)線上通有 隨時間變化的電流 z= i = 0時刻，粒子速度的方 向與導(dǎo)線平行，離導(dǎo)線的距離為 d + R o若粒子做圓周運動的向心力等于電 流7的磁場對粒子的作用力，試求出電流7隨時間的變化規(guī)律。不考慮變化的磁場產(chǎn)生的感生電場及重力的影響。長直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度表示式中的比例系數(shù)幺已知。五、（20分）如圖所示，兩個固定的均勻帶

5、電球面，所帶電荷量分 別為Q和-Q（ Q>0），半徑分別為 R和R/2,小球面與大球面內(nèi) 切于C點，兩球面球心 O和0'的連線 MN沿豎直方向。在 MN與兩球面 的交點B、O和C處各開有足夠小的孔，因小孔損失的電荷量忽略不計。有一質(zhì)量為刃，帶電荷量為q （g0）的質(zhì)點自MN線上離B點距離為R的A點豎直上拋。設(shè)靜電力常量為k，重力加速度為g。1. 要使質(zhì)點為從 A點上拋后能夠到達 B點，所需的最小初動能為多少？2. 要使質(zhì)點從A點上拋后能夠到達 O點，在不同條件下所需的M¥it最小初動能各為多少？六、（20分）由單位長度電阻為尸的導(dǎo)線組成如圖所示的正方形網(wǎng)絡(luò)系列"

6、;=1時，正方形網(wǎng)絡(luò)邊長為L ； " = 2時，小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長為0/3 ；n = 3時，最小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長=13時.備網(wǎng)絡(luò)FA itLLAB兩點間的電阻分別為多Lr1 HrLi rL "1 r七、（15分）地球上的能量從源頭上說來自太陽輻射。到達地面的太陽輻射（假定不計大氣對 太陽輻射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收。被吸收的部分最終 換成為地球熱輻射（紅外波段的電磁波）。熱輻射在向外傳播過程中，其中一部分會被溫室面的溫度處處相同，且氣體反射回地面，地球以此方式保持了總能量平衡。作為一個簡單的理想模型，假定地球表太陽和地球的輻射都遵從斯忒蕃-玻爾

7、茲曼定律：單位面積的輻射功率J與表面的熱力學(xué)溫度 T的四次方成正比,即J = aT4，其中b是一個常量。已知太陽表面溫度7； =5.78x10 3太陽半徑Rs= 6.96x10 skm，地球到太陽的平均距離d = 1.50x0 skm.假設(shè)溫室氣體在大氣層中集中形成一個均勻的薄層，并設(shè)它對熱輻射能量的反射率為0 = 0.38。1. 如果地球表面對太陽輻射的平均反射率a = 0.30,試問考慮了溫室氣體對熱輻射的反射作用后，地球表面的溫度是多少？a】 =0.85 ,其余部分2. 如果地球表面一部分被冰雪覆蓋，覆蓋部分對太陽輻射的反射率為的反射率為？ 2 = 0.25。問冰雪覆蓋面占總面積多少時地

8、球表面溫度為273K。八、（20分）正午時太陽的入射光與水平面的夾角& = 45°。有一座房子朝南的墻上有一個直徑 W = 10cm的圓窗，窗口中心 距 地面的高度為 H。試設(shè)計一套采光裝置，使得正午時刻太陽光能進入窗口，并要求進入的光為充滿窗口、垂直墻面、且光強是進入采光裝置前 2倍的平行光。可供選用的光學(xué)器件如下：一個平面鏡，兩個凸透鏡，兩個凹透鏡；平面鏡的反射率為80%,透鏡的透射率為 70%,忽略透鏡表面對光的反射。位置及該裝置的光路要求從這些器件中選用最少的器件組成采光裝置。試畫出你所設(shè)計的采光裝置中所選器件的 圖，并求出所選器件的最小尺寸和透鏡焦距應(yīng)滿足的條件。九

9、、（16分）已知粒子1和粒子2的靜止質(zhì)量都是加° ,粒子 1靜止，粒子2以速度V。與粒子1發(fā)生彈性碰撞。1. 若碰撞是斜碰，考慮相對論效應(yīng)。試論證：碰后兩粒子速度方向的夾角是銳角、直角還是鈍角。若不考慮相對論效應(yīng)結(jié)果又如何？2. 若碰撞是正碰，考慮相對論效應(yīng)，試求碰后兩粒子的速度。2010年第27屆全國物理競賽復(fù)賽試題答案、參考解答:1.以右表示第i個單擺的擺長，由條件(b)可知每個擺的周期必須是40s的整數(shù)分之 一，即r =2TT p = (Ni為正整數(shù))Yg N、(1).由(1)可得，各單擺的擺長(1)式以及下面的有關(guān)各式都是在采用題給單位條件下的數(shù)值關(guān)系400g7T2v(3 )

10、依題意，0.450m M A Ml.OOOm,山此可得二料(i = i, 1 +i 孑1? 2,20 < A <29因此，第i個擺的擺(5)i12345678910厶/ m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.4722 20s評分標準：木題 15分.第1小問11分.(2)式4分，(4)式4分，10個擺長共3分.第2小問4分. 參考解答：設(shè)該恒星中心到恒星一行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離為，根據(jù)題意有丄A3d 2將有關(guān)數(shù)據(jù)代入(1)式，得J = 5x10'3AU.又根據(jù)質(zhì)心的定義有?根據(jù)萬有引力定律式中r為行星繞恒星做圓周運動的軌道

11、半徑，即行星與恒星之間的距離由(2)、(3)兩式得若考生用r表示行星到恒星一行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離，從而把Mm(尸+貝恫樣可得到(4)式，這也是正確的利用(1)式，可得(5)式就是行星質(zhì)量加所滿足的方程可以把(5)試改寫成下面的形式(2)式寫為r ,處，把(3)式寫mm(如)3 7i2(1 + M 伽2GT2(m/M) 3_ (ZAA) 3 ji2(1 + m/Af) 2 - 2GMT2因地球繞太陽作圓周運動，根據(jù)萬有引力定律可得(1AU) 3 _ GMJ(ly)2 _ 4 丁注意到M =由(6)和(7)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得-A4 = 8.6x10-(1 +加/胚)(8)由(8)式可知m ? 1Ms

12、w ? 1 x 10-3Ms由近似計算可得(9)由于刃/M小于1/1000,可近似使用開普勒第三定律，即r3 (1AU) 3ta= (iy)2(10)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得r ? 5 AU(11)評分標準：本題 20分.(1)式2分，(2)式3分，(3)式4分，(5)式3分，(9)式4分，(11)式4分.7?的(1 )rh1it圖三、參考解答解法一傾角為&的直角三角形薄片（如圖 1所示）緊貼于半徑為圓柱面，圓柱面的軸線與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平于題中的螺線環(huán)根據(jù)題意2TI行，若把此三角形薄片卷繞在柱面上,R則三角形薄片的斜邊就相當可得設(shè)在所考察的時刻，螺旋環(huán)繞其轉(zhuǎn)軸的角速度為血，則

13、環(huán)上每一質(zhì)量為A%的小質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動線速度的大小都相同，用況表示,該小質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動量厶=5代co整個螺旋環(huán)對轉(zhuǎn)軸的角動量L =A£j =，刃：護 6? = mR" co螺速度為小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在水平面內(nèi)的圓周運動和沿豎直方向的直線運動的合成？在旋環(huán)的角速度為。時，設(shè)小球相對螺旋環(huán)的速度為0，則小球在水平面內(nèi)作圓周運動的vp = v'cosO a) R(5)沿豎直方向的速度(6)對由小球和螺旋環(huán)組成的系繞，外力對轉(zhuǎn)軸的力矩為(7)山(4)、(5)、(7)二式得(8)在小球沿螺旋環(huán)運動的過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，0 丄=o'si n 00,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸

14、的角動量守恒，故0 = mvpR - Lv'cos 0 -a>R = a>R山(3)、(5)、(6)、(9)四式得2gh = (v'cos3 一 a>R)2 + v'sin 23 + CD2R(10)解(8)、(10)二式,并利用(2)式得(12)由(6)、(12)以及(2)式得(13)2-17或有(14)(14)式表明，小球在豎直方向的運動是勻加速直線運動，其加速度(15)若小球自靜止開始運動到所考察時刻經(jīng)歷時間為t,則有h = a 11 一2丄(16)由(11)和(16)式得a) = t3R(17)(17)式表明，螺旋環(huán)的運動是勻加速轉(zhuǎn)動，其角加速

15、度(18)El小球?qū)β菪h(huán)的作用力有：小球?qū)β菪h(huán)的正壓力，在圖1所示的薄片平面內(nèi)方向垂直于薄片的斜邊；螺旋環(huán)迫使小球在水平面內(nèi)作圓周運動的向心力N ;的反作用力他.向心力N ;在水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸C,如圖2所示.皿、N?兩力中只有N對螺旋環(huán)的轉(zhuǎn)軸有力矩，由角動量定理有Nisi nO RAt = AL由(4)、(18)式并注意到鈴“得小球?qū)β菪h(huán)的作用力評分標準：本題 22分.mg（21）1 ）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式給6分，（20）式5分，（22）式4分,由以上有關(guān)各式解法二一傾角為0的直角三角形薄片（如圖1所示）緊貼于半徑為7?的 圓 柱面，圓柱面的

16、軸線與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，若把此三角形薄片卷繞在柱面上，則三角形薄片的斜邊就相當于題中的螺線環(huán).根據(jù)題意有tanA = a- = -（1）2nR 2可得螺旋環(huán)繞其對稱軸無摩擦地轉(zhuǎn)動時，環(huán)上每點線速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移動的速度.小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在豎直方向的直線運動和在水平面內(nèi)的圓周運動的合成.在考察圓周運動的速率時可以把圓周運動看做沿水平方向的直線運動，結(jié)果小球的運動等價于小球沿直角三角形斜邊的運動.小球自靜止開始沿螺旋環(huán)運動到在豎直方向離初始位置的距離為力的位置時，設(shè)小球相對薄片斜邊的速度為0 '，沿薄片斜邊的加速度為a'

17、.薄片相對地面向左移動的速度為“，向左移動的加速度為a°. u就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的線速度，若此時螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為e,則有u = a ) R而ao就是螺旋壞上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的切向加速度，若此時螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動的角加速度為0 ,則有ao = (3R(4)小球位于斜面上的受力情況如圖2所示：重力加g,方向豎直向下，斜面的支持力 N,方向與斜面垂直，以薄片為參考系時的慣性力一r,方向水平向右，其大小f = ma q(5)山牛頓定律有mgcosd N /* sin 0 = 0解(5)、(6)、(7)、(8)四式得mgsin3 + /* cos 0 = ma'(7)Nsi

18、n0 = ma。(8)2sin0l +(9sin?瀘)cos 31 + mgsin 2 0(10)sin& cos &6/0 = l + sinA g利用式可得,V5"二T?(12)(13)(14)由(4)式和 ( 14)式，可得螺旋環(huán)的角加速度(15)若小球自靜止開始運動到所考察時刻經(jīng)歷時間為 t, 則此時螺旋環(huán)的角速度G) = 0t (16)因小球沿螺旋環(huán)的運動可視為在水平面內(nèi)的圓周運動和沿豎直方向的直線運動的合成，而小 球沿豎直方向的加速度°丄 =°； = a'sin0 (17)故有,_ 1 2 rl Cl 112丄(18)由( 15

19、)、( 16)、( 17)、 ( 18)、以及 (2)式得3(19)小球在水平面內(nèi)作圓周運動的向心力由螺旋環(huán)提供，向心力位于水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸， 故向心力與圖 2 中的紙面垂直，亦即與 N 垂直 . 向心力的大小VyN, = m 1 R(20)內(nèi)的分式中u是小球相對地面的速度在水平面內(nèi)的分量.若a為小球相對地面的加速度在水平面量，則有(21)令a為a'在水平面內(nèi)的分量，有小2球作用于螺旋環(huán)的力的山以上有關(guān)各式由（13 ）、（ 23）和（1 ）、（ 2）式共 3評分標準：本題22（12）式 1 分，（10）或（13）式 5 分, 分，（25）式2分.(24)(23 )（25）（11

20、）或（14）式 1 分，（19）式 6 分，（23）式 4以。表示粒子的速率，以B表示電流7產(chǎn)生磁場的磁感應(yīng)強度，根據(jù)題意粒子作圓周運動的向心力為粒子受到的磁場洛侖茲力，因此有四、參考解答:IfuqvB = m Rv = coR由（1）、（2）兩式得mcoD q如圖建立坐標系，則粒子在時刻/的位置(3 )兀(/) = R cos cot尹(/) = R sin cot取電流的正方向與尹軸的正向一致，設(shè)時刻f長直導(dǎo)線上的電流為迫 ），它產(chǎn)生的磁場在粒子所在處磁感應(yīng)強度大小為d + x(Z)（5）方向垂直圓周所在的平面.由（4）、（5）式，可得./、 丫 mco , 7 _it) k (u + R

21、 cos cot) q評分標準：本題 12分.式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分.五、參考解答1.質(zhì)點在A T B應(yīng)作減速運動（參看圖 1）.設(shè)質(zhì)點在/點的最小初動能為以。，貝肪根據(jù)能量守恒，可得質(zhì)點剛好能到達 B點山此可kqQ kqQR 3R/2+ mgR = E +kqQ kqQ2R57?/2(1 )2.質(zhì)點在B T O=mgR+7 kqQ307的運動有三種可能情(2 )i.質(zhì)點在B TO作加速運動（參看圖1）,對應(yīng)條9R2（3此時只要質(zhì)點能過B點，也必然能到達O點，因此質(zhì)點能到達O小初動能由（2）式給TkqQ30R（4）若（3）式中取等號，則最小初動能應(yīng)比（4）式給出的Eq

22、i N圖1Eko =2 rngR-Aii.質(zhì)點在B O作減速運動（參看圖1）,對應(yīng)條4kqQ（5此時質(zhì)點剛好能到達O點的條穿箸昨）譏+穿般由此可iii.質(zhì)點在B O之間存在一平衡點D （參看圖 運動，在D O質(zhì)點作加速運動，對應(yīng)警V颶V警9R2R2T MI設(shè)。到O點的距離為X,mgkqQ(A/2 ) +根據(jù)能量守恒，質(zhì)點剛好能到達。X點的條件為)+ mg(2R- x)AE +kqQ kqQ2R 5R10)(11)山（10）、（ 11）兩式可得質(zhì)點能到達D點的最小初動能為Eg(12)12)式只要質(zhì)點能過 D點也必然能到達 O點，所以，質(zhì)點能到達O點的最小初動能也就是（嚴格講應(yīng)比（12）式給岀的E

23、g略大一點？）評分標準：本題 20分.第1小問5分.求得（2）式給5分.5分；算第2小問15分.算岀第i種情況下的初動能給 2分；算岀第ii種情況下的初動能給A. B間的電阻間的電阻 =3時，A. B間等效電路如圖 3所示,A. B間的電阻*-rL-rL-rL 9-ILRy rL 9r-M:-rL9-rL9-rL911(33R.= + - + 3 + 3 + - + 2 r £ + -7? ?-rL-rL 9 -rL9 vrEZZh,_, r3-rL9d h-rL9由(3)、(4)式得Rq =】rL39rL9-rL9(1)式4分，(3)式6分，(5)式10分.七、參考解答：1 .根據(jù)

24、題意，太陽輻射的總功率毘=4鳳規(guī)太陽輻射各向同性地向外傳播.設(shè)地球半徑為怎，可以認為地球所在處的太陽輻射是均勻的，故地球接收太陽輻射的總功率六、參考解答：力=1時,4、E間等效電路如圖1所示，時，A. B間等效電路如圖 2所示，A.由(1)、(2)兩式得地？江(5)評分標準：本題 20分.考慮到溫室氣體向地球表面釋放的熱輻射，則輸入地球表面的總功率為熱平衡時，輸入的能量與輸出的能量相等，有卩+ 阻.當達到P + 0P E = aP、+P e由以上各式得代入數(shù)值，有Te= 287K(5)2.當?shù)厍虮砻嬉徊糠直槐└采w后，以a'表示地球表面對太陽輻射的平均反射率，根據(jù)題意這時地球表面的平均

25、溫度為舉=273K.利用(4)式，可求得a'= 0.43設(shè)冰雪覆蓋的地表面積與總面積之比為，則a'=兀 + 62 (1 - x)由（6 ）、（ 7）兩式并代入數(shù)據(jù)得(7 )x = 30%（8）評分標準：木題 15分.第1小問11分.（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，（4）式2分，（5）式1分.第2小問4分.（6）式2分，（8）式2分.八、參考解答：方案一：采光裝置由平面鏡 M和兩個 凸透鏡Li、L2組成.透鏡組置于平面鏡 M后 面，裝置中各元件的相對方位及光路圖 如 圖1所示.Li、L?的直徑分別用 Di、6表示，其 焦距的大小分別為、左.兩透鏡的距離d = f +f

26、2（1）設(shè)射入透鏡Li的光強為厶；，透過透鏡Li的光強為I;,考慮到透鏡Li對光的吸收有直徑與焦距應(yīng)滿足關(guān)系厶'=0.70/;（3）從透鏡Li透出的光通量等于進入L2的光通量，對應(yīng)的光強與透鏡的直徑平方成反比，進入L2的光強用厶。表不，即故有V2透過L2的光強/ ; = 0.70/20,考慮到(3)式，得由于進入透鏡Li的光強厶是平面鏡M的反射光的光強，反射光是入射光的裝置的太陽光光強為人，則幾=0.80代入(5)式有I ；=0.39/按題設(shè)要求代入(6)式得從而可求得兩透鏡的焦距比為I2人2/ 0 =0.39厶“2 丿=2.26L2的直徑應(yīng)等于圓形窗戶的直徑卩，即 A =10cm,山式得A = A = 22.6cm-Z(8)由圖可知，平面鏡M參與有效反光的部分為一橢圓，其半短軸長度為b = D、12 = 11.3cm(9)半長軸長度為a = >6/ （2sin22.5 ）° = 29.5cm （10）根據(jù)裝置圖的結(jié)構(gòu)，可知透鏡組的光軸離地應(yīng)與平面鏡M的中心等高，高度為評分標準：木題 20分.7 ）、（ 8）兩式共 10 分，（9 ）、作圖8分（含元件及其相對方位，光路），求得（10）式共2分.對透鏡的參數(shù)要求與方案一相同?方案二、采光裝置山平面鏡 M和一個凸透鏡Li、一個凹透鏡1>2組成，