231離散型隨機(jī)變量的均值

1、2.5.1離散型隨機(jī)變量的均值教學(xué)目標(biāo)（1）通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望）的概念和意義；（2）能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望），并能解決一些實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：取有限值的離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望）的概念和意義.教學(xué)過程一問題情境1 情景：前面所討論的隨機(jī)變量的取值都是離散的，我們把這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量這樣刻畫離散型隨機(jī)變量取值的平均水平和穩(wěn)定程度呢？甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的不合格品數(shù)分別用 X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下.X10123Pk0.70.10.10.1X20123Pk0.5

2、0.30.202. 問題：如何比較甲、乙兩個工人的技術(shù)?二.學(xué)生活動1. 直接比較兩個人生產(chǎn)100件產(chǎn)品時所出的廢品數(shù).從分布列來看，甲出0件廢品的概率比乙大，似乎甲的技術(shù)比乙好；但甲出3件廢品的概率也比乙大，似乎甲的技術(shù)又不如乙好.這樣比較，很難得出合理的結(jié)論.3. 引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué) 3 (必修)中樣本的平均值的計(jì)算方法.三.建構(gòu)數(shù)學(xué)1.定義在數(shù)學(xué)3 (必修)“統(tǒng)計(jì)” 一章中，我們曾用公式 XiPi X2p2* Xn Pn計(jì)算樣本的平均值，其中 p為取值為Xi的頻率值.類似地，若離散型隨機(jī)變量 X的分布列或概率分布如下:XX1X2XnPPiP2Pn其中，Pi -0,i =1,2,., n.P

3、iP2. Pn=1，則稱X!p -X2P2. -XnPn 為隨機(jī)變量X的均值或X的數(shù)學(xué)期望，記為 E(X)或.2. 性質(zhì)(1) E(c)二c； (2) E(aX b) =aE(X) b . ( a,b,c為常數(shù))四數(shù)學(xué)運(yùn)用1.例題：例1.高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲，在一個小口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同. 某學(xué)生一次從中摸出 5個球，其中紅球的個數(shù)為 X , 求X的數(shù)學(xué)期望.分析：從口袋中摸出5個球相當(dāng)于抽取n =5個產(chǎn)品，隨機(jī)變量X為5個球中的紅球的 個數(shù)，則X服從超幾何分布 H (5,10,30).解：由2. 2節(jié)例1可知，隨機(jī)變量 X的概率分布如表所示

4、：X012345P258480758550380070042237512375123751237512375123751從而E(X),燮1輕2整3沁4型5旦"6667 2375123751237512375123751237513答：X的數(shù)學(xué)期望約為1.6667 .說明：一般地，根據(jù)超幾何分布的定義,可以得到E(X)八喈叫CN例2 從批量較大的成品中隨機(jī)取出10件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查，若這批產(chǎn)品的不合格品X的數(shù)學(xué)期望率為0.05，隨機(jī)變量 X表示這10件產(chǎn)品中不合格品數(shù)，求隨機(jī)變量E(X) 解：由于批量較大，可以認(rèn)為隨機(jī)變量X B(10,0.05),P(X 二k) = Pk 二G0pk(

5、1-p)g,k=0,1,2,.,10隨機(jī)變量X的概率分布如表所示：X012345PkCwp0(p)10CM-p)9G：P2(1-P)8G3°p3(1- p)7CwP4( P)6CwP5(Vp)5X678910Pk66 一、4C10 p (1 - p)J 7 一、3C10 p (1 - p)8 8 一 、2C10 p (1 - p)991C10P (1-p)0 10 一 、0C10 p (1 - p)10故 E(X)八 kpk =0.5k =Q即抽10件產(chǎn)品出現(xiàn)不合格品的平均件數(shù)為0.5件.說明：例 2中隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的定義，可以得到：當(dāng)X B(n, p)時，E

6、(X)工np 例3.設(shè)籃球隊(duì)A與B進(jìn)行比賽，每場比賽均有一隊(duì)勝，若有一隊(duì)勝4場則比賽宣告1結(jié)束，假定A, B在每場比賽中獲勝的概率都是1，試求需要比賽場數(shù)的期望.2分析：先由題意求出分布列，然后求期望解：(1)事件“ X =4 ”表示，A勝4場或B勝4場(即B負(fù)4場或A負(fù)4場)，且兩 兩互斥.41 41。丄 01 01 42p(x =4) =C4 (-)(p C4 (?)(2)=16 ；（2）事件“ X =5”表示，A在第5場中取勝且前4場中勝3場，或B在第5場中取勝且前4場中勝3場（即第5場A負(fù)且4場中A負(fù)了 3場），且這兩者又是互斥的，所41613 1 3 1 4 311 1 1 1 4

7、1p(x=5rC4(?)(2)+2叫)(2)（3）類似地，事件“ X =6 ”、“ X =7 ”的概率分別為P(XP(X=6）*妙護(hù)知職嚴(yán)516，=7）=卑（2）3（2宀抱（;）3（尸=516比賽場數(shù)的分布列為X45672455P161616162455故比賽的期望為 E（X）=45675.8125 （場）16161616這就是說，在比賽雙方實(shí)力相當(dāng)?shù)那闆r下，平均地說，進(jìn)行6場才能分出勝負(fù).2練習(xí)：據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)下個月有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為 0.01 現(xiàn)工地上有一臺大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備有以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時需花費(fèi) 3800元；方案2 :建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi) 2000元但圍墻無法防止大洪災(zāi)，若大洪災(zāi)來臨，設(shè) 備受損，損失費(fèi)為60000元；方案：不采取措施，希望不發(fā)生洪水，此時大洪水來臨損失60000元，小洪水來臨