立體幾何題型歸類總結(jié)

1、第四講 立體幾何題型歸類總結(jié)、考點分析 基本圖形1.棱柱一一有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾 何體叫做棱柱。斜棱柱棱柱，棱垂直于底面吉木土灶正棱柱I3直梭在一，、其他棱柱hi用棱柱底面為平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形長方體底面為正方形正四棱柱 側(cè)棱與底面邊長相等 正方體2 .棱錐棱錐一一有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐一一如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐3 .球球的性質(zhì)：球心與截面圓心的連線垂直

2、于截面;r = Jr2 _d2 （其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.,一一一,243球面積、體積公式： S求=4R R V球=一 nR3 （其中R為球的半徑） 3異面直線所成的角，線面角，二面角的求法1,求異面直線所成的角 e W（0=,90。：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證

3、明線線平行；三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；2求直線與平面所成的角 0 0 1090°：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足解題步驟：一找： 找（作）出斜線與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線定理的應(yīng)用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補角）（常需證明線面垂直）；三計算：常通過解直角三角形，求出線面角。3求二面角的平面角0 0 10,n 解題步驟：一找： 根據(jù)二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角；二證：證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）；三計算：通過解三角形，求出二面角的平面角。二、典型例題考點一：三視圖2.若某

4、空間幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積是1第3題3. 一個幾何體的三視圖如圖 3所示，則這個幾何體的體積為4.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖4所示，則此幾何體的體積是a3正視圖左視圖俯視圖第4題第5題5 .如圖5是一個幾何體的三視圖，若它的體積是3也,則a =.6 .已知某個幾何體的三視圖如圖 6,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是20-20俯視圖7.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是3cm（尺寸的長度單位為 m）,則該幾何體的體積為 ml俯視圖正（主）視圖側(cè)（左）視圖第7題9. 一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為第8題1的正

5、方形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的側(cè)面積為圖910 .一個三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如圖10所示（單位cmD,則該三棱柱的表面積為正視圖圖1011 .如圖11所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為 1的圓，那么這個幾何體的全面積為.圖11圖1212.如圖12, 一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為圖131的正三角形，俯視圖是一個圓，那么幾何體的側(cè)面積為13.已知某幾何體的俯視圖是如圖13所示的邊長為2的正方形，主視圖與左視圖是邊長為2的正三角形，則其表面積是14 .如果一個幾何體的三視圖如圖14所示（單位長度：cm）

6、,則此幾何體的表面積是主視圖主視圖15 . 一個棱錐的三視圖如圖圖9-3-7 ,則該棱錐的全面積（單位:2cm )正視圖左視圖俯視圖圖1516 .圖16是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是1,那么17 .如圖17, 一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為 這個幾何體的體積為.9-3-14所示，則這個棱柱的體積為18 .若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如圖圖18考點二體積、表面積、距離、角注：1-6體積表面積7-11異面直線所成角12-15線面角1 .將一個邊長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則表面

7、積增加了 .2 .在正方體的八個頂點中，有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與此正四面體的表面積的比值為3 .設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為防,那么它的體積為 .4 .正棱錐的高和底面邊長都縮小原來的1 ，則它的體積是原來的 .25 .已知圓錐的母線長為 8,底面周長為6無，則它的體積是 .6 .平行六面體AC1的體積為30,則四面體AB1CD1的體積等于 .7 .如圖7,在正方體 ABCD -ABG D中，E,F分別是A D GD中點，求異面直線AB與EF所成角的角與SC所成角8 .如圖8所示，已知正四棱錐 S ABCD側(cè)棱長為J2 ,底面邊長為 J3 , E是SA的中點，則異面

8、直線 BE 的大小為.CD和10.如圖9-1-3,在長方體ABCD -ABiCiD1中，已知AB=43BC，bc =cc1,則異面直線AA與BC1所成的角是,異面直線AB與CD1所成的角的度數(shù)是圖1311.如圖9-1-4,在空間四邊形ABCD中，AC-LBD AC = BQE,F分別是AB、CD的中點，則EF與AC所成角的第8題9.正方體ABCD -ABCD中，異面直線第7題& EB-1-4大小為12.正方體AC1中，AB1與平面ABC1D1所成的角為BC所成的角的度數(shù)是圖9-1-2圖g-QT13.如圖13在正三棱柱ABCABG中，AB=AA ,則直線CB與平面AABB所成角的正弦值為

9、15.如圖9-3-1 ,已知 MBC為等腰直角三角形，P為空間一點，且 AC =BC =5j2, PC _L AC , PC _L BC , PC = 5, AB的中點為M ,則PM與平面ABC所成的角為 16 .如圖7,正方體 ABCD AiBiCiDi的棱長為1, O是底面 AiBiCiDi的中心，則 O至U平面 AB CiDi的距離為.17 .一平面截一球得到直徑是 6cm的圓面，球心到這個平面的距離是4cm,則該球的體積是 .18 .長方體ABCD ABC1D1的8個頂點在同一個球面上，且 AB=2 AD=J3 , AA1 = 1 ,則頂點A、B間的球面距離 是.19 .已知點 A,B

10、,C, D 在同一個成求面上,AB 面 BCD , BC _LCD,若 AB=6, AC =2713, AD=8,則 B,C 兩點間的球面距離是 .20 .在正方體ABCD AiBiCiDi中，M為DDi的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱AiBi上任意一點，則直線 OP與直線AM所成的角是 .21 . AABC的頂點B在平面a內(nèi)，A、C在a的同一側(cè)，AB、BC與a所成的角分別是 30 °和45 °，若AB=3 , BC= 472 ,AC=5，貝U AC與a所成的角為 .22 .矩形ABCD中，AB=4 , BC=3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B - AC

11、- D,則四面體ABCD的外接球的體積為.23 .已知點 A, B,C,D 在同一個球面上，AB_L 平面 BCD, BC _L CD,若 AB = 6, AC = 2j13, AD = 8,則B,C兩點間的球面距離是 .24 .正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面積之比為2： 3 ,則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為 .25 .已知 S,A, B,C 是或O 表面上的點，SA_L 平面 ABC, AB 1 BC , SA=AB=1,BC = J2,則球O表面積等于.3226 .已知正方體的八個頂點都在球面上，且球的體積為 一冗，則正方體的棱長為327 . 一個四面體的所有棱長都為22 ，四

12、個頂點在同一球面上，則此球的表面積為忖點四 平行與垂直的證明1 .正方體 ABCD-A 1B1C1D1, AA 1=2 , E 為棱 CC1的中點.(I)求證：B1D1 _LAE ；(口)求證：AC平面BiDE；(m)求三棱錐 A-BDE的體積.2 .已知正方體ABCD -A1B1C1D1 ,。是底ABCD對角線的交點.求證：(1) CiO/面ABiDi ； (2)AC _L面ABiDi .3 .如圖，PA_L矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB和PC的中點.(I)求證：MN/平面PAD;(口)求證：MN -LCD ；PN(m)若 /PDA =45'，求證：MN _L 平面 PCD

13、.4 .如圖(1), ABCD為非直角梯形，點E, F分別為上下底AB , CD上的動點，且 EF _L CD。現(xiàn)將梯形AEFD沿EF折 起，得到圖(2(1)若折起后形成的空間圖形滿足DF _L BC,求證： AD _L CF ；(2)若折起后形成的空間圖形滿足 A, B,C, D四點共面，求證： AB/平面DEC ；5 .如圖，在五面體 ABCDEF中，F(xiàn)A _L平面ABCD, AD/BC/FE , AB _LAD, M 為 EC 的中點，N 為 AE 的中點，AF=AB=BC=FE= - AD2(1) 證明平面 AMD _L平面CDE;(II)證明BN 平面CDE;6 .在四棱錐P-ABC

14、D中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面 ABCD垂直，已知菱形ABCD中/ADC = 60M是PA的中點，。是DC中點.(1)求證：OM /平面PCB；(2)求證:PA± CD ;(3)求證：平面FABL平面COM.7 .如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD，底面ABCD , PD=DC, E是PC的中點，作 EFLPB交PB于點F.(1)證明PA平面EDB; (2)證明PB，平面EFD8 .正四棱柱ABCD-A iBiCiDi的底面邊長是 J3 ,側(cè)棱長是3,點E, F分別在BB1,DDi 上，且 AEXAiB, AFXAiD .(1)求證：AiC上面

15、AEF;(2)求二面角A-EF-B的大??；(3)點B1到面AEF的距離.考點五 異面直線所成的角，線面角，二面角1 .如圖，四棱錐P ABCD的底面ABCD為正方形，PDL底面ABCD, PD=AD.求證：(i)平面PAC，平面PBD; (2)求PC與平面PBD所成的角；B2 .如圖所示，已知正四棱錐 S ABCD則棱長為，2,底面邊長為 J3, E是SA的中點，則異面直線 BE與SC所成角的大小 為.3 .正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1底面邊長為1 ,側(cè)棱長為 2 ,涉華9棱柱的側(cè)面對角線 E1D與BC1所成的角是一.A£?4 .若正四棱錐的底面邊長為 2%3cm,

16、體積為4cm3,則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是 .5.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD 中，AB -L AC，PA -L 平面 ABCD ,且 PA=AB,點 E 是 PD 的中點.(1)求證：AC _L PB ；(2)求證:PB/ 平面 AEC ；(3)若PA = AB = AC =a，求三棱錐EACD的體積；(4)求二面角EAC D的大小.PB考點六線面、面面關(guān)系判斷題1 .已知直線l、 m 平面a、0,且l，a,mU0,給出下列四個命題：(1) a / 0 ,則 l _Lm(2)若 l _L m,則 a / 0(3)若 a _L 0 ,貝U l / m(4)若 l /

17、m,貝U a _L 0其中正確的是.2 . m、n是空間兩條不同直線，a、0是空間兩條不同平面，下面有四個命題： m，a,nR,c(P= m 1 n; m _l n產(chǎn),m_L a = n 口 ；曲 m，n," 口 P, m口a = n 1 P ； m，a , mn,a P = n，%其中真命題的編號是(寫出所有真命題的編號)。3 . l為一條直線，為三個互不重合的平面，給出下面三個命題：P 1 Y a .L P a 1 '/ P/Ync(_LP l/a l_LP=a_LP其中正確的命題有.4 .對于平面口和共面的直線 m、n，（i）若m _L*m _L n,則 n/ a 若 mi/ s,n a,則 m/ n若m uc（,n/ c（，則m/ n （4）若m、n與ct所成的角相等，則 mH n 其中真命題的序號是.5 .關(guān)于直線nr n與平面1a與口，有下列四個命題：若 ma,n/ B 且/ B ,則 m/n；若 m _La,n _L P 且口 _L B ,則 m_l n ；若 m，叫門 口且“ ° ,則 m_L n ；若 m/£,n