必修四：(新課標(biāo))同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式(典型例題+習(xí)題+問題詳解)老師10頁

1、實(shí)用文檔同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式必修四：（新課標(biāo)）同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（典型例題+習(xí)題+答案）I要點(diǎn)梳理Isin a tan a .cos a1 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin 2 a +cos2a = 1.(2)商數(shù)關(guān)系: 2.誘導(dǎo)公式I基礎(chǔ)自測I2.(2011答案解析又sin大綱全國）已知. tan a =2, 又 a若tan3兀、，一2 , 一2一 i, tansin a=2, sin cos a. (2cos a ) 2+ cos2兀,早 .cos a=Ta = 2,則2sin a cos asin a + 2cos的值為a = 2cos a .15

2、.答案解析2tan a 1 3 原式: tan a+2 =4.3.已知a是第二象限的角，tan1 E,2，貝U cos a答案2 ,55解析a是第二象限的角,cos a 0.又sin+ cos 2 a = 1, tansin acos a122,55 .4.4sin 鼻兀3cos5大兀 tan 6答案3 ,34一 一，、I 兀i解析原式=sin 兀+ y j cos j 6 J tan兀一 tan y5. 已知sin I)3,34 .答案解析sini= sin |7t2=sin -2-+7t67t6題型分析深度剖析 題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用 【例1】 已知在 ABC中，sin A+

3、cos A= 1.5求sin Acos A的值;(2)判斷 ABB銳角三角形還是鈍角三角形;(3)求tan A的值.思維啟迪：由sin A+ cos A=)及 sin 2A+ cos2A= 1,可求 sin A, cos A 的值. 5解(1) sin.1小A+ cos A= 5，兩邊平方得1+2sin Asos.1A= 25,12 . sin Acos A=.25且0A兀,12 一(2)由 sin Acos A= 0,25可知cos A0, cos A0,.7公, sin Acos A= 5.二.由，可得 sin A=7， cos A=554.tan A=7七一*cos A 33-5探究提高

4、 (1)對(duì)于 sin a + cos a , sin a cos a , sin a cos a 這三個(gè)式子，已 知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求.轉(zhuǎn)化的公式為(sin a cos a)2=12sina cos a ； (2)關(guān)于sin a , cos a的齊次式，往往化為關(guān)于 tan a的式子.變式可垛1已知 tan a = 2,求 sin sin a +costan 2 a + tan a 2 4 ) 一 T.tan 15 sin a = 2sin (3 , tan a = 3tan (3 , sin 2 a = 4sin 2 ,tan 2 a = 9tan 2 ,由 +得：9cos2

5、 a = 4cos 2 3 , 十得：sin 2 a + 9cos2 a = 4, 3 a + sin a cos a 2cos2 a ;(2)已知 sin a = 2sin 3 , tan a = 3tan 3 ,求 cos a .解 (1)sin 2 a + sin a cos a 2cos2 acos2 a + sin 2 a = 1,. cos2 a =8,即 cossin 2 a + sin a cos a 2cos2 a題型二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【例2】(1)已知cos 十(2)已知兀 a 2兀，a ) tancos( “一7兀)=一3,求 sin(3 兀 +5兀思維啟迪：將

6、3+a看作一個(gè)整體，觀察看+ a與號(hào)一的關(guān)系.(2)先化簡已知，求出cos a的值，然后化簡結(jié)論并代入求值.c 一 a =兀一6包,3 mco鼠6+”廠一拳(2) cos( a - 7 兀)=cos(7 兀一 a )=cos(兀一 a ) = cos a35sin（3 兀+ a ） tan=sin（7t +=sintan7t2一 a=sincosAa）=sincos a =cossin a探究提高熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題的關(guān)鍵.另外,切化弦是常用的規(guī)律技巧.tan（兀 + a ）cos（2 兀 + a ）sin變式訓(xùn)練2 ）化簡:cos（ a 3 兀）si

7、n（ 3 兀一 a（2）已知 f （x）=sin（兀一x）cos（2 兀一x）tan（ x+ 兀）cosit2+xtan a cos a sin 2 兀 +解（1）原式=a +cos（3 兀 + a ） sin（3 兀 + a ）tan a cos（一coss sin a十a(chǎn) Ja ）sin atan a cos a cos a（cos ）sintan a cos asin asin acos acos a-=1.sin a（2） - f（x） =sin x cos x （ tan x）sin=cos x - tan x= sinx,.f31兀）丁 尸-sin313f=sinJ31兀3（兀、兀

8、J3=sin J0 兀 + 萬=sin =.題型三三角函數(shù)式的化簡與求值1 【例3 （1）已知tan a =-,求31.2sin a cos a + cos2 a 的值;（2）化簡:tan（兀一a ）cos（2 兀一 a ）sin3兀 a+ycos（ a 兀）sin（一兀一a ）思維啟迪：三角函數(shù)式的化簡與求值，都是按照從繁到簡的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要認(rèn)真觀察式子的規(guī)律，使用恰當(dāng)?shù)墓?1解（1）因?yàn)?tan a =-,3sin a + COS a所以；2一 ；22Sin a COS a + COS a 2Sin a COS a + COS atan 2 a + 12=-2tan 1 3tan a

9、- cos（ a ） Sin（2）原式=COS（兀- a ） . Sin（兀一 a）tan a - COS aCOS aCOS a - Sin asin a=-1.探究提高 在三角變換中，要注意尋找式子中的角,函數(shù)式子的特點(diǎn)和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對(duì)式子進(jìn)行化簡.變式訓(xùn)嫉m已知sin兀a +2；=-當(dāng)（0,兀52COS兀 a了十萬廠cOSsin（兀一 a ） + cos（3 兀 + a ）的值.2 |, _2L !2cos g + 2cos,55,2 ,5 （0 ,兀）， Sin a = -B-.5sin（兀a ） + cos（3 兀 + a ）2。 acos 彳 + -

10、 L sinsin a COS aCOS c + a I.c12）-Sin a2= =Sin a COS a sin a COS a 3思想與方法系列8分類討論思想在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用4n- 1典例：（12分）化間：Sin 4兀一審題視角（1）角中含有變量n,a i+ COS因而需對(duì)n（2）利用誘導(dǎo)公式，需將角寫成符合公式的某種形式，這就需要將角中的某一部分作為 一個(gè)整體來看.規(guī)范解答解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k仆”），則1分實(shí)用文檔原式=sin兀一a 計(jì)cos% a=sin 12k 兀 +兀a4cos12k兀十9一a1=sin714cos71a4=sin7141+ cos兀,-F a4=-s

11、in 寧+% sin + a ；= 0.5 分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1 (kCZ),則6分原式=sin兀一a 汁cos兀一 a3f3兀=sin 112 k 兀 + 4 acos|2k 兀+ J5- a )1C. 27ta4-J cos4=sin+ aa cosJ兀4a | cosa f=0.10 分+ cos兀一a |=0.12 分溫馨提醒(1)本題的化簡過程，突出體現(xiàn)了分類討論的思想，當(dāng)然除了運(yùn)用分類討論的思想將n分兩類情況來討論外，在解答過程中還處處體現(xiàn)了化歸思想和整體思想.(2)在轉(zhuǎn)化過程中，缺乏整體意識(shí)，是出錯(cuò)的主要原因思想方法,感悟提高方法與技巧同角三角恒等變形是三角恒等變形的基

12、礎(chǔ)，主要是變名、變式.1 .同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響,尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號(hào)后，正確取舍.2 .三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時(shí)，常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tansin xx=F化成正弦、余弦函數(shù)；和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin ecos 0 ) 2= 1 2sine cos e的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化； (3)巧用“ 1”的變換：1= sin 2=sin l| 兀一0 + cos2 0 = cos2 0 (1 + tan 2 0 ) = sin 2 01.1、,兀1+tonr r tanT

13、=失誤與防范1 .利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)一脫周一化銳.特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定.2 .在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).3 .注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿分：57分）、選擇題（每小題5分，共20分）一一 一一兀 一.1.已知a和的終邊關(guān)于直線 y = x對(duì)稱，且=一7，則sin a等于3A.BB. 2C.答案 D.，一 - 一兀一 一一解析因?yàn)閍和的終邊關(guān)于直線y = x 對(duì)稱，所以 a + 3 = 2k.% + 萬（kC Z）.又 =兀

14、一一.5兀一一,所以 a = 2k 兀 + k( k C Z),即得 sin362.cos(-2 013兀）的值為3.1A.2答案解析已知cos(B. 1C.：3 2D. 0-2 013 兀)=cos( -2 014 兀 十 兀)=cos 兀=1.sin(兀- a) cos(2 兀一a ) 貝f cos( Tt a ) , tan( Tt a )125兀 二一附值為31A.2,3D一瓦_(dá)1B- -2答案 A.,一 ，sin a cos a斛析.)=-cos a (-tanf25兀；=cos25兀3、“一 兀，4.當(dāng) 0x時(shí),cos2x函數(shù) f(x) = cos xsin x-sin2x的最小值

15、是1A.41B.2C. 2D. 4答案解析、“一 兀一 一.當(dāng) 0x*4時(shí)，0tan x1,f(x)cos2xcos xsin x sin 2x tan x tan2x設(shè) t =tan x,貝U 0t1, y =t -t2 = t(1 -t).，r ,r1 ，一，、當(dāng)且僅當(dāng)t=1 t,即t =2時(shí)等號(hào)成立.二、填空題（每小題5分，共15分）5. 如果sin a1一，5,且為第二象限角，則Q兀sin a2答案2 .6解析sin1 r 。一a =5,且a為第一象限角,.11 1 25一一 3. sin 2 + “尸一 cos a =2,65 .6. 已知sin兀 i 1a+E尸3,則7兀cos a

16、12答案解析cos a7兀、+ TT 1= cos12,兀i兀+近葉萬=- sin a + . o 1=12實(shí)用文檔7.sin 1 a + 2- r tan（ a + 兀）sin（ ）答案解析一 ,、 cos a - tan a原式:：sin asin asin1.三、解答題（共22分）8 . （10 分）已知 sin 0 + cos 0 =e 兀），求tan 0的值.解將已知等式兩邊平方，得 sin 0 cos.7 一后sin 9 cos0 =#sin0 cos8）=寸1 2sin0 cos_9 = g. 3sin解方程組sin一八 29 + cos 9 = -yr,3sincosV2-41

17、. tan 9 =sincos 09 .（12 分）已知 sin（37tcos（兀 + 8 ）cos 0 cos（兀一0）1cos（ 8 2 兀）sin J _32s八兀,八0 - % ） sin 二+ 82的值.解 sin（3 兀+ 8）= sin 8 =J, 1- sin 3一cos 0cos 0 （ cos 01）+一sincos（2 兀一8 ）8 cos（兀8 ） + cos 011 + cos 0cos 0+ cos2 0 + cos 01 + cos 8 + 1 一 cos 01 cos2 0 sin 2 02 工二18. ,3B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25分鐘，滿分：43分）實(shí)用文

18、檔、選擇題（每小題5分，共15分）()7A -9答案 A1C.37D.一9解析J-3-+ a !+ J-6- a f=-2-,則 COS + 2 a f= 2COS 2 a ； 1 = 7. 3392.已知1+sin aCOS a2cossin a彳的值是1A. 2_1B.-2D. -2答案 A解析由同角三角函數(shù)關(guān)系式1 sin 1 2 a = COS2 a 及題意可得 cosa w0且 1 sin0,COs a 1 =1 sin a 2D. -2cos atan 2 a 4tana +4=0,解得 tan a = 2.、填空題（每小題5分，共15分）4.若 sin(兀+ a )=兀 I,貝 cos a答案3 2解析sin(兀 +a ) = sin a12.7t2，兀??；cos a = 、1 sin,325.已知tan0=2,則sin 2 0 + sin 0 cos2 一0 2cos 0 =答案解析sin20 + sin2人0 cos 0 2cos 0sin2 0 + sin 0 cos 0 2cos2 01sin 2 0 + sin 0 cos 0 2cos 2 0sin 2 0 +cos2 0tan 2 8 + tan 02tan 2 0 + 14+22 4一4+ 156.已知cos兀.廣 a (|答案 015兀cos -7-+ 9 ,6解析0 i= a, )3sin A,