三重積分、重積分習(xí)題

1、三重積分1將I=分別表示成直角坐標(biāo)，柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的三次積分，并選擇其中一種計(jì)算出結(jié)果其中是由曲面z=及z=x+y所圍成的閉區(qū)域.分析為計(jì)算該三重積分，我們先把積分區(qū)域投影到某坐標(biāo)平面上，由于是由兩張曲面及，而由這兩個(gè)方程所組成的方程組 極易消去z，我們把它投影到xoy面上然后，為在指定的坐標(biāo)系下計(jì)算之，還應(yīng)該先把的邊界曲面用相應(yīng)的坐標(biāo)表示，并找出各種坐標(biāo)系下各個(gè)變量的取值范圍，最后作代換即可解 將投影到xoy平面上，由消去z得 (x+y)=2-(x+y)，或(x+y+2)(x+y-1)=0，于是有 x+y=1即知，在xoy平面上的投影為圓域D：x+y1 為此在D內(nèi)任取一點(diǎn)Q(x，y)，

2、過(guò)Q作平行于z軸的直線自下而上穿過(guò)穿入時(shí)碰到的曲面為，離開(kāi)時(shí)碰到的曲面為(不畫圖，僅用代數(shù)方法也易判斷)，這是因?yàn)閤+y1)(1) 直角坐標(biāo)系下，我們分直角坐標(biāo)及柱面坐標(biāo)，下邊找z的變化范圍從而化為三重積分因此再由D：x+y1，有，于是在直角坐標(biāo)下，可表示為:于是有I=.(2) 柱面坐標(biāo)下首先把的表面方程用柱面坐標(biāo)表示，這時(shí)z=x+y表示為z= ，z=表示為z=再由投影區(qū)域D為x+y1故01，02于是可表示為：將所給三重積分中的體積元素用=去替換，有I=.(3) 球面坐標(biāo)下用球面坐標(biāo)代換兩曲面的方程，得曲面z=x+y變?yōu)?；曲面z=變?yōu)?由在xoy平面上的投影為x+y1知02，下邊找的變化范圍

3、正z軸在內(nèi)，即內(nèi)有點(diǎn)P，使與夾角為零，即的下界為零又曲面z=x+y與xoy平面相切，故的上界為，于是0再找的變化范圍原點(diǎn)在的表面上，故取到最小值為零為找的上界，從原點(diǎn)出發(fā)作射線穿過(guò)，由于的表面由兩張曲面所組成，因而的上界隨相應(yīng)的的不同而不同為此在兩曲面的交線上取一點(diǎn)A(0，1，1)，故A所對(duì)應(yīng)的當(dāng)時(shí)，r的上界由曲面r=所給，故這時(shí)r即r的變化范圍為0因此I=由的特點(diǎn)(在xoy平面上的投影為圓域，而本身不是球或球錐)，故采用柱面坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單，這時(shí)I=2=小結(jié) (1) 計(jì)算三重積分時(shí)，欲用何種坐標(biāo)，就要首先把積分區(qū)域的表面方程化成用該坐標(biāo)表示，同時(shí)把被積函數(shù)中的變量與體積元素替換為該坐標(biāo)下的形

4、式 (2) 不要認(rèn)為當(dāng)積分區(qū)域?yàn)榍蝮w的一部分就應(yīng)采用球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)所適用的積分區(qū)域一般為球，兩球面所圍的區(qū)域，或這兩種區(qū)域被圓錐所截得的部分本題是由旋轉(zhuǎn)拋物面與球面所圍成的區(qū)域，一般是不宜用球面坐標(biāo)的（3）還應(yīng)注意面積元在不同坐標(biāo)下的不同形式；并且在直角坐標(biāo)系中，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)會(huì)使用對(duì)稱性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程的求法等；2計(jì)算三重積分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所圍成的區(qū)域分析 為球面和圓錐面所圍成的區(qū)域故從積分區(qū)域的特點(diǎn)看，它適宜用球面坐標(biāo)同時(shí)，被積函數(shù)中含有因式x+y+z，故從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面來(lái)看，應(yīng)選用球面坐標(biāo)解 在球面坐標(biāo)下，球面x+y+z=1的方程為r=1

5、，錐面z=的方程為tan=，即，又z軸的正向穿過(guò)故的下界為零，因此0將投影到xoy面，由方程組 消去z得x+y=因此0該錐體的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，故r下界為零，由穿線法可知r故0r1.于是=2小結(jié) 當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橛汕蛎媾c錐角所圍成的球錐體時(shí)若錐題的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且Z軸正向穿過(guò)積分區(qū)域，則有0，且r的下界為零，上界由球面的方程所給出3計(jì)算其中是由xoy平面上的曲線=2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區(qū)域分析：投影區(qū)域?yàn)閳A域，再由于積分區(qū)域與球體無(wú)關(guān)，故采用柱面坐標(biāo)，這時(shí)要注意把y,z用極坐標(biāo)代換還應(yīng)注意積分區(qū)域關(guān)于平面y=0,z=0皆對(duì)稱，且被積函數(shù)關(guān)于y,z皆為偶函數(shù)因此還應(yīng)利用積分區(qū)域關(guān)于坐

6、標(biāo)平面的對(duì)稱性與被積函數(shù)關(guān)于某相應(yīng)變量的奇偶性先進(jìn)行化簡(jiǎn)解 曲線=2x或x=繞x軸旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為x=(),故由拋物面x=()與z=0所圍成由于被積函數(shù)分別是y和z的偶函數(shù)，而積分區(qū)域關(guān)于平面y=0及z=0都對(duì)稱，因此=4，其中為在第一卦限內(nèi)的部分由知，在yoz 平面上的投影為在yoz平面上的投影為yoz平面上第一象限內(nèi)的個(gè)圓，因此有：于是 44=2=.小結(jié) (1) 當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于某坐標(biāo)平面對(duì)稱，同時(shí)被積函數(shù)是相應(yīng)變量的奇或偶函數(shù)時(shí)，應(yīng)首先將所給積分化簡(jiǎn)，其原則為關(guān)于平面Z=0對(duì)稱，f(x,y,z)關(guān)于z是奇函數(shù)時(shí)，積分為零;f(x,y,z)關(guān)于z是偶函數(shù)時(shí)，所求積分為2，其中為被z=

7、0所分的上半個(gè)子區(qū)域，其余類同(2) 對(duì)柱面坐標(biāo)，清楚這是把積分區(qū)域投影到哪個(gè)平面時(shí)就做的相應(yīng)的柱面坐標(biāo)變換，如本題，由于我們把投影到y(tǒng)oz平面,就有y=cos,z=sin,x=x類似地，對(duì)球面坐標(biāo)也應(yīng)做相應(yīng)理解，即穿過(guò)的坐標(biāo)軸如果不是z軸而是x軸或y軸球面坐標(biāo)公式x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos ，也應(yīng)做相應(yīng)變化4證明當(dāng)f(z)連續(xù)時(shí)，=并用此公式計(jì)算的值，其中：x分析 積分區(qū)域見(jiàn)圖3，題目要求把三重積分化成只剩下對(duì)z的定積分，我們可以把它看作對(duì)該三重積分先計(jì)算一個(gè)關(guān)于x,y的二重積分再計(jì)算對(duì)z的定積分顯然這種計(jì)算方法和我們前邊的計(jì)算方法是不同的，前邊的計(jì)算方法(如例1，

8、2)是先將投影到坐標(biāo)平面 xoy上得投影區(qū)域D，計(jì)算時(shí)先對(duì)z積分再計(jì)算在D上的二重積分，比如練習(xí)題1在直角坐標(biāo)下可看作I=，即采用 “穿線法”，本題欲先計(jì)算一個(gè)二重積分再計(jì)算定積分，應(yīng)采用為“先二后一”法亦稱“切片法”，即先將投影到z軸上得線段-1，1在(-1，1)上任意點(diǎn)z作一垂直于z軸的平面截得一平面區(qū)域，在每個(gè)上作對(duì)x,y的二重積分，然后再把這些積分值累加起來(lái)，既再對(duì)z 從-1到1積分解 由的表面方程為知，z，既在軸上的投影為線段，在內(nèi)任取一點(diǎn)z，過(guò)z作垂直于z軸的平面截得一平面區(qū)域：于是的面積為因此,當(dāng)f(z)=z時(shí)，有=.小結(jié) “切片法”適用于被積函數(shù)為某變量的一元函數(shù)，而垂直于相應(yīng)

9、坐標(biāo)軸的平面截所得截面面積易求出時(shí)的情形一般的，若被積函數(shù)為x的一元函數(shù)時(shí)，作垂直于x軸的平面；被積函數(shù)為時(shí)，作垂直于y軸的截面；被積函數(shù)為時(shí)，作垂直于z軸的截面5 求底圓半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面x及x所圍立體的表面積.分析 該兩圓柱面直交時(shí)所圍立體處在八個(gè)卦限內(nèi)其表面為8個(gè)面積相等的曲面，我們只經(jīng)計(jì)算其中一個(gè)曲面面積即可要注意計(jì)算曲面面積時(shí)，要找其在坐標(biāo)面內(nèi)的投影區(qū)域要注意向哪個(gè)坐標(biāo)面作投影要依據(jù)曲面方程而定解 為計(jì)算該住體的表面積我們只須計(jì)算圖4陰影部分的面積S再乘以16即可該曲面的方程為z=它在xoy面上的投影為D=,于是S=,故S=16S=16R.確定選用何種坐標(biāo)，一般要從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面考慮，通常可參閱下表  采 用 坐 標(biāo)積 分 區(qū) 域 的 特 點(diǎn)被積函數(shù)的特點(diǎn)球 面 坐 標(biāo)球，或球被圓錐面所截得的球錐體(特殊情況下為半球體)，或兩同心球面所圍的立體及被圓錐面所截得的主體f(x)或被積函數(shù)含有因式x柱 面 坐 標(biāo)不適用球面坐標(biāo)，但積分區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影適用于極坐標(biāo)者f(x)，f(x)或被積函數(shù)含因式x直角坐標(biāo)其他情形 6設(shè)均勻柱體密度為，占有閉區(qū)域求它對(duì)于位于點(diǎn)M(0，0，a)(a)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力分析 用公式求引力時(shí)，要注意利用當(dāng)常數(shù)時(shí)以及立體對(duì)坐標(biāo)面的對(duì)稱性，來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算解 是一位于xoy面上方的圓柱體，