關(guān)于行列式的一般定義和計(jì)算方法

1、關(guān)于行列式的一般定義和計(jì)算方法n階行列式的定義n階行列式=（1）2 N 階行列式是 N ! 項(xiàng)的代數(shù)和;3、N階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列N個(gè)元素的乘積;特點(diǎn):(1)(項(xiàng)數(shù))它是3!項(xiàng)的代數(shù)和; (2)(項(xiàng)的構(gòu)成)展開式中的每一項(xiàng)都是取自行列式不同行不同列的三個(gè)元素之積.其一般項(xiàng)為: (3)(符號規(guī)律)三個(gè)正項(xiàng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為123,231,312. 它們都是偶排列; 三個(gè)負(fù)項(xiàng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為321,213,132, 它們都是奇排列.§ 行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式的值相同。即=；行列式對行滿足的性質(zhì)對列也同樣滿足。性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式的值

2、變號.如: D=ad-bc , =bc-ad= -D以r表第i行，C表第j列。交換i,j兩行記為r,交換i,j兩列記作CC。性質(zhì)3：如果一個(gè)行列式的兩行（或兩列）完全相同，那么這個(gè)行列式的值等于零。性質(zhì)4：把一個(gè)行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一個(gè)常數(shù)k的結(jié)果等于用這個(gè)常數(shù)k乘這個(gè)行列式。（第i行乘以k，記作r）推論1：一個(gè)行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符號的前面。推論2：如果一個(gè)行列式的某一行（或某一列）的所有元素都為零，那么行列式值等于零。推論3：如果一個(gè)行列式的某二行（或某二列）的對應(yīng)元素成比例，那么行列式值等于零。性質(zhì)5：如果行列式D的某一行（或

3、某一列）的所有元素都可以表成兩項(xiàng)的和，那么行列式D等于兩個(gè)行列式D1和D2的和。=+性質(zhì)6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一個(gè)數(shù)后，加到另一行（或另一列）的對應(yīng)元素上，行列式值不變。推論 如果行列式的某一行（列）的每個(gè)元素都是m個(gè)數(shù)之和(m>2)，則此行列式等于m個(gè)行列式之和。一個(gè)n階行列式，如果它的元素滿足：；試證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此行列式為零。每一行（或列）提出一個(gè)（-1），再轉(zhuǎn)置得D=（-1）nD性質(zhì)7 行列式的某一行（列）的各元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。按行：按列：將性質(zhì)7 與Laplace定理合并為下列結(jié)論： （1） 和 （2）行列式的計(jì)算1

4、利用行列式定義直接計(jì)算例1 計(jì)算行列式解 Dn中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為.該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t（n1 n21n）等于，故2利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2 一個(gè)n階行列式的元素滿足則稱Dn為反對稱行列式，證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零. 證明：由知，即故行列式Dn可表示為由行列式的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得Dn =Dn，因而得Dn = 0.3化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法。例3 計(jì)算n階行列式 解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得

5、4降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例4 計(jì)算n階行列式解 將Dn按第1行展開.5逆推公式法逆推公式法：對n階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn與Dn1, Dn2之間的一種關(guān)系稱為逆推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出Dn的方法稱為遞推公式法。例5 證明 證明：將Dn按第1列展開得 由此得遞推公式：，利用此遞推公式可得6利用范德蒙行列式例6 計(jì)算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，

6、以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7 計(jì)算n階行列式 解： （箭形行列式）8數(shù)學(xué)歸納法例8 計(jì)算n階行列式解：用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)n = 2時(shí) 假設(shè)n = k時(shí)，有 則當(dāng)n = k+1時(shí)，把Dk+1按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)n，有9拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以利計(jì)算。例9 計(jì)算行列式 解：上面介紹了計(jì)算n階行列式的常見方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。學(xué)

7、習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計(jì)算。(1); 證明 . 關(guān)于行列式的消項(xiàng)（其中C代表列··R代表行）(2)=(a-b)3; 證明 =(a-b)3(3) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 證明 （c2 ,c3 ,c4減數(shù)字去第一列的） =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (4)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時(shí), , 命題成立. 假設(shè)對于(n-1)階行列式命題成立, 即 Dn-

8、1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設(shè)n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、或依副對角線翻轉(zhuǎn), 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明因?yàn)镈=det(aij), 所以 . 同理可證 . 7. 計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解 (按第n行展開) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1.(3); 解 根據(jù)第6題結(jié)果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. 例3 練習(xí)3：證明: . 證明：左邊從最后一行開始，每行減去上一行，得到： 1 2 3 . n-1 n 1 1 1 . 1 1-n . . . . 1 1-n 1 . 1 1 然后做列變換，從各列中減去第一列，得到： 1 1 2 . n-2 n-1 1 0 0 . 0 -n . . .