高數(shù)（下）練習(xí)冊第9到12章答案解析

1、 第九章  多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用§ 1 多元函數(shù)概念  1、設(shè).答案：2、求下列函數(shù)的定義域：(1)            (2)           3、求下列極限：  (1)             &

2、#160;          （0）  (2)                   (0)                    

3、       § 2      偏導(dǎo)數(shù)1、設(shè)z=   ,驗證    證明：，2、求空間曲線在點（）處切線與x軸正向夾角()3、設(shè),     求          ( 1)4、設(shè)u=(x2+yz3) 3，求及.解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ，  =3(x2+yz

4、3)2 z3=3z3(x2+yz3)23(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)25、設(shè)，證明 : 6、設(shè)，求。解：7、設(shè)函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求   § 3 全微分1、單選題（1）二元函數(shù)在點處連續(xù)是它在該點處偏導(dǎo)數(shù)存在的    D   .(A)必要條件而非充分條件(B)充分條件而非必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分又非必要條件 （2）對于二元函數(shù)，下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是       B 

5、     。(A)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在（B）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則全微分必存在(C)全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)（D）全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在2、求下列函數(shù)的全微分：(1) 設(shè)求dz解:         (2) 設(shè)函數(shù)( 為常數(shù)且）求.解:；(3)     解： 3、設(shè)，求dz½(1,1)解: ,4、設(shè),求：5、討論函數(shù)在(0,0)點處的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、可微性。解：，所以在(0,0)點處連續(xù)。  &#

6、160;   ，所以可微。  §4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、設(shè)，求解：2、設(shè)，求    3、設(shè),，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解：；4、設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，解：  ,        ,=     ,5、設(shè)，其中對各變元具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解：6、設(shè)，證明：。證：；類似可求得；。所以。         &#

7、160;                                                 &#

8、160;  § 5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1、設(shè)，求解：令，2、設(shè)是由方程確定，求。解： =3、設(shè),其中可微。證明:解：;=+y=4、設(shè)，求，                    ( ，)5、設(shè)由方程所確定，可微，求解：令，則6、設(shè)函數(shù)是由方程所確定，求。解：  Þ   Þ  7、設(shè)由方程所確定，證明：。證：；所以 

9、; §6微分法在幾何中的應(yīng)用1、求螺旋線在對應(yīng)于處的切線及法平面方程解：切線方程為法平面方程2、求曲線在（3，4，5）處的切線及法平面方程解：切線方程為     ，法平面方程：    3、求曲面上點(1,1,1)處的切平面和法線方程。解：設(shè)，則；。在點(1,1,1)處；，所以法向量切平面方程是：，即；法線方程是：  §7方向?qū)?shù)與梯度 1、設(shè)函數(shù)，(1)求該函數(shù)在點(1,3)處的梯度。2)在點(1,3)處沿著方向的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達(dá)到最大和最小的方向解：梯度為

10、          , 方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向為，方向?qū)?shù)達(dá)到          最小值的方向為。2、求函數(shù)在(1,2,-1)處沿方向角為的方向?qū)?shù)，并求在該點處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向及最大方向?qū)?shù)的值。解：方向?qū)?shù)為，該點處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向，此時最大值為3、求函數(shù)在(1,1,-1)處沿曲線在(1,1,1)處的切線正方向(對應(yīng)于增大的方向)的方向?qū)?shù)。解：，所以該函數(shù)在點(1,1,-1)處的方向?qū)?shù)為。4、求函

11、數(shù)在(1,1,-1)處的梯度。解：，                                 §8多元函數(shù)的極值及求法 1、求函數(shù)的極值。      答案：（，）極小值點2、設(shè)函數(shù)由方程確定，求函數(shù)的駐點。解：設(shè)

12、Þ駐點是(0,0)。3、求的極值。解：；。令=0,=0，得Þ=2；=-1；=1；在(1,0)點處=2，=1，>0,函數(shù)在(1,0)點處有極值，且由于A=2>0取極小值。4、求函數(shù)在條件下的條件極值。解：            ，極小值為5、欲造一個無蓋的長方體容器，已知底部造價為3元/平方，側(cè)面造價均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸。（長和寬2米，高3米）6、旋轉(zhuǎn)拋物面被截成一橢圓，求原點到橢圓的最大與最小距離。解：設(shè)為橢圓上的

13、點，原點到的距離為，且滿足條件：,。設(shè)令得方程組：解得：，, ,根據(jù)實際問題，最大距離和最小距離存在，所以為最小距離；為最大距離。7、在第一卦限作橢球面的切平面，使切平面與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標(biāo)。解：橢球面上的點。設(shè)，則在點的切平面法向量是，切平面方程：切平面在軸上的截距是：；切平面在軸上的截距是：；切平面在軸上的截距是：；三坐標(biāo)面與切平面所圍的四面體的體積是：。要求體積的最小值，只要求在條件下的最大值即可。設(shè)：,令=0,=0,=0，并與條件聯(lián)立解得由于根據(jù)實際情況，體積的最小值存在，且所求得駐點唯一，所以即為所求。 第九章   自測題一、選

14、擇題：（每題2分，共14分）1、設(shè)有二元函數(shù)  則       B A、存在；B、不存在；C、存在，且在(0,0)處不連續(xù)；D、存在，且在(0,0)處連續(xù)。2、函數(shù)在各一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是在連續(xù)的  B  A、必要條件；                B、充分條件；C、充要條件；      

15、60;         D、既非必要也非充分條件。3、函數(shù)      在(0,0)點處                D  A、極限值為1；        B、極限值為-1；C、連續(xù)；    

16、0;               D、無極限。4、在處，存在是函數(shù)在該點可微分的 A    （A）必要條件；           （B）充分條件；  （C）充要條件；           （D）既非必要亦非充分條件。5、點是函數(shù)的

17、          B  （A）極小值點；               （ B）駐點但非極值點；（C）極大值點；                （D）最大值點。6、曲面在點P(2,1,0)處的切平面方程是  C

18、  （A）；          （B）；（C）；          （D）7、已知函數(shù)均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么 B  (A);           (B) ;(C) ;        (D) 二、填空題：（每題分，共18分）1、（

19、    0    ）、設(shè)，則（                   ）、設(shè)則(    0    )、設(shè)，則在點處的全微分dz=(    )。、曲線在點處的切線方程為(        

20、0;                       )、曲線在點(1,1,1)處的切線方程為(   )三、計算題（每題6分）1、設(shè)，求的一階偏導(dǎo)數(shù)。解：2、設(shè)，求的二階偏導(dǎo)數(shù)。解：,3、設(shè)具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：、設(shè)  求和。解：不存在，故不存在，同理，也不存在。     當(dāng)時，有   

21、  5、設(shè)，求：。解：1+ Þ 6、設(shè)，且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求：，。解：，7、，求：。解：，=四、試分解正數(shù)為三個正數(shù)之和，而使它們的倒數(shù)和為最小。解：設(shè)三個正數(shù)為，則，記，令則由       解出。第十章   重積分§ 1 二重積分的概念與性質(zhì)1、設(shè)D由圓求 的值    解：由于D的面積為,  故=2、由二重積分的幾何意義求二重積分的值         

22、    其中D為：       ( 解：=)3、設(shè)f(t)連續(xù)，則由平面 z=0，柱面  和曲面所圍的        立體的體積可用二重積分表示為    （  ）4、設(shè)D為圓域若二重積分=，求a的值。解：   =     5、設(shè)D：，        

23、       ，比較與的大小關(guān)系解：在D上，,故                                         

24、    § 2 二重積分的計算法1、設(shè)，其中D是由拋物線與直線y=x-4所圍成的平面閉區(qū)域區(qū)域，則I=（       A       ）      A ：         B ：         C：    &

25、#160;       D ：   2、設(shè)D是由不等式所確定的有界區(qū)域，則二重積分為    （      B     ）A ：0             B：          &

26、#160;      C：              D： 13、設(shè)D是由直線x=0,y=2及y=x所圍成的區(qū)域，則二重積分     的值為（    C      ）      A：    B ：   

27、;   C ：    D：4、 設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分交換積分次序后為（  D   ）    A      B   C       D 5、設(shè)有界閉域D1、D2關(guān)于oy軸對稱，f是域D=D1+D2上的連續(xù)函數(shù)，則二重       積分為（    A 

28、60;   ）A             B      C              D    6、設(shè)D1是由ox軸、oy軸及直線x+y=1所圍成的有界閉域，f是域D:|x|+|y|1     上的連續(xù)函數(shù)，則

29、二重積分為（   B  ）        A         B        C          D 7、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則   交換積分次序的結(jié)果為( C )    A    

30、;     B  C          D   8、設(shè)I=,交換積分次序后I為：(  D  )                 9、改變二次積分的次序：  （ =）10、求     ，其中  由x=2

31、,y=x,xy=1所圍成.            （)11、設(shè) D=(x,y)|0x1,0y1   ,求的值     解：=12、計算二重積分，其中D=(x,y)| 0x1,0y1 解： =13、計算二重積分，其中D是圓域 解：=14、設(shè) I=,其中D是由x2+y2=Rx所圍城的區(qū)域，求I  （解：I=)15、計算二重積分，D： 圍成的閉區(qū)域 （  解：=  

32、0; ）                                  § 3  三重積分1、設(shè)是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所圍成的空間有界域，則化為三次定積分的結(jié)果為(    &

33、#160;  A          ) A                 B  C                 D 2、設(shè)是由曲面x2+y2=2z ,及z=2所圍成

34、的空間有界域，在柱面坐標(biāo)系下將三重積分表示為累次積分，則I=（       B        ）  A     B C   D   3、設(shè)是由所確定的有界閉域，求三重積分        解：先二后一法，=24、設(shè)是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所圍成的空間區(qū)域，求 ()    

35、; 5、設(shè)是球域：，求  (利用偶倍奇零法。因函數(shù)關(guān)于z為奇函數(shù)，區(qū)域是球域關(guān)于xoy面對稱，所以原式=0)     6、計算  其中為：平面z=2與曲面所圍成的     區(qū)域        ()7、計算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所圍成的閉區(qū)域(2/27) §4 重積分的應(yīng)用1、求由曲面=2x, =4x,y=x,y=0所圍成的圖形面積 A    &

36、#160;   2、求曲面包含在圓柱部的那部分面積     解：3、求圓柱體包含在拋物面和xoy平面之間那部分立     體的體積    解：4、 曲面將球面分割成三部分，由上至下依次記       這三部分曲面的面積為 s1, s2, s3,  求s1:s2:s3    解：    第十章   

37、自測題一、選擇題: （40分）  1、=(  D  )            A     B           C         D .  2、設(shè)為,當(dāng)(    C     )時,.&#

38、160;           A 1        B         C          D   3、設(shè),其中由所圍成,則=(  B ).         

39、  A;    B          C            D.  4、設(shè)是由三個坐標(biāo)面與平面=1所圍成的空間區(qū)域,則           =(   A   ).     A&

40、#160;     B       C      D   .  5  、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則 (  A      ).A     B    C     D  .   6、計算,圍成的立體,則正確的為(B )和（C） 

41、;          A      B             C            D  .   7、曲面包含在圓柱部的那部分面積(D )  A     

42、 B         C   D  .   二、計算下列二重積分:（20分）  1、,其中是閉區(qū)域:              (原式=)2、,其中是由直線及圓周,所圍        成的在第一象 限的閉區(qū)域 .     

43、;(原式) 3、,其中是由 圍成的閉區(qū)域  ( 原式)4、,其中:.        ()三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序: （15分） 1、    （） 2、       (=)   3、               

44、  (=)四、計算下列三重積分:（15分）1、其中是由平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的區(qū)域。    ()  2、:所圍成的閉區(qū)域    (原式)（或用球坐標(biāo)計算，原式=)五、（5分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 ，其中  D是由     所圍成的區(qū)域，求解：設(shè)，則六、（5分）設(shè)在上連續(xù),試證:               &#

45、160;                =第十一章曲線積分與曲面積分                                

46、0;        § 1    對弧長的曲線積分 1、設(shè)關(guān)于軸對稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時，A.0    B.   C.   D.ABC都不對2、設(shè)是以點為頂點的正方形邊界,則= A. 4        B.2          &#

47、160; C.           D. 3、有物質(zhì)沿曲線：分布，其線密度為，則它           的質(zhì)量   A.  B.  C.   D.4求其中L為由所圍區(qū)域的整個邊界。解：5其中L為雙紐線。解：原積分=6其中L為。原積分7其中L為球面與平面的交線。解：將代入方程得于是L的參數(shù)方程：，又原積分= §2

48、0; 對坐標(biāo)的曲線積分 1.設(shè)關(guān)于軸對稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)  時，   A.0    B.    C.  D.ABC都不對2設(shè)為的正向，則       A.0    B.4   C.2   D.-23為的正向，  A.2  B.-2 C.0   D.4，其中由曲線從  

49、  到方向解：  5  其中是正向圓周曲線   解：由奇偶對稱性，：     6其中為從點到的有向線段   解：方程：，7、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。最小，此時8、將積分化為對弧長的積分,其中L 沿上半圓周解：，于是               §3    格林公式及其應(yīng)用

50、0;1.若是上半橢圓取順時針方向,則=    A.0       B.      C.     D 2. 設(shè)為的正向，則     A2     B.-2      C.0       D. 3.設(shè)為曲線的正向，則A9  

51、 B.-18    C. -9    D.0 4.設(shè)是圓取逆時針方向，則解：將方程代入被積函數(shù)在由格林公式得      5其中為點到的拋物線      的弧段解：因故積分與路徑無關(guān)，取6求，為(1) (2) 正方形邊界的正向解：(1)直接用格林公式=0    (2) 設(shè)為圓周：取逆時針方向，其參數(shù)方程      原積分為所以 7、驗證在面上是某函數(shù)

52、的全微分，求出 解：，8、設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且  ，計算的值解：取路徑：沿從到；再沿從到則或 §4   對面積的曲面積分1、計算曲面積分  ，其中是平面在第一卦限的部分解：2、求曲面積分，其中是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面    解：     =2 3、求曲面積分，其中是錐面被柱面       所截得的有限部分     

53、; 解：=                   § 5   對坐標(biāo)的曲面積分1.設(shè)關(guān)于面對稱反向，是在面的前側(cè)部分，若關(guān)于為偶函數(shù)，則（      ）             A.0   &

54、#160;  B.      C.     D.ABC都不對2.設(shè)為球面取外側(cè),為其上半球面,則有（       ）  A. B. C.  D. 03其中由及三個坐標(biāo)面所圍成閉曲面的外側(cè) 4其中為錐面被平面所截部分的外側(cè)       5.其中為被平面所截部分，其法向量與z軸成銳角      

55、;                     6、用兩類曲面積分之間的關(guān)系計算（1）求其中是柱面在部分，是的外法線的方向余弦      （2）其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè)  = §6    高斯公式 1. 設(shè)是拋物面介于及之間部分的下側(cè)，求  解：

56、做補(bǔ)面：取上側(cè)，則構(gòu)成一個封閉曲面，取外側(cè)，由高斯公式知：原式=2.設(shè)為平面在第一卦限部分的上側(cè)，則=解：由輪換對稱性知原式= 3. 求，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，是    所圍立體的外側(cè)4.，其中為取外側(cè)§7   斯托克斯公式1、設(shè)為平面與坐標(biāo)面交線，從z軸看去為逆時針方向，求        （2） 2.設(shè)為圓周若從軸正向看依逆時針方向，則           

57、0; （）  3、其中為圓周若從軸正向看依逆時針方向。 綜合練習(xí)一、填空1、設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分 （） 2、設(shè)為橢圓，其周長為,則(12) 3、設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）4、設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側(cè)，則二、選擇題1、設(shè)是在第一卦限部分.則有（          ）        A   &

58、#160;   B.C.      D.2、設(shè)取上側(cè)，則下述積分不正確的是（          ）  A B.   C.   D.3、設(shè)L是從點(0,0)沿折線、y=1-|x-1|至點A(2,0)的折線段，則曲線積分為（           ）  A  0 &

59、#160; B  -1   C 2     D 2  三、計算1計算曲面積分，其中為錐面在柱體       的部分     2、計算曲線積分，其中是以為中心，為半徑的圓周（取逆時針方向）解：設(shè)為圓周：取逆時針方向，其參數(shù)方程原積分為3、計算曲面積分其中是曲面             

60、60;           的上側(cè)。  （-）解：取的下側(cè)，則    4計算曲面積分其中是由曲面與兩平面圍成立體表面的外側(cè)  （） 解：面，    =      第十二章   無窮級數(shù)§ 1   常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)1、設(shè)級數(shù)，則其和為（      ） &#

61、160;   A            B  .1  C.             D. 2、若，則級數(shù)（             ）    A. 收斂且和為0 

62、0;   B . 收斂但和不一定為0     C. 發(fā)散      D  .可能收斂也可能發(fā)散3 、若級數(shù)收斂于S，則級數(shù)（          ）  A .  收斂于2S        B.收斂于2S+      C收斂于2S-  

63、;     D. 發(fā)散4、若，,求的值解：      所以5、若級數(shù)收斂，問數(shù)列是否有界     解：由于，故收斂數(shù)列必有界。6、若，求級數(shù)的值    解：   故7、求的值    解：故=8、求的和        (9、對于級數(shù)是它收斂的_條件（必要）根據(jù)定義判斷下列級數(shù)的斂散性（1）   (發(fā)散

64、)（2）（裂項相消  收斂）（3）    （發(fā)散） § 2    常數(shù)項級數(shù)的審斂法用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判別下列級數(shù)的收斂性1、判定級數(shù)的斂散性    解：由于< ,而收斂，故收斂2、判定斂散性      解：=     故>,而級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散3、判定斂散性          &#

65、160;    收斂;      1, 發(fā)散 4、判定級數(shù)的斂散性故發(fā)散5、判定級數(shù)的斂散性  由于而收斂，故原級數(shù)收斂    用比值或根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性6、判定級數(shù)的斂散性  解：>1,所以發(fā)散7、判定級數(shù)的斂散性       解：，所以收斂   8、          

66、;   收斂       9、    ，     收斂    10、                       （收斂） 判別下列級數(shù)是否收斂。如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？

67、11、            （條件收斂）12、                              （條件收斂）13、      &

68、#160;                                               （絕對收斂）14、 

69、60;                                                 （絕對收斂）15

70、、 解：|，用比值判別法知,所以絕對收斂§3     冪級數(shù)1、設(shè)冪級數(shù)在x=3處收斂，則該級數(shù)在x=-1點處（         ）A.  絕對收斂           B.  條件收斂            C.發(fā)散 

71、          D.  可能收斂也可能發(fā)散2、級數(shù)的收斂域       （0，43、求冪級數(shù)的收斂半徑      （）4、若級數(shù)在x=-2處收斂，則此級數(shù)在x=5處是否收斂，若收斂，是否絕對收斂         （絕對收斂）5、求冪級數(shù)的收斂域解：首先判斷其收斂區(qū)間為（-7，-3），當(dāng)x=-7、-3時，級

72、數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收           斂域為（-7，-3）6、求的收斂域   -1,17、求的收斂域    （-8、求冪級數(shù)的收斂域解：首先求得收斂區(qū)間為（-3，3），而級數(shù)在x=-3處發(fā)散，在x=3處收斂，所以          收斂域為（-3，3 9、求冪級數(shù)的和函數(shù)      （   &#

73、160; -1<x<1）10、求冪級數(shù)的和函數(shù)解：        =   （-1<x<-1）§ 4      函數(shù)展開成冪級數(shù)1、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)解：f(x)=由展開式可得f(x)=   x2、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù) 解：而= x兩邊積分得 x3、將函數(shù)解：4、將解：5、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)解：f(x)=6、解：=  

74、0;     x§7      傅里葉級數(shù) 1、設(shè)f(x)是周期為的周期函數(shù)，它在-上的表達(dá)式為f(x)=       試將f(x)展開成傅立葉級數(shù)解：       b=再將所求得的系數(shù)代入傅立葉級數(shù)可得傅立葉級數(shù)展開式2、將函數(shù)展開成正弦級數(shù)   3、將函數(shù)展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)     

75、60;          §8     一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)1、將f(x)=2+|x|(-1展開成以2為周期的傅立葉級數(shù)后求的值解：展開f(x)=代x=0得 =+      得 2、將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的余弦級數(shù)解：     f(x)=    (0)3、將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的正弦級數(shù)的和函數(shù)為s(x

76、)，求s(8)解：s(8)=s(0)= 綜合練習(xí)一選擇題:1、下列級數(shù)中,收斂的是(       ). A           B.            C.             &#

77、160;   D.2、下列級數(shù)中,收斂的是(        ).      A.              B.          C.         D.3、下列級數(shù)中,收斂的是(         )      A.                B. &#