FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)課程講解

1、第七章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.1 學(xué) 習(xí) 要 點(diǎn) 線性相位FIR數(shù)字濾波器特點(diǎn)歸納1. 線性相位概念設(shè)為FIR濾波器的頻響特性函數(shù)?？杀硎緸榉Q為幅度函數(shù)，為的實(shí)函數(shù)。應(yīng)注意與幅頻特性函數(shù)的區(qū)別，為的正實(shí)函數(shù)，而可取負(fù)值。稱為相位特性函數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱為第一類（A類）線性相位特性；當(dāng)時(shí)，稱為第二類（B類）線性相位特性。2. 具有線性相位的FIR濾波器的特點(diǎn)（長度為）1）時(shí)域特點(diǎn)A類： (7.1)B類： (7.2)群延時(shí)：為常數(shù)，所以將A類和B類線性相位特性統(tǒng)稱為恒定群時(shí)延特性。2）頻域特點(diǎn) A類：N為奇數(shù)（情況1）：關(guān)于三點(diǎn)偶對稱。 N為偶數(shù)（情況2）：關(guān)于奇對稱（）。 B類：N為奇數(shù)（情況3）：關(guān)

2、于三點(diǎn)奇對稱。 N為偶數(shù)（情況4）：關(guān)于奇對稱，關(guān)于偶對稱。3. 要點(diǎn)（1）情況1：可以實(shí)現(xiàn)所有濾波特性（低通、高通、帶通、帶阻和點(diǎn)阻等）。（2）情況2：，不能實(shí)現(xiàn)高通、帶通和點(diǎn)阻濾波器。（3）情況3：只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。（4）情況4：不能實(shí)現(xiàn)低通、帶阻和點(diǎn)阻濾波器。 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法FIR濾波器設(shè)計(jì)方法：（1）窗函數(shù)法（2）頻率采樣法（3）切比雪夫逼近法1. 窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟與要點(diǎn)設(shè)為希望逼近的頻響特性函數(shù)，為用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的實(shí)際濾波器的頻響函數(shù)。通常取相應(yīng)的理想頻響特性作為。窗函數(shù)法設(shè)計(jì)過程如圖7.1所示。知識要點(diǎn)如下：（1）希望逼近的理想濾波器頻響函數(shù)的表達(dá)式。因?yàn)镕IR數(shù)字濾

3、波器一般要求設(shè)計(jì)成線性相位特性，所以必須滿足上述線性相位FIR濾波器的頻域特點(diǎn)。逼近理想低通、帶通、高通和帶阻濾波器頻響函數(shù)的表達(dá)式如下：其中，為理想濾波器截止頻率，和分別為理想帶通濾波器的通帶下截止頻率和上截止頻率。（為長度），這樣才能確保線性相位的時(shí)域條件，且為實(shí)序列。（2）熟悉各種常用窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)和加窗后對濾波器特性的影響，根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)正確選擇窗函數(shù)類型及其長度。表7.1列出了六種典型窗函數(shù)的基本技術(shù)指標(biāo)參數(shù)。這六種窗函數(shù)均滿足A類線性相位條件：。表7.1 六種窗函數(shù)的基本參數(shù)窗函數(shù)旁瓣峰值幅度/dB過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗-134-21三角形窗-258-25漢寧窗-318-

4、44哈明窗-418-53布萊克曼窗-5712-74凱塞窗()-5710-80設(shè)計(jì)過程中根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)類型，再根據(jù)過渡帶寬度指標(biāo)選擇窗函數(shù)長度N值。（3）檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果（4）熟悉窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的特點(diǎn)：設(shè)計(jì)過程簡單、方便實(shí)用。但邊界頻率不易精確控制所以設(shè)計(jì)完以后，必須檢驗(yàn)結(jié)果。2. 用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟與要點(diǎn)1）頻率采樣設(shè)計(jì)法的概念及理論依據(jù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器就是尋求一種滿足設(shè)計(jì)要求的濾波器單位脈沖響應(yīng)或系統(tǒng)函數(shù)。根據(jù)頻率采樣理論，如果長度為，在單位圓上等間隔對采樣點(diǎn)得到 (7.3)只要，則有 , (7.4) (7.5)由此可見，只要知道FIR數(shù)字濾波器頻響函數(shù)在上

5、的點(diǎn)等間隔采樣，就可確定濾波器的單位脈沖響應(yīng)或系統(tǒng)函數(shù)，這就是頻率采樣設(shè)計(jì)法的理論依據(jù)。頻率采樣法就是根據(jù)以上頻域采樣理論，由濾波特性指標(biāo)構(gòu)造希望逼近的濾波器頻響函數(shù)，對其在上采樣得到 , (7.6)然后，求得單位脈沖響應(yīng)，或求得系統(tǒng)函數(shù)。這樣，或就是FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果。2）用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟與要點(diǎn)設(shè)計(jì)步驟如圖7.2所示知識要點(diǎn)如下：（1）一般以實(shí)際設(shè)計(jì)的頻響函數(shù)相應(yīng)的理想頻響特性作為希望逼近的，這樣可使設(shè)計(jì)簡化。（2）設(shè)計(jì)線性相位FIR對和的約束條件。如果，為幅度采樣，表示相位采樣，即，的表達(dá)式及對的約束條件： 為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，由上述可見，設(shè)計(jì)線性相位FIR濾

6、波器時(shí)，相位采樣為一確定函數(shù)式，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，幅度采樣關(guān)于點(diǎn)偶對稱，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，關(guān)于點(diǎn)奇對稱。應(yīng)當(dāng)注意，設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器時(shí)，只能取奇數(shù)。（3）逼近誤差及其改進(jìn)措施，值的估計(jì)。逼近誤差分析：由頻域采樣理論可知即所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)是希望逼近的濾波器單位脈沖響應(yīng)的周期延拓序列的主值序列。如果為理想頻響特性，則由于頻域有間斷點(diǎn)，使為衰減較慢的無限長序列。這時(shí)其周期延拓時(shí)，有較嚴(yán)重的時(shí)域混疊，所以，和相差較大，故和相差較大，即逼近誤差較大。而且，由于為有限長序列，所以為連續(xù)無間斷點(diǎn)函數(shù)，故在的間斷點(diǎn)附近逼近誤差最大，并形成傾斜過渡帶和振蕩，使阻帶最小衰減不到20dB。在平滑區(qū)域逼近誤差

7、將較小。改進(jìn)措施：在的間斷點(diǎn)附近區(qū)間假如若干個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)，這樣就相當(dāng)于使的間斷點(diǎn)變平滑后再采樣。即使變得衰減很快，從而周期延拓時(shí)混疊失真減小，即和誤差減小，必然使頻域和誤差減小。頻域采樣點(diǎn)數(shù)估算：一般由過渡帶寬度估算值。，為過渡采樣點(diǎn)數(shù)目。所以，的估算公式為顯然，越小，或越大都使值越大。3）頻率采樣法的特點(diǎn)及設(shè)計(jì)結(jié)果檢驗(yàn)這種設(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)是：可以在頻域直接涉及任意頻響特性的FIR數(shù)字濾波器，概念清楚、直觀。但邊界頻率不易控制。所以，設(shè)計(jì)時(shí)，要對進(jìn)行檢驗(yàn)，可通過加大采樣點(diǎn)數(shù)來改善邊界頻率精度，但這會增加濾波器的成本和計(jì)算量。對于窄帶濾波器，即使很大，通帶內(nèi)非零采樣也較少，這樣，其的內(nèi)插公式(7

8、.5)中有效項(xiàng)較少，從而使實(shí)現(xiàn)頻率采樣結(jié)構(gòu)并聯(lián)支路較少，使濾波器成本降低，運(yùn)算量減少。因此，該設(shè)計(jì)法適合設(shè)計(jì)窄帶濾波器。3. FIR濾波器的等波紋逼近設(shè)計(jì)法等波紋逼近設(shè)計(jì)法使用切比雪夫最佳一致逼近理論，可設(shè)計(jì)出實(shí)際濾波器頻響與期望的頻響之間的最大誤差最小化的最佳擬合濾波器。這種方法設(shè)計(jì)的濾波器呈現(xiàn)等波紋頻響特性，所以稱之為等波紋逼近設(shè)計(jì)法。由于誤差均勻分布于整個(gè)頻帶，對固定的階數(shù)，可以得到最優(yōu)良的濾波特性；通帶最平坦，阻帶最小衰減達(dá)到最大。因此，等波紋逼近法在FIR濾波器設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用，特別是有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)程序，從而使設(shè)計(jì)簡單易行。所以，在建立上述概念的基礎(chǔ)上，正確調(diào)用設(shè)計(jì)程序，設(shè)置合適的參

9、數(shù)即可得到等波紋逼近FIR濾波器系數(shù)。7.2 教材第七章習(xí)題解答3. 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為求出該濾波器的單位取樣響應(yīng)，判斷是否具有線性相位，求出其幅度特性和相位特性，并畫出其直接型結(jié)構(gòu)和線性相位型結(jié)構(gòu)和線性相位型結(jié)構(gòu)。解：對FIR數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為所以，其單位脈沖響應(yīng)為由的取值可知滿足 所以，該FIR濾波器具有第一類線性相位特性。設(shè)其頻率響應(yīng)函數(shù)為幅度特性函數(shù)為相位特性函數(shù)為由畫出直接型結(jié)構(gòu)和線性相位型結(jié)構(gòu)分別如題3解圖（一）和題3解圖（二）所示。幅度曲線如題3解圖（三）所示。4. 用矩形窗設(shè)計(jì)線性相位低通濾波，逼近濾波器傳輸函數(shù)為（1）求出相應(yīng)于理想低通的單位脈沖響應(yīng)；（2）求出

10、矩形窗設(shè)計(jì)的表達(dá)式，確定a與N之間的關(guān)系；（3）N取奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)對濾波特性有什么影響？解：（1）（2）為了滿足線性相位條件，要求，為矩形窗函數(shù)長度。加矩形窗函數(shù)得到：（3）N取奇數(shù)時(shí)，幅度特性函數(shù)關(guān)于三點(diǎn)偶對稱，可實(shí)現(xiàn)各類幅頻特性；N取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于奇對稱，所以不能實(shí)現(xiàn)高通、帶阻和點(diǎn)阻濾波特性。5. 用矩形窗設(shè)計(jì)一線性相位高通濾波器，逼近濾波器傳輸函數(shù)為（1）求出該理想高通的單位取樣響應(yīng)；（2）寫出用矩形窗設(shè)計(jì)法的的表達(dá)式，確定a與N的關(guān)系；（3）N的取值有什么限制？為什么？解：（1）直接用計(jì)算： 表達(dá)式中第2項(xiàng)正好是截至頻率為的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。而對應(yīng)于一個(gè)線性相位高通濾波器：即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實(shí)現(xiàn)。（2）用N表示長度，則為了滿足線性相位條件：要求滿足。（3）N必須取奇數(shù)。因?yàn)镹為偶數(shù)時(shí)（情況2），不能實(shí)現(xiàn)高通。8. 圖中，是偶對稱序列，N=8