2015上海市徐匯區(qū)高二上期末數(shù)學(xué)試卷解析版

1、高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分36分）本大題共12小題，每個空格填對得3分，否則一律得0分.1直線3x4y5=0的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）2若=（5，4），=（7，9），則與同向的單位向量的坐標是3若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則a+b=4行列式中中元素3的代數(shù)余子式的值為7，則k=5以點P（3，4）和點Q（5，6）為一條直徑的兩個端點的圓的方程是6若頂點在原點的拋物線的焦點與圓x2+y24x=0的圓心重合，則該拋物線的準線方程為7在ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，則在方向上的投影是8已知雙曲線kx2y2=1的一條漸進線的方向向量=（2，1）

2、，則k=9在正三角形ABC中，D是BC上的點，AB=3，BD=1，則=10已知F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，且，若PF1F2的面積為16，則b=11若點O和點F分別為橢圓+y2=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則|OP|2+|PF|2的最小值為12在平面直角坐標系中，兩個動圓均過點A（1，0）且與直線l：x=1相切，圓心分別為C1、C2，若動點M滿足2=+，則M的軌跡方程為二、本大題共4小題，每小題4分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.13“”是“方程組有唯一解”的（）A充分不必要條件B必要不充分條C充要條件D既不充分又不

3、必要條件14等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2+a6+a10為一個確定的常數(shù)，則下列各個和中，也為確定的常數(shù)的是（）AS6BS11CS12DS1315無窮等比數(shù)列an的各項和為S，若數(shù)列bn滿足bn=a3n2+a3n1+a3n，則數(shù)列bn的各項和為（）ASB3SCS2DS316已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的漸進線方程為y=x（a0，b0），若雙曲線上有一點M（x0，y0），使b|x0|a|y0|，則該雙曲線的焦點（）A在x軸上B在y軸上C當ab時，在x軸上D當ab時，在y軸上三、解答題（本大題滿分48分）本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17已知：、是同一平面內(nèi)的三個向量

4、，其中=（1，2）（1）若|=2，且，求的坐標；（2）若|=，且+2與2垂直，求與的夾角18 已知直線l經(jīng)過點P（2，），并且與直線l0：xy+2=0的夾角為，求直線l的方程19如圖所示，A（2，0）、B、C是橢圓E： +=1（ab0）上的三點，BC過橢圓E的中心且斜率為1，橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點內(nèi)構(gòu)成正三角形（1）求橢圓E的方程；（2）求ABC的面積20如圖所示的封閉區(qū)域的邊界是由兩個關(guān)于x軸對稱的半圓與截取于同一雙曲線的兩段曲線組合而成的，其中上半圓所在圓的方程是x2+y24y4=0，雙曲線的左右頂點A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與該圓的另兩個交點是該圓平行于x軸的一條直徑的

5、兩個端點（1）求雙曲線的方程；（2）記雙曲線的左、右焦點為F1、F2，試在封閉區(qū)域的邊界上求點P，使得F1PF2是直角21對于曲線C：f（x，y）=0，若存在非負實常數(shù)M和m，使得曲線C上任意一點P（x，y）有m|OP|M成立（其中O為坐標原點），則稱曲線C為既有外界又有內(nèi)界的曲線，簡稱“有界曲線”，并將最小的外界M0成為曲線C的外確界，最大的內(nèi)界m0成為曲線C的內(nèi)確界（1）曲線y2=4x與曲線（x1）2+y2=4是否為“有界曲線”？若是，求出其外確界與內(nèi)確界；若不是，請說明理由；（2）已知曲線C上任意一點P（x，y）到定點F1（1，0），F(xiàn)2（1，0）的距離之積為常數(shù)a（a0），求曲線C的外

6、確界與內(nèi)確界2015-2016學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題滿分36分）本大題共12小題，每個空格填對得3分，否則一律得0分.1直線3x4y5=0的傾斜角的大小為arctan（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【考點】直線的傾斜角【分析】根據(jù)所給的直線3x4y5=0，得到直線的斜率時，直線的斜率是傾斜角的正切，得到tan=，0，根據(jù)傾斜角的范圍和正切的反三角函數(shù)的值域確定結(jié)果【解答】解：直線3x4y5=0，直線的斜率時，直線的斜率是傾斜角的正切，tan=，0，=arctan，故答案為：arctan2若=（5，4），=（7，9），則與同向的單位向量的坐標是（，）

7、【考點】平行向量與共線向量【分析】根據(jù)坐標運算求出向量，再求與同向的單位向量即可【解答】解：=（5，4），=（7，9），=（12，5），|=13；與同向的單位向量的坐標為=（，）故答案為：（，）3若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則a+b=2【考點】幾種特殊的矩陣變換【分析】根據(jù)增廣矩陣的定義得到是方程組的解，解方程組即可【解答】解：由題意知是方程組的解，即，則a+b=1+1=2，故答案為：24行列式中中元素3的代數(shù)余子式的值為7，則k=3【考點】三階矩陣【分析】由題意可知求得A12=k+4，代入即可求得k的值【解答】解：由題意可知：設(shè)A=，元素3的代數(shù)余子式A12=k+4，k+4=7，k=3，

8、故答案為：35以點P（3，4）和點Q（5，6）為一條直徑的兩個端點的圓的方程是（x+1）2+（y5）2=17【考點】圓的標準方程【分析】由中點坐標公式求出圓心，由兩點間距離公式求出圓半徑，由此能求出圓的方程【解答】解：點P（3，4）和點Q（5，6），以點P（3，4）和點Q（5，6）為一條直徑的兩個端點的圓的圓心為（1，5），圓的半徑r=圓的方程為：（x+1）2+（y5）2=17故答案為：（x+1）2+（y5）2=176若頂點在原點的拋物線的焦點與圓x2+y24x=0的圓心重合，則該拋物線的準線方程為x=2【考點】拋物線的標準方程；圓的一般方程【分析】由已知得拋物線的焦點F（2，0），由此能求出

9、該拋物線的準線方程【解答】解：頂點在原點的拋物線的焦點與圓x2+y24x=0的圓心重合，拋物線的焦點F（2，0），該拋物線的準線方程為x=2故答案為：x=27在ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，則在方向上的投影是【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】利用余弦定理求出A，則與的夾角為A【解答】解：cosA=在方向上的投影是|cos（A）=3=故答案為8已知雙曲線kx2y2=1的一條漸進線的方向向量=（2，1），則k=【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】根據(jù)題設(shè)條件知求出漸近線的斜率，建立方程求出k【解答】解：雙曲線kx2y2=1的漸近線的一條漸近線的方向向量=（2，1），漸近線的斜率

10、為=，k=故答案為：9在正三角形ABC中，D是BC上的點，AB=3，BD=1，則=【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】利用向量的加法法則化，展開后利用數(shù)量積運算得答案【解答】解：如圖，AB=3，BD=1，B=60，=故答案為：10已知F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，且，若PF1F2的面積為16，則b=4【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】RtPF1F2中，由勾股定理及雙曲線的定義，PF1F2面積為16，即可求出b【解答】解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，得F1PF2=90，m2+n2=4c2，PF1F2的面積為16，mn=324a2=（mn）2=4c26

11、4，b2=c2a2=16，b=4故答案為：411若點O和點F分別為橢圓+y2=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則|OP|2+|PF|2的最小值為2【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】先求出左焦點坐標F，設(shè)P（x，y），根據(jù)P（x，y）在橢圓上可得到x、y的關(guān)系式，表示出|OP|2+|PF|2，再將x、y的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進而可確定答案【解答】解：由題意，F(xiàn)（1，0），設(shè)點P（x，y），則有+y2=1，解得y2=1，因為|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2x2=（x+1）2+2，此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為x=1，|OP|2+|PF|2的最

12、小值為2故答案為：212在平面直角坐標系中，兩個動圓均過點A（1，0）且與直線l：x=1相切，圓心分別為C1、C2，若動點M滿足2=+，則M的軌跡方程為y2=2x1【考點】軌跡方程【分析】由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程為y2=4x，利用2=+，確定坐標之間的關(guān)系，即可求出M的軌跡方程【解答】解：由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程為y2=4x，設(shè)C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），則2=+，2（xm，yn）=（am，bn）+（1m，n），2x=a+1，2y=b，a=2x1，b=2y，b2=4a，（2y）2=4（2x1），即y2=2x1故答案為：y2=2x1二、本大題共4小題，每

13、小題4分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.13“”是“方程組有唯一解”的（）A充分不必要條件B必要不充分條C充要條件D既不充分又不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)兩直線間的位置關(guān)系，從而得到答案【解答】解：由a1 b2a2 b1，直線a1x+b1y=c1和直線a2x+b2y=c2不平行，方程組有唯一解，故選：C16已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的漸進線方程為y=x（a0，b0），若雙曲線上有一點M（x0，y0），使b|x0|a|y0|，則該雙曲線的焦點（）A在x軸上B在y軸上C當ab時，在x軸上D當ab時，在y軸上【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】利

14、用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得0，即可判斷出焦點的位置【解答】解：a|y0|b|x0|0平方a2y02b2x020焦點在y軸故選：B三、解答題（本大題滿分48分）本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17已知：、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中=（1，2）（1）若|=2，且，求的坐標；（2）若|=，且+2與2垂直，求與的夾角【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；平面向量共線（平行）的坐標表示；數(shù)量積表示兩個向量的夾角【分析】（1）設(shè)，由|=2，且，知，由此能求出的坐標（2）由，知，整理得，故，由此能求出與的夾角【解答】解：（1）設(shè)，|=2，且，解得或，故或（2）， 即，整

15、理得，又0，=18已知直線l經(jīng)過點P（2，），并且與直線l0：xy+2=0的夾角為，求直線l的方程【考點】兩直線的夾角與到角問題【分析】根據(jù)條件求出直線l的傾斜角，可得直線l的斜率，再用點斜式求得直線l的方程【解答】解：由于直線l0：xy+2=0的斜率為，故它的傾斜角為，由于直線l和直線l0：xy+2=0的夾角為，故直線l的傾斜角為或，故直線l的斜率不存在或斜率為再根據(jù)直線l經(jīng)過點P（2，），可得直線l的方程為x=2，或y=（x+2），即 x=2，或 x+y1=0如圖：19如圖所示，A（2，0）、B、C是橢圓E： +=1（ab0）上的三點，BC過橢圓E的中心且斜率為1，橢圓長軸的一個端點與短軸

16、的兩個端點內(nèi)構(gòu)成正三角形（1）求橢圓E的方程；（2）求ABC的面積【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程【分析】（1）由題意可得a=2，再由正三角形的條件可得a=b，解得b，進而得到橢圓方程；（2）由題意寫出A點坐標，直線CB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點C、B的縱坐標，SABC=|OA|yByC|，代入數(shù)值即可求得面積【解答】解：（1）A的坐標為（2，0），即有a=2，橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點構(gòu)成正三角形，可得a=b，解得b=2，則橢圓E的方程為，（2）直線BC的方程為y=x，代入橢圓方程x2+3y2=12，得y=x=，SABC=|OA|yByC|=2=6，ABC的面

17、積為620如圖所示的封閉區(qū)域的邊界是由兩個關(guān)于x軸對稱的半圓與截取于同一雙曲線的兩段曲線組合而成的，其中上半圓所在圓的方程是x2+y24y4=0，雙曲線的左右頂點A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與該圓的另兩個交點是該圓平行于x軸的一條直徑的兩個端點（1）求雙曲線的方程；（2）記雙曲線的左、右焦點為F1、F2，試在封閉區(qū)域的邊界上求點P，使得F1PF2是直角【考點】圓錐曲線的實際背景及作用；雙曲線的標準方程【分析】（1）根據(jù)上半個圓所在圓的方程得出兩圓的圓心與半徑，再求出雙曲線的頂點坐標與標準方程；（2）設(shè)點P的坐標，根據(jù)F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分別與雙曲線和圓的方程聯(lián)立，即可求

18、出點P的坐標，注意檢驗，排除不合題意的坐標【解答】解：（1）上半個圓所在圓的方程為x2+y24y4=0，圓心為（0，2），半徑為2；則下半個圓所在圓的圓心為（0，2），半徑為2；雙曲線的左、右頂點A、B是該圓與x軸的交點，即為（2，0），（2，0），即a=2，由于雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點，則令y=2，解得x=2，即有交點為（2，2）；設(shè)雙曲線的方程為=1（a0，b0），則=1，且a=2，解得b=2；所以雙曲線的方程為=1；（2）雙曲線的左、右焦點為F1（2，0），F(xiàn)2（2，0），若F1PF2是直角，設(shè)點P（x，y），則有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=1（不滿足題意，應(yīng)舍去）；所以在封閉區(qū)域的邊界上所求點P的坐標為（，）和（，）21對于曲線C：f（x，y）=0，若存在非負實常數(shù)M和m，使得曲線C上任意一點P（x，y）有m|OP|M成立（其中O為坐標原點），則稱曲線C為既有外界又有內(nèi)界的曲線，簡稱“有界曲線”，并將最小的外界M0成為曲線C的外確界，最大的內(nèi)界m0成為